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2019年版高中全程复习方略配套课件:82两条直线的位置关系(北师大版·数学理)语文_图文

第二节 两条直线的位置关系
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三年2考 高考指数:★ 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直. 2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标; 3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平 行直线间的距离.

1.两直线平行与垂直的判定、两点间距离公式、点到直线的距 离公式、两平行线间的距离公式是高考的重点; 2.常与圆、椭圆、双曲线、抛物线交汇命题; 3.多以选择题和填空题为主,有时与其他知识点交汇,在解答 题中考查.

1.两条直线的平行与垂直的关系 (1)

直线l1、l2不重合,
斜率分别为k1、k2 且都存在

l1∥l2? k1=k2 l1⊥l2? k1·k2=-1

(2)当直线l1与l2的斜率至少有一个不存在时: l1∥l2?两直线的斜率都不存在且在x轴上的截距不等; l1⊥l2?一直线斜率不存在,另一直线的斜率为0.

【即时应用】 (1)已知直线l1过点A(-1,1)和B(-2,-1),直线l2过点C(1,0)和 D(0,a),若l1∥l2,则a=________; (2)直线l的倾斜角为30°,若直线l1∥l,则直线l1的斜率 k1=________;若直线l2⊥l,则直线l2的斜率k2=________.

【解析】(1)l1与l2的斜率分别为

k1 =

-1-1 =2, -2+1

k

2

=

a-0 0-1

=-a,

由l1∥l2可知:a=-2.

(2)由直线斜率的定义知,直线l的斜率k=tan30°=

∵l1∥l,∴k1=k= 3,

3

∵l2⊥l,∴k2·k=-1,∴

k2=

-1 =k

3.

答案:(1)-2

(2) 3

-3

3

3,
3

2.两条直线的交点
直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的公共点的坐标与方
程组 ???AA12xx++BB12yy++CC12==00 的解一一对应. 相交?方程组有__唯__一__解__,交点坐标就是方程组的解; 平行?方程组__无__解___; 重合?方程组有__无__数__组__解__.

【即时应用】 (1)思考:如何用两直线的交点判断两直线的位置关系? 提示:当两直线有一个交点时,两直线相交;没有交点时,两 直线平行;有无数个交点时,两直线重合.

(2)直线l1:5x+2y-6=0与l2:3x-5y-16=0的交点P的坐标是 __________.

【解析】由直线l1与l2所组成的方程组

?5x+2y-6=0 ??3x-5y-16=0

得:???xy==-22,

∴直线l1:5x+2y-6=0与l2:3x-5y-16=0的交点P的坐标是

(2,-2).

答案:(2,-2)

(3)直线l1:5x+2y-6=0与l2:5x+2y-16=0的位置关系是_____. 【解析】∵由直线l1与l2所组成的方程组

?5x+2y-6=0 ??5x+2y-16=0

无解,∴直线l1与l2平行.

答案:平行

3.距离

点P1(x1,y1), P2(x2,y2)之间的距离

P1P2 ? (x2 -x1)2 ? (y2 -y1)2

点P0(x0,y0)到直线 l:Ax +By +C =0的距 离

d ? Ax0 ? By0 ? C A2 ? B2

两条平行线

Ax+By+C1=0与Ax

d ? C1 -C2 A2 ? B2

+By+C2 =0间的距离

【即时应用】 (1)原点到直线x+2y-5=0的距离是_________; (2)已知A(a,-5),B(0,10),|AB|=17,则a=__________; (3)两平行线y=2x与2x-y=-5间的距离为_________. 【解析】(1)因为 d= |0+2? 0-5| = 5.
12 +22
(2)依题设及两点间的距离公式得: (a-0)2 +(-5-10)2 =17, 解得:a=±8.

(3)因为两平行线方程可化为:2x-y=0与2x-y+5=0.因此,两

平行线间的距离为:d= |5-0| = 5.
22 +(-1)2

答案:(1) 5 (2)±8

(3) 5

直线平行、垂直关系的判断及应用 【方法点睛】两直线平行、垂直的判断方法 (1)已知两直线的斜率存在 ①两直线平行?两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等; ②两直线垂直?两直线的斜率之积等于-1; (2)已知两直线的一般方程 可利用直线方程求出斜率,转化为第一种方法,或利用以下方 法求解:

直线方程
l1与l2 垂直 的充要条件 l1与l2 平行 的充分条件 l 1与l2 相交 的充分条件
l1与l2 重合 的充分条件

l1:A1x ? B1y ? C1 ? 0(A12 ? B12 ? 0)

l2:A 2 x

? B2y ? C2

?

0(A

2 2

? B22

?

0)

A1A2+B1B2=0

A1 A2

?

B1 B2

?

C1 C2

(A2B2C2

? 0)

A1 A2

?

B1 B2

(A2B2

? 0)

A1 A2

?

B1 B2

?

C1 C2

(A2B2C2

? 0)

【例1】(1)(2012·淮南模拟)“a=1”是“直线x+y=0和直线x-

ay=0相互垂直”的( )

(A)充分不必要条件

(B)必要不充分条件

(C)充要条件

(D)既不充分也不必要条件

(2)已知过点A(-2,m),B(m,4)的直线与直线2x+y-1=0平行,则

m的值为__________;

(3)已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别是A(0,1),B(1,0),

C(3,2),求第四个顶点D的坐标.

【解题指南】(1)本题关键是看由a=1是否能得出两直线垂直, 由两直线垂直是否能得出a=1;(2)可根据两直线平行,斜率相 等,得出一个等式,解方程即可求值;(3)设所求点的坐标为 D(x,y),利用长方形的性质得出关于x、y的方程组,解方程组 即可得出D点的坐标.

【规范解答】(1)选C.当a=1时,直线x-ay=0可化为x-y=0, 此时x+y=0和直线x-ay=0相互垂直; 当直线x+y=0和直线x-ay=0相互垂直时,1×1+1×(-a)=0,解得: a=1, 因此,“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0相互垂直”的充要 条件.

(2)因为直线2x+y-1=0的斜率k=-2,
又因为过A(-2,m),B(m,4)的直线与直线2x+y-1=0平行,所以 4-m =-2,解得m=-8.
m+2
答案:-8

(3)设D的坐标为D(x,y),因为四边形ABCD为长方形,所以,

?kCD ??k AD

? kAB kCD ?

, ?1



?y?2

?? x ? 3

? ?

y

?1

?? x ? 0

? 1?0 0 ?1
y?2 ? x ?3

, ?1

解得

?x ??y

? ?

2, 3

即点D的坐标为(2,3).

【反思·感悟】通过本例的解析过程可知,处理两直线的位置 关系,在两直线斜率都存在的前提下,利用两直线的斜率和在 y轴上的截距去处理;若直线的斜率不存在,则可考虑数形结 合.

两直线的交点问题 【方法点睛】 1.两直线交点的求法 求两直线的交点坐标,就是解由两直线方程组成的方程组,以 方程组的解为坐标的点即为交点; 2.过直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程 A1x+B1y+C1+λ (A2x+B2y+C2)=0.(不包括直线A2x+B2y+C2=0)

【例2】(1)求经过直线x+y+1=0与直线x-y+3=0的交点,且也经 过点A(8,-4)的直线方程为_____________; (2)已知两直线l1:mx+8y+n=0与l2:2x+my-1=0,若l1与l2相交, 求实数m、n满足的条件. 【解题指南】(1)可求出两直线的交点坐标,用两点式解决; 也可用过两直线交点的直线系解决;(2)两直线相交可考虑直 线斜率之间的关系,从而得到m、n满足的条件.

【规范解答】(1)方法一:因为直线x+y+1=0与直线x-y+3=0的
交点坐标为(-2,1),直线又过A(8,-4),所以所求直线方程 为:y+4 = x-8 ,即x+2y=0;
1+4 -2-8
方法二:设过直线x+y+1=0与直线x-y+3=0的交点的直线方程为
x+y+1+λ(x-y+3)=0,
又因为直线过A(8,-4),所以8-4+1+λ(8+4+3)=0,解得:λ= - 1 , 所以,所求直线方程为x+2y=0.
3
答案:x+2y=0

(2)因为两直线l1:mx+8y+n=0与l2:2x+my-1=0相交,因此,当m=0

时,l1的方程为

y

?

?

n 8

,l2的方程为

x

?

1, 2

两直线相交,此时,实

数m、n满足的条件为m=0,n∈R;当m≠0时,∵两直线相交,

? m ? 8 , 解得m≠±4,此时,实数m、n满足的条件为m≠±4且
2m
m≠0,n∈R,综上所述,实数m,n满足的条件为m≠±4,n∈R.

【反思·感悟】1.本例(1)中是求直线方程,其关键是寻找确定 直线的两个条件,可以直接求交点,利用两点式得出方程,此法 要注意两点的纵(或横)坐标相同时,两点式方程不适用,也可以 利用直线系方程求解,其关键是利用已知点求λ的值; 2.本例(2)考查两直线相交的条件,即斜率不等或有一条直线的 斜率不存在.

距离公式的应用 【方法点睛】1.两点间的距离的求法 设点A(xA,yA),B(xB,yB),
|AB|= (xA -xB )2 +(yA -yB )2 .
特例:AB⊥x轴时,|AB|=|yA-yB|; AB⊥y轴时,|AB|=|xA-xB|.

2.点到直线的距离的求法 可直接利用点到直线的距离公式来求,但要注意此时直线方程 必须为一般式. 3.两平行直线间的距离的求法 (1)利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上 任意一点到另一条直线的距离. (2)利用两平行线间的距离公式.

【提醒】应用两平行线间的距离公式求距离时,要注意两平行 直线方程中x、y的系数必须相等.

【例3】已知三条直线l1:2x-y+a=0(a>0),l2:-4x+2y+1=0和
l3:x+y-1=0,且l1与l2的距离是 7 5.
10
(1)求a的值;

(2)能否找到一点P,使P同时满足下列三个条件:

①P是第一象限的点;

②P点到l1的距离是P点到l2的距离的

1 2

;

③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是 2∶ 5. 若能,求P点坐

标;若不能,说明理由.

【解题指南】(1)由l1与l2的距离及两平行线之间的距离公式, 可得关于a的方程,解方程即可得出a的值; (2)由点P(x0,y0)满足②③条件可得出关于x0、y0的方程组,解 方程组,即可求出点P的坐标,注意验证是否适合条件①.

【规范解答】(1)l2为

2x

?

y

?

1 2

?

0,

a ? (? 1)

∴l1与l2的距离为 d ?

2 ? 7 5.
22 ? ??1?2 10

∵a>0,∴a=3.

(2)设存在第一象限的点P(x0,y0)满足条件②,则P点在与l1、l2

平行的直线l′:2x-y+c=0上且

c?3 ? 1

c? 1 2,

525

即 c ? 13或c ? 11,

2

6

? 2x 0

?

y0

?

13 2

?

0或2x0

?

y0

?

11 6

?

0.

若P点满足条件③,由点到直线的距离公式有:

2x0 ? y0 ? 3 ? 2 x0 ? y0 ?1 ,

5

5

2

即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|, ∴x0-2y0+4=0或3x0+2=0. ∵P在第一象限,

∴3x0+2=0不可能.

联立方程

2x0

?

y0

?

13 2

?

0和x0

?

2y0

?

4

?

0,

解得

?x ?

0

?

??y0

? ?

?3
1 ?舍去?,
2



??2x ?

0

?

y0

??x0 ? 2y0

? ?

11 6

?

0,得

???x ?

0

4?0

???y0

? ?

1 9, 37 18

∴存在 P(1 , 37) 同时满足条件①②③.
9 18

【反思·感悟】在解答本题时,首先要根据题设条件,由点到 直线的距离公式、两平行线间的距离公式得出方程(组);另外, 还要注意每种距离公式所要求的条件,以防漏解、错解.

对称问题

【方法点睛】

1.对称中心的求法

若两点A(x1,y1)、B(x2,y2)关于点P(a,b)对称,则由中点坐标

公式求得a、b的值,即 a= x1+x2 ,b= y1+y2 ;

2

2

2.轴对称的两个公式

若两点M(x1,y1)、N(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0(A≠0)对称, 则线段MN的中点在对称轴l上,而且连接MN的直线垂直于对称轴l.

故有

???A(

x1 +x2 2

)+B(

y1 +y2 2

)+C=0

? ?

y1 -y 2

=

B


. ②

?? x1-x2 A

3.对称问题的类型

(1)点关于点对称;(2)点关于直线对称;

(3)直线 关于点对称;(4)直线关于直线对称.

以上各种对称问题最终化归为点关于点对称、点关于直线对称.

4.对称问题的具体应用 (1)在直线上求一点,使它到两定点距离之和最小问题 ①当两定点分别在直线的异侧时,两点连线与直线的交点即为 所求; ②当两定点在直线的同一侧时,可借助于点关于直线对称,将 问题转化为①情形来解决.

(2)在直线上求一点,使它到两定点距离之差的绝对值最大问 题 ①当两定点在直线的同一侧时,利用三角形的两边之差小于第 三边,可知两定点的连线与直线的交点即为所求; ②当两定点分别在直线的异侧时,可借助于点关于直线对称, 将问题转化为①情形解决.

【例4】求直线a:2x+y-4=0关于直线l:3x+4y-1=0对称的直线 b的方程. 【解题指南】本题实质上是求直线的方程,可设法找到两个点 的坐标,再由两点式即可求出方程;本题还可利用求曲线方程 的方法求解,设所求曲线上任意一点,由该点关于直线l的对称 点在已知曲线上,即可求得.

【规范解答】方法一:由

?2x ??3x

? ?

y?4?0 4y ?1 ? 0

解得直线a与l的交点E(3,-2),E点也在直线b上.

在直线a:2x+y-4=0上取一点A(2,0),设A点关于直线l的对称

点B的坐标为(x0,y0),



? y0

?? ?

x

0

?0 ?2

?

4 3

,

???3?

2

? x0 2

?

4?

0

? y0 2

?1?

0

解得 B( 4,? 8).

55
由两点式得直线b的方程为

y ? ??2? ? 8 ? ??2?

?

x 4

? 3,即2x ?3

? 11y

? 16

?

0.

5

5

方法二:设直线b上的动点P(x,y)关于l:3x+4y-1=0的对称点 为Q(x0,y0).则

? y0

?? ?

x

0

? ?

y x

?

4 3

,

???3?

x

? x0 2

? 4?

y ? y0 2

?1?

0

解上式得:

???x0 ?

? ??

y0

? ?

7x ? 24y ? 6 25
?24x ? 7y ? 8 25

,

由于Q(x0,y0)在直线a:2x+y-4=0上,则

2? 7x ? 24y ? 6 ? ?24x ? 7y ? 8 ? 4 ? 0,

25

25

化简得2x+11y+16=0是所求的直线b的方程.

【反思·感悟】1.此题是求直线关于直线对称的直线方程,通 过求解本题,我们可体会到求直(曲)线的对称直(曲)线方程时 可以转化为求点的对称点坐标来求解. 2.利用两点式求直线方程要注意两点横坐标相等或纵坐标相等 的情形,此时可直接写出直线方程.

【创新探究】新定义下的直线方程问题 【典例】(2012·上海模拟)在平面直角坐标系中,设点P(x,y), 定义[OP]=|x|+|y|,其中O为坐标原点. 对于以下结论:①符合[OP]=1的点P的轨迹围成的图形的面积为 2; ②设P为直线 5x+2y-2=0上任意一点,则[OP]的最小值为1; 其中正确的结论有__________(填上你认为正确的所有结论的序 号) .

【解题指南】①根据新定义,讨论x的取值,得到y与x的分段 函数关系式,画出分段函数的图像,即可求出该图形的面积; ②认真观察直线方程,可举一个反例,得到[OP]的最小值为1 是假命题. 【规范解答】①由[OP]=1,根据新定义得: |x|+|y|=1,上式可化为:y=-x+1(0≤x≤1),y=-x-1(-1≤x ≤0),y=x+1(-1≤x≤0),y=x-1(0≤x≤1),画出图像如图所示:

根据图形得到:四边形ABCD为边长是 2 的正方形,所以面积

等于2,故①正确;

②当点P为 ( 2 ,0) 时,[OP]=|x|+|y|= 2 +0<1,所以[OP]的最

5

5

小值不为1,故②错误;

所以正确的结论有:①.

答案:①

【阅卷人点拨】通过对本题的深入研究,可以得到以下创新点
拨和备考建议:
本题有以下两处创新点: 创 (1)考查内容的创新,使解析几何问题与函数知识巧 新 妙结合进行考查. 点 (2)考查对新定义、新概念的理解与运用的同时考查 拨 思维的创新,本题考查了学生的发散思维,思维方向
与习惯思维不同.

解决新概念、新定义的创新问题时,要注意以下几
点: 备 (1)充分理解概念、定理的内涵与外延; 考 建 (2)对于新概念、新结论要具体化,举几个具体的例 议 子,代入几个特殊值;
(3)注意新概念、新结论正用怎样,逆用又将如何,
变形将会如何.

1.(2012·西安模拟)已知两条直线l1:(m+3)x+4y+3m-5=0,

l2:2x+(m+5)y-8=0,l1∥l2,则直线l1的一个方向向量是( )

(A)(1,-1)

(B)(-1,-1)

(C)(-1,1)

(D)(2,1)

【解析】选B.显然m≠-5,则 ? m ? 3 ? ? 2

4

m?5

且 ? 3m ? 5 ? 8 ,
4 m?5

解得m=-7或m=-1(舍去),

∴l1:-4x+4y-26=0,

即l1:

x

?

y

?

13 2

?

0,

∴直线l1的一个方向向量是(-1,-1).

2.(2012·九江模拟)如图,已知A(4,0)、

B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线

AB反射后再射到直线OB上,最后经直线OB

反射后又回到P点,则光线所经过的路程

是( )

(A)2 10 (C)3 3

(B)6 (D)2 5

【解析】选A.点P关于y轴的对称点P′的坐标是(-2,0),设点

P关于直线AB:x+y-4=0的对称点为P′′(a,b),



? ??

b-0 a-2

?

(-1)=-1

? ? ??

a+2 2

+

b+0 2

-4=0

?

?a=4 ??b=2 ,

∴光线所经过的路程|P′P′′|= 2 10.

故选A.

3.(2011·浙江高考)若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂 直,则实数m=________. 【解析】由题意可得1×2-2m=0,解得m=1. 答案:1

4.(2012·汉中模拟)若点P是曲线y=x2上的任意点,则点P到直 线y=x-2的最小距离为_________.

【解析】在曲线y=x2上任取一点P(x0,y0),则P到直线y=x-2的 距离为:

|x

0

-y0

-2|

=

|x

0

-x

2 0

-2|

=

|-(x

0

-

1 2

)2

-

7 4

|

=

(x

0

-

1 2

)2

+

7 4

,

2

2

2

2

因此,当

1 x0= 2

时其最小值为 7 2
8

.

答案:7 2

8