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2018-2019版高中数学人教版A版必修五课件:§2.3 等差数列的前n项和(二)_图文

第二章 数 列 §2.3 等差数列的前n项和 (二) 学习 目标 1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前 n项和公式;了解等 差数列的一些性质. 2. 掌握等差数列前 n 项和的最值问题 .3. 理解 an 与 Sn 的关系,能根 据Sn求an. 栏目 索引 知识梳理 题型探究 当堂检测 自主学习 重点突破 自查自纠 知识梳理 自主学习 知识点一 等差数列前n项和及其最值 2.等差数列前n项和的最值 (1)在等差数列{an}中,当 a1>0,d<0 时,Sn 有最大值,使 Sn 取到最值 ? ?an≥0, 的 n 可由不等式组? 确定; ? ?an+1≤0 答案 当 a1<0,d>0 时,Sn 有 最小 值,使 Sn 取到最值的 n 可由不等式组 ? ?an≤0, ? 确定. ? ?an+1≥0 d? d 2 ? ? (2)因为 Sn=2n +?a1-2? ?n,若 d≠0,则从二次函数的角度看:当 d>0 ? ? 时,Sn 有 最小 值;当 d<0 时,Sn 有 最大 值;且 n 取最接近对称轴的 自然数时,Sn 取到最值. 答案 知识点二 数列中an与Sn的关系 对任意数列{an},Sn与an的关系可以表示为 ? ? S1 an=? S -S n-1 ? ? n ?n=1?, ?n≥2?. 答案 思考 解析 2n 若Sn=n2+n,则an=_____. n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-[(n-1)2+(n-1)]=2n, 当n=1时,a1=S1=12+1=2=2×1, ∴an=2n. 解析答案 知识点三 裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从 而实现求和. 常见的拆项方法: 1 1 1 (1) =n- , n(n+1) n+1 1 ? 1 1?1 =2?n-n+2?; n(n+2) ? ? 1 ? 1?1 ? - ? 1 n k? n+k? = n(n+k) ; 答案 1 (2) = n+1- n, n+1+ n 1 1 =2( n+2- n), n+2+ n 1 1 ( n + k - n ) = k ; n+k+ n 1 1 1 ( - ) 1 (3) = 2 2n-1 2n+1 . ?2n-1??2n+1? 答案 返回 题型探究 重点突破 题型一 例1 解 已知Sn求an 已知数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2n2+3n,试判断数列{an}是 ∵Sn=2n2+3n,∴当n≥2时, 不是等差数列. an=Sn-Sn-1=2n2+3n-2(n-1)2-3(n-1)=4n+1. 当n=1时,a1=S1=5=4×1+1. ∴n=1时,适合an=4n+1. ∴数列的通项公式是an=4n+1. 故数列{an}是等差数列. 反思与感悟 解析答案 跟踪训练1 解 本例中,若Sn=2n2+3n+1,试判断该数列是不是等差数列. ∵Sn=2n2+3n+1.∴n≥2时, an=Sn-Sn-1=2n2+3n+1-2(n-1)2-3(n-1)-1=4n+1. 当n=1时,a1=S1=6≠4×1+1. ? ?6,n=1, ∴an=? ? ?4n+1 ,n≥2, 故数列{an}不是等差数列. 解析答案 题型二 等差数列前n项和的最值问题 例2 在等差数列{an}中,若a1=25,且S9=S17,求Sn的最大值. 反思与感悟 解析答案 跟踪训练2 已知等差数列{an}中,a1=9,a4+a7=0. (1)求数列{an}的通项公式; 解 由a1=9,a4+a7=0, 得a1+3d+a1+6d=0,解得d=-2, ∴an=a1+(n-1)· d=11-2n. 解析答案 (2)当n为何值时,数列{an}的前n项和取得最大值? 解 方法一 a1=9,d=-2, n?n-1? Sn=9n+ 2 · (-2)=-n2+10n=-(n-5)2+25, ∴当n=5时,Sn取得最大值. 方法二 由(1)知a1=9,d=-2<0,∴{an}是递减数列. 11 令 an≥0,则 11-2n≥0,解得 n≤ 2 . ∵n∈N*,∴n≤5时,an>0,n≥6时,an<0. ∴当n=5时,Sn取得最大值. 解析答案 题型三 例3 和 Tn. 求数列{|an|}的前 n 项和 3 2 205 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=-2n + 2 n,求数列{|an|}的前 n 项 反思与感悟 解析答案 跟踪训练3 项和Tn. 已知等差数列{an}中,若S2=16,S4=24,求数列{|an|}的前n 解析答案 题型四 例4 1 +S . n 裂项相消法求和 1 1 等差数列{an}中, a1=3, 公差 d=2, Sn 为前 n 项和, 求S +S +… 1 2 反思与感悟 解析答案 解析答案 易错点 已知Sn求an忽略n=1的情况 已知数列{an}的前n项和为Sn=n2-1,则数列{an}的通项公式为an 例5 =________. 误区警示 解析答案 返回 当堂检测 1 2 3 4 5 1.已知数列{an}的前n项和Sn=n2,则an等于( D ) A.n 解析 B.n2 C.2n+1 D.2n-1 当n=1时,a1=S1=1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2= 2n-1, 又因a1=1符合an=2n-1,所以,an=2n-1(n∈N*). 解析答案 1 2 3 4 5 2. 已知 Sn 是等差数列 {an} 的前 n 项和,且 S6>S7>S5 ,有下列四个命题: ①d<0;②S11>0;③S12<0;④数列{Sn}中的最大项为S11,其中正确命 题的序号是( A.②③ C.①③ ) B.①② D.①④ 解析答案 1 2 3 4 5 3