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1.2.1任意角的三角函数(2)(教学设计)

SCH 高中数学(南极数学)同步教学设计 人教 A 版必修 4 第一章《三角函数》 1.2.1 任意角的三角函数(2)(教学设计) 一、教学目标: 1、知识与技能 (1)了解如何利用与单位圆有关的有向线段,将任意角α 的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切 线表示出来; (2)掌握并能初步运用公式一; (3)树立映射观点,正确理解三角函数是以实数为自变量的函数. 2、过程与方法 根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.最后主要是借助有 向线段进一步认识三角函数.讲解例题,总结方法,巩固练习. 3、情态与价值 本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.这个定义清楚地表明了正弦、余弦函数中从自变量 到函数值之间的对应关系,也表明了这两个函数之间的关系. 二、教学重、难点 重点: 单位圆中的三角函数线. 难点: 三角函数线的正确理解. 三、学法 三角函数的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接,数形结合更加紧密,这就为后续内容的学习带来 方便,也使三角函数更加好用了. 四、教学设想 【复习回顾】 1、 三角函数的定义; 2、 三角函数在各象限角的符号; 3、 三角函数在轴上角的值; 4、 诱导公式(一) :终边相同的角的同一三角函数的值相等; 5、 三角函数的定义域. 要求:记忆.并指出,三角函数没有定义的地方一定是在轴上角,所以,凡是碰到轴上角时,要结合定义进行分析; 并要求在理解的基础上记忆. 【探究新知】 1.引入:角是一个图形概念,也是一个数量概念(弧度数).作为角的函数——三角函数是一个数量概念(比值) , 但它是否也是一个图形概念呢?换句话说,能否用几何方式来表示三角函数呢? 2.[边描述边画]以坐标原点为圆心,以单位长度 1 为半径画一个圆, 这个圆就叫做单位圆(注意:这个单位长度不一定就是 1 厘米或 1 米).当角 ? 为第 一象限角时,则其终边与单位圆必有一个交点 P ( x, y ) ,过点 P 作 PM ? x 轴交 x 轴于点 M ,则请你观察: 根据三角函数的定义: | MP |?| y |?| sin ? | ; | OM |?| x |?| cos ? | 随着 ? 在第一象限内转动, MP 、 OM 是否也跟着变化? 3.思考: (1)为了去掉上述等式中的绝对值符号,能否给线段 MP 、 OM 规定一个适当的方向,使它们的取值 与点 P 的坐标一致? (2)你能借助单位圆,找到一条如 MP 、 OM 一样的线段来表示角 ? 的正切值吗? 我们知道,指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角 ? 的终边不在坐标轴时,以 O 为始点、 M 为终点, 规定: 当线段 OM 与 x 轴同向时, OM 的方向为正向,且有正值 x ;当线段 OM 与 x 轴反向时, OM 的方向为负向, 且有正值 x ;其中 x 为 P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有 OM ? x ? cos ? 1/9 SCH 高中数学(南极数学)同步教学设计 人教 A 版必修 4 第一章《三角函数》 同理,当角 ? 的终边不在 x 轴上时,以 M 为始点、 P 为终点,规定: 当线段 MP 与 y 轴同向时, MP 的方向为正向,且有正值 y ;当线段 MP 与 y 轴反向 时, MP 的方向为负向,且有正值 y ;其中 y 为 P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有 MP ? y ? sin ? 4.像 MP、OM 这种被看作带有方向的线段,叫做有向线段(direct line segment). 5.如何用有向线段来表示角 ? 的正切呢? 如上图,过点 A(1,0) 作单位圆的切线 ,这条切线必然平行于轴 ,设它与 ? 的终边交于点 T ,请根据正切函数的定义 与相似三角形的知识,借助有向线段 OA、AT ,我们有 tan ? ? AT ? 我们把这三条与单位圆有关的有向线段 MP、OM 、AT ,分别叫做角 ? 的正弦线、余弦线、正切线,统称为三角 函数线. 6.探究: (1)当角 ? 的终边在第二、第三、第四象限时,你能分别作出它们的正弦线、余弦线和正切线吗? (2)当 ? 的终边与 x 轴或 y 轴重合时,又是怎样的情形呢? y x 类型一 作三角函数线 5π 例 1 作出- 的正弦线、余弦线和正切线. 8 5π - ?=MP, 解 如图:sin? ? 8? 2/9 SCH 高中数学(南极数学)同步教学设计 人教 A 版必修 4 第一章《三角函数》 5π? ? 5π? cos? ?- 8 ?=OM,tan?- 8 ?=AT. 反思与感悟 (1)作正弦线、余弦线时,首先找到角的终边与单位圆的交点,然后过此交点作 x 轴的垂线, 得到垂足,从而得正弦线和余弦线. (2)作正切线时, 应从 A(1,0)点引单位圆的切线交角的终边或终边的反向延长线于一点 T, 即可得到正切线 AT. 1 跟踪训练 1 在单位圆中画出满足 sin α= 的角 α 的终边,并写出角 α 的集合. 2 π 5 解 如图:角 α 的集合为{α|α= +2kπ 或 α= π+2kπ,k∈Z}. 6 6 类型二 利用三角函数线比较大小 例 2 利用三角函数线比较 sin 2π 4π 2π 4π 2π 4π 和 sin ,cos 和 cos ,tan 和 tan 的大小. 3 5 3 5 3 5 2π 2π 2π 4π 4π 4π 解 如图,sin =MP,cos =OM,tan =AT,sin =M′P′,cos =OM′,tan =AT′. 3 3 3 5 5 5 显然|MP|>|M′P′|,符号皆正, 2π 4π ∴sin >sin ; 3 5 2π 4π |OM|<|OM′|,符号皆负,∴cos >cos ; 3 5 2π 4π |AT|>|AT′|,符号皆负,∴tan <tan . 3 5 3/9 SCH 高中

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