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2011年甘肃省河西五市部分普通高中2011届高三第一次联考试题数学文

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2011 年甘肃省部分普通高中高三第一次联合考试 文科) 数学试题(文科)
命题学校 甘肃省张掖市第二中学 命题教师 吴佩禄 蔡迪 刘煌

小题, 在每小题给出的四个选项中只有一个选项 一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中只有一个选项 选择题( 是符合题目要求的. ) 是符合题目要求的. 1.已知集合 A = {0,1, 2, 3} ,集合 B = { x | x = 2 a, a ∈ A} ,则( . A. A I B = A . B. A I B ? A .
?1

) D. A I B .

C. A U B = B .

?A

2.已知函数 y = f ( x) 的反函数 f . A.1 . B. 3 .

( x) = x ? 1 ,则 f (2) 等于
C. 5 . D.10 .

为等差数列, 项和, 3.设 {an } 为等差数列, Sn 为其前 n 项和,且 a3 + a5 = 4 ,则 S7 等于 . A.13 . 4.函数 y = tan( x + . A. ( ? . C. ( ? . B.14 . C.15 . D.16 .

π
5

) 的单调递增区间是
B. ( ? . D. ( ? .

π
2

+ kπ ,

π
2

+ kπ ), k ∈ Z

7π 3π + kπ , + kπ ), k ∈ Z 10 10

3π 7π + kπ , + kπ ), k ∈ Z 10 10

π
5

+ kπ ,

π
5

+ kπ ), k ∈ Z

5.“ a = ?1 ”是“直线 a 2 x ? y + 6 = 0 与直线 4 x ? ( a ? 3) y + 9 = 0 互相垂直 的 . 互相垂直”的 是 直线 A.充分不必要条件 . C.充要条件 . A.若 l ⊥ α , α ⊥ β ,则 l ? β . C.若 l ⊥ α , α / / β ,则 l ⊥ β . B.必要不充分条件 . D.既不充分也不必要条件 . B.若 l / /α , α / / β ,则 l ? β . D.若 l / /α , α ⊥ β ,则 l ⊥ β .

6.设 α , β 是两个不同的平面, l 是一条直线,以下命题正确的是 . 是两个不同的平面, 是一条直线,

r r r r r r 7.已知向量 a = (2,1), a ? b = 10,| a + b |= 5 2, 则 | b | = .
A. 5 . B. 10 .

C.5 .

D.25 .

8.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是 BB1、CC1 的中点,则 AE、BF 所成的角的余弦值是 . 的中点, 、 、 A. ? .

1 5

B. .

1 5

C. .

2 6 5

D. .

2 5

9.设两个正数满足 x + y = 1 ,则 . A. 24 .
2

4 9 + 的最小值为 x y
C. 25 . D.1 .

B. 26 .
2

的左、右焦点, 在椭圆上, 10.F1、F2 分别是椭圆 x + 2 y = 1 的左、右焦点,点 P 在椭圆上,线段 PF2 与 y 轴的交点为 .

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M,且 F1 M = , A. .

uuuur

1 uuuur uuur ( F1 F2 + F1 P ) ,则点 M 到坐标原点 O 的距离是 2
B. .

1 4

1 2

C.1 .

D.2 .

11.下列四个命题 . 分别和两条异面直线均相交的两条直线一定是异面直线. ① 分别和两条异面直线均相交的两条直线一定是异面直线. 一个平面内任意一点到另一个平面之距离均相等,那么这两个平面平行. ② 一个平面内任意一点到另一个平面之距离均相等,那么这两个平面平行. 一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面, ③ 一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,则这两个二面角的平 面角相等或互补. 面角相等或互补.
*K*s*5*u

过两异面直线外一点能作且只能作出一条直线和这两条异面直线同时相交. ④ 过两异面直线外一点能作且只能作出一条直线和这两条异面直线同时相交.其中正确命 题的个数是 A.1 . B.2 . C.3 . D.4 .

12.有下列数组排成一排: .有下列数组排成一排: 成一排
1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 5 4 3 2 1 ( ),( , ),( , , ), ( , , , ),( , , , , ),LL 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5

如果把上述数组中的括号都去掉会形成一个数列: 如果把上述数组中的括号都去掉会形成一个数列:
1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 5 4 3 2 1 , , , , , , , , , , , , , , ,LL 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5

有同学观察得到
7 57 A. .

63 × 64 = 2016 ,据此,该数列中的第 2011 项是 据此, 2
B. .
6 58

C. .

5 59

D. .

4 60

(本大题共 小题, 把答案填在答题卡中相应的横线上) 二、填空题: 本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡中相应的横线上) 填空题: ( 把答案填在答题卡中相应的横线上
?x ? y + 5 ≥ 0 ? 13.已知实数 x, y 满足 ? x + y ≥ 0 ,则 z = x ? 2 y 的最小值是 的最小值是 . ? x≤3 ?



14.曲线 y = 2 ? .

1 2 1 x 与 y = x 3 ? 2 在交点 (2, 0) 处的切线的夹角大小为 2 4



15.奇函数 f ( x ) 满足对任意 x ∈ R 都有 f (2 + x ) + f (2 ? x ) = 0 ,且 f (1) = 9 ,则 .

f (2010) + f (2011) + f (2012) 的值为
16.已知 P 为双曲线 .

.

x2 y 2 ? = 1 上的动点,点 M 是圆 ( x + 5)2 + y 2 = 4 上的动点,点 N 是圆 上的动点, 上的动点, 9 16

( x ? 5) 2 + y 2 = 1 上的动点,则 | PM | ? | PN | 的最大值是 上的动点,

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(本大题共 小题, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 三、解答题: 本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 解答题: ( ) 17. 本小题满分 10 分) . ( 在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,向量

u r u r r 12 r p = (1 ? sin A, ), q = (cos 2 A, 2sin A) ,且 p // q .*K*s*5*u 7
的值; (Ⅰ)求 sin A 的值; (Ⅱ)若 b = 2, ?ABC 的面积为 3 ,求 a .

18. 本小题满分 12 分) . (本小题满分 ( 满足: 已知等差数列 {an } 满足: a3 = 7 , a5 + a7 = 26 . {an } 的前 n 项和为 Sn . ( Ⅰ ) 求 an 及 S n ; (Ⅱ)令 bn=

1 ,求数列 (n ∈ N*) 求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . , an ? 1
2

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19. 本小题满分 12 分) . (本小题满分 ( 如图, , , , 、 、 如图, DC ⊥ 平面 ABC,EB//DC,AC=BC=EB=2DC=2,∠ACB = 90° ,P、Q 分别为 DE、 AB 的中点。 的中点。 (Ⅰ)求证:PQ//平面 ACD; 求证: 平面 ; 的体积; (Ⅱ)求几何体 B—ADE 的体积; 所成锐二面角的正切值。 (Ⅲ)求平面 ADE 与平面 ABC 所成锐二面角的正切值。

20. (本小题满分 12 分) 万元的价格销售某种化工产品 价格销售某种化工产品, 某公司以每吨 10 万元的价格销售某种化工产品,每年可售出该产品 1000 吨,若将该产品 每吨的价格上涨 x%,则每年的销售数量将减少 mx%,其中 m 为正常数. , , 为正常数 (Ⅰ)当 m =

1 该产品每吨的价格上涨百分之几,可使销售的总金额最大? 时,该产品每吨的价格上涨百分之几,可使销售的总金额最大? 2

的取值范围. (Ⅱ)如果涨价能使销售总金额增加,求 m 的取值范围 *K*s*5*u 如果涨价能使销售总金额增加,

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21. 本小题满分 12 分) . (
2 已知抛物线 C: y = 2 px ( p > 0) 上横坐标为 4 的点到焦点的距离为 5.

的方程; (Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ) 设直线 y = kx + b 与抛物线 C 交于两点 A( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y 2 ) , | y1 ? y 2 |= a( a > 0 , 且 为常数) 过弦 轴的直线交抛物线于点 , 且 a 为常数).过弦 AB 的中点 M 作平行于 x 轴的直线交抛物线于点 D,连结 AD、BD 、 求证: 得到 ?ABD .求证: a k = 16(1 ? kb) ; 求证
2 2

22. 本小题满分 12 分) . ( 设函数 f ( x ) = ?

1 3 x + 2ax 2 ? 3a 2 x + 1, 0 < a < 1. 3

的极大值; (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的极大值; 成立( 的导函数) (Ⅱ)若 x ∈ [1 ? a,1 + a ] 时,恒有 ? a ≤ f ′( x ) ≤ a 成立(其中 f ′ ( x ) 是函数 f ( x ) 的导函数) , 的取值范围. 试确定实数 a 的取值范围.*K*s*5*u

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2011 年甘肃省部分普通高中高三第一次联合考试数学答案(文科) 年甘肃省部分普通高中高三第一次联合考试数学答案(文科)
一、DCBBA 二、 13. ?13 . CCBCA AB*K*s*5*u 14. .

π
4

15. ?9 .

16. 9 . (2 分) (4 分) (5 分) (6 分) (7 分) (8 分) (9 分)

u r r
三、 17. Ⅰ)Q p // q . (



12 cos 2 A = (1 ? sin A) ? 2sin A ,…………………… 7

∴ 6(1 ? 2sin 2 A) = 7 sin A(1 ? sin A) , 5sin 2 A + 7 sin A ? 6 = 0 ,………… ∴ sin A = 3 . (sin A = ?2舍) 5
……………………………………………

(Ⅱ)由 S ?ABC =

1 bc sin A = 3, b = 2 ,得 c = 5 ,…………………………………… 2 4 5
……………………………………

又 cos A = ± 1 ? sin 2 A = ±

∴ a 2 = b 2 + c 2 ? 2bc cos A = 4 + 25 ? 2 × 2 × 5 cos A = 29 ? 20 cos A ,………
当 cos A =

4 时, a 2 = 13, a = 13 ;………………………………………… 5

当 cos A = ?

4 2 时, a = 45, a = 3 5 .…………………………………………… (10 分) 5
…………………………… (1 分)

18. (Ⅰ)设等差数列 {an } 的首项为 a1 ,公差为 d,

Q a3 = 7, a5 + a7 = 26,∴ a1 + 2d = 7, 2a1 + 10d = 26, 解得:a1 = 3, d = 2, ………(4 分)

故an = 2n + 1, sn = n(n + 2) ……………………………………………………
(Ⅱ)Q a n = 2n + 1,Q a n ? 1 = 4n( n + 1) ,故 bn =
2

(6 分) (8 分)

1 1 1 1 = ( ? )… 4n(n + 1) 4 n n + 1

Tn = b1 + b2 + ....... + bn =

1 1 1 1 1 1 1 1 n (1 ? + ? + ....... + ? ) = (1 ? )= 4 2 2 3 n n +1 4 n + 1 4(n + 1) n ……………………………………… 4(n + 1)
(12 分)

所以数列 {bn } 的前 n 项和 Tn =

19.*(Ⅰ)证明:取 BC 的中点 M ,连接 PM , QM ,易证平面 PQM ∥平面ACD 证明: 又Q PQ ? 平面PQM .∴ PQ∥平面ACD ……………………………………… (Ⅱ) DC ⊥ 平面ABC ? AC ⊥ DC ,又Q AC ⊥ BC ,∴ AC ⊥ 平面BCDE … (4分) (6分)

1 4 S B ? ADE = S A-BDE = S ?BDE ? AC = ………………………………………………… (8分) 3 3
(Ⅲ) 延长BC、ED, 交于点F , 连接AF , 则AF为所求二面角的棱,易知CF = BC = 2,
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过C作CG ⊥ AF于G, 连接DG,由已知,∠DGC为所求二面角的平面角, ……
因为CD=1,易得CG= 2 , 所以 tan ∠DGC = 2 ………………………………… 2

(10 分) (12 分)

为原点, 、 、 (法 2)解:以 C 为原点,CA、CB、CD 所在直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系 C- ) 、 、 - xyz, 则 A ( 2 , 0 , 0 ) B ( 0 , 2 , 0 ) C ( 0 , 0 , 0 ) D ( 0 , 0 , 1 ) E ( 0 , 2 , 2 ) 则

uuur uuur uuu r r AD = (?2, 0,1), DE = (0, 2,1), CD = (0,0,1) 设面 ADE 法向量为 n = ( x, y, z ) r uuur ?n ? AD = 0 ??2 x + z = 0 ? ?? 则 ? r uuur ? n ? DE = 0 ? 2 y + z = 0 ? uuu r r r uuu r r CD ? n 6 可取 n = (1, ?1, 2),则 cos < CD, n >= uuu r = r 3 CD ? n
即面 ADE 与面 ABC 所成的二面角余弦值为

6 3 2 ……………………………… (12 分) 2
(2 分) (3 分) (5 分)

易得面 ADE 与面 ABC 所成二面角的正切值为

20. (Ⅰ)由题设,当价格上涨 x%时,销售总金额为: 由题设, 时 销售总金额为:

y = 10 × 1000 × (1 + x%) × (1 ? mx%) (万元)…………………… 万元)
即 y = ? mx + 100(1 ? m) x + 1000
2

………………………………

当m =

1 1 时, y = [ ?( x ? 50) 2 + 22500], ……………………………… 2 2

万元. 当 x=50 时, y max = 11250 万元 即该吨产品每吨的价格上涨 50%时,销售总最大 …………………………… 时 销售总最大.
2 (Ⅱ)由(1) y = ? mx + 100(1 ? m) x + 10 000, (0 < x < )

(6 分)

100 ) m
(8 分)

如果上涨价格能使销售总金额增加, 如果上涨价格能使销售总金额增加,则有 x > 0时y > 10 ×1 000 ……
2

即 x>0 时, ? mx + 100(1 ? m) x + 10 000 > 10 000 ∴ ? mx + 100 (1 ? m ) > 0 ……(9 分) 注意到 m > 0 ∴

100(1 ? m) > x, m



100(1 ? m) >0 m

∴ 0 < m < 1, ……

(11 分) (12 分) (6 分)

的取值范围是( , ) ∴m 的取值范围是(0,1)…… 21. (Ⅰ)依题意得: 4 + 依题意得:

p = 5 ,解得 p = 2 . 所以抛物线方程为 y 2 = 4 x ……… 2
2 消去 x 得: ky ? 4 y + 4b = 0 .(※)……… (

(Ⅱ)由方程组 ?

? y = kx + b,
2 ? y = 4 x,

(7 分)

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依题意可知: 依题意可知: k ≠ 0 .由已知得 y1 + y2 = 由已知得
2

4 4b ……………………… , y1 y2 = k k
2

(10 分)

由 y1 ? y2 = a ,得 ( y1 + y2 ) ? 4 y1 y2 = a ,即 所以 a k = 16(1 ? kb) ………………………
2 2

16 16b ? = a 2 ,整理得 16 ? 16kb = a 2 k 2 . 2 k k
(12 分) (1 分)

22. (Ⅰ)∵ f ′( x) = ? x + 4ax ? 3a ,且 0 < a < 1 ,………………………………
2 2

当 f ′( x) > 0 时,得 a < x < 3a ;当 f ′( x) < 0 时,得 x < a或x > 3a ; ∴ f (x) 的单调递增区间为 (a,3a ) ;

f (x) 的单调递减区间为 (?∞, a ) 和 (3a,+∞) .…………………………………
有极大值, 故当 x = 3a 时, f (x) 有极大值,其极大值为 f ( 3a ) = 1 . ………………… (Ⅱ)∵ f ′ ( x ) = ? x + 4ax ? 3a = ? ( x ? 2a ) + a ,*K*s*5*u
2 2 2 2

(3 分) (4 分)

当0 < a <

1 时, 1 ? a > 2 a , 3
′ ] [ f(x)min = f ′ (1+a ) = 2a ? 1 .

内是单调递减. ∴ f ′( x) 在区间 [1 ? a,1 + a ] 内是单调递减.…………………………………………(6 分) (

′ ] ∴ [ f(x)max = f ′ (1-a ) = ?8a 2 + 6a ? 1,
∵ ? a ≤ f ′( x ) ≤ a ,∴ ?

??8a 2 + 6a ? 1 ≤ a, ?2a ? 1 ≥ ? a.

此时, 此时, a ∈? .…………………………………………………………………………(9 分) ( 当

1 ′ ] ≤ a < 1 时, [ f(x)max = f ′ ( 2a ) =a 2 . 3

? ? 0 ≤ a ≤1 ?a 2 ≤ a, ? 1 ? ? …… (11 分) a≥ ∵ ? a ≤ f ′( x ) ≤ a ,∴ ? 2a ? 1 ≥ ? a, 即? 3 ? ? 2 ??8a + 6a ? 1 ≥ ? a. ? 7 ? 17 7 + 17 ≤a≤ ? 16 ? 16
此时, 此时,

1 7 + 17 ≤a≤ . 3 16

综上可知, 综上可知,实数 a 的取值范围为 ? ,

? 1 7 + 17 ? ? .………………………………… (12 分) 16 ? ?3

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