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天津版2016届高三第五次月考 数学(文) Word版含答案


第五次月考数学文试题【天津版】
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试用时 120 分钟。答 卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时, 考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 注意事项: 1.每小题选出答案后,用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其他答案标号。 3.本卷共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。 参考公式: · 柱体的体积公式 V ? Sh · 如果事件 A , B 互斥,那么 1 · 锥体的体积公式 V ? Sh P( A ? B) ? P( A) ? P( B) 3 · 如果事件 A , B 相互独立,那么 P( AB) ? P( A) ? P( B) 其中 S 表示柱(锥)体的底面面 积

h 表示柱(锥)体的高 一.选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

(1)设全集为 R ,集合 A ? x x ? 3 , B ? x ? 1 ? x ? 5 ,则 A ? ?CR B ? ? (A)

?

?

?

?

? ?3, ?1?

(B)

? ?3, ?1?

(C)

? ?3,0?

(D)

? ?3,3?

(2)设 ?an ? 是公比为 q 的等比数列,则“ 0 ? q ? 1 ”是“ ?an ? 为递减数列”的 (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

1

(3)阅读右边的程序框图,运行相应的程序, 则输出的 K 和 S 值分别为

开始

5 11 6 7 (C) 13 , (D) 15 , 13 15 ?3 (4)设 a ? log3 ? , b ? log 1 ? , c ? ? ,
(A) 9 , (B) 11,
3

4 9

S ?0

K ?1



则 (A) a ? b ? c (B) b ? a ? c (C) a ? c ? b (D) c ? b ? a

K ? 10?
否 输出 K,S

S?S?

1 K ( K ? 2)
结束

x2 y 2 (5) 已知双曲线 C : 2 ? 2 ? 1 的焦距为 10 , a b 点 P(1, 2) 在 C 的渐近线上,则 C 的方程
为 (A)

K ? K ?2

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 (B) ? ?1 20 5 5 20

(C)

x2 y 2 ? ?1 80 20

(D)

x2 y 2 ? ?1 20 80

(6)若将函数 f ? x ? ? sin 2x ? cos 2x 的图象向右平移 ? 个单位,所得图象关于 y 轴对称, 则 ? 的最小正值是

8 4 (7)若 a ? 0 , b ? 0 , a ? b ? 2 ,则下列不等式中
① ab ? 1 ;② a ? b ?

(A)

?

(B)

?

(C)

3? 8

(D)

3? 4

1 1 2 ;③ a 2 ? b 2 ? 2 ;④ ? ? 2 . a b
(C)①③④ (D)②③④

对一切满足条件的 a , b 恒成立的序号是 (A)①② (B)①③

???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 (8)在边长为 1 的正三角形 ABC 中,设 BC ? 2 BD , CA ? ? CE ,若 AD ? BE ? ? ,则 ? 的值 4
为 (A)

1 2

(B) 2

(C) 第Ⅱ卷

1 3

(D) 3

注意事项: 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2.本卷共 12 小题,共 110 分。 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. (9) 某校选修乒乓球课程的学生中, 高一年级有 40 名, 高二年级有 50 名现用分层抽样的方法在这 90 名学生中抽取一个样本, 已知在高一年 级的学生中抽取了 8 名,则在高二年级的学生中应抽取的人数 为 . (10) i 是虚数单位,复数

1 ? 3i ? 1? i

.

(11)一空间几何体的三视图如右图所示,该几何体的体积
2

8 5 ,则正视图与侧视图中 x 的值为 3 2 (12)函数 f ? x ? ? ln ? x ? 2 x ? 的单调递减区间为
为 12? ? (13)过圆外一点 P 作圆的切线 PA ( A 为切点), 再作割线 PBC 依次交圆于 B , C .若 PA ? 6 , AB ? 4 , BC ? 9 ,则 AC ? .

. .

(14)已知函数 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时,

f ? x? ?

1 2

? x?a

2

? x ? 2a 2 ? 3a 2 . 若 ?x ? R , f ? x ?1? ? f ? x ? , 则 实 数 a 的 取 值 范 围

?

为 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分 13 分) 某校书法兴趣组有 3 名男同学 A , B , C 和 3 名女同学 X , Y , Z ,其年级情况如下表: 一年级 二年级 三年级 C 男同学 A B 女同学 X Y Z 现从这 6 名同学中随机选出 2 人参加书法比赛(每人被选到的可能性相同). (Ⅰ)用表中字母列举出所有可能的结果; (Ⅱ)设 M 为事件“选出的 2 人来自不同年级且性别相同”,求事件 M 发生的概率. (16) (本小题满分 13 分) 设 ?ABC 的内角 A , B , C 所对边的长分别是 a , b , c ,且 b ? 3 , c ? 1 , A ? 2 B . (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)求 sin ? A ?

? ?

??

? 的值. 4?

(17) (本小题满分 13 分) 如图甲,在平面四边形 ABCD 中,已知 ?A ? 45 , ?C ? 90 , ?ADC ? 105? , AB ? BD ,现将四
?
?

边形 ABCD 沿 BD 折起,使平面 ABD ? 平面 BDC (如图乙) ,设点 E , F 分别为棱 AC , AD 的中点. (Ⅰ)证明 DC ? 平面 ABC ; (Ⅱ)求 BF 与平面 ABC 所成角的正弦值; (Ⅲ)求二面角 B ? EF ? A 的余弦值.

(18) (本小题满分 13 分)
3

x2 y 2 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0? 的焦距为 4 ,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成 a b
正三角形. (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)设 F 为椭圆 C 的左焦点, T 为直线 x ? ?3 上任意一点,过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于 点 P , Q .证明: OT 平分线段 PQ (其中 O 为坐标原点).

(19) (本小题满分 14 分) 已知等差数列 ?an ? 的公差为 2 ,前 n 项和为 Sn ,且 S1 , S2 , S4 成等比数列. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)令 bn ? ? ?1?
n ?1

4n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an an ?1

(20) (本小题满分 14 分) 已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ax2 ? ln x . (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间;

1 2 时,证明:方程 f ( x) ? f ( ) 在区间(2, ?? )上有唯一解; 8 3 (Ⅲ)若存在均属于区间[1,3]的 ? , ? 且 ? ? ? ? 1,使 f (? ) = f ( ? ) , ln 3 ? ln 2 ln 2 ?a? 证明: . 5 3
(Ⅱ)当 a ?

参考答案
一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.每小题 5 分,满分 40 分. (1) A (5) B (2) D (6) C (10) ?1 ? 2i (13) 8 (3) B (7) C (4)C (8)D

二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题 5 分,满分 30 分. (9) 10 (12) ? ??, 0 ? (11) 3 (14) ? ?

? ?

6 6? , ? 6 6 ?

4

(16) (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:因为 A ? 2 B ,所以 sin A ? sin 2 B ? 2sin B cos B ,…………1 分 由余弦定理得 cos B ?

sin A a 2 ? c2 ? b2 ? , 2 sin B 2ac

…………3 分

所以由正弦定理可得 a ? 2b ?
2

a 2 ? c2 ? b2 . 2ac

…………5 分

因为 b ? 3 , c ? 1 ,所以 a ? 12 ,即 a ? 2 3 . (Ⅱ)解:由余弦定理得 cos A ?

…………6 分

1 b 2 ? c 2 ? a 2 9 ? 1 ? 12 ? ? ? .…………8 分 6 3 2bc

因为 0 ? A ? ? ,所以 sin A ? 1 ? cos2 A ? 1 ?

1 2 2 ? . 3 9

…………10 分

故 sin ? A ?

? ?

??

? ? ? ? sin A cos 4 ? cos A sin 4 4?
…………13 分

?

2 2 2 ? 1? 2 4? 2 . ? ? ? ? ? ?? 6 3 2 ? 3? 2

(17) (本小题满分 13 分) (Ⅰ)证明:在图甲中由 AB ? BD 且 ?A ? 45? 得 ?ADB ? 45? , ?ABC ? 90? 即 AB ? BD 在图乙中,因为平面 ABD ? 平面 BDC ,且平面 ABD ? 平面 BDC = BD 所以 AB ⊥底面 BDC ,所以 AB ⊥ CD . 又 ?DCB ? 90? ,得 DC ⊥ BC ,且 AB ? BC ? B 所以 DC ? 平面 ABC . (Ⅱ)解法 1:由 E 、 F 分别为 AC 、 AD 的中点 得 EF // CD ,又由(Ⅰ)知, DC ? 平面 ABC ,
5

…………2 分 …………3 分 …………4 分

所以 EF ⊥平面 ABC ,垂足为点 E 则 ?FBE 是 BF 与平面 ABC 所成的角

…………6 分

在图甲中,由 ?ADC ? 105? , 得 ?BDC ? 60? , ?DBC ? 30? 设 CD ? a 则 BD ? 2a , BC ? 3a , BF ?

1 1 2 BD ? 2 2a , EF ? CD ? a …………8 分 2 2

1 a 2 EF ? 2 ? 所以在 Rt ?FEB 中, sin ?FBE ? 4 FB 2a
即 BF 与平面 ABC 所成角的正弦值为

2 . 4

…………9 分

解法 2:如图,以 B 为坐标原点, BD 所在的直线为 x 轴建立空间直角坐标系如下图示, 设 CD ? a ,则 BD ? AB ? 2a, BC ? 3a , AD ? 2 2a …………6 分 可得 B (0, 0, 0) , D(2a, 0, 0) , A(0, 0, 2a ) , C ( a,

3 2

3 a, 0) , F (a, 0, a ) , 2
F E

Z A

所以 CD ? ( a, ?

??? ?

1 2

??? ? 3 a, 0) , BF ? (a, 0, a) …………8 分 2
X D C

设 BF 与平面 ABC 所成的角为 ? 由(Ⅰ)知 DC ? 平面 ABC

B y

1 2 ??? ? ??? ? a 2 CD ? BF ? ? ???? ? ? 2 所以 cos( ? ? ) ? ??? 4 2 | CD | ? | BF | a ? 2a

?

即 sin ? ?

2 4

…………9 分

(Ⅲ)由(Ⅱ)知 EF ⊥平面 ABC , 又因为 BE ? 平面 ABC , AE ? 平面 ABC ,所以 FE ⊥ BE , FE ⊥ AE , 所以 ?AEB 为二面角 B ? EF ? A 的平面角 …………11 分 在 ?AEB 中, AE ? BE ?

1 7 1 AB 2 ? BC 2 ? a AC ? 2 2 2

所以 cos ?AEB ?

AE 2 ? BE 2 ? AB 2 1 ?? 2 AE ? BE 7
1 . 7
…………13 分

即所求二面角 B ? EF ? A 的余弦为 ? (18) (本小题满分 13 分)

6

(Ⅰ)解:由已知可得 ?
2

? ?

a 2 ? b2 ? 2b
2 2



? ?2c ? 2 a ? b ? 4
2

…………2 分

解得 a ? 6 , b ? 2 , 所以椭圆 C 的标准方程是

…………4 分

x2 y 2 ? ? 1 . …………6 分 6 2

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)可得, F 的坐标是 ? ?2,0 ? ,设 T 点的坐标为 ? ?3, m ? , 则直线 TF 的斜率 kTF ?

m?0 ? ?m . ?3 ? (?2)
1 .直线 PQ 的方程是 x ? my ? 2 . m

当 m ? 0 时,直线 PQ 的斜率 k PQ ?

当 m ? 0 时,直线 PQ 的方程是 x ? ?2 ,也符合 x ? my ? 2 的形式.…………8 分 设 P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? ,将直线 PQ 的方程与椭圆 C 的方程联立,
2 2 消去 x ,得 m ? 3 y ? 4my ? 2 ? 0 , 2 2 其判别式 ? ? 16m ? 8 m ? 3 ? 0 .

?

?

?

?

所以 y1 ? y2 ?

4m ?2 , y1 y2 ? 2 , 2 m ?3 m ?3 ?12 . x1 ? x2 ? m ? y1 ? y2 ? ? 4 ? 2 m ?3

…………10 分

设 M 为 PQ 的中点,则 M 点的坐标为 ? 所以直线 OM 的斜率 kOM ? ?

2m ? ? ?6 , 2 ?. 2 ? m ?3 m ?3?

m m ,又直线 OT 的斜率 kOT ? ? ,…………12 分 3 3
…………13 分

所以点 M 在直线 OT 上,因此 OT 平分线段 PQ . (19) (本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:因为 S1 ? a1 , S 2 ? 2a1 ?
2

2 ?1 4?3 ? 2 ? 2a1 ? 2 , S4 ? 4a1 ? ? 2 ? 4a1 ? 12 , 2 2

由题意得 ? 2a1 ? 2 ? ? a1 ? 4a1 ? 12 ? ,解得 a1 ? 1 ,所以 an ? 2n ? 1. …………6 分 (Ⅱ)解:由题意可知,

bn ? ? ?1?

n ?1

4n 4n 1 1 ? n ?1 n ?1 ? ? ? ?1? ? ? ?1? ? ? ? .……8 分 an an?1 ? 2n ?1?? 2n ? 1? ? 2n ? 1 2 n ? 1 ?

当 n 为偶数时,

7

1 ? ? 1? ?1 1? ? 1 Tn ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3? ? 3 5? ? 2n ? 3 2 n ? 1 ?
? 1? 1 2n ? . 2n ? 1 2 n ? 1

1 ? ? 1 ?? ? ? ? 2n ? 1 2 n ? 1 ?
…………11 分

当 n 为奇数时,

1 ? ? 1 1 ? ? 1? ?1 1? ? 1 Tn ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 3? ? 3 5? ? 2 n ? 3 2 n ? 1 ? ? 2n ? 1 2 n ? 1 ?
? 1? 1 2n ? 2 ? . 2n ? 1 2 n ? 1
…………14 分

? 2n ? 2 , n为奇数 ? 2n ? 1 ? (?1) n ?1 ? 2n ? 1 所以 Tn ? ? .(或 Tn ? ) 2n ? 1 ? 2n , n为偶数 ? ? 2n ? 1
(20) (本小题满分 14 分)
2 (Ⅰ)解:函数 f ( x) 的定义域 (0, ??) , f ?( x) ? 2ax ? 1 ? 2ax ? 1 x x

…………2 分

2a ,令 f ?( x) ? 0 得: 0 ? x ? 2a …………4 分 2a 2a 2a 2a ∴函数 f ( x) 的单调递减区间为 (0, ) ,单调递增区间为 ( , ??) …………5 分 2a 2a
? a ? 0 令 f ?( x) ? 0 得: x ?

(注:检验 g ( x) 的函数值异号的点选取并不唯一) (Ⅲ)证明:由 f (? ) ? f ( ? ) 及(Ⅰ)的结论知 ? ? 从而 f ( x ) 在 [? , ? ] 上的最大值为 f (? ) (或 f ( ? ) ) ,

2a ??, 2a

…………10 分 …………11 分 …………12 分 …………13 分 …………14 分

又由 ? ? ? ? 1, ? , ? ? [1,3] ,知 1 ? ? ? 2 ? ? ? 3 .

?a ? 4a ? ln 2 ? f (1) ? f (? ) ? f (2) ,即 ? . ?9a ? ln 3 ? 4a ? ln 2 ? f (3) ? f ( ? ) ? f (2) ln 3 ? ln 2 ln 2 ?a? 从而 . 5 3
故?

8


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