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河北正定中学2014届高三上学期第四次月考 数学试题 Word版含答案


2013-2014 学年度高三第四次月考 数 学 试 题
一 选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.设复数 z1 ? 3 ? 4i, z2 ? t ? i 且 z1 ? z2 ? R, 则实数 t 等于( A. ) D.-

4 3

B.

3 4

C. -

4 3

3 4

2.已知 m, n 分别是两条不重合的直线, a, b 分别垂直于两不重合平面 ? , ? ,有以下四个命题: ①若 m ? a, n // b , 且? ? ? , 则 m // n ; ②若 m // a, n // b , 且? ? ? , 则 m ? n ; ③若 m // a, n ? b, 且 ? // ? ,则 m ? n ;④若 m ? a, n ? b, 且 ? ? ? ,则 m // n .其中真命题的序号是( A.①② B.③④ C.①④ D.②③ )

2? ) ) 的图象,只需将函数 y ? sin 2x 的图象( 3 7? 7? A.向左平移 个长度单位 B. 向右平移 个长度单位 12 12 7? 7? C. 向左平移 个长度单位 D. 向右平移 个长度单位 6 6 ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ? ??? 4. 在 ?ABC 中,M 是 BC 的中点, AM=1,点 P 在 AM 上且满足 AP ? 2 PM ,则 PA ? ( PB ? PC )
3. 为得到函数 y ? cos(2x ? 等于( A. ? )

4 9

B. ?

4 3

C.

4 3
)

D.

4 9

1 5.在△ABC 中,tanA 是第 3 项为-4,第 7 项为 4 的等差数列的公差,tanB 是第 3 项为 ,第 3 6 项为 9 的等比数列的公比,则△ABC 是( A.等腰三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形

6. 一个几何体的正视图、侧视图、俯视图如图所示,则该几何 体的表面积和体积分别为( A. 2 2? ? 2? ? 4和 C. 2 2? 和 )

4 ? 3

B. 2 2? ? 2? 和 ? D. 2

4 3

4 ? 3
f ( x? )

8 2? 和 ? 3
果, 1 ) , x? 3 x ,? , (如 1

7. 已 知 函 数

s i? xn

f( ? 1 a ? )
A.

2 f ( ? 1 a ,则实数 ?) 0a 的取值范围是( )

? ??, ?2 ? ? ?1, ?? ?
D. (1, ??)

B. (1, 2)

C.

(??, ?2)

8.已知与函数 f ? x ? ? a

x ?1

? 1? a ? 0, a ? 1? 图像关于 y ? x 对称的函数的图象恒过定点 A ,

且点 A 在直线 mx ? ny ? 8 ? 0 上,若 m ? 0, n ? 0, 则 A. ?1 B. 1 C. 2

1 2 ? 的最小值为( m n
D. 2 3



?x ? y ? 6 ? 0 ? 9.已知 x, y 满足 ? x ? y ? 0 ,若 z ? ax ? y 的最大值为 3a ? 9 ,最小值为 3a ? 3 , ?x ? 3 ?
则a的范围为( A. a ? 1 ) B. a ? ?1 C. ?1 ? a ? 1 D. a ? 1 或 a ? ?1

10.一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度 v ? t ? ? 7 ? 3t ? 位: s , v 的单位: m / s )行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位; m )是( A. 1 ? 25ln 5 B. 8 ? 25ln

25 ( t 的单 1? t


11 3

C. 4 ? 25ln 5

D. 4 ? 50 ln 2

11. 三棱锥 P ? ABC 的四个顶点都在体积为

500? 的球的表面上, 底面 ABC 所在的小圆的面 3
) D. 9

积为 16? ,则该三棱锥的高的最大值为( A. 7 B. 7.5 C. 8

? x3 1 , ? x ?1 ? ? ? f (x ) ? ? x ? 1 2 12. 函 数 和 函 数 g ( x) ? a sin x ? a ? 1(a ? 0) , 若 存 在 ?? 1 x ? 1 , 0 ? x ? 1 6 ? 12 2 ? 6
x1 , x2 ? [0,1] 使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,则实数 a 的取值范围是(
A. ( , ] ) D.( , 2]

1 3 2 2

B. [1,2)

C.( 1, ]

3 2

1 2

二 填空题(每小题 5 分,共 20 分). 13. 如图, A1B1C1﹣ABC 是直三棱柱, ∠BCA=90° , 点 D1、 F1 分别是 A1B1、 A1C1 的 中 点 , 若 BC=CA=CC1 , 则 BD1 与 AF1 所 成 角 的 余 弦 值 是 ____________. 14, 已知 A(-2, 3), B(3, 2), 过点 P(0, -2)的直线 l 与线段 AB 没有公共点, 则直线 l 的斜率的取值范围是____________. 15.在三棱锥 P-ABC 中,给出下列四个命题: ① 如果 PA⊥BC,PB⊥AC,那么点 P 在平面 ABC 内的射影是?ABC 的垂心; ② 如果点 P 到?ABC 的三个顶点的距离都相等,那么点 P 在平面 ABC 内的射影是?ABC 的 内心;

③ 如果棱 PA 和 BC 所成的角为 60?,PA=BC=2,E、F 分别是棱 PB、AC 的中点,那么 EF=1; ④ 如果三棱锥 P-ABC 的各棱长均为 1,则该三棱锥在任意一个平面内的正投影(投影线垂直 1 投影面)的面积都不大于 ; 2 其中正确命题的序号是____________. 16.在 Rt?ABC 中, ?C ? 90? , AC ? BC ? 2, D 是 ?ABC 内切圆圆心,设 P 是⊙ D 外的 三角形 ABC 区域内的动点,若 CP ? ? CA ? ? CB ,则点 (? , ? ) 所在区域的面积为________. 三、解答题(共 70 分). 17.(本小题满分 10 分)
* 已知等差数列 ?an ? , S n 为其前 n 项的和, a5 ? 6 , S 6 ? 18 , n ? N .

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若 bn ? 3 n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项的和.
a

18.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? cos2 ?x ? 3 sin ?x ? cos?x (? ? 0) 的最小正周期是 ? . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调递增区间和对称中心; (Ⅱ)若 A 为锐角 ?ABC 的内角,求 f ( A) 的取值范围.

19.(本小题满分 12 分) 某商场销售某种商品的经验表明, 该商品每日的销售量 y (单位: 千克)与销售价格 x (单 位:元/千克)满足关系式 y ?

a 2 ? 10 ? x ? 6 ? ,其中 3 ? x ? 6 , a 为常数.已知销售价格为 5 x ?3

元/千克时,每日可售出该商品 11 千克. (Ⅰ) 求 a 的值; (Ⅱ) 若该商品的成品为 3 元/千克, 试确定销售价格 x 的值,使商场每日销售该商品所获 得的利润最大. 20.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 a ? 2 , b ? (Ⅰ)求 c 的值及 ?ABC 的面积 S ; (Ⅱ)求 sin(2 A ? C ) 的值.

7 , B ? 60? .

21.(本小题满分 12 分) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? PB ? PC ? AC ? 4, AB ? BC ? 2 2 (Ⅰ)求证:平面 ABC ⊥平面 APC (Ⅱ)求直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值; (Ⅲ) 若 动 点 M 在 底 面 三 角 形 ABC 上 , 二 面 角 的大小为 M ? PA ? C

? ,求 BM 的最小值. 6

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

1 2 1 ax ? (2a ? 1) x ? 2 ln x( ? a ? 1) . 2 2

(I)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)函数 f ( x) 在区间[1,2]上是否有零点,若有,求出零点,若没有,请说明理由; (Ⅲ)若任意的 x1 , x2 ∈(1,2)且 x1 ≠ x 2 ,证明: | f ( x2 ) ? f ( x1 ) |?

1 . (注: ln 2 ? 0.693) 2

高三第四次月考数学试题答案 1-5 BDAAB 6-10 ABBCC 11-12 CD 13.

30 5 4 14. (? , ) 15. ①③④ 10 2 3

16.

1 ? (3 ? 2 2)? 2

?a1 ? 4d ? 6, ? 17 . 解 : ( 1 ) 依 题 意 ? ………2 6?5 6a1 ? d ? 18. ? ? 2 a n ? 2n ? 4 .……5 分
(2)由(Ⅰ)可知 bn ? 3 数列,…7 分
2 n?4

分 解 得 ?

? a1 ? ?2, ? d ? 2.



bn +1 1 ? 9 ,所以数列 ?bn ?是首项为 ,公比为 9 的等比 bn 9

1 (1 ? 9n ) 1 9 ? (9n ? 1) 1? 9 72
18. 解: (1) f ( x) ?

数列 ?bn ?的前 n 项的和

1 n 分 ( 9 ? 1.………………10 ) 72

1 ? cos 2?x 3 ? 1 ? sin 2?x ? cos(2?x ? ) ? 2 2 3 2 , ………2 分

T?

2? ? 1 ? ? ? ? 1, ? f ( x) ? cos(2 x ? ) ? , 2? 3 2 ,

………4 分

? ? ? 2k ? ? 2x ?

?
3

? 2k ? , k ? Z , ? ?

2? ? ? k? ? x ? ? ? k? 3 6
,

函数 f ( x) 的单调增区间为 ??

? ? 2? ? ? k? ,? ? k? ? , k ? Z 6 ? 3 ?
? k? ? k? 1 ? 对称中心为( ? , ), k ? Z 2 12 2 2

………6 分

令2 x ?
(2)

?
3

?

?
2

? k? , x ?

?
12

………8 分

0?A ?

?
2

,? ?

1 ? 1 ? cos(2A ? ) ? ? 1 所 以 f ( A) 的 取 值 范 围 为 2 3 2 ? 1 ………12 分 ?? 2 ,1) ?

a ? 10 ? 11 ? a ? 2 19.解:(Ⅰ)因为 x ? 5 时 y ? 11 ,所以 2 ;……………2 分 y?
(Ⅱ)由(Ⅰ)知该商品每日的销售量

2 ? 10( x ? 6)2 x ?3 ,所以商场每日销售该商品所获得的

利润:

f ( x) ? ( x ? 3)[

2 ? 10( x ? 6)2 ] ? 2 ? 10( x ? 3)( x ? 6)2 ,3 ? x ? 6 x ?3 ,……………4 分
……………7 分

2 ? f ?( x) ? 10 ?? x ? 6? ? 2 ? x ? 3?? x ? 6 ?? ? 30 ? x ? 4 ?? x ? 6 ? , ? ?
/

令 f ( x) ? 0 得 x ? 4 ,或 x ? 6 (舍去) ,函数 f ( x) 在 (3, 4) 上递增,在 (4,6) 上递减,所以 当 x ? 4 时,函数 f ( x) 取得最大值 f (4) ? 42 .………11 分 答:当销售价格 x?4 时,商场每日销售该商品所获得的利润最大,最大值为 42. ……………12 分

20. 解 : ( Ⅰ ) ? a ? 2 , b ?

7 , B ? 60? , 由 余 弦 定 理 可 得 :

b2 ? a 2 ? c2 ? 2ac cos B .

………2 分 分 ?c ? 2c ? 3 ? 0 .
2

?7 ? c 2 ? 4 ? 2 ?c ? 2 ?

? c ? 3.

1 .3 2

c ? 3 或 c ? ?1 ( 舍 ) .

…4 分 …6 分

1 3 3 3 1 ? . ? S ? ac sin B ? ? 3 ? 2 ? 2 2 2 2
(Ⅱ)在 ?ABC 中, b =

7 , B = 60 ,

?

7 2 = . sin 60° sin A 2 7 . 7

…8 分

? sin A =

21 . 7

…9 分

? a < b , ? A 为锐角.? cos A =
A + C = 180? B = 120
A) =

…10 分 ,

?
? sin (2 A + C ) = sin (120?

3 1 21 cos A - sin A = . …12 分 2 2 14

21.解: (1)取 AC 中点 O,因为 AP=BP,所以 OP⊥OC 由已知易得三角形 ABC 为直角三角形,∴OA=OB=OC,⊿POA≌⊿POB≌⊿POC,∴OP⊥OB,∴OP⊥平面 ABC, ∵OP 在平面 PAC 中,∴平面 ABC ⊥平面 APC . … …4 分 (2)以 O 为坐标原点,OB、OC、OP 分别为 x、y、z 轴建立如图所示空间直角坐标系.由已知 得 O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0, 2 3 ), ……5 分

∴ BC ? (?2,2,0), PB ? (2,0,?2 3 ), AP ? (0,2,2 3 ) 设 平 面 PBC 的 法 向 量 n1 ? ( x, y, z ) , 由

?

?

?

BC ? n1 ? 0, PB ? n1 ? 0 得方程组:
? ?? 2 x ? 2 y ? 0 ,取 n1 ? ( 3 , 3 ,1) ? ?2 x ? 2 3 z ? 0

A

O

C

y

B

x
……6 分



cos ? AP, n1 ??

?

?

21 7 .
21 7

∴直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值为
? ?

.

……8 分

(3)由题意平面 PAC 的法向量 n 2 ? OB ?( 2,0,0) , 设平面 PAM 的法向量为

n3 ? ( x, y, z ), M (m, n,0)
∵ AP ? (0,2,2 3 ), AM ? (m, n ? 2,0) 又因为 AP ? n3 ? 0, AM ? n3 ? 0
? ∴ ?2 y ? 2 3 z ? 0 ?mx ? ( n ? 2) y ? 0

.



n3 ? (

?? ? ?? ? 3 3 (n ? 2) ? (n ? 2) 2 ? 4m2 ? n ? 2 ? 2m ,? 3 ,1) . cos ? n2 , n3 ?? 2 m


6 4 2 BM ? (m ? 2)2 ? n2 ? 5m2 ? 12m ? 8 ? 5(m ? ) 2 ? 5 5

BM

min

?

2 5 5

, 此 时

6 2 M ( , , 0) ……12 分 5 5
22. 解 :

f ?( x) ? ax ? (2a ? 1) ?

2 x

( x ? 0)

.







f ?( x) ?

(ax ? 1)( x ? 2) ( x ? 0) . x

……………2 分 在区间 (0, ) 和 (2, ??) 上 , f ?( x) ? 0 ;在区间 ( , 2) 上

1 1 ? ? a ? 1 , ?1 ? ? 2 , a 2
f ?( x) ? 0 ,

1 a

1 a

故 f ( x) 的单调递增区间是 (0, ) 和 (2, ??) ,单调递减区间是 ( , 2) . …………4 分 (Ⅱ)先求

1 a

1 a

f ( x) 在 x ? [1, 2] 的最大值.由(Ⅰ)可知,



1 1 1 ? a ? 1 时, f ( x) 在 [1, ] 上单调递增,在 [ , 2] 上单调递减, 2 a a

故 f ( x) max ? f ( ) ? ?2 ? 由a ?

1 a

1 ? 2ln a .………………6 分 2a

1 1 1 可知 ln a ? ln ? ln ? ?1 , 2ln a ? ?2 , ?2ln a ? 2 , 2 2 e
故 不 存 在 符 合 条 件 的

所 以 , ?2 ? 2ln a ? 0 , f ( x) max ? 0 ,

a

, 使 得

f (x ? ) . 0 ………………8 分
(Ⅲ)当

1 1 1 ? a ? 1 时, f ( x) 在 [1, ] 上单调递增,在 [ , 2] 上单调递减, 2 a a

只需证明

1 1 1 1 f ( ) ? f (1) ? , f ( ) ? f (2) ? 都成立, a 2 a 2

也可得证命题成立.………………10 分

1 3a 1 f ( ) ? f (1) ? ? ? 1 ? 2ln a a 2 2a
设 g (a) ?

3a 1 (3a ? 1)(a ? 1) ? ? 1 ? 2ln a , g ?(a ) ? ? 0, 2 2a 2a 2

1 1 5 1 ? g (a ) 在 ( ,1) 上是减函数, g (a) ? g ( ) ? 2ln 2 ? ? 2 2 4 2
1 1 f ( ) ? f (2) ? 2a ? ? 2ln 2a a 2a
(2a ? 1) 2 1 ?0 ? 2ln 2a , h?( a ) ? 设 h( a ) ? 2a ? 2a 2 2a

1 3 1 1 ? h(a ) 在 ( ,1) 上是增函数, h(a) ? h(1) ? ? 2ln 2 ? ? 1 ? ln 4 ? 2 2 2 2
综上述命题成立. ………………12 分 另解:当

1 2 ? a ? 1 时, f ?( x) ? ax ? ? (2a ? 1) , x ? (1, 2) x 2
2 2 ) ( ,2) 上单调递减,在 上单调递增, a a

( 1, f ?( x) 在

f ?(1) ? 1 ? a ? 0 , f ?(2) ? 0 , f ?(

2 2 2 ) ? ?2a ? 2 2a ? 1 ? ?2( a ? ) a 2

1 1 2 1 1 ? ? a ? 1 ,? 0 ? f ?(1) ? , f ?( ) ? 3 ? 2 2 ? ? .………10 分 2 2 a 3? 2 2 2
由导数的几何意义有对任意 x1 , x2 ? (1, 2) , x1

? x2

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?

f ( x2 ) ? f ( x1 ) 1 ? ( x) ? .…………12 分 ? f max x2 ? x1 2


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