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江西省南昌二中、临川一中高三下学期期中联考数学(理)试卷及答案

南昌二中、临川一中 2017 届高三联考 数学(理科)试题
第Ⅰ卷

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.
2 1.已知集合 M ? x x ? 3x ? 4 ? 0 ,集合 N ? x ln x ? 0 ,则 M ? N =(

?

?

?

?



A.

? x 1 ? x ? 4?

B.

? x x ? 1?

C.

? x ?1 ? x ? 4?

D. 3 ? 4i

D.

? x x ? ?1?

2. 若复数 z 满足 z ? z ? 20 ? 15i ,则 z 为( A. 4 ? 3i B. 4 ? 3i C. 3 ? 4i

3. 在某次测量中得到的 A 样本数据如下: 42, 43, 46,52, 42,50 ,若 B 样本数据恰好是 A 样本数 据每个都减 5 后所得数据,则 A 、 B 两样本的下列数字特征对应相同的是( A.平均数 B.标准差 C.众数 D.中位数 ) )

4. 在 ?ABC 中, tan A ? A. ?1 B. 1

1 1 , tan B ? ,则 tan C ? ( 2 3
C. 3 D. ?2

5. 如图,格纸上每个小正方形的边长为 1 ,粗实线画出的是某几何体的三视图,若该几何体的 顶点都在球 o 的球面上,则球 o 的表面积为( )

A. 50?

B. 25?

C. 75?

D. 100?

x x x 6 ? ? ?? ? m≥0 对于 ?x ? ? ? , ? 恒成立,则实数 m 的取值 6.已知不等式 2 sin cos ? 6 cos 2 ? 4 4 4 2 ? 3 3?

范围是( A. ??, ? 2 ? ?



?

? 2? B. ? ? ??, 2 ? ? ?

? 2 ? , 2? C. ? ? 2 ?

D. ? ? 2, ??

?
1

7. 设 m, n ? R ,若直线 mx ? ny ? 2 与圆 x 2 ? y 2 ? 1相切,则 m ? n 的取值范围是( A. ? ?2, 2? B.



? ??, ?2? ??2, ???

C. ? ?2 2, 2 2 ?

?

?

D. ??, ?2 2 ? ? ?2 2, ??

?

?

?

?

8.我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举.这 个伟大创举与我国古老的算法—“辗转相除法”实质一样.如下图的程序框图即源于“辗转相除 法” ,当输入 a ? 6102, b ? 2016 时,输出的 a ? ( A. 6 B. 9 C. 18 D. 54 )

9. 已知函数 f ( x) ? 3 sin(? x ? ? ), (? ? 0, ? ?

?

1 ), A( , 0) 为 f ( x) 图像的对称中心,若该图 2 3
)

像上相邻两条对称轴间的距离为 2 ,则 f ( x ) 的单调递增区间是( A. (2k ?

2 4 , 2k ? ), k ? Z 3 3

B. (2k? ?

2? 4? , 2 k? ? ), k ? Z 3 3

C. (4k ?

2 4 , 4k ? ), k ? Z 3 3

D. (4k? ?

2? 4? , 4 k? ? ), k ? Z 3 3

10. 如图,点 E 为正方形 ABCD 边 CD 上异于点 C , D 的动点,将 ?ADE 沿 AE 翻折成

?SAE ,使得平面 SAE ? 平面 ABCE ,则下列说法中正确的有(
①存在点 E 使得直线 SA ? 平面 SBC ;

)

②平面 SBC 内存在直线与 SA 平行

③平面 ABCE 内存在直线与平面 SAE 平行; ④存在点 E 使得 SE ? BA .

A. 1 个

B. 2 个

C. 3 个

D. 4 个
2

11. 等差数列 ?an ? 的公差为 d , 关于 x 的不等式 dx2 ? 2a1 x ? 0 的解集为 ?0,9? , 则使数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 最大的正整数 n 的值是( A. 4 B. 5 C. 6 ) D. 7

12. 已 知 函 数 f ( x) ? a l n x ? b2x, a, b ? R . 若 不 等 式 f ( x) ? x 对 所 有 的 b ? ( ? ?, 0 ],

x ? (e, e2 ] 都成立,则 a 的取值范围是(
A. [e, ??)

) D. [e2 , ??)

e2 B. [ , ??) 2

e2 2 C. [ , e ) 2

第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须 作答.第 22 题~第 23 题为选考题,考生根据要求作答
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 13. 若向量 a, b 满足 a ? 2, b ?
6

3 ,且 b ? (a+b 则 a 与 b 的夹角为 )
2

14. ( x ? y)( x ? 2 y ? z ) 的展开式中, x

y 2 z 3 项前的系数为

15. 已知数列 ?an ? 的通项公式 an ? 5 ? n ,其前 n 项和为 Sn ,将数列 ?an ? 的前 4 项抽去其中一 项后, 剩下三项按原来顺序恰为等比数列 ?bn ? 的前 3 项, 记 ?bn ? 前 n 项和为 Tn , 若存在 m ? N ,
?

使对任意 n ? N ,总有 Sn ? Tm ? ? 恒成立,则实数 ? 的取值范围是
?

16. 下列命题正确的是 ①若函数 y ? f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ,则函数 f ( x ) 的图像关于直线 x ? 1 对称;

②在线性回归分析中,相关系数 r ?

? ? x ? x ?? y
n i ?1 i n 2 n i ?1 i i ?1

i

?y
i

? ?
,且 r 越接近于 1,该组数据的
2

?? x ? x? ?? y

?y

线性相关程度越大; ③在△ABC 中, AB BC >0 是△ABC 为钝角三角形的充要条件; ④命题“ ?x ? R , x ? ln x ? 0 ”的否定是“ ?x0 ? R , x0 ? ln x0 ? 0 ” ; ⑤由样本数据得到的回归方程 y ? bx ? a 必过样本点的中心 x, y .

? ?

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
3

17. (本题满分 12 分)如图,在 ?ABC 中, AB ? 2 , cos B ?

1 ,点 D 在线段 BC 上. 3

(1)若 BD ? 2DC , ?ACD 的面积为 (2)若 ?ADC ?

4 2 ,求边 AC 的长; 3

2? ,求三角形 ABD 的面积 S?ABD . 3

18(本题满分 12 分)如图,在四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中, 侧 面 A1 ADD1 ? 底 面 A B C D, D1 A ? D1D ? 2 , 底 面

ABCD 为 直 角 梯 形 , 其 中 BC / / AD , AB ? AD , AD ? 2 AB ? 2 BC ? 2 , O 为 AD 中点.

(1)求证: AO / / 平面 AB1C ; 1 (2)求直线 B1C 与平面 C1CDD1 所成角的正弦值. 19. (本题满分 12 分)甲、乙两学校各派出 3 名队员,按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛, 双方先由 1 号队员进行第一局比赛, 负者被淘汰, 胜者再与负方 2 号队员进行第二局比赛, ……, 直到一方队员全被淘汰为止, 已知甲队的 1 号与乙队的 1、 2、 3 号队员比赛获胜的概率分别为
2 1 2 1 1 、 ,甲队的 2 号与乙队的 1、2、3 号队员比赛获胜的概率分别为 、 、 . 3 3 2 2 3 3 、 4

(1)在所有的比赛过程中,甲队的 1 号、2 号队员都只参加一局比赛的概率; (2)在所有的比赛过程中,将甲队 1 号、2 号队员一共参加了 的比赛的局数作为随机变量 ? ,求 ? 的分布列与期望 20. (本题满分 12 分) 过原点 O 作斜率为 k1 (k1 ? 0) 的直线 l 交 抛物线 ? : y ? y C

1 2 x ? 1 于 A, B 两点, 4

D

M B A

4

x

(1)当 k1 ? 1 时,求

1 1 的值; ? OA OB
于 D 点。记直

(2)已知 M (0,3) ,延长 AM 交抛物线 ? 于 C 点,延长 BM 交抛物线 ?

线 CD 的斜率为 k2 ,问是否存在实数 ? ,都有 k2 ? ? k1 成立,如果存在,请求出 ? 的值;如果 不存在,请说明理由.

x 21. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? a ? e( x ? 1) ln a ?

1 (a ? 0 且 a ? 1) ,e 为自然对数的底 a

数。 (1)当 a ? e 时,求函数 y ? f ( x) 在区间 x ? ?0, 2? 上的最大值; (2) 若函数 f ( x ) 只有一个零点,求 a 的值。

请考生在 22、 23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请 写清题号
t ? ? x ? 1? 2 ( t 为参数) 22. (本题满分 10 分)已知直线 l 的参数方程为 ? .在以坐标原点为极 ? y ? 3 ? 3t ?
点, x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C 的方程为: sin ? ? 3? cos2 ? ? 0 . (1)求曲线 C 的直角坐标方程; (2)写出直线 l 与曲线 C 交点的一个极坐标 ( ? ? 0,0 ? ? ? 2? ) .

23.(本题满分 10 分)设函数 f ( x) ? 2x ? a ? x ? a , a ? 0 . (1)当 a ? 1, 时,求 f ( x ) 的最小值; (2)(2)若关于 x 的不等式 f ( x) ?

5 ? a 在 x ??1, 2? 上有解,求实数 a 的取值范围. x
5

1 A

2 A

3 B

4 A

5 A

6 B

7 C

8 C

9 C

10 A

11 B

12 B

13. 【答案】

5? 6

14.【答案】 120 15.【答案】 ? ? 2 16.【答案】⑤ 17. 解: (1)∵ BD ? 2 DC ,∴ S?ABD ? 2S?ADC , S?ABC ? 3S?ADC , 又 S ?ADC ? ∵ S ?ABC ?

4 2 ,∴ S?ABC ? 4 2 ,………………3 分 3
1 AB BC sin ?ABC ,∴ BC ? 6 , 2
6

在 ?ABC 中,由余弦定理得 AC 2 ? AB2 ? BC 2 ? 2 AB BC cos ?ABC . ∴ AC ? 4 2 .………………5 分 (2)在三角形中,∵ cos B ? 在 ?ABD 中,由正弦定理得 又 AB ? 2 , ?ADB ?

1 2 2 ,∴ sin B ? .………………6 分 3 3

AB AD ? , sin ?ADB sin B

?
3

, sin B ?

2 2 8 6 .∴. AD ? ………………9 分 3 9

?BAD ?

2? 2? 3?2 2 ? B ? sin ?BAD ? sin( ? B) ? 3 3 6

1 16 3 ? 12 2 ? S?ABD ? ? AB ? AD ? sin ?BAD ? . …………12 分 2 27
AC 、 AB1 , 18. 解析: (1)如图,连接 CO 、 AO 1 、
则四边形 ABCO 为正方形,所以 OC ? AB ? A 1B 1, 所以四边形 A / / B1C , 1B 1CO 为平行四边形,所以 AO 1 又 AO ? 平面 AB1C , B1C ? 平面 AB1C , 1 所以 AO / / 平面 AB1C .…………6 分 1 (2)因为 D1 A ? D1D , O 为 AD 中点,所以

D1O ? AD ,
又侧面 A1 ADD1 ? 底面 ABCD , 所以 D1O ? 底面 ABCD , 以 O 为原点, OC 、 OD 、 OD 1 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立如图所示的坐标系,则

C (1, 0, 0) , D(0,1, 0) , D1 (0,0,1) , A(0, ?1, 0) , A1 (0, ?2,1)
所以 DC ? (1, ?1,0) , DD1 ? (0, ?1,1) , D1 A ? (0, ?1, ?1) , DC 1 1 ? (1, ?1,0) , 设 m ? ( x, y, z ) 为平面 C1CDD1 的一个法向量, 由 m ? DC , m ? DD1 ,得 ?

? x ? y ? 0, ?? y ? z ? 0,

令 z ? 1 ,则 y ? 1 , x ? 1 ,∴ m ? (1,1,1) ,
7

由(1)知 B1C / / AO 1 ,所以直线 AO 1 与平面 C1CDD 1 所成的角和直线 B 1C 与平面 C1CDD 1 所成的 角相等.记直线 B1C 与平面 C1CDD1 所成的角为 ? , 且 OA 1 ? (0, ?2,1) ,

? sin ? ?

OA1 ? m OA1 ? m

?

1 15 ? , 5 ? 3 15

所以,直线 B1C 与平面 C1CDD1 所成角的正弦值是 19. 解:(1) p ? (1 ? )(1 ? ) ?

15 .…………12 分 15

3 4

2 3

1 , ……………………(4 分) 12

(2) 设 Ai (i ? 1,2,3) 表示甲学校 1 号队员参赛了 i 局, B i (i ? 1,2,3) 表示甲学校 2 号队员参赛了 i 局,

? 可能的取值为 2,3, 4;
P(? ? 2) ? P( A1B1 ) ? 1 1 1 ? ? ;……………………………………(6 分) 4 3 12

P(? ? 3) ? P( A3 B0 ? A2 B1 ? A1B2 ) ?

3 2 1 3 1 1 1 2 1 11 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ;………(8 分) 4 3 2 4 3 2 4 3 2 24
3 2 1 3 1 1 1 2 1 11 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 3 2 4 3 2 4 3 2 24

P(? ? 4) ? P( A3 B1 ? A2 B2 ? A1B3 ) ?

…(10 分)

?

2
1 12

3
11 24

4
11 24

p

E(? ) ?

27 …………………………(12 分) 8

? y?x ? 2 20. 解: (1) ? 1 2 消去 y 得 x ? 4 x ? 4 ? 0 ,设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) , y ? x ?1 ? ? 4
则 x1 ? x2 ? 4, x1 x2 ? ?4 , x1 , x2 一正一负

x1 ? x2 1 1 1 1 ? ? ? ? OA OB 1 ? 12 x1 1 ? 12 x2 1 ? 12 x1 x2

8

?

x1 ? x2 1 ? 1 x1 x2
2

?

( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 1 ? 1 x1 x2
2

?

32 ? 1 …………5 分 4 2

? y ? k1 x ? 2 2 (2) ? 1 2 消去 y 得 x ? 4k1x ? 4 ? 0 , ? ? 16k1 ? 16 ? 0 恒成立 y ? x ? 1 ? ? 4
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? 4k1 , x1 x2 ? ?4 , 设 C( x3 , y3 ), D( x4 , y4 ) , 直线 AM 方程为 y ?

1 y1 ? 3 y ?3 1 x ? 3 代入 y ? x 2 ? 1 得 x 2 ? 1 x?4 ? 0, 4 x1 4 x1

由韦达定理知 x1 x3 ? ?16 ,所以 x3 ? 同理, x4 ?

?16 x1

?16 x2 y3 ? y4 1 ? ( x3 ? x4 ) x3 ? x4 4

所以 k2 ? kCD ?

?4( x1 ? x2 ) 1 ?16 ?16 ? ( ? )? ? 4k1 4 x1 x2 x1 x2
即 k2 ? 4k1 ,

?? ? 4

…………12 分

x 21. (1) 当 a ? e 时, f ( x ) ? e ? e( x ? 1) ?

1 , f ?( x) ? e x ? e 令 f ?( x) ? 0 ? x ? 1 , e

x ? (0,1) 时, f ?( x) ? 0 , x ? (1, 2) 时, f ?( x) ? 0 ,

? f ( x)max ? max ? f (0), f (2)? , 而 f (0) ? 1 ? e ? , f (2) ? e 2 ? 3e ? ,
2 即 f ( x) max ? f (2) ? e ? 3e ? .

1 e

1 e

1 e

…………6 分

x (2) f ( x) ? a ? e( x ? 1) ln a ?

1 , a

f ?( x) ? a x ln a ? e ln a ? ln a(a x ? e)
令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? loga e ,则 (1)当 a ? 1 时, ln a ? 0
9

x
f ?( x )

(??,loga e)

loga e
0
极小值

(loga e, ??)

?

f ( x)

所以当 x ? loga e 时, f ( x ) 有最小值 f ( x ) min ? f (log a e) ? ?e ln a ?

1 a

因为函数 f ( x ) 只有一个零点,且当 x ??? 和 x ??? 时,都有 f ( x) ? ?? 所以 f ( x) min ? ?e ln a ?

1 1 ? 0 ,即 e ln a ? ? 0 a a

因为当 a ? 1 时, ln a ? 0 ,所以此方程无解 (2)当 0 ? a ? 1 时, ln a ? 0

x
f ?( x ) f ( x)

(??,loga e)

loga e
0
极小值

(loga e, ??)

?
1 a

所以当 x ? loga e 时, f ( x ) 有最小值 f ( x ) min ? f (log a e) ? ?e ln a ?

因为函数 f ( x ) 只有一个零点,且当 x ??? 和 x ??? 时,都有 f ( x) ? ?? 所以 f ( x) min ? ?e ln a ? 设 g (a) ? e ln a ?

1 1 ? 0 ,即 e ln a ? ? 0 (0 ? a ? 1) (?) a a

e 1 ae ? 1 1 (0 ? a ? 1) ,则 g ?(a ) ? ? 2 ? 2 , a a a a 1 e

令 g ?(a ) ? 0 ,得 a ? 当0 ? a ?

1 1 时, g ?(a ) ? 0 ;当 a ? 时, g ?(a ) ? 0 ; e e 1 1 1 时, g (a ) min ? g ( ) ? e ln ? e ? 0 e e e

所以当 a ?

所以方程 (?) 有且只有一解 a ? 综上, a ?

1 e
…………12 分

1 时函数 f ( x ) 只有一个零点 e

22. 解:(1)∵ sin ? ? 3? cos2 ? ? 0? ? sin ? ? 3? 2 cos2 ? ? 0 ,
10

即 y ? 3x 2 .…………5 分

t ? t ? x ? 1? (2)将 ? 2 代入 y ? 3x2 得, 3 ? 3t ? 3 ? (1 ? ) 2 即 t ? 0 , 2 ? y ? 3 ? 3t ?
从而,交点坐标为 (1, 3) . 所以,交点的一个极坐标为 (2, 23. 解: (1)当 a ? 1, 时,

?
3

) .…………10 分

f ( x) ? 2 x ? 1 ? x ? 1 ? x ?
当且仅当 x ?

1 1 1 3 ? x ? ? x ? 1 ? 0 ? ( x ? ) ? ( x ? 1) ? , 2 2 2 2

1 时,取等号. …………5 分 2

(2) x ??1, 2? 时, f ( x) ?

5 ?a , x

2x ? a ? x ? a ?
? 2x ? a ?

5 5 ? a ? 2x ? a ? x ? a ? ? a , x x

5 5 5 ? x ? 3x ? ? a ? ? x , x x x 5 5 的最小值为 ?2 , ? x 的最大值为 6 ,所以 ?2 ? a ? 6 ,又因为 a ? 0 , x x

因为 x ??1, 2? 时 3 x ?

所以 0 ? a ? 6 .…………10 分

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