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高中数学必修4平面向量知识点与典型例题总结(生)


1 《数学》必会基础题型——《平面向量》 【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】
1.向量?既有大小又有方向的量。记作?AB或
a。
2.向量的模?向量的大小?或长度??记作?
| |AB或| |
a。
3.单位向量?长度为1的向量。若e是单位向量?则
| | 1e?。
4.零向量?长度为0的向量。记作?0。【0方向是任意的?且与任意向量平行】
5.平行向量?共线向量??方向相同或相反的向量。
6.相等向量?长度和方向都相同的向量。
7.相反向量?长度相等?方向相反的向量。
AB BA??。
8.三角形法则? AB BC AC
? ??AB BC CD DE AE? ? ? ??AB AC CB? ??指向被减数?
9.平行四边形法则?
以,
a b为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b??a b?。
10.共线定理?/ /
a b a b?? ?。当0? ?时?a b与同向?当0? ?时?a b与反向。
11.基底?任意不共线的两个向量称为一组基底。
12.向量的模?若
( , )a x y??则2 2| |
a x y? ??2
2| |
a a??2| | ( )a b a b? ? ?
13.数量积与夹角公式?
| | | |cosa b a b?? ? ?? cos
| | | |
a b
a b??
?
?
14.平行与垂直?1 2 2 1
/ /a b a b x y x y?? ? ? ??1 2 1 20 0a b a b x x y y? ? ? ? ? ? ?
题型1.基本概念判断正误?
?1?共线向量就是在同一条直线上的向量。
?2?若两个向量不相等?则它们的终点不可能是同一点。
?3?与已知向量共线的单位向量是唯一的。
?4?四边形ABCD是平行四边形的条件是AB CD
?。
?5?若AB CD
??则A、B、C、D四点构成平行四边形。
?6?因为向量就是有向线段?所以数轴是向量。
?7?若
a与b共线? b与c共线?则a与c共线。
?8?若ma mb
??则a b?。 2 ?9?若ma na??则m n?。
?10?若
a与b不共线?则a与b都不是零向量。
?11?若
| | | |a b a b? ? ??则/ /
a b。
?12?若| | | |
a b a b? ? ??则a b?。
题型2.向量的加减运算
1.设
a表示“向东走8km”, b表示“向北走6km”,则
| |a b? ?

2.化简( ) ( )
AB MB BO BC OM? ? ? ? ? 。
3.已知
| | 5OA?,| | 3OB?,则| |AB的最大值和最小值分别为
、 。
4.已知AC AB AD
为 与的和向量?且
,AC a BD b? ??则AB?
?AD? 。
5.已知点C在线段AB上?且3
5
AC AB?,则AC? BC?AB? BC。
题型3.向量的数乘运算
1.计算??1?
3( ) 2( )a b a b? ? ? ? ?2?2(2 5 3 ) 3( 2 3 2 )
a b c a b c? ? ? ? ? ? ?
2.已知
(1, 4), ( 3,8)a b? ? ? ??则1
3
2
a b? ?

题型4.作图法球向量的和
已知向量,
a b?如下图?请做出向量1
3
2
a b?和32
2
a b?。
a b
题型5.根据图形由已知向量求未知向量
1.已知在ABC
?中?D是BC的中点?请用向量ABAC?表示AD。
2.在平行四边形ABCD中?已知
,AC a BD b? ??求AB AD
和。

题型6.向量的坐标运算
1.已知
(4,5)AB??(2,3)
A?则点B的坐标是 。
2.已知
( 3, 5)PQ? ? ??(3,7)
P?则点Q的坐标是 。
3.若物体受三个力1
(1,2)F?,2( 2,3)F? ?,3( 1, 4)F? ? ?,则合力的坐标为
。 3 4.已知( 3,4)a? ??(5,2)b??求a b??a b??3 2a b?。

5.已知(1,2), (3,2)
A B,向量
( 2, 3 2)a x x y? ? ? ?与AB相等?求,
x y的值。
6.已知(2,3)
AB??
( , )BC m n??( 1,4)CD? ??则DA?

7.已知O是坐标原点?(2, 1), ( 4,8)
A B? ??且3 0AB BC? ??求OC的坐标。

题型7.判断两个向量能否作为一组基底
1.已知1 2,
e e是平面内的一组基底?判断下列每组向量是否能构成一组基底?
A.1 2 1 2
e e e e? ?和 B.1 2 2 13 2 6e e e e? ?和4 C.1 2 2 13 3e e e e? ?和 D.2 2 1e e e?和
2.已知(3,4)
a??能与a构成基底的是? ?
A.3 4
( , )
5 5 B.4 3
( , )
5 5 C.3 4
( , )
5 5
? ? D.4
( 1, )
3
? ?
题型8.结合三角函数求向量坐标
1.已知O是坐标原点?点A在第二象限?
| | 2OA??150
xOA? ??求OA的坐标。

2.已知O是原点?点A在第一象限?
| | 4 3OA??60
xOA? ??求OA的坐标。


题型9.求数量积
1.已知
| | 3,| | 4a b? ??且a与b的夹角为60?求?1?a b
???2?
( )a a b? ??
?3?1
( )
2
a b b? ???4?
(2 ) ( 3 )a b a b? ? ?。


2.已知(2, 6), ( 8,10)
a b? ? ? ??求?1?
| |,| |a b??2?a b
???3?(2 )a a b? ???4?
(2 ) ( 3 )a b a b? ? ?。


题型10.求向量的夹角
1.已知
| | 8,| | 3a b? ??12
a b? ??求a与b的夹角。
2.已知
( 3,1), ( 2 3,2)a b? ? ??求a与b的夹角。
3.已知(1,0)
A?(0,1)B?(2,5)C?求cosBAC?。 4 题型11.求向量的模
1.已知
| | 3,| | 4a b? ??且a与b的夹角为60?求?1?| |
a b???2?|2 3 |a b?。


2.已知(2, 6), ( 8,10)
a b? ? ? ??求?1?
| |,| |a b??5?| |
a b???6?1
| |
2
a b?。


3.已知
| | 1 | | 2a b? ???|3 2 | 3
a b? ??求
|3 |a b?。


题型12.求单位向量 【与
a平行的单位向量?| |
a
e
a
? ?】
1.与(12,5)
a?平行的单位向量是 。
2.与1
( 1, )
2
m? ?平行的单位向量是

题型13.向量的平行与垂直
1.已知
(6,2)a??( 3, )b m? ??当m为何值时??1?/ /
a b??2?a b??


2.已知(1,2)
a??
( 3,2)b? ???1?
k为何值时?向量ka b?与3a b?垂直?
?2?
k为何值时?向量ka b?与3a b?平行?


3.已知
a是非零向量?a b a c? ? ??且b c??求证?( )a b c? ?。


题型14.三点共线问题
1.已知(0, 2)
A??(2,2)B?(3,4)C?求证?, ,A B C三点共线。


2.设2
( 5 ), 2 8 , 3( )
2
AB a b BC a b CD a b? ? ?? ? ? ??求证?A B D
、 、三点共线。
5 3.已知2 , 5 6 , 7 2AB a b BC a b CD a b? ? ?? ? ? ??则一定共线的三点是 。
4.已知(1, 3)
A??(8, 1)B??若点
(2 1, 2)C a a? ?在直线AB上?求a的值。

5.已知四个点的坐标(0,0)
O?(3,4)A?( 1,2)B??(1,1)C?是否存在常数t?使OA tOB OC? ?成
立?


题型15.判断多边形的形状
1.若3
AB e??5CD e???且
| | | |AD BC?,则四边形的形状是

2.已知(1,0)
A?(4,3)B?(2,4)C?
(0,2)D?证明四边形ABCD是梯形。

3.已知( 2,1)
A??(6, 3)B??(0,5)C?求证?ABC?是直角三角形。

4.在平面直角坐标系内?( 1,8), ( 4,1), (1,3)
OA OB OC? ? ? ? ?,求证?ABC?是等腰直角三角形。

题型16.平面向量的综合应用
1.已知(1,0)
a??
(2,1)b??当
k为何值时?向量ka b?与3a b?平行?
2.已知
( 3, 5)a??且a b
??
| | 2b??求b的坐标。
3.已知a b
与同向?
(1,2)b??则10
a b? ??求a的坐标。
3.已知(1,2)
a??
(3,1)b??(5,4)
c??则c? a? b。
4.已知(5,10)
a??
( 3, 4)b? ? ??(5,0)
c??请将用向量
,a b表示向量c。

5.已知( ,3)
a m??
(2, 1)b? ???1?若
a与b的夹角为钝角?求m的范围?
?2?若
a与b的夹角为锐角?求m的范围。
6.已知
(6,2)a??( 3, )b m? ??当m为何值时??1?a与b的夹角为钝角??2?a与b的夹角
为锐角?

7.已知梯形ABCD的顶点坐标分别为( 1,2)
A??(3,4)B?(2,1)D?且/ /AB DC?2AB CD??
求点C的坐标。 6 8.已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为(2,1)A?( 1,3)B??(3,4)C?求第四个顶点D的坐标。

9.一航船以5km/h的速度向垂直于对岸方向行驶?航船实际航行方向与水流方向成30角?求
水流速度与船的实际速度。

10.已知ABC
?三个顶点的坐标分别为(3,4)A?(0,0)B?( ,0)C c?
?1?若0
AB AC? ??求c的值??2?若5c??求sinA的值。

【备用】
1.已知| | 3,| | 4,| | 5
a b a b? ? ? ??求
| |a b?和向量,
a b的夹角。
2.已知x a b
? ??
2y a b? ??且| | | | 1a b? ??a b
??求
,x y的夹角的余弦。
1.已知(1,3), ( 2, 1)
a b? ? ? ??则
(3 2 ) (2 5 )a b a b? ? ? ?

4.已知两向量(3,4), (2, 1)
a b? ? ??求当a xb a b? ?与垂直时的x的值。
5.已知两向量(1,3), (2, )
a b?? ??a b与的夹角?为锐角?求?的范围。
变式?若
( ,2), ( 3,5)a b?? ? ??a b
与的夹角?为钝角?求?的取值范围。
选择、填空题的特殊方法?
1.特例法
例?《全品》P27?4。因为M,N在AB,AC上的任意位置都成立?所以取特殊情况?即M,N与B,C
重合时?可以得到1
m n? ??2m n? ? ?。
2.代入验证法
例?已知向量(1,1), (1, 1), ( 1, 2)
a b c? ? ? ? ? ??则c?? ?
A.1 3
2 2
a b? ? B.1 3
2 2
a b? ? C.3 1
2 2
a b? D.3 1
2 2
a b? ?
变式?已知(1,2), ( 1,3), ( 1,2)
a b c? ? ? ? ??请用,a b表示c。
3.排除法
例?已知M是ABC
?的重心?则下列向量与AB共线的是? ?
A.AM MB BC
? ? B.3AM AC? C.AB BC AC? ? D.AM BM CM? ?

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