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【全国百强校】湖北省武汉市第二中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学(文)试题


武汉二中 2015-2016 学年度上学期期中考试

高二文科数学试卷
命题教师:陈 锟 审题教师:左建华
试卷满分:150 分 考试时间:2015 年 11 月 13 日上午 8:00—10:00

一、选择题: (本大题共 12 小题;每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是 符合题目要求的,把正确选项的代号填在答题卡上。 ) 1. 已知命题 p : ?x ? R, x 2 ? 2 x ? 2 ? 0 ,则 ? p 是( )

A . ?x0 ? R, x0 2 ? 2x0 ? 2 ? 0

B . ?x ? R, x 2 ? 2 x ? 2 ? 0

C . ?x0 ? R, x0 ? 2x0 ? 2 ? 0
2. 抛物线 y ? ax2 的准线方程是 ( ) A. y ? ?

2

D . ?x ? R, x 2 ? 2 x ? 2 ? 0

a 2

B. y ? ?

a 4

C. y ? ?

1 2a

D. y ? ?

1 4a

3. 已知函数 f ( x) ? x ? b cos x, 其中 b 为常数,那么“ b ? 0 ”是“ f ( x) 为奇函数”的( ) A. 充分不必要条件 C. 充要条件 B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 )

4.设 f ( x) ? x ln x ,若 f '( x0 ) ? 2 ,则 x0 ? (
2 A. e

B.

e

C.

ln 2 2

D. ln 2

5.与双曲线

x2 y2 ? ? 1 有共同的渐近线,且经过点 A( 3,2 5) 的双曲线的方程为( 3 2 y2 ?1 B. 2 x ? 4
2



y2 x2 ? ?1 A. 16 12
C.

y2 x2 ? ?1 18 27

D.

x2 y2 ? ?1 6 4

6.已知命题 p:|x-1|≥2,命题 q:x∈Z,若“p 且 q”与“非 q”同时为假命题,则满足条件的 x 为( ) A. {x|x≥3 或 x≤-1,x∈Z} B. {x|-1≤x≤3, x∈Z} C. {0,1,2} D. {-1,0,1,2,3} 7.若直线 l : y ? (a ? 1) x ? 1 与曲线 C: y 2 ? ax 恰好有一个公共点,则实数 a 的值构成的集合为( ) A.

??1,0?

4 B. {?2,? } 5

C

{? 1 ,?

4 } 5

4 D {?1, ? , 0} 5
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高二(上)数学期中考试(文科)试卷

8.设 ? , ? , ? 为不同的平面, m, n, l 为不同的直线,则 m ? ? 的一个充分条件为( A. ? ? ? , ? ? ? ? l , m ? l C. ? ? ? , ? ? ? , m ? ? B. ? ? ? ? m , ? ? ? , ? ? ? D. n ? ? , n ? ? , m ? ?

) .

x2 y2 9. 过双曲线 C: 2- 2=1 的右顶点作 x 轴的垂线, 与 C 的一条渐近线相交于点 A.若以 C 的右焦点为圆心、 a b 半径为 4 的圆经过 A,O 两点(O 为坐标原点),则双曲线 C 的方程为( ) x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. - =1 B. - =1 C . - =1 D. - =1 4 12 7 9 8 8 12 4 10.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,左、右焦点分别为 F1、F2 ,且两条曲线在第一象限的 交点为 P , ?PF 1 F2 是以 PF 1 为底边的等腰三角形,若 PF 1 ? 10 ,椭圆与双曲线的离心率分别为 e1 ,

e2 ,则 e1e2 ? 1的取值范围是
A. (1, ?? ) B. (

4 , ?? ) 3

C. (

6 , ?? ) 5

D. (

10 ,+ ? ) 9

11. 已知 F 是双曲线 C : x ?
2

y2 ? 1 的左焦点,P 是 C 右支上一点, A(0,6 6 ) ,当 ?APF 周长最小时, 8

该三角形的面积为( A. 12 6

) B.

18 2 5

C.

2 2

D.

18 6 5

12. 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上有一点 A,它关于原点的对称点为 B,点 F 为椭圆的右焦点,且满 a2 b2
?? ? ? ,则该椭圆的离心率 e 的取值范围为( ) , ?12 6 ? ?
B. [

足 AF ? BF ,设 ?ABF ? ? ,且 ? ? ?

A. [

3 ?1 3 , ] 2 2 6 ] 3

3 ?1 6 , ] 2 3 3 ] 2

C. [ 3 ? 1,

D. [ 3 ? 1,

二、填空题: (本大题共有 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分。把正确答案填在答题卡的相应位置。 ) 13. 已知椭圆 E 的中心为坐标原点,离心率为 是 C 的准线与 E 的两个交点,则 AB ? 14.给出如下四个命题: ①若“ p 或 q ”为真命题,则 p 、 q 均为真命题; ②命题“若 x ? 4 且 y ? 2 ,则 x ? y ? 6 ”的否命题为“若 x ? 4 且 y ? 2 ,则
高二(上)数学期中考试(文科)试卷 第 2 页 共 8 页

3 2 ,E 的右焦点与抛物线 C : y ? 12x 的焦点重合, A, B 2


x ? y ? 6 ”;
③在 ?ABC 中,“ A ? 300 ”是“ sin A ?

1 ”的充要条件; 2

④ 已知条件 p : x 2 ? 3x ? 4 ? 0 ,条件 q : x 2 ? 6x ? 9 ? m2 ? 0 ,若 ? q 是 ? p 的充分不必要条件 ,则 m 的取值范围是 ?? ?,?4? ? ?4,??? ; 其中正确的命题的是 .

15.已知 F 为抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点,抛物线的准线与双曲线

线分别交于 A 、 B 两点.若 ?AFB 为直角三角形,则双曲线的离心率为__________.

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条渐近 a 2 b2

16.在平面直角坐标系 xOy 中,点 M 到点 F(1,0)的距离比它到 y 轴的距离多 1. 记点 M 的轨迹为 C, 则 曲线 C 与 y ? x ? 1 交点的坐标是 ;若点 P( x, y), ( x ? 0) 为曲线 C 上动点, 又点 B(1,1) ,那 么 PB ? PF 的最小值为 .

三、解答题: (本大题共 6 个小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。 ) 17. (本小题满分 10 分)
2 设命题 p:函数 f ( x ) ? lg(ax ? x ?

y2 x2 1 a ) 的定义域为 R, 命题 q:双曲线 ? ? 1 的离心率 16 5 a

e ? (1,2) ,
(1)如果 p 是真命题,求实数 a 的取值范围; (2)如果命题“p 或 q”为真命题,且“p 且 q”为假命题,求实数 a 的取值范围.

18. (本小题满分 10 分) (1) 设函数 f ( x) ?
2

sin ? 3 3 cos? 2 ? 5π ? x ? x ? tan? ,其中 θ∈ ?0, ? ,求导数 f ?(1) 的取值范围; 3 2 ? 12 ?

(2)若曲线 y ? ax (a ? 0) 与曲线 y ? ln x 在它们的公共点 P( s, t ) 处具有公共切线, 求公共切线的方程.

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19. (本小题满分 12 分) 已知双曲线 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) , 若 双 曲 线 的 渐 近 线 过 点 A(2, 3) , 且 双 曲 线 过 点 a2 b2

B(4,3)
(1) 求双曲线 C 的方程; (2)若双曲线 C :

x2 y2 ? ? 1 的左、右顶点分别为 A1, A2 ,点 P 在 C 上且直线 PA1 的斜率的取值范围 a2 b2

是? ,

?1

?2

2? ? ,求直线 PA2 斜率的取值范围. 2 ?

20. (本小题满分 12 分) 如图四边形 ABCD 为菱形,G 为 AC 与 BD 交点, BE ? 平面ABCD , (1)证明:平面 AEC ? 平面 BED ; (2) 若 ?ABC ? 120 ,AE ? EC , S ?EAC ? 3 , 令 AE 与平面 ABCD 所成角为 ? , 且 sin ? ?
?

3 , 求 3

该四棱锥 E ? ABCD 的体积.

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21. (本小题满分 13 分)

x2 y2 2 如图,椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , x 轴被曲线 C2 : y ? x 2 ? b 截得的线段 2 a b
长等于 C1 的短轴长。 C 2 与 y 轴的交点为 M,过坐标原点 O 的直线 l 与 C 2 相交于点 A、B. (1)求 C1 , C 2 的方程; (2)求证:MA⊥MB.

22. (本小题满分 13 分) 已知 △ ABC 的两个顶点 A, B 的坐标分别是 0,? 3 , 0, 3 ,且 AC, BC 所在直线的斜率之积等于

?

??

?

m(m ? 0) .
(1)求顶点 C 的轨迹 E 的方程,并判断轨迹 E 为何种曲线; (2)当 m ? ?

3 时,点 P(1, t ) 为曲线 C 上点, 且点 P 为第一象限点,过点 P 作两条直线与曲线 C 交于 4

E , F 两点,直线 PE, PF 斜率互为相反数,则直线 EF 斜率是否为定值,若是,求出定值,若不
是,请说明理由.

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武汉二中 2015-2016 学年度上学期期中考试

高二文科数学答案
一. 选择题 题号 答案 二.填空题 13. 1 C 2 D 3 C 4 B 5 C 6 C 7 D 8 D 9 A 10 B 11 A 12 C

3

14. ③④

15.

5

16.

?? 1,0?, ?1,2? ,2

三.解答题
2 17.【解析】 (1)若命题 p 为真命题,则 ax ? x ?

a ? 0, x ? R 恒成立 16

?a ? 0 ? ?? ?a?2 1 1-4 ? a ? a<0 ? 16 ?
(2)若命题 q 为真命题,则 0 ? a ? 15 , p 真 q 假时, a ? 15 ;p 假 q 真,则 0 ? a ? 2 , 综上 0 ? a ? 2或a ? 15 18.【解析】(1)∵f′(x)=sinθ·x2+ 3 错误!未找到引用源。cosθ·x, ∴f′(1)=sinθ+ 3 错误!未找到引用源。cosθ=2sin ? ? ?

? ?

π? ? 错误!未找到引用源。. 3?

∵θ∈ ?0,

? 2 ? π ? ? 3? ? π? ? 5π ? ? ,1? ,∴f′(1)∈[ 2 错误! , ∴ θ+ ∈ , ∴ sin ∈错误!未找到引用源。 , ? ? ? ? ? 3 ? 2 3? ? 12 ? ? ? ?3 4 ? ? ? ?
2

未找到引用源。,2]. (2) y ? ax 的导数为 y ' ? 2ax , y ? ln x 的导数为 y ?
2 又 t ? as ? ln s ②,由①②联立解得 s ?

1 1 ,由题意 2as ? ①, x s

e , 故t ?

1 , 2

切线方程方程: y ?

1 1 ? (x ? e) . 2 e

19.[答案](1)

x2 y2 3 2 3 ? ? 1 ;(2) ? k PA2 ? 4 3 4 2

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2a ? 3? ? ?a ? 2 x2 y2 b ? C : ? ? 1. 【解析】(1)由题意, ? 2 , 则 , 故双曲线 ? 2 4 3 4 3 b ? 3 ? ? ? ?1 ? ?a2 b2
(2)设点 P( x, y ) ,由题意, A1 (?2,0), A2 (2,0) ,

k PA1 ?

y y , , k PA2 ? x?2 x?2

故 k PA1 ? k PA2 ?

y y y2 3 ? ? 2 ? ( x ? 2) ( x ? 2) x ? 4 4
2 6 3

又 k PA1 ? ? ,

?1

?2

2? 3 2 3 , ] ? ,则 k PA2 ? [ 2 ? 4 2

20【答案】 (1)见解析(2)

(1)证明:? 四边形 ABCD 为菱形,? AC ? BD , 又 BE ? 平面ABCD ,? AC ? BE , 故 AC ? 平面BED 又 AC ? 平面AEC ,? 平面AEC ? 平面BED (2)解:

? BE ? 平面ABCD, 又BA ? BC,? Rt?BEA ? Rt?BEC ? AE ? EC , ? ?AEC为等腰Rt? 令AE ? a, S ?EAC ?
由题意,

a2 ? 3, ? a ? 6 2

? ? ?EAB
BE 3 ? , ? BE ? 2 , ? AB ? 2 AE 3

Rt ?EAB 中, sin ? ?

故 VE ? ABCD ?

1 1 2 6 ? S 菱ABCD ? BE ? ? 2 ? 2 ? sin 120? ? 2 ? 3 3 3
,∴a =2b
2 2

21【解析】 (1)椭圆 C1 的离心率 e= 又∵x 轴被曲线 ∴
2

截得的线段长等于 C1 的短轴长.

,得 b=1,a =2,可得椭圆 C1 的方程为
2

而抛物线 C2 的方程为 y=x ﹣1; (2)设直线 AB 方程为 y=kx,A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,

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则由

消去 y,得 x2﹣kx﹣1=0(4 分)

∴x1+x2=k,x1x2=﹣1,可得 y1+y2=k(x1+x2)=k2,y1y2=kx1?kx2=k2x1x2=﹣k2∵M 坐标为(0,﹣1) ,可得 , ∴ 因此, ,即 MA⊥MB =x1x2+y1y2+y1+y2+1=﹣1﹣k2+k2+1=0

22【解析】 (1)令 C 点坐标为 ? x, y ? ,则直线 AC 的斜率 k1 ?

y? 3 y? 3 ,直线 BC 的斜率 k 2 ? , x x

因 为 两 直 线 的 斜 率 之 积 为 m , 所 以 有 k1 k 2 ?

y? 3 y? 3 y2 ? 3 ?( )? ?m ,化简得到 x x x2

?

m 2 y2 x ? ? 1( x ? 0) ,所以 3 3

当 m ? ?1 时 , 轨迹 E 表示以(0,0)为圆心, 3 为半径的圆,且除去 0,? 3 , 0, 3 两点;

?

??

?

当 m ? ?1 时, 轨迹 E 表示焦点在 y 轴上的椭圆,且除去 0,? 3 , 0, 3 两点; 当 ? 1 ? m ? 0 时 , 轨迹 E 表示焦点在 x 轴上的椭圆,且除去 0,? 3 , 0, 3 两点; 当 m ? 0 时, 轨迹 E 表示焦点在 y 轴上的双曲线,且除去 0,?

?

??

?

?

?

?? ? 3 ?, ?0, 3 ? 两点;

3 x2 y2 ? ? 1( x ? 0) ,点 P (1, ) , (2)由题意曲线 C 为 2 4 3
设 E ( x1 , y1 ), F ( x2 , y 2 ) ,令直线 PE : y ? 联 立 椭 圆 方 程 ,

3 ? k ( x ? 1) , 2



?3 ? 4k ?x
2

2

3 3 ? 8k ( ? k ) x ? 4( ? k ) 2 ? 12 ? 0 2 2

,



x1 x P ?

4k 2 ? 12k ? 3 4k 2 ? 12k ? 3 4k 2 ? 12k ? 3 , 故 x ? x ? , 同理 , , 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
y 2 ? y1 ? x 2 ? x1 ? k ( x 2 ? 1) ? 3 3 ? [k ( x1 ? 1) ? ] 2 2 ? ? k ( x 2 ? x1 ) ? 2k ? 1 x 2 ? x1 x 2 ? x1 2

k EF ?

故直线 EF 斜率为为定值

1 2
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