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中考数学压抽题20

2013 中考数学压轴题菱形问题精选解析(三) 例 5 已知菱形 ABCD 中,BD 为对角线,P、Q 两点分别在 AB、BD 上,且满足∠PCQ=∠ ABD. (1)如图 1,当∠BAD=90° 时,求证: 2DQ+BP=CD; (2)如图 2,当∠BAD=120° 时,试探究线段 DQ、BP、CD 之间的数量关系,并证明你的 结论; (3)如图 3,在(2)的条件下,延长 CQ 交 AD 边于点 E,交 BA 延长线于点 M,作∠DCE 的平分线交 AD 边于点 F.若 A Q P B 图1 C B 图2 C B 图3 C D P CQ 5 35 = ,EF= ,求线段 BP 的长. PM 7 24 A Q D P A M E Q F D

解析: (1)证明:连接 AC 在菱形 ABCD 中,∵∠BAD=90° ∴四边形 ABCD 为正方形,∴∠PAC=∠QDC=45° ∵∠PCQ=∠ABD,∴∠PCQ=45° ∴∠ACP=45° ∠ACQ,又∠DCQ=45° ∠ACQ - - ∴∠ACP=∠DCQ,∴△APC∽△DQC ∴ AP AC = = 2,∴AP= 2DQ DQ DC

A Q P B

D

C

∵AP+BP=AB=CD,∴ 2DQ+BP=CD (2) 3DQ+BP=2CD 证明:连接 AC,在 DQ 上取一点 M,连接 CM,使∠MCD=∠MDC=30° 则∠QMC=∠PAC=60°

过点 M 作 MG⊥CD 于 G,则 CG=

1 3 CD,CG= CM 2 2 A P Q M G D

∴CD= 3CM= 3DM ∵∠ACP=∠ACB-∠BCP=60° ∠BCP - ∠MCQ=∠MCB-∠PCQ-∠BCP=60° ∠BCP - ∴∠ACP=∠MCQ,∴△APC∽△MQC AP AC CD 3 ∴ = = = 3,∴MQ= AP MQ MC MC 3 ∵MQ=DQ-DM=DQ- ∴ B 3 CD,AP=CD-BP 3

C

3 3 ( CD-BP )=DQ- CD 3 3 G

∴ 3DQ+BP=2CD (3)解:在菱形 ABCD 中,∠ABD=∠BDC=30° ∵∠PCQ=∠ABD=30° ,∴∠PCQ=∠QDC ∵BM∥CD,∴∠PMC=∠QCD ∴△CQD ∽△MPC,∴ CQ CD 5 BC 5 = = ,∴ = MP MC 7 MC 7 M
2 2

设 BC=5k,则 MC=7k,过点 C 作 CH⊥AB 于 H 1 5 3 5 则 BH= BC= k,CH= BC= 2 2 2 2 AM AE AE ∵AM∥CD,∴ = = CD DE AD-AE ∴ 3k AE 15 = ,∴AE= k 5k 5k-AE 8 B 11 3k,MH= MC -CH = k 2 P H A

E

F

D

∴BM=BH+MH=8k,∴AM=BM-AB=3k

N

Q

延长 CF、BM 交于点 G,则∠DCF=∠G ∵FC 平分∠ECD,∴∠MCG=∠DCF ∴∠MCG=∠G,∴MG=MC=7k,∴AG=AM+MG=10k ∵AG∥CD,∴ ∴ AG AF AF = = CD DF AD-AF

C

10k AF 10 = ,∴AF= k 5k 5k-AF 3 35 35 k= ,∴k=1,∴CD=5 24 24 3 5 CD= 2 2 3

∴EF=AF-AE=

过点 C 作 CN⊥BD 于 N,则 DN= ∴BD=2DN=5 3 ∵DE∥BC,∴ 5- ∴ 5 15 8

DE DQ DQ = = BC BQ BD-DQ



DQ 25 ,∴DQ= 3 13 5 3-DQ

∴BP=2CD- 3DQ=

55 13

例6

如图,菱形 ABCD 的边长为 6cm,∠DAB=60 度,点 M 是边 AD 上一点,且 DM=2cm, 点 E,F 分别从 A,C 两点同时出发,以 1cm/s 的速度分别沿 AB,CB 向点 B 运动, EM,CD 的延长线相交于 G,GF 交 AD 于 O,设运动时间为 x(s),三角形 CGF 的

面积为 y(cm?) 解析: (1)∵DC‖AB, ∴△DMG∽△AME, ∴ DG:AE=DM:AM, ∴AE=AN*DG/DM , 即当 x=4s 时,GD 的长度是 2cm. (2)∵△DMG∽△AME, ∴DG/AE=DM/AM , ∴DG=DM*AE/AM=2x/4=x/2 , ∴GC=6+x/2 , 过 F 作 FH⊥DC 于 H 点, ∴FH=CF?sin60°=√3/2 x , ∴y=1/2 GC?FH, = 1/2(6+x/2)*√3/2 x. (3)设运动 x(s)时,GF 分菱形上、下两部分的面积比为 1:5, 此时△OGD∽△FGC, ∴DG:GC=OD:FC , ∴ CD=GD*FC/GC=x?/x+12, 过 D 作 DP⊥BC 于 P,则 PD=6×sin60°= 3√3, 即 x?/x+12 + x =2 , 解得:x1=(√73-5/2 ) x2=-(√73-5)/2 (舍去), 经检验:(√73-5)/2 是原方程的解. ∴当 时:(√73-5)/2,GF 分菱形上、下两部分的面积比为 1:5.


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