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江西省九江市七校2013届高三第二次联考数学(文)试题 Word版含答案


永修一中 彭泽一中 九江市 湖口中学
B

修水一中 瑞昌一中

都昌一中 德安一中

2013 届高三第二次七校联考

数学(文)试题
命题:德安一中 黄 源 审题:德安一中高三数学组

时间:120 分钟

分值:150 分

第Ⅰ卷
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,每小题只有一个正确答案) 1、已知全集 U ? ? ,2,3,4,5,6?,集合 A= ? ,2? ,集合 B= ?2,4,6?, 则图中的阴影部分表示 1 1 A、 ?3,5?

1 B、 ? ,3?

C、 ?2?

1 D、 ? ,2,4,6?
D、9

U A B

2、如图所示的程序框图输出的结果 i= A、11 B、 10 C、12 3、下列说法正确的个数为: ① " x ? y" 是“lg x ? lg y”的充要条件 ;

开始 S=0,i=1 S=S+2i i=i+1 否

② " a ? b" 是“ac ? bc ”的必要不充分条件 ;
2 2

③"k ?

3" 是“直线y ? kx ? 2与圆x 2 ? y 2 ? 1相切”的充分不必要条件

④“ ? ? ? ”是“ sin ? ? sin ? ”既不充分又不必要条件 A、3 个 B、 4 个
2

C、 1 个

D、 2 个

S≥100? 是 输出 i

4、已知点 P 在抛物线 y ? 4 x 上,那么点 P 到点 Q(2,-1)的距离与点 P 到抛 物线焦点距离之和的最小值是 A、

5 2

B、

3 2

C、3

D、4

结束

5、鄱阳湖是世界著名的湿地公园,每年冬天都有数以万计的各种珍贵鸟类来此栖息、觅食,有些不法分 子在某边长分别为 6,8,10 米的三角形沼泽地内设置机关, 当鸟类进入此三角形区域且靠近任一顶点距离小于 2 米(不包括三角形外界区域) ,就会被捕获,假设鸟类在三角形区域任意地点出现的概率是等可能的,则鸟类 在此三角形区域中不幸被捕获的概率为 A、

?
6

B、
3

?
24
2

C、

?
10

D、

?
12

6、 函数 f ( x) ? x ? 2bx ? cx ? 2 的图象在与 x 轴交点处的切线方程是 y ? 5 x ? 10 ,则 b、c 的值分 别是 A、 b ? 1, c ? 1 B、 b ? ?1, c ? 1 C、 b ? ?1, c ? 0 D、 b ? 1, c ? 0

7、在△ABC 中,BC=1,∠B=

?
3

,△ABC 的面积 S= 3 ,则 sinC=

A、

13 13

B、

3 5

C、

4 5

D、

2 39 13

8、变量 x、y 满足关系式 x ? 2 ? y ? 3 ? 1 ,则 5x+y 的最大值为 A、14 B、18 C、8 D、12

9、 过圆 x 2 ? y 2 ? 10 x ? 0 内一点 (5,3) ,有一组弦的长度组成等差数列, 最小弦长为该数列的首项 a1 , 最大弦长为数列的末项 a11 ,则 a 2 ? a 4 ? a 6 ? a8 ? a10 的值是 A、10 B、 18 C、45 D、54

?a, ( x ? 3) ? 2 10、函数 f ( x) ? ? 1 x ?3 ,若关于 x 的方程 2 f ( x) ? (2a ? 5) f ( x) ? 5a ? 0 有五个不同的 ( ) ? 2( x ? 3) ? 3 ?
实数解,则实数 a 的范围 A、 (1, ) ? ( ,3)

5 2

5 2

B、 (2,3)

C、 (2, ) ? ( ,3)

5 5 2 2 第Ⅱ卷

D、(1,3)

二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11、i 为虚数单位,复数 ? 12、观察下列问题: 已知 (1 ? 2 x)
2013

?1? i ? ? =_________。 ?1? i ?
3

= a 0 ? a1 x ? a 2 x 2 ? a3 x 3 ? ? ? a 2013 x 2013 ,

令 x ? 1 ,可得 a 0 ? a1 ? a 2 ? ? ? a 2013 ? (1 ? 2 ? 1) 2013 ? ?1 , 令 x ? ?1 ,可得 a 0 ? a1 ? a 2 ? ? ? a 2013 ? (1 ? 2 ? 1) 2013 ? 3 2013 , 请仿照这种“赋值法” ,令 x ? 0 ,得到 a 0 =______,并求出

a a1 a 2 a3 ? 2 ? 3 ? ? ? 2013 ? __________。 2 2 2 2 2013
13、某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为等边三角形,则其外接球的表面积是______。

4

E

C F D

2 3
主视图

左视图

A

第 14 题图 俯视图

14、 如图所示, 在平行四边形 ABCD 中, 为 BC 的中点, 为 CD 的四分之一点, AC ? m AE ? n AF , E F 设 则 m ? n =_______。 15、对于任意 ? ? R, sin ? ? 2 ? sin ? ? 3 ? a ?

2 恒成立,则实数 a 的取值范围______。 a

三、解答题(共 6 小题,共 75 分,每题要有必要的解题步骤和文字说明) 16、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) ? 4 cos 2 x ? 2 ,

(1)求函数 f (x) 的单调减区间; (2)若 x ? ?

? 3? ? , ? ?, 求函数 f (x) 的值域。 ? 4 ?

17、 (本小题满分 12 分) 对某新开张超市一个月内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图(如图所示) , (1)求样本的中位数和极差; 1 25 (2)若每天的经营情况分盈利,亏本两种(以顾客数 45 人为 2 0233 界,45 人以上为盈利,否则亏本) ,则连续 4 天的经营情况包含多 3 124489 少种基本事件?若 4 天中至少 2 天盈利,超市才能在市场中得以生 4 55577889 存,求新超市存在的概率? 5 0011479 (用分数作答) 6 178 18、 (本小题满分 12 分) 如图所示,已知 AC ⊥平面 CDE, BD ∥AC , ?ECD 为等边三角形,F 为 ED 边上的中点,且 CD=BD=2AC=2, A B (1)求证:CF∥面 ABE; (2)求证:面 ABE ⊥平面 BDE; (3)求该几何体 ABECD 的体积。 C

E 19、(本小题满分 12 分) 已知数列 ?a n ? ,其满足条件 a1 ?

F

D

5 ,3a n ?1 ? 2a n ? 2n ? 5 , 3

(1)求证:数列 ?a n ? 2n ? 1? 为等比数列; (2)已知 S n 为数列 ?a n ? 的前 n 项和,对一切 取值范围。

n ? N ? ,有不等式 S n ? log 2 m ? 1 恒成立,求实数 m 的

20、 (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

a ? ln x ( x ? 1) ln x ,且 f ( x) ? g ( x) ? , x x

(1)若函数 f (x) 在区间 ?1,?? ? 上为减函数,求实数 a 的取值范围; (2)若函数 g (x) 在 ?1, e?上的最小值为

3 ,求实数 a 的值。 2

21、 (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1, (a ? b ? 0) ,直线 (m ? 3) x ? (1 ? 2m) y ? m ? 3 ? 0(m ? R) 恒过的定点 F a2 b2

为椭圆的一个焦点,且椭圆上的点到焦点 F 的最大距离为 3, (1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 MN 为垂直于 x 轴的动弦,且 M、N 均在椭圆 C 上,定点 T(4,0),直线 MF 与直线 NT 交于 点S ①求证:点 S 恒在椭圆 C 上; ②求△MST 面积的最大值。

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2013 届高三第二次七校联考

数学(文)参考答案
1—5 AAACD 11、i 6—10 BDBCC 12、 1,-1 13、 32 ? 14、

10 7

15、 ?? ?,0 ? ? ?1,2?

16、解: f ( x) ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) ? 4 cos 2 x ? 2 ? 2(sin 2 x ?

3 1 ? cos 2 x ? ) ? 2 cos 2 x 2 2
(3 分)

? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin( 2 x ?
(1) 2k? ?

?
6

)

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

3? ? 5? ? ? ? ?k? ? , k? ? (k ? Z ) 为减区间(5 分) 2 3 6 ? ? ?
(12 分)

(2) x ? ?

? ? 4? 11? ? ? 3? ? , ? ? ,2 x ? ? ? , ? 值域为?? 2,?1? 6 ? 3 6 ? ? 4 ? ?
(4 分)

17、解:(1)解:中位数为:46,极差为:56

(2)由图知,盈利、亏本均为

1 ,超市盈利√表示;亏本×表示,则四天来经营情况有 16 种:√√√√,× 2

√√√,√×√√,√√×√,√√√×,××√√,×√×√,×√√×,√××√,√×√×,√√ ××,√×××,×√××,××√×,×××√,××××

11 (12 分) 16 5 11 (第二种方法)互斥事件:P= 1 ? ( 12 分) ? 16 16 1 1 18、解: (1)证明:取 BE 的中点 G,连 FG∥ BD ,AC∥ BD ,故 CF∥AG ? CF∥面 ABE (4 分) 2 2 (2)证明:△ECD 为等边三角形 ? CF⊥ED 又 CF⊥BD ? CF⊥面 BDE A B
其中满足条件的有 11 种情况,P= CF∥AG 故 AG⊥面 BDE ? 面 ABE ⊥平面 BDE (8 分) C

(3)几何体 ABECD 是四棱锥 E-ABCD,EH⊥CD ? EH⊥面 ABCD

VE ? ABCD ?

1 1 ? (1 ? 2) ? 2 ? 3 ? 3 3 2

(12 分) E F D

2 2 5 2 4 2 a ? n ? ? 2n ? 1 an ? n ? a n ?1 ? 2(n ? 1) ? 1 3 n 3 3 3 3 ?2 19、解:(1) ? ? 3 a n ? 2n ? 1 a n ? 2n ? 1 a n ? 2n ? 1 3
数列 ?a n ? 2n ? 1? 为公比为

2 2 ,首项为 的等比数列。 分) (6 3 3 2 2 (2)由(1)知, a n ? 2n ? 1 ? ( ) n ? a n ? ( ) n ? 2n ? 1 3 3

2 ?2? (1 ? ? ? ) n 3 ? 3 ? ? n(2n ? 1 ? 1) ? n 2 ? 2(1 ? ? 2 ? ), 它为n的单调递增函数(8分) Sn ? ? ? 2 2 ?3? 1? 3 5 5 S n的最小值为 ,故 log 2 m ? 1 ? ? 0 ? m ? 2 3 , 即0 ? m ? 3 4 . 12分) ( 3 3 1 ? (a ? ln x) 20、解:(1) f ?( x) ? ? 0在?1, ? ?恒成立 ? x2
变量分离得到:a ? 1 ? ln x, 又1 ? ln x在?1, ? ?上为减函数, ? 当x ? 1时,有最大值1? a ? 1
(2) g ( x) ? (6 分)
2

n

( x ? 1) ln x a ? ln x x ln x ? a a ? ? ? ln x ? x x x x

1 a x?a ? 2 ? 2 x x x (i )当a ? 0时,g ( x)在(0,??)上单调递增,在?1,e?上单调递增,最小值 g ?( x) ? 3 3 ? a ? ? (舍去) 2 2 (ii)当a ? 0时,g ( x)在(0, a ) ?, (? a,??) ? ? 为g (1) ? ? a ? 1、 a ? 1, 即 ? 1 ? a ? 0时,g ( x)在?1,e?上 ? ,g(x)的最小值为 ? 3 3 g( ) -a ? ? a ? - (舍去) 1 ? 2 2 2、 a ? e即a ? ?e时,g ( x)在?1,e?上 ? ,g ( x)的最小值为 a 3 e g (e) ? 1 ? ? ? a ? ? (舍去) e 2 2 3 3、? ? a ? e即 ? e ? a ? ?1时,g ( x)最小值为g (? a ) ? ln(? a ) ? 1 ? ? a ? ? e 1 2
综上所述, a ? ? e (13 分)

21、解:(1) 直线 (m ? 3) x ? (1 ? 2m) y ? m ? 3 ? 0(m ? R ) 可化为

?x ? 2 y ? 1 ? 0 m( x ? 2 y ? 1) ? 3 x ? y ? 3 ? 0 ? ? ? F (1,0) ?3 x ? y ? 3 ? 0 (4 分) x2 y2 a ? c ? 3 ? a ? 2, c ? 1.椭圆方程为 ? ?1 4 3
(2)①设直线 MN 的方程为 x ? s, M坐标设为(s, t)N ( s,?t )且s、t满足3s ? 4t ? 12 ,
2 2

MF的直线方程为:y ? 交点S(

t ?t ( x ? 1); NT的直线方程为:y ? ( x ? 4) s ?1 s?4

5s ? 8 3t , )代入椭圆方程3 x 2 ? 4 y 2 ? 12 , 2s ? 5 2s ? 5 2 ? 3?5s ? 8? ? 36t 2 ? 12(2 s ? 5) 2 , 化简得到3s 2 ? 4t 2 ? 12, 显然成立 得证(8分)
②直线 MS 过点 F(1,0) ,设方程为 x ? my ? 1, M ( x1 , y1 ), S ( x 2 , y 2 )

S ?MST ?

1 3 ? 3 ? y1 ? y 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 2 2

? 6m ? ? y1 ? y 2 ? 3m 2 ? 4 ? x ? my ? 1 ? 联立? 2 ? (3m 2 ? 4) y 2 ? 6my ? 9 ? 0 ? ? 2 ?3 x ? 4 y ? 12 ?y y ? ? 9 ? 1 2 3m 2 ? 4 ? S ?MST m2 ?1 m2 ?1 u 2 ? 18 , 设m ? 1 ? u (u ? 1), ? ? 2 2 2 2 (3m ? 4) (3m ? 4) (3u ? 1) 2 1 1 9u ? ? 6 u

1 1 1 利用勾函数的性质得到9u ? 在(0, ) ,( , ?) ,故其最小值为10 ? ? ? u 3 3 1 9 S ?MST ? 18 ? ? (14分) 4 2


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