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江苏省南通中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学试题Word版含答案


江苏省南通中学 2014-2015 学年高二上学期期中考试数学试题

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请注意文理科类,并把答案填写 在答题卡相应位置上 . ........ 1. 抛物线 x2= ??4y 的焦点坐标为 ▲ .

x2 y2 2. 已知椭圆 ? ? 1 上一点 P 到椭圆的一个焦点的距离为 3,则 P 到另一个焦点的距离 25 16
是 ▲ . 3.(文)一个圆柱的底面直径 和它的高相等,且圆柱的体积为 16? ,则圆柱的高是 ▲ . .. (理) 已知空间两点 A(1, 2, ?1), B(2,0, 2). x 轴上存在一点 P ,使得 PA ? PB ,则 P 点坐 标为 ▲ . 4.已知双曲线 ▲ . 5. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2? 的半圆面,则该圆锥的体积为 ▲ . 6.已知椭圆

4 x2 y2 ? ? 1( a ? 0, b ? 0) 的渐近线过点 P(1, ) ,则该双曲线的离心率为 2 2 3 a b

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 与双曲线 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )有相同的焦点 F1、F2,P 是 m n a b
▲ .

两曲线的一个交点,则 PF1 ?PF2 等于

7. l1 , l2 , l3 是空间三条直线,则下列命题中正确命题的个数是 ▲ . (1) l1 ? l2 , l2 ? l3 ? l1 // l3 ; (2) l1 ? l2 , l2 // l3 ? l1 ? l3 (3) l1 / /l2 / /l3 ? l1 , l2 , l3 共面 ; (4) l1 , l2 , l3 共点 ? l1 , l2 , l3 共面 8. 设 P( x, y ) 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上的一点,则 2 x ? y 的最大值是 ▲ . 9 4

9. 如图,已知正三棱柱 ABC—A1B1C1 的底面边长为 2 cm,高为 5 cm, 则一质点自点 A 出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点 A1 的最 短路线的长为 ▲ cm.

10. 直线 y=kx-2 与抛物线 y 2 ? 8 x 交于 A、B 两点,且 AB 的中点横坐 标为 2,则 k 的值是 ▲ . 11. 设 E、F、G、H 依次是空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 的中 点,且 AC+BD=a, AC ? BD ? b ,则 EG 2 +FH 2 ? ▲ .

A′ 12.如图所示,等边 ?ABC 的边长为 a,将它沿平行 于 BC 的线段 PQ 折起, 使 平面A' PQ ? 平面BPQC , 若折叠后 A ' B 的长为 d, 则 d 的最小值为 ▲ . 13. 已知 P 是椭圆 A E P B Q C

x2 y 2 ? ? 1 上任意一点,EF 是圆 16 8
??? ? ??? ?

F

M : x2 ? ( y ? 2)2 ? 1的直径,则 PE ? PF 的最
大值为 ▲ . 14.设短轴长为 2 3 的椭圆 C:

2 2 x2 ? y ? 1 x2 ? y ? 1(a ? b ? 0) 和双曲线 的离心率互为倒 a2 a2 a 2 b2

数,过定圆 E 上面的每一个点都可以作两条互相垂直的直线 l1 ,l2 ,且 l1,l2 与椭圆的公共点 都只有一个的圆的方程为 ▲ . 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请注意文理科类,并在答题卡指定区域 内作答, ....... 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
2 y2 15.求与双曲线: x ? ? 1 有相同焦点,且经过点( 3 2 ,2)的双曲线标准方程,并写出其 16 4

顶点坐标,焦点坐标,离心率,渐近线方程.[来

16.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, AB ? CD, CD ? 2 AB, AB ? 平面PAD ,E 为 PC 的中点. (1)求证: BE ? 平面PAD ; (2)若 AD ? PB , 求证:PA ? 平面ABCD . B C E A
B

P

(第 16 题)

D

9 第 16 题

17.设 A ? x1,y1 ? , B ? x2,y2 ? 两点在抛物线 y ? 2x2 上, l 是 AB 的垂直平分线. (1)当且仅当 x1 ? x2 取何值时,直线 l 经过抛物线的焦点 F ?证明你的结论; (2)当直线 l 的斜率为 2 时,求 l 在 y 轴上截距的取值范围.

18.如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, BA ? AC , AB ? BB1 ? a ,直线 B1C 与平面 ABC 成 30 ? 角. (1)求证: 平面B1 AC ? 平面ABB1 A1 ; (2)求 C1 到 平面B1 AC 的距离; (3)求三棱锥 A1 -AB1C 的体积. B A
(第 18 题)

B1 A1

C1

C

x2 y 2 19.已知圆 O:x ? y ? 4 ,若椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 过点 P(0, ? 1) ,且其长轴长等于 a b
2 2

圆 O 的直径. (1)求椭圆的方程; (2) 过点 P 作两条互相垂直的直线 l1 与 l2 ,l1 与圆 O 交于 A ,B 两点,l2 交椭圆于另一点 C , ①设直线 l1 的斜率为 k ,求弦 AB 的长; ②求 ?ABC 面积的最大值.

3 20.已知椭圆 E 的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过 A( ?2, 0) 、 B(2,0) 、C (1, ) 三点. 2
(1)求椭圆 E 的方程; (2)若点 D 为椭圆 E 上不同于 A 、 B 的任意一点, F ( ?1, 0) , H (1,0) ,求当 ?DFH 内切 圆的面积最大时内切圆圆心的坐标; (3)若直线 l : y ? k ( x ? 1)(k ? 0) 与椭圆 E 交于 M 、 N 两点,证明直线 AM 与 BN 的交 点在直线 x ? 4 上.

江苏南通中学 2014-2015 学年度第一学期期中考试

高二数学答题纸
一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 请注意文理科类,不需写出解答过 程,把答案写在答题纸的指定位置上) 1. 姓名 ___________ 3. 5. 7. 9. 11. 13. 装订线内请勿答题 2. 4. 6. 8. 10. 12. 14.

座位号__________

二、解答题: (本大题共 6 小题,计 90 分. 请注意文理科类,解答应写出必要的文字说明,证 明过程或演算步骤,把答案写在答题纸的指定区域内). 15. (本题满分 14 分)

班级___________

答题卡号 _____________

16. (本题满分 14 分) B C E A
B

P

(第 16 题)

D

9 第 16 题

17. (本题满分 14 分)

18. (本题满分 16 分) B1 A1 C1

B A
(第 18 题)

C

19. (本题满分 16 分)

20. (本题满分 16 分)

江苏省南通中学 2014—2015 学年度第一学期期中考试

高二数学答案
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请注意文理科类,并把答案填写 在答题卡相应位置上 . ........ 1.抛物线 x =-4y 的焦点坐标为 (0,-1) .
2

x2 y2 2.已知椭圆 ? ? 1 上一点 P 到椭圆的一个焦点的距离为 3,则 P 到另一个焦点的距离是 25 16
7 . 3.(文)一个圆柱的底面直径 和它的高相等,且圆柱的体积为 16? ,则圆柱的高是 4. .. (理) 已知空间两点 A(1, 2, ?1), B(2,0, 2). x 轴上存在一点 P ,使得 PA ? PB ,则 P 点坐 标为(1,0,0). 4.已知双曲线
5. 3

4 x2 y2 ? ? 1( a ? 0, b ? 0) 的渐近线过点 P(1, ) ,则该双曲线的离心率为 2 2 3 a b

5.若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2? 的半圆面,则该圆锥的体积为 3 ? . 3 6.已知椭圆

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 与双曲线 ? ? 1( a ? 0, b ? 0 )有相同的焦点 F1、F2、P 是两 m n a b

曲线的一个交点,则 PF1 ?PF2 等于 m ? a . 7. l1 , l2 , l3 是空间三条直线,则下列命题中正确命题的个数是 1 . (1) l1 ? l2 , l2 ? l3 ? l1 // l3 ; (2) l1 ? l2 , l2 // l3 ? l1 ? l3 (3) l1 / /l2 / /l3 ? l1 , l2 , l3 共面 ; (4) l1 , l2 , l3 共点 ? l1 , l2 , l3 共面

x2 y 2 ? ? 1 上的一点,则 2 x ? y 的最大值是 2 10 . 8.设 P( x, y ) 是椭圆 9 4
9.如图,已知正三棱柱 ABC—A1B1C1 的底面边长为 2 cm,高为 5 cm, 则一质点自点 A 出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点 A1 的最短 路线的长为 13 cm. 10.直线 y=kx-2 与抛物线 y 2 ? 8 x 交于 A、B 两点,且 AB 的中点横坐标 为 2,则 k 的值是 2. 11.设 E、 F、 G、 H 依次是空间四边形 ABCD 的边 AB、 BC、 CD、 DA 的中点, 且 AC+BD=a,AC ? BD ? b ,

(a 2 ? 2b) . 则 EG 2 +FH 2 ? 1 2

A′

12.如图所示,等边 ?ABC 的边长为 a,将它沿平行 于 BC 的线段 PQ 折起, 使 面A' PQ ? 平面BPQC , 若折叠后 A B 的长为 d, 则 d 的最小值为 10 a . 4
'

A E P

Q

C F

x y ? ? 1 上任意一点,EF 是圆 13. 已知 P 是椭圆 16 8
M : x2 ? ( y ? 2)2 ? 1的直径,则 PE ? PF 的最
大值为 23. 14.设短轴长为 2 3 的椭圆 C:

2

2

B

??? ? ??? ?

2 2 x2 ? y ? 1 x2 ? y ? 1(a ? b ? 0) 和双曲线 的离心率互为倒 a2 a2 a 2 b2

数,过定圆 E 上面的每一个点都可以作两条互相垂直的直线 l1 ,l2 ,且 l1,l2 与椭圆的公共 点都只有一个的圆的方程为 x 2 ? y 2 ? 9 . 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请注意文理科类,并在答题卡指定区域 内作答, ....... 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
2 y2 15.求与双曲线: x ? ? 1 有相同焦点,且经过点( 3 2 ,2)的双曲线标准方程,并写 16 4

出其顶点坐标,焦点坐标,离心率,渐近线方程.[来

?a 2 ? b2 ? 20 2 2 ? y2 ? ?a ? 12 解:由题意得, ?18 4 ,所求双曲线标准方程为: x ? ?1 解得 ? 2 12 8 ? 2 ?1 b ?8 ? 2 ? ? b ?a

顶点( ? 2 3,0);焦点( ? 2 5,0); 离心率 e ? c ? 15 ; a 3 渐近线方程y= ? 6 x. 3
16.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, AB ? CD, CD ? 2 AB, AB ? 平面PAD ,E 为 PC 的中点. (1)求证: BE ? 平面PAD ; (2)若 AD ? PB , 求证:PA ? 平面ABCD . 证明: (1)证法一: 取 PD 中点 F,连结 EF,AF. ? E 是 PC 中点,F 是 PD 中点, ? EF ? CD, CD ? 2 EF E A
B

B C

P

F
B

D

又? AB ? CD, CD ? 2 AB,? EF ? AB, EF =AB,?四边形ABEF是平行四边形.

? BE ? AF , 又AF ? 平面PAD, BE ? 平面PAD, ? BE ? 平面PAD

F
B

B C E A
B

证法二: 延长 DA,CB,交于点 F,连结 PF.
? AB ? CD, CD ? 2 AB,? B为CF的中点. 又 ? E为PC的中点, ? BE ? PF . ? PF ? 平面PAD, BE ? 平面PAD, ? BE ? 平面PAD. P

D

(2) ? AB ? 平面PAD, PA、AD ? 平面PAD, ? AB ? AD, AB ? PA. ? AD ? AB, AD ? PB, AB ? PB ? B,? AD ? 平面PAB. 又PA ? 平面PAB,? AD ? PA. ? AB ? AD ? A,? PA ? 平面ABCD.

17.设 A ? x1,y1 ? , B ? x2,y2 ? 两点在抛物线 y ? 2x2 上, l 是 AB 的垂直平分线。 (1)当且仅当 x1 ? x2 取何值时,直线 l 经过抛物线的焦点 F ?证明你的结论; (2)当直线 l 的斜率为 2 时,求 l 在 y 轴上截距的取值范围。 解: (1) F ? l ? FA ? FB ? A、B 两点到抛物线的准线的距离相等, ∵抛物线的准线是 x 轴的平行线, y1 ? 0,y2 ? 0 ,依题意 y1,y2 不同时为 0 ∴上述条件等价于 y1 ? y2 ? x1 ? x2 ? ? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? ? 0
2 2

∵ x1 ? x2

∴上述条件等价于 x1 ? x2 ? 0

即当且仅当 x1 ? x2 ? 0 时, l 经过抛物线的焦点 F 。 (2)设 l 在 y 轴上的截距为 b ,依题意得 l 的方程为 y ? 2 x ? b ;过点 A、B 的直线方程

1 1 x ? m ,所以 x1、x2 满足方程 2 x 2 ? x ? m ? 0 2 2 1 得 x1 ? x2 ? ? 4 1 1 A、B 为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式 ? ? ? 8m ? 0 ,即 m ? ? 32 4
可写为 y ? ? 设 AB 的中点 N 的坐标为 ? x0,y0 ? ,则

1 1 1 1 ? x1 ? x2 ? ? ? , y0 ? ? x0 ? m ? ? m 2 16 2 8 1 1 5 5 1 9 ? m ? ? ? b ,于是 b ? ? m ? ? ? 由 N ? l ,得 16 4 16 16 32 32

x0 ?

即得 l 在 y 轴上截距的取值范围为 ?

? 9 ? , ? ?? ? 32 ?

18.如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, BA ? AC , AB ? BB1 ? a ,直线 B1C 与平面 ABC 成 30 ? 角. (1)求证: 平面B1 AC ? 平面ABB1 A1 ; (2)求 C1 到 平面B1 AC 的距离; (3)求三棱锥 A1 -AB1C 的体积. (1)证明:由直三棱柱性质知, B1 B ? 平面ABC,
? B1 B ? AC , 又BA ? AC , B1 B ? BA ? B,? AC ? 平面ABB1 A1 又AC ? 平面B1 AC ,? 平面B1 AC ? 平面ABB1 A1 .
(2)解: ? A1C1 ? AC , AC ? 平面B1 AC , A1C1 ? 平面B1 AC ,? A1C1 ? 平面B1 AC. ? C1到平面B1 AC的距离就是A1到平面B1 AC的距离.
过A1作A1M ? B1 A, 垂足为M , 连结 CM,

B1 A1

C1

B A
(第 18 题)

C

? 平面B1 AC ? 平面ABB1 A1,平面B1 AC ? 平面ABB1 A1 ? B1 A ? A1M ? 平面B1 AC 又A1M = 2 a,? C1到平面B1 AC的距离为 2 a. 2 2 (3)解: ? 直线B1C与平面ABC成30?角, ??B1CB ? 30?.

又B1C ? 2a, BC ? 3a, AC ? 2a, A1 B ? 2a, ?VA1 ? AB1C ? 2 a3 . 6

x2 y 2 19.已知圆 O:x ? y ? 4 .若椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)过点 P(0, ? 1) ,且其长轴长等于圆 O a b
2 2

的直径. (1)求椭圆的方程; (2)过点 P 作两条互相垂直的直线 l1 与 l2 ,l1 与圆 O 交于 A , B 两点,l2 交椭圆于另一点 C . ①设直线 l1 的斜率为 k ,求弦 AB 的长; ②求 ?ABC 面积的最大值. 解: (1)由题意得, ?

?b ? 1 x2 ? y2 ? 1 . ,所以椭圆 C 的方程为 4 a ? 2 ?

所以 AB ? 2 4 ? d 2 ? 2

4k 2 ? 3 . k 2 ?1

②因为 l2 ? l1 ,故直线 l2 的方程为 x ? ky ? k ? 0 , 由?

? x ? ky ? k ? 0
2 2 ?x ? 4 y ? 4

消去 y ,整理得 (4 ? k 2 ) x2 ? 8kx ? 0 ,

故 x0 ? ?

8 k 2 ?1 8k ,所以 , PC ? 4 ? k2 4 ? k2
1 8 4k 2 ? 3 , AB ? PC ? 2 4 ? k2
? 2 32 4k 2 ? 3 ? 13 4k 2 ? 3 ? 16 13 , 13

设 ?ABC 的面积为 S,则 S ?

所以 S ?

32 4k 2 ? 3 ? 13 4k ? 3
2

当且仅当 k ? ?

10 时取等号. 2

3 20.已知椭圆 E 的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过 A( ?2, 0) 、 B(2,0) 、C (1, ) 三点. 2
(1)求椭圆 E 的方程; (2)若点 D 为椭圆 E 上不同于 A 、 B 的任意一点, F ( ?1, 0) , H (1,0) ,求当 ?DFH 内切 圆的面积最大时内切圆圆心的坐标; (3)若直线 l : y ? k ( x ? 1)(k ? 0) 与椭圆 E 交于 M 、 N 两点,证明直线 AM 与 BN 的交 点在直线 x ? 4 上. 解: (1)设椭圆方程为 mx2 ? ny 2 ? 1(m ? 0, n ? 0) ,

3 将 A( ?2, 0) 、 B(2,0) 、 C (1, ) 代入椭圆 E 的方程,得 2
?4m ? 1, 1 1 ? ,解得 m ? , n ? . ? 9 4 3 m ? n ?1 ? ? 4

∴椭圆 E 的方程

x2 y 2 ? ?1 . 4 3

故内切圆圆心的坐标为 (0, ?

3 ). 3

(3)解法一:将直线 l : y ? k ( x ? 1) 代入椭圆 E 的方程
(3 ? 4k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 4(k 2 ? 3) ? 0 .

x2 y 2 ? ? 1 并整理得 4 3

设直线 l 与椭圆 E 的交点 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) .

8k 2 4(k 2 ? 3) , x1 x2 ? . 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2 y 6 y1 ), 直线 AM 的方程为 y ? 1 ( x ? 2) ,它与直线 x ? 4 的交点坐标为 P (4, x1 ? 2 x1 ? 2
由韦达定理得 x1 ? x2 ? 同理可求得直线 BN 与直线 x ? 4 的交点坐标为 Q (4,
2 y2 ). x2 ? 2

下面证明 P 、 Q 两点重合,即证明 P 、 Q 两点的纵坐标相等. ∵ y1 ? k ( x1 ? 1), y2 ? k ( x2 ? 1) , ∴
6 y1 2 y2 6k ( x1 ? 1) ? ( x2 ? 2) ? 2k ( x2 ? 1)( x1 ? 2) ? ? x1 ? 2 x2 ? 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)

?

2k[2 x1 x2 ? 5( x1 ? x2 ) ? 8] ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2)

2k [

8(k 2 ? 3) 40k 2 ? ? 8] 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2 ?0 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)

因此结论成立. 综上可知直线 AM 与直线 BN 的交点住直线 x ? 4 上. 解法二:直线 AM 的方程为 y ? 由直线 AM 的方程为 y ?
y1 k ( x1 ? 1) ( x ? 2) ,即 y ? ( x ? 2) . x1 ? 2 x1 ? 2

y2 k ( x2 ? 1) ( x ? 2) ,即 y ? ( x ? 2) x2 ? 2 x2 ? 2

由直线 AM 与直线 BN 的方程消去 y ,得
x? 2( x1 x2 ? 3 x1 ? x2 ) 2[2 x1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 4 x2 ] ? x1 ? 3x2 ? 4 ( x1 ? x2 ) ? 2 x2 ? 4

?

2[

8(k 2 ? 3) 24k 2 4k 2 ? 6 ? ? 4 x ] 4( ? ? x2 ) 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 ? ?4 8k 2 4k 2 ? 6 ? 4 ? 2 x2 ? ? x2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

故直线 AM 与直线 BN 的交点在直线 x ? 4 上.


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