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浙江省宁波市慈溪实验中学2012-2013学年九年级第一学期期中考试数学试卷

宁波市初三数学试卷
一、选择题(每小题 3 分,共 36 分) 1.反比例函数 y ?

2 的图象在( x

) C. 第一、二象限 ) D. (-1,-3) ) D. 第三、四象限

A. 第一、三象限

B. 第二、四象限

2.二次函数 y ? 2( x ? 1)2 ? 3 的图象的顶点坐标是(

A. (-1,3) B. (1,3) C. (1,-3) 3. 如图,A、B、C 是⊙O 上的三点,已知 ?O ? 60? ,则 ? C ? ( A. 20? B. 25? C. 30? D. 45?
AB 的长是( 4. 如图,⊙0 的半径为 3,圆心角∠AOB=120°,则 ?



A. π B.2π C.3π D.4π 5. 如图,RtΔ ABC 中,∠C=90°,BC=3,AC=4,若 Δ ABC∽Δ BDC,则 CD=( A.2 B.

).

3 2
O B

C.

4 3
C D A
(第5题)

D.

9 4

O

C

A

B

A
(第4题)

B
(第7题)

(第 3 题)

6.在下列命题中 :① 三点确定一个圆; ② 同弧或等弧所对圆周角相等; ③ 所有直角三角形都相似; ④ 所有菱形都相似; 其中正确的命题个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 7. 如图,把一个长方形划分成二个全等的小长方形,若要使每一个小长方形与原长方形相似,则原长 方形长和宽之比为( ) A. 2 :1 B . 3:1 C.
2

2 :1

D.

3 :1

8.在平面直角坐标系中,如果将抛物线 y=3x 先向左平移 1 个单位,再向上平移 2 个单位, 那么所得的新抛物线的解析式是 ( ) 2 2 2 2 A.y=3(x + 1) +2 B.y=3(x-1) + 2 C.y=3(x-1) -2 D.y=3(x + 1) -2 0 9. 如图,已知∠ACB=∠CDB=90 , 若添加一个条件,使得△BDC 与 A B △ABC 相似,则下列条件中不符合要求 的是( ) ..... A. ∠ABC=∠BCD C. B. ∠ABC=∠CBD D. AB∥CD
C (第9题) C D D

AC AB ? BC BD

⌒ 的度数为 280°,D 是由弦 AB 与优弧ACB ⌒ 所围成 10. 如图,优弧ACB 的弓形区域内的任意点,连接 AD、BD.∠ADB 的度数范围为( ) A. 0°<∠ADB<90° B. 80°<∠ADB<180° C. 40°<∠ADB<180° D. 40°<∠ADB<140° 11. 如图,已知矩形 OABC 的面积为 25,它的对角线 OB 与双曲线 y ?

A

B

(第10题) k (k>0)相交于点 G,且 OG: x

- 1 -

GB=3:2,则 k 的值为( A.15 B.

) C.

9 2

185 4

D. 9

12.如图二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c 的顶点在第四象限,且经过点(0,-2)、(-1,0), 则 y=a+b+c 的取值范围是( ) A..-2<y<0 B.0<y<2

C.-4<y<0

D.0<y<4

(第11题)

(第12题)

二、填空题:(每小题 3 分,共 18 分) 13. 若 2 x ? 3 y ,则

x ? y


O

14. 已知⊙O 的半径等于 2cm,圆心角∠AOB=120 ,则弦 AB=
2

cm。 .

15、己知关于 x 的二次函数 y ? 3x ? 2x ? m ? 2 的图象经过原点,则 m = 16.如图,在△ABC 中,EF∥BC,AE=2BE,则△AEF 与△ABC 的面积比为________.

17.如图,已知矩形 ABCD 中,AD=2AB=2,以 B 为圆心,以 BA 为半径作圆弧交 CB 的延长线于 E,则 图中阴影部分的面积是 . A D
y

D

A B E 图 2 第 18 题 C x

E
(第16题)

B
(第17题)

F

C

O

6 1 18. 如图,已知直线 y ? ? x ? m 分别与 x、y 轴交于点 C、 D ,与反比例函数 y ? 的图象在第一象 2 x 限内交于 A、 B 两点, AE ? x 轴于 E , BF ? y 轴于 F , EF ? 5 ,点 P 是 x 轴正半轴上一点,且 ∠APB 为直角,则 P 点的坐标为 . 三、解答题(本题共 8 小题,共 66 分)
19. (本题 6 分)已知直线 y=2x 经过点 P(1, a ),且点 P 在反比例函数 y ? 求反比例函数的解析式. 20. (本题 6 分)如图,⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD,垂足 P 是 OB 的中点,
k 的图象上. x

A

CD=6 cm,求半径 OB 的长.

O D
- 2 -

·

P

C B

21. (本题 8 分)如图,点 E 是矩形 ABCD 中 CD 边上一点, △BCE 沿 BE 折叠为△BFE,点 F 落在 AD 上. (1) 求证:△ABF∽△DFE (2) 若△BEF 也与△ABF 相似,请求出∠BEC 的度数 .

A

F

D E

B
第 22题图

C

22. (本题 6 分)正方形网格中,小格的顶点叫做格点.三个顶点都在网格上的三角形叫做格点 三角形.小华已在左边的正方形网格中作出了格点△ABC.请你在右边的两个正方形网格 中各画出一个不同的格点三角形,使得三个网格中的格点三角形都相似(不包括全等).

A

B C 23.(本题 9 分)如图,AB 是⊙O 的直径,BE⊥CD 于 E。 (1)求证:AB·BE=BC·BD (2)若 BC=12 , BD=5,BE=4, 求⊙O 的直径。
O C A

B

E

D

24. (本题 9 分) 今年十一黄金周,由于 7 座以下小型车辆免收高速路通行费,使汽车租赁市场需求旺 盛。某汽车租赁公司拥有 2O 辆汽车。据统计,当每辆车的日租金为 400 元时,可全部租出;当租出 的车辆每减少 1 辆,每辆车的日租金将增加 50 元,公司平均每日的各项支出共 4800 元.设公司每 日租出 x(x≤20)辆车时,日收益为 y 元.(日收益=日租金收入一平均每日各项支出)(1)公司每日租 出 x(x≤20) 辆车时,每辆车的日租金增加为_______元;此时每辆车的日租金为__________元。 (用含 x 的代数式表示); (2)当每日租出多少辆时,租赁公司日收益最大?最大是多少元? 25.(本题 10 分)类比、转化、从特殊到一般等思想方法,在数学学习和研究中经常用到, 如下是一个案例,请补充完整. 原题:如图 1,在□ABCD 中,点 E 是 BC 边上的中点,点 F 是线段 AE 上一点,BF 的延长 线交射线 CD 于点 G,若 (1)尝试探究 在图 1 中,过点 E 作 EH ∥AB 交 BG 于点 H,则 (2)类比延伸

CD AF ? 3 ,求 的值. EF CG

AB = EH



CG = EH



CD = CG

.

- 3 -

如图 2,在原题的条件下,若 则

AF ? m (m>0) , EF

CD 的值是 CG

(用含 m 的代数式表示) ,试写出解答过程.

(3)拓展迁移 如图 3,梯形 ABCD 中,DC∥AB,点 E 是 BC 延长线上一点,AE 和 BD 相交于点 F, 若

AF AB BC ? a, ? b(a ? 0, b ? 0) ,请直接写出 的值(用含 a , b 的代数式表示). EF CD BE

26. (本题 12 分)如图 1,已知抛物线 y=-x +b x+c 经过点 A(1,0),B(-3,0) 两点,且与 y 轴交 于点 C. (1) 求 b,c 的值。 (2)在第二象限的抛物线上,是否存在一点 P,使得△PBC 的面积最大?求出点 P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若不存在,请说明理由. (3) 如图 2,点 E 为线段 BC 上一个动点(不与 B,C 重合),经过 B、E、O 三点的圆与过点 B 且垂 直于 BC 的直线交于点 F,当△OEF 面积取得最小值时,求点 E 坐标. y y

2

C E B O A x B O

C

A x

F
图1 图2

- 4 -

参考答案
一、选择题(每小题 3 分,共 36 分) 题号 答案 1 A 2 B 3 C 4 C 5 D 6 B 7 C 8 A 9 C 10 C 11 D 12 C

二、填空题:(每小题 3 分,共 24 分) 13.

3 4 1 ? ? , 18.(3,0)或(5,0) , 14. 2 3 , 15. m=2 ,16. , 17. 2 9 2 4

三、解答题(本题共 8 小题,共 66 分) 19. y ?

6 x

20. OB= 2 3

21. (1)证明:∵四边形 ABCD 是矩形 0 ∴∠A=∠D=∠C=90 ………………. (1 分) ∵⊿BCE 沿 BE 折叠为⊿BFE 0 ∴∠BFE=∠C=90 0 0 ∴∠AFB+∠DFE=180 -∠BFE=90 0 又∠AFB+∠ABF=90 ∴∠ABF=∠DFE ………………… (3 分) ∴⊿ABE∽⊿DFE …………….… (4 分) (2)若△BEF 也与△ABF 相似,由于∠AFB 不可能等于∠FBE, 0 因此只能有角∠ABF==∠FBE=∠EBC=30 ………………. (6 分) 0 ∵∠C=90 0 0 0 ∴∠BEC=90 -30 =60 ………………. (8 分) 22. 画对一个得 3 分 ,其他画得正确的也得分

(答案 1) (原题) 23.(1)证明:连结 AC ∵AB 是⊙O 的直径 0 ∴∠ACB=90 ………………. (2 分) ∵BE⊥CD 0 ∴∠BED=90 ∴∠ACB=∠BED ∵∠A=∠D ∴⊿ABC∽⊿DBE ………………. (4 分) ∴

(答案 2)

AB BC ? BD BE
………………. (6 分)
- 5 -

∴AB·BE=BC·BD

(2) AB=15 ………………. (9 分) 24. (1) 50 (20-x) , 1400-50x; ………………. (4 分) 2 2 (2) y=x(-50x+1400)-4800=-50x +1400x-4800=-50(x-14) +5000. ……(7 分) 当 x=14 时,在 0≤x≤20 范围内,y 有最大值 5000. ………(8 分) ∴当日租出 14 辆时, 租赁公司的日收益最大,最大值为 5000 元. ………… (9 分) 25.(1)

CD 3 AB CG = 3 , =2 , = ………………. (3 分) EH EH CG 2 m (2) 解答过程:作 EH∥AB 交 BG 于点 H,则△ EHF∽△ABF 2 AB AF ? ? m, AB ? mEH ∵AB=CD,∴ CD ? mEH ∴ EH EF CG BC ? ? 2 ,∴CG=2EH ∵EH∥AB∥CD,∴△BEH∽△BCG ∴ EH BE CD mEH m ? ? . ∴ …………. (7 分) CG 2 EH 2
(3) ab …………. (10 分)

26. (1) b=-2,c= 3 ………………. (4 分) (2)存在。理由如下: ………………………(5 分) 设 P 点 ( x, ? x2 ? 2x ? 3)

(?3 ? x ? 0)
2

3 ? 27 3? 3 2 9 ∵S△BPC= - x ? x ? - ? x ? ? ? ………………(7 分) 2 2 2 8 ? 2?
3 27 时, ∴ S?BPC 最大= ………(8 分) 2 8 3 15 3 15 2 当 x ? ? 时, ? x ? 2 x ? 3 ? ∴点 P 坐标为 ( ? , ) ……………(9 分) 2 4 2 4
当x?? (3)∵ OB=OC=3∴∠OBC=∠OCB=45 ,而∠OEF=∠OBF=45 , ∠OFE=∠OBE=45 , O O ∴∠OEF=∠OFE=45 , ∴OE=OF, ∠EOF=90 ……………(10 分) ∴ S ?OEF ?
O O O

1 OE ? OF =OE2 ∴当 OE 最小时,△OEF 面积取得最小值 2
3 3 , ) 2 2
……………(12 分)

∵点 E 在线段 BC 上, ∴当 OE⊥BC 时,OE 最小 此时点 E 是 BC 中点∴ E( ?

2 2 2 2 另:可设 E ( x, x ? 3) , OE ? x ? ( x ? 3) = 2 x ? 6 x ? 9

1 9 3 9 OE ? OF = x 2 ? 3 x ? = ( x ? ) 2 ? 2 2 2 4 3 3 3 3 3 ∴当 x ? ? 时, S ?OEF 取最小值,此时 x ? 3 ? ? ? 3 ? ,∴ E( ? , ) 2 2 2 2 2
∴ S ?OEF ?

- 6 -