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福州市八县一中2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题


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八县一中 2014-2015 学年高一上学期期末考试数学试题
第Ⅰ卷 一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题意要求的.)
1.用任意一个平面截一个几何体,各个截面都是圆面,则这个几何体一定是( A.圆柱 B.圆锥 C.球体 ) D.圆柱、圆锥、球的组合体

2.已知 A(-1,3) 、B(3,-1) ,则直线 AB 的倾斜角为( ) o o o o A. 45 B. 60 B. 120 D. 135 3.已知直线 l1 : y ? 2 x ? 1 ,若直线 l2 与 l1 关于直线 x ? 1 对称,则 l2 的斜率为( A.-2 1 B.- 2 1 C. 2 D.2 )

)

4. l1 , l2 , l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( A. l1 ? l2 , l2 ? l3 ? l1 P l3 C. l1 P l2 P l3 ? l1 , l2 , l3 共面

B. l1 ? l2 , l2 P l3 ? l1 ? l3 D. l1 , l2 , l3 共点 ? l1 , l2 , l3 共面

5.在空间直角坐标系中一点 P(1,3,4)到 x 轴的距离是( ) A.5 B. 10 C. 17 D. 26 6.若两条平行线 l1 , l2 的方程分别是 2x+3my-m+2=0, mx+6y-4=0,记 l1 , l2 之间的距离为 d, 则 m,d 分别为( 4 13 A. m=2,d= 13 ) B. m=2,d= 10 5

2 10 10 C. m=2,d= D. m=–2,d= 5 5 7.设 l , m 是两条不同直线, ? , ? 是两个不同平面,下列命题正确的是( A.若 l ? m, m ? ? ,则 l



??

B.若 l P ? , l P ? ,则 ? //? D.若 l P ? , ? ? ? ,则 l ? ?
2 2

C.若 l ? ? , l P m ,则 m ? ?

8.直线 y =— 3x 绕原点按逆时针方向旋转 900 后所得直线与圆 (x-2) +y =1 的位置关系是(



A.直线过圆心 B.直线与圆相交,但不过圆心 C.直线与圆相切 D.直线与圆没有公共点 9. 平面 α 的斜线l 与平面 α 所成的角是 45°, 则斜线l 与平面 α 内所有不过斜足的直线所成的角中, 最大的角是( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 10.一个正八面体的八个顶点都在同一个球面上,如果该正八面体的棱长为 2 .则这个球的表面积 为( ) A. ? B. 2? C. 4? D.

?
2


11.点 P(4,-2)与圆 x 2+y 2=4 上任一点连线的中点的轨迹方程是(
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A. ( x ? 2) +(y ? 1) = 1
2 2

B. ( x ? 2) +(y ? 1) = 4
2 2

C. ( x ? 4) 2+(y ? 2) 2= 4 12.设集合 A ? {( x, y ) | A. a ? ? 2 C. a ? 个,则实数 a 的取值范围是( )

D. ( x ? 2) 2+(y ? 1) 2= 1

y ? x} 与集合 B ? {( x, y ) | x ? a ? 1 ? y 2 , a ? R} ,若 A ? B 的元素只有一
B. ?1 ? a ? 1 或 a ? ? 2 D. ?1 ? a ? 1 或 a ? ? 2

2 或 ?1 ? a ? 1

第Ⅱ卷 二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.将答案填在答题卡的相应位置 上.)
13.若直线 y ? 3 x ? b 过圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 0 的圆心,则 b ? ________.
2 2

14.一个圆锥的轴截面是个边长为 2 的正三角形,这个圆锥的侧面积等于 15.在直角三角形 ABC 中,点 D 是斜边 AB 的中点, |PA|2+|PB|2 点 P 为线段 CD 的中点,则 =__________. |PC|2

.

16.如图是一几何体的平面展开图,其中 ABCD 为正方形,E,F 分别为 PA,PD 的中点.在此几何 体中,给出下面四个结论: ①B,E,F,C 四点共面; ②直线 BF 与 AE 异面; ③直线 EF∥平面 PBC; ④平面 BCE⊥平面 PAD;. ⑤折线 B→E→F→C 是从 B 点出发,绕过三角形 PAD 面,到达点 C 的一条最短路径. 其中正确的有_____________.(请写出所有符合条件的序号)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程)
17. (本大题 12 分)已知直线 l:kx-y+1-2k=0(k∈R). (1)证明:直线 l 过定点; (2)若直线 l 交 x 轴正半轴于点 A, 交 y 轴正半轴于点 B, O 为坐标原点, 且|OA|=|OB|, 求 k 的值。

18. (本大题 12 分)有 100 件规格相同的铁件(铁的密度是 7.8g/cm3) ,该铁件的三视图如图所示, 其中正视图,侧视图均是由三角形与半圆构成,俯视图由圆与内接三角形构成(图中单位 cm). (1)指出该几何体的形状特征; (2)根据图中的数据,求出此几何体的体积; (3)问这 100 件铁件的质量大约有多重 (π 取 3.1, 2 取 1.4)?

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19.(本大题 12 分)已知点 M (2, 0) ,两条直线 l1 : 2 x ? y ? 3 ? 0 与 l2 : 3 x ? y ? 6 ? 0 ,直线 l 经过 点 M,并且与两条直线 l1、l2 分别相交于 A( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 ) 两点. (1)若 A 与 B 重合,求直线 l 的方程(结果都写成一般方程形式) ; (2)若 x1 ? x2 ? 0 ,求直线 l 的方程.

O 是正方形 ABCD 的中心, PO ? 20( .本大题 12 分) 如图, 四棱锥 ABCD 中, 底面 ABCD 是正方形, 底面 ABCD , E 是 PC 的中点。求证: P (1) PA ∥平面 BDE ; (2)平面 PAC ? 平面 BDE ;
E

D O A B

C

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21. (本小题满分 12 分)如图,已知正三角形 ABC 的边长为 6,将△ ABC 沿 BC 边上的高线 AO 折 起,使 BC ? 3 2 ,得到三棱锥 A ? BOC .动点 D 在边 AB 上. (1)求证: OC ? 平面 AOB ; (2)当点 D 为 AB 的中点时,求异面直线 AO、CD 所成角的正切值; (3)求当直线 CD 与平面 AOB 所成角最大时的正切值.
A

D

E O C

B

2 2 2 22. (本小题满分 14 分)已知圆 C : x ? y ? 2 x ? 4my ? 4m ? 0 ,圆 C1 : x ? y ? 25 ,以及直线
2 2

l : 3x ? 4 y ? 15 ? 0 .
(1)求圆 C1 : x ? y ? 25 被直线 l 截得的弦长;
2 2

(2)当 m 为何值时,圆 C 与圆 C1 的公共弦平行于直线 l ; (3)是否存在 m ,使得圆 C 被直线 l 所截的弦 AB 中点到点 P(2,0) 距离等于弦 AB 长度的一半?若 存在,求圆 C 的方程;若不存在,请说明理由.

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2014--2015 年度第一学期八县(市)一中期末联考

高中 一 年 数学 科答题卷
考试日期: 1 月 28 日
1~12

.

完卷时间: 120 分钟
13~16 17 18 19

满分: 150 分
20 21 22 总分

准考号:

一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分)
.

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

座号

二、填空题: (每小题 4 分,共 16 分) 13 15 14 16

姓名

三、解答题: (12+12+12+12+12+14)
17.

班级

学校

18.
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19.

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20.
P

E

D O A B

C

21.

A

D

E O C

B

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. 封????装????订???线--------

22.

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2014---2015 学年度第一学期八县(市)一中期末联考 高中 一 年 数学 科试卷参考答案
一、选择题:(每题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 C 2 D 3 A 4 B 5 A 6 B 7 C 8 C 9 D 10 B 11 A 12 D

二、填空题:(每小题 4 分,共 16 分) 13. 5 . 14. 2π . 15. 10 . 三、解答题:(共 74 分)

16. ①②③

17. (本题满分 12 分) 解:(1)证明:法一:直线 l 的方程可化为 y-1=k(x-2), 故无论 k 取何值,直线 l 总过定点(2,1).????6 分 法二:设直线过定点(x0,y0),则 kx0-y0+1-2k=0 对任意 k∈R 恒成立, 即(x0-2)k-y0+1=0 恒成立, ∴x0-2=0,-y0+1=0,
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解得 x0=2,y0=1,故直线 l 总过定点(2,1).????6 分 (2)因直线 l 的方程为 y=kx-2k+1, 1 则直线 l 在 y 轴上的截距为 1-2k,在 x 轴上的截距为 2- , k 1 1 依题意:1-2k=2- >0 解得 k=-1 或 k= (经检验,不合题意) k 2 所以所求 k=-1 ????12 分 18. (本题满分 12 分) 解:(1)由三视图可知,该几何体是个组合体; 上部分是个正三棱锥,其三条侧棱两两垂直; 下部分为一个半球, 并且正三棱锥的一个侧面与半球的底 面相切。????3 分 (2)由图可知:

1 1 1 ????5 分 V三棱锥 ? ( ?1?1) ?1 ? 3 2 6 2 球半径 r ? ????6 分 2 2 2 2? ????8 分 V半球 = ? ? ( )3 ? 3 2 6 1 ? 2? 所以该几何体体积 V半球 ? ????9 分 6
(3) 这 100 件铁件的质量 m:

m ? 100 ?

1 ? 2? ? 7.8 ? 130 ? (1 ? 1.4 ? 3.1) ????11 分 6 ? 130 ? 5.34 ? 694( g )

答:这批铁件的质量超过 694g。??12 分 19. (本题满分 12 分) 解:(1)当 A 与 B 重合,直线 l 经过直线 l1,l2 的交点, 由直线 l1,l2 方程联立方程组 ?

?2 x ? y ? 3 ? 0, ?3 x ? y ? 6 ? 0.

3 ? 21 x?? ?0 ? 21 ? 5 ?? ; 解得: ? ,所以直线 l 的斜率 k ? 5 3 13 ? y ? 21 ? ?2 5 ? 5 ?
代入点斜式得:直线 l 的方程为 21x ? 13 y ? 42 ? 0 ;????6 分; (2)显然,当直线 l 的斜率不存在时,即 x=2 时,不合题意; 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) ;????8 分
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把 y ? k ( x ? 2) 代入直线 l1 : 2 x ? y ? 3 ? 0 , 可得: x1 ?

3 ? 2k ; 2?k

把 y ? k ( x ? 2) 代入直线 l2 : 3 x ? y ? 6 ? 0 , 可得: x2 ?

2k ? 6 ; k ?3

????10 分

令 x1 ? x2 ? 0 ,并化简得: 4k 2 ? 7 k ? 3 ? 0 ,解得 k ? ?1或k ? ?

3 4

所以所求直线 l 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 或 3 x ? 4 y ? 6 ? 0 。????12 分 20. (本题满分 12 分) 证明: (1)连结 OE .

Q O是AC的中点,E是PC的中点 ? OE //PAL L L L L 3分 Q OE ? 平面BDE , PA ? 平面BDE ? PA//平面BDE L L L 6分
(2)

Q PO ? 底面ABCD ? PO ? BD L L L L L L 8分 Q 四边形ABCD是正方形 ? BD ? AC L L L L L L L 9分 Q PO ? AC ? O且PO、AC ? 平面PAC ? BD ? 平面PAC L L L L 10分 Q BD ? 平面BDE ? 平面PAC ? 平面BDE L L L 12分
21.(本题满分 12 分) 解:(1)

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Q AO是BC边上的高线 ? AO ? OC Q 三角形ABC是边长为6的正三角形 ? OC ? OB ? 3 Q BC ? 3 2 ? OC ? OB ? 18 ? BC
2 2 2

? OC ? OB L L L L L L L L L L 2分 Q AO ? OB ? O且AO、OB ? 平面AOB ? OC ? 平面AOB L L L L L L L L 3分
(2)取OB的中点E,连接DE、CE,因为D为AB中点,所以DE //AO ??CDE即为异面直线AO与CD所成角L L L L L L L L L 4分 Q AO ? OC , AO ? OB且OB ? OC ? O, OB、OC ? 平面BOC ? AO ? 平面BOC ? DE ? 平面BOC ? DE ? CE Q 在Rt ?AOB中, AO ? 62 ? 32 ? 3 3 ? DE ? Q 在Rt ?COE中, CE ? CO ? OE CE
2 2 2

1 3 3 AO ? 2 2
2

3 5 ?3? ? 3 ?? ? ? L L L L L 6分 2 ?2?

3 5 15 ? 在Rt ?DEC中, tan ?CDE ? ? 2 ? DE 3 3 3 2 15 ? 异面直线AO与CD所成角的正切值为 .L L L L L L 7分 3

(3) Q CO ? OB, CO ? AO且OB ? AO ? O, AO、OB ? 平面AOB ? CO ? 平面AOB 连接DO, 则斜线CD在平面AOB内的射影为OD, ??CDO即为直线CD与平面AOB所成角L L L L L 9分 Q tan ?CDO ? CO 3 ? OD OD

? 要使 tan ?CDO的值最大,则 OD 取得最小值 因为D为AB上的动点,所以当OD ? AB时 OD 取最小值 L L L L 10分 此时由等面积法可得 OA ? OB ? AB ? OD 即3 3 ? 3 ? 6 ? OD

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? OD ?

3 3 2 3 3 3 2 ? 2 3 3 2 3 .L L L L L L 12分 3

? tan ?CDO ?

? 直线CD与平面AOB所成角最大值的正切值为
22. (本小题满分 14 分)

解:(1)因为圆 C1 : x ? y ? 25 的圆心 O (0,0) ,半径 r=5,
2 2

所以,圆心 O 到直线 l : 3x ? 4 y ? 15 ? 0 的距离 d:

d?
2

| 3 ? 0 ? 4 ? 0 ? 15 | 32 ? 42
2

? 3 ,由勾股定理可知,

2 2 圆 C1 : x ? y ? 25 被直线 l 截得的弦长为 2 r ? d ? 2 25 ? 9 ? 8 .??4 分

(2)圆 C 与圆 C1 的公共弦方程为 2x ? 4my ? 4m ? 25 ? 0 ,
2

2 4m ? 因为该公共弦平行于直线 l ,令 3 ?4 ,解得: m =-1????7 分
经检验 m =-1 符合题意,故所求 m= - 1 ; (3)假设这样实数 m 存在. ??????8 分

设弦 AB 中点为 M,由已知得 | AB |? 2 | PM | ,即 | AM |?| BM |?| PM | 所以点 P(2,0) 在以弦 AB 为直径的圆上。 ??????10 分 设以弦 AB 为直径的圆方程为: x ? y ? 2 x ? 4my ? 4m ? ? (3 x ? 4 y ? 15) ? 0 ,
2 2 2

?22 ? 2 ? 2 ? 4m 2 ? ? (3 ? 2 ? 15) ? 0 ? 4 m 2 ? 9? ? 0 ? ?? 则? 2 ? 3? 4? ? 4 m ? 4? ? 15 ? 0 ?16m ? 25? ? 24 ? 0 ?3 ? ? 2 2
消去 ? 得: 100m 2 ? 144m ? 216 ? 0 , 25m 2 ? 36m ? 54 ? 0 因为 ? ? 36 ? 4 ? 25 ? 54 ? 36(36 ? 25 ? 6) ? 0
2

所以方程 25m ? 36m ? 54 ? 0 无实数根,
2

所以,假设不成立,即这样的圆不存在。
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2014---2015 学年度第一学期八县(市)一中期末联考 高中 一 年 数学 科试卷参考答案
一、选择题:(每题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 C 2 D 3 A 4 B 5 A 6 B 7 C 8 C 9 D 10 B 11 A 12 D

二、填空题:(每小题 4 分,共 16 分) 13. 5 . 14. 2π . 15. 10 . 三、解答题:(共 74 分)

16. ①②③

17. (本题满分 12 分) 解:(1)证明:法一:直线 l 的方程可化为 y-1=k(x-2), 故无论 k 取何值,直线 l 总过定点(2,1).????6 分 法二:设直线过定点(x0,y0),则 kx0-y0+1-2k=0 对任意 k∈R 恒成立, 即(x0-2)k-y0+1=0 恒成立, ∴x0-2=0,-y0+1=0, 解得 x0=2,y0=1,故直线 l 总过定点(2,1).????6 分 (2)因直线 l 的方程为 y=kx-2k+1, 1 则直线 l 在 y 轴上的截距为 1-2k,在 x 轴上的截距为 2- , k 1 1 依题意:1-2k=2- >0 解得 k=-1 或 k= (经检验,不合题意) k 2 所以所求 k=-1 ????12 分 18. (本题满分 12 分) 解:(1)由三视图可知,该几何体是个组合体; 上部分是个正三棱锥,其三条侧棱两两垂直; 下部分为一个半球, 并且正三棱锥的一个侧面与半球的底 面相切。????3 分 (2)由图可知:

1 1 1 ????5 分 V三棱锥 ? ( ?1?1) ?1 ? 3 2 6 2 球半径 r ? ????6 分 2 2 2 2? ????8 分 V半球 = ? ? ( )3 ? 3 2 6 1 ? 2? 所以该几何体体积 V半球 ? ????9 分 6
(3) 这 100 件铁件的质量 m:

m ? 100 ?

1 ? 2? ? 7.8 ? 130 ? (1 ? 1.4 ? 3.1) ????11 分 6 ? 130 ? 5.34 ? 694( g )
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答:这批铁件的质量超过 694g。??12 分 19. (本题满分 12 分) 解:(1)当 A 与 B 重合,直线 l 经过直线 l1,l2 的交点, 由直线 l1,l2 方程联立方程组 ?

?2 x ? y ? 3 ? 0, ?3 x ? y ? 6 ? 0.

3 ? 21 x?? ?0 ? 21 ? 5 解得: ? ,所以直线 l 的斜率 k ? 5 ?? ; 3 13 ? y ? 21 ? ?2 5 ? 5 ?
代入点斜式得:直线 l 的方程为 21x ? 13 y ? 42 ? 0 ;????6 分; (2)显然,当直线 l 的斜率不存在时,即 x=2 时,不合题意; 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) ;????8 分 把 y ? k ( x ? 2) 代入直线 l1 : 2 x ? y ? 3 ? 0 , 可得: x1 ?

3 ? 2k ; 2?k

把 y ? k ( x ? 2) 代入直线 l2 : 3 x ? y ? 6 ? 0 , 可得: x2 ?

2k ? 6 ; k ?3

????10 分

令 x1 ? x2 ? 0 ,并化简得: 4k 2 ? 7 k ? 3 ? 0 ,解得 k ? ?1或k ? ?

3 4

所以所求直线 l 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 或 3 x ? 4 y ? 6 ? 0 。????12 分 20. (本题满分 12 分) 证明: (1)连结 OE .

Q O是AC的中点,E是PC的中点 ? OE //PAL L L L L 3分 Q OE ? 平面BDE , PA ? 平面BDE ? PA//平面BDE L L L 6分
(2)

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Q PO ? 底面ABCD ? PO ? BD L L L L L L 8分 Q 四边形ABCD是正方形 ? BD ? AC L L L L L L L 9分 Q PO ? AC ? O且PO、AC ? 平面PAC ? BD ? 平面PAC L L L L 10分 Q BD ? 平面BDE ? 平面PAC ? 平面BDE L L L 12分
21.(本题满分 12 分) 解:(1)

Q AO是BC边上的高线 ? AO ? OC Q 三角形ABC是边长为6的正三角形 ? OC ? OB ? 3 Q BC ? 3 2 ? OC ? OB ? 18 ? BC
2 2 2

? OC ? OB L L L L L L L L L L 2分 Q AO ? OB ? O且AO、OB ? 平面AOB ? OC ? 平面AOB L L L L L L L L 3分
(2)取OB的中点E,连接DE、CE,因为D为AB中点,所以DE //AO ??CDE即为异面直线AO与CD所成角L L L L L L L L L 4分 Q AO ? OC , AO ? OB且OB ? OC ? O, OB、OC ? 平面BOC ? AO ? 平面BOC ? DE ? 平面BOC ? DE ? CE Q 在Rt ?AOB中, AO ? 62 ? 32 ? 3 3 ? DE ? Q 在Rt ?COE中, CE ? CO ? OE CE
2 2

1 3 3 AO ? 2 2
2

3 5 ?3? ? 32 ? ? ? ? L L L L L 6分 2 2 ? ?

3 5 15 ? 在Rt ?DEC中, tan ?CDE ? ? 2 ? DE 3 3 3 2 15 ? 异面直线AO与CD所成角的正切值为 .L L L L L L 7分 3

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(3) Q CO ? OB, CO ? AO且OB ? AO ? O, AO、OB ? 平面AOB ? CO ? 平面AOB 连接DO, 则斜线CD在平面AOB内的射影为OD, ??CDO即为直线CD与平面AOB所成角L L L L L 9分 Q tan ?CDO ? CO 3 ? OD OD

? 要使 tan ?CDO的值最大,则 OD 取得最小值 因为D为AB上的动点,所以当OD ? AB时 OD 取最小值 L L L L 10分 此时由等面积法可得 OA ? OB ? AB ? OD 即3 3 ? 3 ? 6 ? OD
? OD ? 3 3 2 3 3 3 2 ? 2 3 3 2 3 .L L L L L L 12分 3

? tan ?CDO ?

? 直线CD与平面AOB所成角最大值的正切值为
22. (本小题满分 14 分)

解:(1)因为圆 C1 : x ? y ? 25 的圆心 O (0,0) ,半径 r=5,
2 2

所以,圆心 O 到直线 l : 3x ? 4 y ? 15 ? 0 的距离 d:

d?
2

| 3 ? 0 ? 4 ? 0 ? 15 | 32 ? 42
2

? 3 ,由勾股定理可知,

2 2 圆 C1 : x ? y ? 25 被直线 l 截得的弦长为 2 r ? d ? 2 25 ? 9 ? 8 .??4 分

(2)圆 C 与圆 C1 的公共弦方程为 2x ? 4my ? 4m ? 25 ? 0 ,
2

2
因为该公共弦平行于直线 l ,令 3

?

4m ?4 ,解得: m =-1????7 分
??????8 分

经检验 m =-1 符合题意,故所求 m= - 1 ; (3)假设这样实数 m 存在.

设弦 AB 中点为 M,由已知得 | AB |? 2 | PM | ,即 | AM |?| BM |?| PM | 所以点 P(2,0) 在以弦 AB 为直径的圆上。 ??????10 分

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2 2 2

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设以弦 AB 为直径的圆方程为: x ? y ? 2 x ? 4my ? 4m ? ? (3 x ? 4 y ? 15) ? 0 ,

?22 ? 2 ? 2 ? 4m 2 ? ? (3 ? 2 ? 15) ? 0 ? 4 m 2 ? 9? ? 0 ? ?? 则? 2 ? 3? 4? ? 4 m ? 4? ? 15 ? 0 ?16m ? 25? ? 24 ? 0 ?3 ? ? 2 2
消去 ? 得: 100m 2 ? 144m ? 216 ? 0 , 25m 2 ? 36m ? 54 ? 0 因为 ? ? 36 ? 4 ? 25 ? 54 ? 36(36 ? 25 ? 6) ? 0
2

所以方程 25m 2 ? 36m ? 54 ? 0 无实数根, 所以,假设不成立,即这样的圆不存在。 ??????14 分

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