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河北正定中学2014届高三上学期第五次月考 数学试题 Word版含答案


2013-2014 学年度第五次月考·数学试题
第I卷 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题所给的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的)

,, 1. 已知集合 A ? ??11 ? B ? ?m | m ? x ? y, x ? A, y ? A? ,则集合 B 等于
A.

??2, 2?

B.

??2, 0, 2?
2

C.

??2, 0?

D.

?0?

2. 已知 i 是虚数单位,则复数 A. i
2

(1 ? i) 的虚部等于 1? i B. ?i C. ?1
C. x ? 2 y ? 8 ? 0

D.1

3. 若点 P(4, 2) 为圆 x ? y ? 6x ? 0 的弦 MN 的中点,则弦 MN 所在直线方程为
2

A. 2 x ? y ? 10 ? 0 B. x ? 2 y ? 0 4. 在等差数列

D. 2 x ? y ? 6 ? 0

?an ? 中, 4 ? a

3

? a4 ? a5 ? ? 3 ? a6 ? a8 ? a14 ? a16 ? ? 36 ,那么该数列
C.42 D.84

的前 14 项和为 A.20 B.21 5. 如果若干个函数的图象经过平移后能够重合,则称这些函数为 “同簇函数”.给出下列函数: ① f ( x) ? sin x cos x ; ③ f ( x) ? 2sin( x ? 其中“同簇函数”的是 A.①② B.①④ C.②③ D.③④
6.某几何体的三视图如图所示,图中的四边形都是边长为 2 的 正方形,两条虚线互相垂直,则该几何体的体积是

② f ( x) ?

2 sin 2 x ? 1 ;
正视图 侧视图

?
4

) ; ④ f ( x) ? sin x ? 3 cos x .

20 A. 3

16 B. 3

C. 8 ?

?
6

D. 8 ?

?
3

俯视图
6 题

7. 如图,矩形 OABC 内的阴影部分是由曲线 f ( x) ? sin x , x ? (0, ? ) 及 直线 x ? a , a ? (0, ? ) 与 x 轴围成,向矩形 OABC 内随机投掷一点,
C1 A1 B1



若落在阴影部分的概率为 A.

D

E

C

,则 a 的值是 C.

A F M

B

7? 12

B.

2? 3

3? 4

D.

5? 6

8. 如图 , PA ? PB, ?APB ? 90? , 点 C 在线段 PA 的延长线上 , D, E 分别

为 ?ABC 的边 AB, BC 上的点.若 PE 与 PA ? PB 共线, DE 与 PA 共线,则 PD ? BC 的值为 A. ?1 B.0 C.1 D.2

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

9. 在等腰梯形 ABCD 中, 将 ?ADE 与 ?BEC ?DAB=600 ,E 为 AB 的中点, AB=2DC=2 , 分布沿 ED 、 EC 向上折起,使 A、B 重合于点 P ,则三棱锥 P-DCE 的外接球的体积为 A.

4 3 ? 27

B.

6 ? 2

C.

6 ? 8

D.

6 ? 24

?y ? x ? 10. 已知 z ? 2 x ? y , x 、 y 满足 ? x ? y ? 2 ,且 z 的最大值是最小值的 4 倍,则 m 的值是 ?x ? m ?
A.

1 4
2 2 2 2

B.

1 5

C.

1 6

D.

1 7

x y ? ? 1(a ? 0, b ? 0), M , N 是双曲线上关于原点对称的两点, P 是双曲 a b 线上的动点,且直线 PM , PN 的斜率分别为 k , k , k k ? 0 ,若 | k | ? | k | 的最小值为 1,则
11. 已知双曲线
1 2 1 2 1 2

双曲线的离心率为 A.

2

B.

5 2

C.

3 2

D.

3 2

g ( x) ? 1 ? 0 ;② f (2 ? x) ? f ( x) ? 2 ? 2 x , x ?1 记 a ? f (2) ? 1 , b ? f (? ) ? ? ? 1 , c ? f (?1) ? 2 则 a, b, c 的大小顺序为 A. a ? b ? c B. a ? c ? b C. b ? c ? a D. b ? a ? c
12. 可导函数 f ( x) 的导函数为 g ( x) ,且满足:① 第 II 卷 二、填空题(本题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填写在答题纸上) 13. 对大于或等于 2 的正整数的幂运算有如下分解方式:

22 ? 1 ? 3 23 ? 3 ? 5

32 ? 1 ? 3 ? 5

42 ? 1 ? 3 ? 5 ? 7

… …

33 ? 7 ? 9 ? 11

43 ? 13 ? 15 ? 17 ? 19
3

2 根 据 上 述 分 解 规 律 , 若 m ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? 11 , p 的 分 解 中 最 小 的 正 整 数 是 21 , 则

m ? p ? ________.
14. 若 函 数 f ( x) ? ? 是 .

?2 x ? 3 x ? 1( x ? 0) 在 [?2, 2] 上 的 最 大 值 为 2 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 ?e ( x ? 0)
3 2 ax

0 15. ?ABC 中, ?C ? 90 , M 是 BC 的中点,若 sin ?BAM ?

1 6 ,则 sin ?BAC ? ___ ._____. 3 3

16. 已知函数 y ? f ( x) 的定义域为 R ,当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 ,且对任意的实数 x, y ? R ,等式

f ( x) f ( y) ? f ( x ? y) 成立.若数列 ?an ? 满足 a1 ? f (0) , f (an ?1 ) ? (n ? N *) ,则 a2009 的值为
17.(本小题满分 10 分) .

1 f (?2 ? an )

三、解答题(本大题共有 6 各小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

a1 ? 3 , b1 ? 1 , 在等差数列 ?a n ? 中, 其前 n 项和为 S n , 等比数列 ?bn ? 的各项均为正数,
S2 . b2

公比为 q ,且 b2 ? S 2 ? 12 , q ? (1)求 a n 与 bn ; (2)设数列 ?cn ? 满足 cn ?

1 ,求 ?c n ? 的前 n 项和 Tn . Sn

18. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (1)若 x ? [

3 1 sin 2 x ? cos2 x ? , x ? R . 2 2

5 3 ? , ? ] ,求函数 f ( x) 的最大值和最小值,并写出相应的 x 的值; 24 4

(2) 设 ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,满足 c ? 3 , f (C ) ? 0 且

sin B ? 2sin A ,求 a 、 b 的值.

19. (本题满分 12 分) 在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? BC ? CA? AA 1 ? 2 ,侧棱

AA1 ? 面 ABC , D, E 分别是棱 A1 B1 , AA1 的中点,点 F 在棱 AB 上,
且 AF ?

1 AB . 4 (1)求证: EF // 平面 BDC1 ;
(2)求二面角 E ? BC1 ? D 的余弦值.

20.(本小题 12 分) 时下,网校教学越来越受到广大学生的喜爱,它已经成为学生们课外学习的一种趋势, 假设某网校的套题每日的销售量 y (单位:千套)与销售价格 x (单位:元/套)满足的关系 式y?

m 2 ? 4 ? x ? 6 ? ,其中 2 ? x ? 6 , m 为常数.已知销售价格为 4 元/套时,每日可售出 x?2

套题 21 千套. (1)求 m 的值; (2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题 2 元(只考虑销售出的套数) ,

试确定销售价格 x 的值,使网校每日销售套题所获得的利润最大.(保留 1 位小数)

21. (本小题 12 分) 已知椭圆 C :

6 x y , 短轴一个端点到右焦点的距离为 ? ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 3 a b
2 2 2 2

3.
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 设直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点, 坐标原点 O 到直线 l 的距离为 积的最大值.

3 , 求 ?A O B 面 2

22. (本小题 12 分)

ln x ? k ( k 为常数,e ? 2.71828……是自然对数的底数) ,曲线 y ? f ( x) ex 在点 (1, f (1)) 处的切线与 x 轴平行.
已知函数 f ( x) ? (1)求 k 的值; (2)求 f ( x) 的单调区间;
2 ( 3 ) 设 g ( x) ? ( x , 其 中 f ?( x) 为 f ( x) 的 导 函 数 , 证 明 : 对 任 意 x ? 0 , ? x) ? f ( x)

g ( x) ? 1 ? e?2 .

高三第五次月考·数学答案
一、选择题:BDCBD ABBCA BC 二、填空题:13.11 14. (??,

1 ln 2] 2

15.

6 3

16.4017

三、解答题: 17.解(1)设 ?a n ? 的公差为 d .

?b2 ? S 2 ? 12, ?q ? 6 ? d ? 12, ? ? S 6?d 因为 ? 所以 ? q? . q? 2, ……………………3 分 ? ? q b ? 2 ? 解得 q ? 3 或 q ? ?4 (舍) ,d ? 3
故 an ? 3 ? 3 ? n ? 1? ? 3n , bn ? 3 n ?1 ……………………………………5 分 (2)由(1)可知, S n ?

n ? 3 ? 3n ?

2 1 2 2?1 1 ? ? ? ? ? 所以 cn ? ?. S n n ? 3 ? 3n ? 3 ? n n ? 1 ? ……………………8 分
2 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? 2 ? 1 ? 2n ?1 ?1 ? ? ? ? ? ? ? … ? ? ? ? ? ? ?1 ? ?? ? 3 ?? 2 ? ? 2 3 ? ? n n ? 1 ? ? 3 ? n ? 1 ? 3 ? n ? 1? …………10 分



故 Tn ?

18.解(1) f ( x ) ? 令 t ? 2x ?

3 1 ? cos 2 x 1 ? sin 2 x ? ? ? sin(2 x ? ) ? 1 .............3 分 2 2 2 6

? ? 4? ? , t?? , ? 6 ?4 3 ? ? f ?t ? ? sin t ? 1 。
时, f ? x ?max ? 0 3 3 4? 3? ?1; 当t ? 即x? 时, f ? x ?min ? ? 2 3 4

?

?当 t ?

?

2

即x?

?

…………………………6 分

(2) f (C ) ? sin(2C ?

) ?1 ? 0, 6 ? ? 11? , 0 ? C ? ? , 0 ? 2C ? 2? ,所以 ? ? 2C ? ? 6 6 6

?

6

) ? 1 ? 0 ,则 sin(2C ?

?

所以 2C ?

?

3 6 2 因为 sin B ? 2sin A ,所以由正弦定理得 b ? 2a
由余弦定理得 c ? a ? b ? 2ab cos
2 2 2

?

?

,C ?

?

.....................................9 分

?
3

,即 c 2 ? a 2 ? b2 ? ab ? 3

解得: a ? 1, b ? 2 .................................................12 分 19.解: (1)证明:取 AB 的中点 M ,? AF ?

1 AB , 4

? F 为 AM 的中点,又? E 为 AA1 的中点,? EF // A1 M , 在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, D, M 分别是 A1 B1 , AB 的中点,

? A1 D // BM ,且 A1 D ? BM ,
则四边形 A1 DBM 为平行四边形,? A1 M // BD ,

? EF // BD ,又 EF ? 面 BDC1 , BD ? 面 BDC1 , 则 EF // 面 BDC1 ...........................................6 分
(2)空间直角坐标系,则 B(1,0,0) , E (?1,0,1) , D(0,0, 2) , C1 (0, 3, 2) , ??? ? ??? ? ???? ? ∴ BD ? (?1,0, 2) , BE ? (?2,0,1) , BC1 ? (?1, 3, 2) . 设面 BC1D 的一个法向量为 m ? ( x1 , y1 , z1 ) ,面 BC1E 的一个法向量为 n ? ( x2 , y2 , z2 ) , ??? ? ? ? ? m ? BD ? 0, ? ? x1 ? 2 z1 ? 0, 则由 ? ???? 得? 取 m ? (2,0,1) , ? C1 ? ? ? x1 ? 3 y1 ? 2 z1 ? 0, ? m ? BC1 ? 0, ? ??? ? A1 ? n ? BE ? 0, ? ? ??2 x2 ? z2 ? 0, 又由 ? ???? 得? 取 n ? (1, ? 3, 2) , ? D ? ?? x2 ? 3 y2 ? 2 z2 ? 0, ? n ? BC1 ? 0, ? 则 cos ? m, n ??
m?n 4 10 , ? ? | m || n | 5 5? 8 角 E - BC1 - D
E C

B1

故 二 面 的 10 .............................12 分 5 20.解: (1)因为 x ? 4 时, y ? 21 , 代入关系式 y ?








A F M B

解得 m ? 10 . ………………………………………………………4 分. (2)由(1)可知,套题每日的销售量 y ? 所以每日销售套题所获得的利润
2? 2 ? 10 f ( x) ? ? x ? 2 ? ? ? 4 ? x ? 6 ? ? ? 10 ? 4 ? x ? 6 ? ? x ? 2 ? ? 4 x 3 ? 56 x 2 ? 240 x ? 278 ? 2 ? x ? 6 ? ?x?2 ?

m m 2 ? 4 ? x ? 6 ? ,得 ? 16 ? 21 , x?2 2

10 2 ? 4 ? x ? 6? , x?2

……………………6 分 ,从而 f ' ? x ? ? 12 x 2 ? 112 x ? 240 ? 4 ? 3x ? 10 ?? x ? 6 ?? 2 ? x ? 6 ? .

10 ? 10 ? ? 10 ? ' ,且在 ? 2, ? 上, f ( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增;在 ? , 6 ? 上, 3 ? 3? ? 3 ? ' f ( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减,………………………………………………………10 分. 10 所以 x ? 是函数 f ( x) 在 ? 2, 6 ? 内的极大值点,也是最大值点, 3 10 所以当 x ? ? 3.3 时,函数 f ( x) 取得最大值. 3
令 f ' ? x ? ? 0 ,得 x ? 故当销售价格为 3.3 元/套时,网校每日销售套题所获得的利润最大. ………………12 分.

?c 6 , ? ? 21.解: (1)设椭圆的半焦距为 c ,依题意 ? a 3 ?a ? 3, ?
∴ b ? 1,∴ 所求椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1. 3

(2)设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) . (1)当 AB ⊥ x 轴时, AB ? 3 . (2)当 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m .

由已知

m 1? k
2

?

3 3 ,得 m2 ? (k 2 ? 1) . 2 4
2 2 2

把 y ? kx ? m 代入椭圆方程,整理得 (3k ? 1) x ? 6kmx ? 3m ? 3 ? 0 ,

? x1 ? x2 ?
2

3(m2 ? 1) ?6km , . x x ? 1 2 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1
2 2

? 36k 2 m 2 12(m 2 ? 1) ? ? ? AB ? (1 ? k )( x2 ? x1 ) ? (1 ? k ) ? 2 2 3k 2 ? 1 ? ? (3k ? 1) ?
2

12(k 2 ? 1)(3k 2 ? 1 ? m 2 ) 3(k 2 ? 1)(9k 2 ? 1) ? ? (3k 2 ? 1) 2 (3k 2 ? 1) 2
12k 2 12 12 ? 3? 4 ? 3? (k ? 0) ? 3 ? ? 4. 2 1 9k ? 6k ? 1 2?3 ? 6 9k 2 ? 2 ? 6 k
当且仅当 9k 2 ?

3 1 ,即 k ? ? 时等号成立.当 k ? 0 时, AB ? 3 , 2 3 k

综上所述 AB max ? 2 . 所以,当 AB 最大时, △AOB 面积取最大值 S ? 22 . 解 : (1) 由 f ( x) ?

1 3 3 . ? AB max ? ? 2 2 2

1nx ? k 1 ? kx ? x ln x , 得 f ?( x) ? , x ? (0, ??), 由 于 曲 线 y ? f ( x) 在 x e xe x 所以 f ?(1) ? 0 , 因此 k ? 1 …………………………………………3 (1, f (1)) 处的切线与 x 轴平行, 分 1 ( 2 ) 由 (1) 得 f ?( x) ? x (1 ? x ? x ln x), x ? (0, ??) , 令 h( x)? 1? x ? x l n x , x 当 ) ? (0 ? ,? xe
x ? (0,1) 时, h( x ) ? 0 ;当 x ? (1, ??) 时, h( x ) ? 0. 又 e x ? 0 ,所以 x ? (0,1) 时, f ?( x ) ? 0 ; x ? (1 ? ?) 时 , f ?( x )? 0. (1, ??). ………………6 分
因 此 f ( x) 的 单 调 递 增 区 间 为 ( 0,1 ) ,单调递减区间为

(3) 证 明 因 为 g ( x) ? ( x2 ? x) f ?( x) , 所 以 g ( x) ?

x ?1 (1 ? x ? x ln x), x ? (0, ??). 因 此 对 任 意 ex
ex nx? x ?1
) ,
?2

x ? 0, g ( x) ? 1 ? e?2







1? x

? xl
,

( ?1 e

由 ) (. 2





h(

? x)

? l x?

xl

n x? , x ? ( ? 0

所以 h?( x) ? ? ln x ? 2 ? ?(ln x ? ln e?2 ), x ? (0, ??), 因此当 x ? (0, e?2 ) 时, h?( x) ? 0, h( x) 单调递增;当 x ? (e?2 , ??) 时 h?( x) ? 0, h( x) 单调递增. 所以 h( x) 的最大值为 h(e?2 ) ? 1 ? e?2 故 1 ? x ? x ln x ? 1 ? e?2 . 设 ? ( x) ? e x ? ( x ? 1).

因为 ? ?( x) ? e x ? 1 ? e x ? e0 ,所以 x ? (0, ??) 时, ? ?( x) ? 0,? ( x) 单调递增, ? ( x) ? ? (0) ? 0, 故 x ? (0, ??) 时, ? ( x) ? e x ? ( x ? 1), 即

ex ex ? 1. 所以 1 ? x ? x ln x ? 1 ? e?2 ? (1 ? e?2 ). x ?1 x ?1

因此对任意 x ? 0, g ( x) ? 1 ? e?2 . ……………………………………………………………12 分


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