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2014届高考数学(理)一轮复习热点针对训练:第42讲《直接证明与间接证明》 Word版含解析


第42讲

直接证明与间接证明

3 x ?x>0? ,则 1.(2013· 山东省青岛市 3 月统一质量检测)已知函数 f(x)={-x ?x≤0? f[f(-1)]=( B ) 1 A. B.2 2 C.1 D.-1 解析:f[f(-1)]=f(1)=2,故选 B. b d 2.(2013· 天津南开模拟)p= ab+ cd,q= ma+nc· + (m,n,a,b,c,d 均为正 m n 数),则 p,q 的大小为 ( B ) A.p≥q B.p≤q C.p>q D.不确定 mad nbc 解析:q= ab+ + +cd n m

≥ ab+2 abcd+cd = ab+ cd =p. 故选 B. 1 1 1 3.(2012· 山东省济宁第三次模拟)已知 a,b,c 都是正数,则三数 a+ ,b+ ,c+ ( D ) b c a A.都大于 2 B.都小于 2 C.至少有一个不大于 2 D.至少有一个不小于 2 1 1 1 解析:假设 a+ <2,b+ <2,c+ <2, b c a 1 1 1 则 a+ +b+ +c+ <6, b c a 1 1 1 1 1 1 1 1 1 而 a+ +b+ +c+ =a+ +b+ +c+ ≥2+2+2=6, 矛盾, 所以 a+ , b+ , c+ 中 b c a a b c b c a 至少有一个不小于 2,故选 D. 4.已知 a,b 是非零实数,且 a>b,则下列不等式中成立的是( D ) b A. <1 B.a2>b2 a 1 1 C.|a+b|>|a-b| D. 2> 2 ab a b 5.若 x>1,则 x 与 ln x 的大小关系为 x>ln x . 解析:画出图形,易知 x>ln x. 6.若 a a+b b>a b+b a,则 a、b 应满足的条件是 a≥0,b≥0,且 a≠b . 解析:由已知,a a-a b+b b-b a>0, 则 a( a- b)+b( b- a)>0, 即( a- b)(a-b)>0, 即( a- b)2( a+ b)>0, 故 a≥0,b≥0,且 a≠b. 1 7.已知函数 f(x)= x2-ln x,则 f(x)的零点有 0 个. 2 1 2 解析:因为 f(x)= x -ln x,x>0, 2 1 所以 f′(x)=x- , x 由 f′(x)=0,得 x=1,于是可得 f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, 1 故 f(x)的最小值 f(1)= >0,所以 f(x)的零点有 0 个. 2
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1+x 1+y 8.若 x,y 都是正实数,且 x+y>2,求证: <2 或 <2 中至少有一个成立. y x 1+x 1+y 证明:假设 <2 和 <2 都不成立, y x 1+x 1+y 则有 ≥2 和 ≥2 同时成立. y x 因为 x>0 且 y>0,所以 1+x≥2y,且 1+y≥2x, 两式相加,得 2+x+y≥2x+2y, 所以 x+y≤2,这与已知条件 x+y>2 矛盾, 1+x 1+y 因此 <2 和 <2 中至少有一个成立. y x 2 1 an 9.(2013· 北京市门头沟区一模)数列{an}满足 a1= ,an+1= 2 (n=1,2,…). 3 an-an+1 (1)求 a2,a3; an+1 1 (2)求证:a1+a2+…+an= - . 2 1-an+1 1 a2 n 解析:(1)由 a1= ,an+1= 2 (n=1,2,…), 3 an-an+1 1 1 得 a2= ,a3= . 7 43 a2 n (2)证明:由 an+1= 2 , an-an+1 1 1 1 1 1 1 知 = 2- +1, -1= ( -1), an an an+1 an an an+1 2 an+1 an an 所以 = = -a , 1-an+1 1-an 1-an n an+1 an 即 an= - , 1-an 1-an+1 从而 a1+a2+…+an an+1 a1 a2 a2 a3 an = - + - +…+ - 1-a1 1-a2 1-a2 1-a3 1-an 1-an+1 an+1 an+1 a1 1 = - = - . 2 1-a1 1-an+1 1-an+1

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