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18-19学年高中数学 第三章 三角恒等变形 2 第2课时 两角和与差的正切函数 必修4_图文

第2课时 两角和与差的正切函数

两角和与差的正切公式

名称

公式

成立条件

两角和 的正切 (Tα+β)

tan(αtan α-+tan β = 1+tan αtan β

β) α,β,α+β≠kπ+π2

.

(k∈Z)

两角差 的正切

ttaannα(-α-tanββ)

α,β,α-β≠kπ+π2

(Tα-β) =1+tan αtan β .

(k∈Z)

对于两角和与差的正切公式,你能写出它的几种变形吗?
提示:常见的变形公式有: ①tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β); ②tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β); ③tan α+tan β+tan αtan βtan(α+β)=tan(α+β); ④tan(α+β)-tan α-tan β=tan αtan βtan(α+β); ⑤1-tan αtan β=tatnanα?+α+taβn?β;
⑥1+tan αtan β=tatnanα?-α-taβn?β.

1.算:(1)11- +ttaann 7755°°=________; (2)tan 10°+tan 50°+ 3tan 10°tan 50°=________.

[尝试解答(1)法一:∵tan 75°=tan(45°+30°)

=1t-ant4a5n°4+5°ttaann3300°°=11+ -

3 33=33+ -
3

33=2+

3

∴11- +ttaann 7755°°=11-+?22++ 33?=3+3+31=- 33.

法二:原式=1t-ant4a5n°4-5°ttaann7755°°
=tan(45°-75°)=-tan 30°=- 33. (2)∵1t-ant1a0n°1+0°ttaann5500°°=tan 60°, ∴原式=tan 60°(1-tan 10°tan 50°)+ 3tan 10°tan 50° = 3- 3tan 10°tan 50°+ 3tan 10°tan 50°= 3.

利用两角和与差的正切公式解决给角求值问题,关键是 对公式的灵活运用,既要会“正用”还要会“逆用”和“变形” 用,如进行“1”的代换,常见 1=tan 45°,及变形公式 tan α +tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β)等.

1.计算:(1)ssiinn

15°+cos 15°-cos

1155°°=________;

(2)(1+tan 22°)(1+tan 23°)=________.

解析:(1)原式=ttaann 1155°°+-11=ttaann4155°°t+ant1a5n°4-5°1 =-tan(15°+45°)=-tan 60°=- 3. (2)原式=1+tan 23°+tan 22°+tan 22°tan 23° =1+tan(22°+23°)(1-tan 22°tan 23°)+tan 22°tan 23° =1+1×(1-tan 22°tan 23°)+tan 22°tan 23°=2.
答案:(1)- 3 (2)2

2.知 tan(α+β)=25,tan(β-π4)=14,求 tan(α+π4).
[尝试解答]∵tan(α+β)=25,tan(β-π4)=14, ∴tan(α+π4)=tan[(α+β)-(β-π4)] =1t+an?taαn+?αβ+?-β?ttaann??ββ--π4π4??=1+25-25×14 14=232.

“给值求值”即给出某些角的三角函数的值,求 另外一些角的三角函数值,解题的关键在于先用公式 分析待求问题需要什么,然后利用化归的思想,把未 知向已知转化.解题过程中需多加注意角的范围,必 要时实行拆分角.

2. 已知 sin(π+θ)=-35,tan φ=12,并且 θ 是第二象限 的角,求 tan(θ-φ)的值.
解:∵sin(π+θ)=-sin θ=-35,∴sin θ=35. 又 θ 是第二象限角,∴cos θ=- 1-sin2θ=-45, ∴tan θ=csoins θθ=-34,又 tan φ=12, ∴tan(θ-φ)=1t+antθa-n θttaannφφ=1+-?-34-34?12×12=-2.

3.已知 tan(α-β)=12,tan β=-17,且 α,β∈(0,π), 求 2α-β 的值.
[尝试解答] ∵tan(α-β)=1t+antαan-αttaannββ=12, ∴1t+antαan-α??--1717??=12.∴tan α=13.∴tan π4=1>tan α=13> 0.

又∵α∈(0,π),∴α∈(0,π4).∴2α∈(0,π2). ∵β∈(0,π),tan β=-17,∴β∈(π2,π).∴-π<2α-β <0. ∴tan(2α-β)=tan[(α-β)+α]=1t-an?taαn-?αβ-?+β?ttaannαα
=1-12+12×13 13=1>0, ∴2α-β =-34π.

在求角问题中,常常因出现忽视角的范围出现增 根而不能排除的错误,因此在解答该类问题时,应尽 量缩小角的范围,使得该范围内的角和所求得的函数 值一一对应.

3.若 tan α,tan β 是方程 x2+3 3x+4=0 的两根,且 α,β∈(-π2,π2),则 α+β=________.
解析:由题意得 tan α+tan β=-3 3<0,tan α×tan β= 4>0,∴tan α<0,tan β<0,∴α,β∈(-π2,0),∴α+β∈(-π, 0),而 tan(α+β)=1t-antαan+αttaannββ=-1-3 43= 3,∴α+β=-23 π.
答案:-23π

已知tanθ=1,sin(2θ+φ)=3sin φ,试求tan(θ+φ)的 值.
[错解] 由 tan θ=1,可设 θ=π4, 代入 sin(2θ+φ)=3sin φ,得 cos φ=3sin φ,即 tan φ=13. ∴tan(θ+φ)=tan(π4+φ)=1t-antaπ4n+π4ttaannφφ=11+ -1313=2.

[错因] 上述解法犯了以特殊代替一般的错误,是不完
整的错误解法.本题应注意从 tan θ=1 解得 θ=kπ+π4 (k∈Z),从而可把 θ 代入 sin(2θ+φ)=3sin φ 得解.另外, 若注意到角的变化:2θ+φ=(θ+φ)+θ,φ=(θ+φ)-θ,仍 可得解.

[正解] 法一:由 tan θ=1,得 θ=kπ+π4(k∈Z),
故 sin(2θ+φ)=sin(π2+φ)=cos φ.
∵sin(2θ+φ)=3sin φ,∴tan φ=13.
∴tan(θ+φ)=tan(π4+φ)=1t-antaπ4n+π4ttaannφφ=11+-1313=2. 法二:由 sin(2θ+φ)=3sin φ, 可得 sin[(θ+φ)+θ]=3sin[(θ+φ)-θ]. 由两角和、差的正弦公式得 2cos(θ+φ)sin θ=sin(θ+φ)cos θ. ∴2tan θ=tan(θ+φ).∴tan(θ+φ)=2.

1.tan 195°的值为( ) A.2+ 3 B.2- 3

C. 3-1

D. 3-2

解析:选 B
1-tan 30° 1+tan 30°

tan 195°= tan 15°= tan(45°- 30°) =

1- =
1+

3 33=2- 3

3.

2.已知 α∈(π2,π),sin α=35,则 tan(α+π4)等于( )

1 A.7

B.7

C.-17

D.-7

解析:选 A∵sin α=35,α∈(π2,π),

∴cos α=- 1-sin2α=-45.∴tan α=csoins αα=-34,

π tan α+tan

∴tan(α+

4

)= 1-tan

αtan

π 4π=17. 4

3.已知 tan α+tan β=2,tan(α+β)=4,则 tan αtan β =( )

A.2

B.1

C.12

D.4

解析:选 C 由 tan(α+β)=1t- antαan+αttaannββ,得

tan αtan β=1-tatnanα?+α+taβn?β=1-24=12.

4.已知 tan(α-π4)=2,则 tan α 等于________.
解析:∵tan(α-π4)=2,∴t1a+n αta-n α1=2, 解得 tan α=-3.
答案:-3

5.(新课标全国Ⅱ)设 θ 为第二象限角,若 tan????θ+π4????=12,则 sin θ+cos θ=________.
解析:本题考查同角三角函数关系式以及两角和三角函数公 式的基本运用,意在考查考生灵活运用知识解决问题的能力 以及合理选取解法的能力.
法一:由 θ 在第二象限,且 tan????θ+π4????=12, 因而 sin????θ+π4????=- 55,

因而 sin θ+cos θ= 2 sin????θ+π4????=- 510. 法二:如果将 tan????θ+π4????=12利用两角和的正切公式展开, 则t1a-n θta+n 1θ=12,求得 tan θ=-13.

又因为 θ 在第二象限,则 sin θ=

110,cos θ=-

3, 10

从而 sin θ+cos θ=- 210=- 510.

答案:-

10 5

6.已知 tan α=13,cos β=- 55.若 0°<α<90°<β<180°, 求 α+β 的值.
解:(1)∵cos β=- 55,90°<β<180°, ∴sin β= 1-cos2β=25 5. ∴tan β=csoins ββ=-2,又 tan α=13. ∴tan(α+β)=1t-antαan+αttaannββ=-1. ∵0°<α<90°<β<180°,∴90°<α+β<270°.∴α+β=135°.