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江苏教育学院附中2007-2008学年第一学期期中考试高二数学(理)试卷

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江苏教育学院附属高级中学 2007—2008 学年第一学期 高二数学(理)期中考试试题(2007 年 11 月)
一、选择题(本大题有 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.) 1.用二分法求方程 x ? 2 ? 0 的近似根的算法中,要用到的算法结构为(
2



A 顺序结构 B 条件结构 C 循环结构 D 以上都用 2.已知命题 P: “若 x+y=0,则 x,y 互为相反数”命题 P 的否命题为 Q,命题 Q 的逆命题为 R, 则 R 是 P 的逆命题的( ) A 逆命题 B 否命题 C 逆否命题 D 原命题 3.设有一个正方形网格,每个小正方形的边长为 4,用直径等于 1 的硬币投掷到此网格上,硬币 下落后与网格线没有公共点的概率为( ) A

1 4

B

3 4

C

9 16

D

7 16

I ?1 Wh i l e I ?8 I ? I ?2 S ? 2I ? 1 E n d Wh i l e P r i n tS
A.17 B.19 C.21 D.23 5.已知某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图如图所示,则甲、乙两人得分的中位 数之和是( ) A 62 B 63 C 64 D 65 甲 8 6 3 6 8 8 9 2 1 0 1 2 3 4 5 乙

4.根据如图伪代码,可知输出的结果 S 为(

)

4 3 3

2 5 1 4 0

5 4 6 9

1 6 7 9

6. 点 P 到点 A( ( A. ? )

1 1 ,0) ,B(a,2)及到直线 x ? ? 的距离都相等,若这样的点恰好只有一个,则 a 的值为 2 2
B

1 3 , 2 2

1 3 , 2 2

C

1 3 1 ? , , 2 2 2

D

1 1 ? , 2 2

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二、填空题(本大题有 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. ) 7.将一颗骰子掷 600 次,估计掷出的点数不大于 2 的次数大约是 ▲ .

8.某校高级职称教师 26 人,中级职称教师 104 人,其他教师若干人.为了了解该校教师的工资 收入情况,若按分层抽样从该校的所有教师中抽取 56 人进行调查,已知从其它教师中共抽取 了 16 人,则该校共有教师人. ▲ .

9.中心在原点,对称轴为坐标轴,离心率为 10.若抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点与双曲线

1 ,长轴长为 8 的椭圆方程为 2





x2 ? y 2 ? 1 的右焦点重合,则实数 p = 3





11.一组数据中的每个数据都减去 80 得一组新数据,若这组新数据的平均数是 1.2, 方差为 4.4 则原数据的平均数和方差分别为 ▲ . 12.命题“任意满足 x 2 ? 1 的实数 x,有 x>1”的否定是 ▲ . ▲ .

13.若 10 把钥匙中有两把能打开某锁,则从中任取 2 把能将该锁打开的概率为

14.已知抛物线 y 2 ? 4 x 上的任意一点 P,记点 P 到 y 轴的距离为 d ,对于给定点 A(4,5) ,则

| PA | ? d 的最小值为





15.双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 左支上一点 ( a, b) 到其渐近线 y ? x 的距离是 2 ,则 a ? b 的值为 ▲ .

16 . 为 激 发 学 生 学 习 兴 趣 , 老 师 上 课 时 在 黑 板 上 写 出 三 个 集 合 : A ? {x |

[] x ? 1 ? 0} , x

B ? {x | x 2 ? 3x ? 4 ? 0} ,C ? {x | log1 x ? 1} ;然后请甲、乙、丙三位同学到讲台上,并将“[]”
2

中的数告诉了他们,要求他们各用一句话来描述,以便同学们能确定该数,以下是甲、乙、丙三 位同学的描述,甲:此数为小于 6 的正整数;乙:A 是 B 成立的充分不必要条件;丙:A 是 C 成 立的必要不充分条件.若三位同学说的都对,则“[]”中的数为 ▲ .

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江苏教育学院附属高级中学 2007/2008 学年第一学期 高二数学(理)期中考试答卷纸
一.选择题答案: 题号 1 2 3 4 5 6 (2007 年 11 月)

座位号

答案 二.填空题答案: 7.__________________ ; 9.__________________ ; 11._________________ ; 8._______________________; 10.______________________; 12.______________________; 14.______________________; 16.______________________.

姓名

13._________________ ; 14._________________ ;

三.解答题(本大题有 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 12 分)将两颗正方体型骰子投掷一次,求: (1)向上的点数之和是 8 的概率; (2)向上的点数之和不小于 8 的概率.

班级

x 18.(本小题满分 12 分)已知 c ? 0 且 c ? 1 ,设 p :指数函数 y ? (2c ? 1) 在 R 上为减函数, q : 2 不等式 x ? ( x ? 2c) ? 1 的解集为 R .若 p 和 q 有且仅有一个正确,求 c 的取值范围.

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19. (本小题满分 12 分)某班 40 个学生平均分成两组, 两组学生某次考试的成绩情况如下表所示: 组别 第一组 第二组 平均数 90 80 标准差 4 6

求这次考试全班的平均成绩和标准差.( 注:平均数 x ? 标准差 s ?

x1 ? x2 ? ? ? xn , n

2 1? 1 2 2 2 ( x1 ? x) ? ( x2 ? x )2 ? ? ? ( xn ? x )2 ? ? ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) ? nx 2 ) ? ? ? n? n

?

?

20.(本小题满分 14 分)一条隧道的横断面由抛物线弧及一个矩形的三边围成,尺寸如图所示(单 位: m ) ,一辆卡车空车时能通过此隧道,现载一集装箱,箱宽 3 m ,车与箱共高 4.5m ,此 车是否能通过隧道?并说明理由.

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21.(本小题满分 14 分)给出 30 个数:1,2,4,7?,其规律是:第一个数是 1,第 2 个数比第 1 个数大 1,第 3 个数比第 2 个数大 2,第 4 个数比第 3 个数大 3,依此类推,要计算这 30 个 数的和,现已给出了该问题算法的流程图(如图所示) : (1)图中①处和②处应填上什么语句,使之能完成该题的算法功能; (2)根据流程图写出伪代码. 开 始 i ← 1 P← 1 s← 0 ①
是 否

s←s+p ②

线

i←i +1

输出 s 结 束





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2 .DO ? AB 2 于 O 点, OA ? OB ,曲线 E 过点 C ,动点 P 在 E 上运动,且保持 | PA | ? | PB | 的值不变 (1)建立适当的坐标系,求曲线 E 的方程; D (2) 过 D(0,2) 点的直线 l 与曲线 E 相交于不同的两 点M 、 C DM N ,且 M 在 D 、 N 之间,设 ? ? ,试确定 实数 ? DN
? 22. (本小题满分 16 分)如图, 在 Rt ?ABC 中,?CAB ? 90 ,AB ? 2 ,AC ?

的取值范围.
B A O

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2007-2008 学年第一学期期中考试 高二数学(理)答案
1.D 2.B 3.C 4.B 8.182 5.B
2

6.D 10.4 13.

7.200 次 11.81.2\4.4 14. 34 ? 1

9.

x y2 y2 x2 ? ? 1或 ? ?1 16 12 16 12

12.存在满足 x 2 ? 1 的实数 x,使得 x ? 1 15. ?

17 45

1 2

16.1

17.解:将两骰子投掷一次,共有 36 种情况,向上的点数之和的不同值共 11 种. (1)设事件 A={两骰子向上的点数和为 8}; 事件 A 1 ={两骰子向上的点数分别为 4 和 4}; 事件 A 2 ={两骰子向上的点数分别为 3 和 5}; 事件 A 3 ={两骰子向上的点数分别为 2 和 6}, 则 A1 与 A 2 、 A 3 互为互斥事件, 且 A= A 1 + A2 + A3 故 P( A) ? P( A1 ? A2 ? A3 ) ?

1 2 2 5 ? ? ? 36 36 36 36

(2)设事件 S={两骰子向上的点数之和不小于 8}; 事件 A={两骰子向上的点数和为 8}; 事件 B={两骰子向上的点数和为 9}; 事件 C={两骰子向上的点数和为 10}; 事件 D={两骰子向上的点数和为 11}; 事件 E={两骰子向上的点数和为 12}. 则 A, B, C, D, E 互为互斥事件, 且 S=A+B+C+D+E. P

5 1 1 1 1 ,P(B)= ,P(C)= ,P(D)= ,P(E)= , 9 12 18 36 36 5 1 1 1 1 5 故 P(S)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)+P(E)= + + + + = 36 9 12 18 36 12 5 5 答: (1)向上的点数之和是 8 的概率为 ; (2)向上的点数之和不小于 8 的概率为 . 12 36 18.解:当 p 正确时,
(A)=

? 函数 y ? (2c ? 1) x 在 R 上为减函数 ? 0 ? 2c ? 1 ? 1 , 1 ∴当 p 为正确时, ? c ? 1 ; 2
当 q 正确时, ∵不等式 x ? ( x ? 2c) ? 1 的解集为 R ,
2

∴当 x ? R 时, x ? (4c ? 1) x ? (4c ? 1) ? 0 恒成立.
2 2

∴ ? ? (4c ? 1) ? 4 ? (4c ? 1) ? 0 ,∴ ? 8c ? 5 ? 0
2 2

∴当 q 为正确时, c ?

5 . 8

由题设,若 p 和 q 有且只有一个正确,则

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?1 ? c ?1 ? 1 5 ?2 p q (1) 正确 不正确,∴ ? ∴ ?c? 2 8 ?c ? 5 ? 8 ? 1 ? 0?c? or c ? 1 ? ? 2 (2) q 正确 p 不正确∴ ? ∴c ? 1 ?c ? 5 ? 8 ?
∴综上所述,若 p 和 q 有且仅有一个正确, c 的取值范围是 ( , ] ? (1,?? ) 19. 解: 设第一组同学的分数为 ai (1 ? i ? 20) , 平均分为 a ; 第二组同学的分数为 bi (1 ? i ? 20) , 平均分为 b .

1 5 2 8

1 (a1 ? a 2 ? ? ? a 20 ) ? 90 ,∴ a1 ? a2 ? ? ? a20 ? 1800 20 同理: b1 ? b2 ? ? ? b20 ? 1600,
依题意得: 设全班同学的平均成绩为 X ,则 X ? 又

a1 ? a 2 ? ? ? a 20 ? b1 ? b2 ? ? ? b20 ? 85 40

2 1 2 2 2 (a1 ? a2 ? ? ? a20 ) ? a ? 4 20 2 2 2 2 2 2 ∴ a1 ? a2 ? ? ? a20 ? 162320 ,同理 b1 ? b2 ? ? ? b20 ? 128720 设全班分数的标准差为 s 2 1 2 2 2 2 2 2 s? (a1 ? a2 ? ? ? a20 ? b1 ? b2 ? ? ? b20 ) ? X 40 ? 51 .

20.解:如图,建立坐标系,则 A(-3,-3) ,B(3, -3) . 设抛物线方程为 x 2 ? ?2 py( p ? 0) , 将 B 点坐标代入,得 9 ? ?2 p ? (?3) ,

3 . ∴ 抛 物 线 方 程 为 2 x 2 ? ?3 y(?3 ? y ? o) . ∵车与箱共高 4.5m ∴集装箱上表面距 抛物线型隧道拱顶 0.5m . 设抛物线上点 D 的坐标为 ( x0 ,?0.5) ,2 3 2 则 x0 ? , 2 3 6 ∴ x0 ? ? ,∴ | DD' |? 2 | x0 |? 6 ? 3 ,故此车不能通过隧道. ?? 2 2 21.解: (1)① i ? 30 ② p ? p ? i
∴ p?

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i ?1 p ?1 s?0 While i ? 30 s?s? p (2)伪代码: p ? p?i i ? i ?1 End While P r int s End
22.解: (1)建立平面直角坐标系,如图所示. ∵ | PA | ? | PB |?| CA | ? | CB |? ∴动点 P 的轨迹是椭圆. ∵a ?

2 2 ? 22 ? ( ) 2 ? 2 2 2 2
x2 ? y2 ? 1. 2

2, b ? 1, c ? 1 ∴曲线 E 的方程是

(2)设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 ,代入曲线 E 方程, 得 (2k 2 ? 1) x 2 ? 8kx ? 6 ? 0 ,

? ?? ? (8k ) 2 ? 4(2k 2 ? 1) ? 6 ? 0, (1) ? 8k ? , (2) 设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y 2 ) ,则 ? x1 ? x 2 ? ? 2 2 k ? 1 ? 6 ? x1 x 2 ? 2 , (3) ? 2k ? 1 ? | DM | 1 ? ; ① l 与 y 轴重合时, ? ? | DN | 3 3 DM x1 2 ② l 与 y 轴不重合时,由(1)得 k ? .∵ ? ? , ? 2 DN x2 ∵ x2 ? x1 ? 0 或 x2 ? x1 ? 0 ∴ 0 ? ? ? 1 ,
∴ ∵

( x1 ? x2 ) 2 x1 x2 1 ? ? ? 2 ? ? ? ? 2, x1 x2 x2 x1 ?
( x1 ? x 2 ) 2 64k 2 ? ? x1 x 2 6(2k 2 ? 1)
32 3( 2 ? 1 ) k2
3 2 而k ? , 1 2 3(2 ? 2 ) k 16 1 16 1 ? ∴ 4 ? ? ? ? 2 ? ∴ ? ? ? 1. 3 ? 3 3

32

∴4 ?

∴ ? 的取值范围是 [ ,1) .

1 3

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