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高中数学第二章函数概念与基本初等函数I2.1函数的概念2.1.2函数的表示方法名师导航学案苏教版必修1

2.1.2 函数的表示方法 名师导航 知识梳理 1.函数的表示方法 主要有三种常用的表示方法,即解析法、列表法和图象法. 一个函数一般可以用以下三种方法表示: (1)解析法:把一个函数用一个式子表示,这种表示函数的方法叫做解析法. 例如,函数 y=2x+1 就是用一个代数式 2x+1 表示函数 y 的,因此,它是用解析法表示函 数. (2)列表法:把两个变量的一系列对应值列成一个表,这种表示方法叫做列表法. 例如,y=2x+1 用列表法表示是: x y 0 1 1 3 2 5 3 7 4 9 5 11 6 13 … … (3)图象法:把两个变量之间的关系用图象表示,这种方法叫做图象法. 2.“区间”与“无穷大”的两个概念 区间是数学中常用的术语和符号.必须记住闭区间、开区间、半开半闭区间的符号及其 含义. 对于[a,b] ,(a,b), [a,b),(a,b] ,都称数 a 和数 b 为区间的端点:a 为左端点,b 为右端点,称 b-a 为区间长度.这样,某些以实数为元素的集合就有三种表示法:集合表示 法、不等式表示法和区间表示法. 无穷大是个符号,不是一个数.关于用-∞、+∞作为区间的一端或两端的区间称为无穷 区间. 设 a、b 是两个实数,且 a<b,我们规定: (1)满足不等式 a≤x≤b 的实数 x 的集合叫做___________,表示为[a,b]. (2)满足不等式 a<x<b 的实数 x 的集合叫做开区间,表示为___________. (3) 满足不等式 a ≤ x<b 或 a<x ≤ b 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间,分别表示为 ___________,___________.这里 a、b 叫相应区间的端点,我们再来看一下下面的图表: 定义 {x|a≤x≤b} {x|a<x<b} {x|a≤x<b} {a|a<x≤b} 名称 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 符号 [a,b] (a,b) [a,b] (a,b] 数轴表示 我们已经知道∞表示无穷大数,把∞读作无穷大,-∞读作负无穷大,类似地我们把满 足{x|x≥a},{x|x>a},{x|x≤b},{x|x<b}的实数 x 的集合分别表示为[a,+∞),(a,+∞), (-∞,b],(-∞,b). 定义 {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤b} {x|x<b} 疑难突破 1 名称 半开半闭区间 开区间 半开半闭区间 开区间 符号 [a,+∞) (a,+∞) (-∞,b) (-∞,b) 数轴表示 函数有哪几种表示法?各有什么优点和不足? 表示函数有三种方法:解析法,列表法,图象法.结合其意义、优点与不足,分别说明 如下: (1)用解析式表示函数的优点是简明扼要、规范准确 .已学过利用函数的解析式,求自变量 x=a 时对应的函数值,还可利用函数的解析式,列表、描点、画函数的图象,进而研究函数 的性质,又可利用函数解析式的结构特点,分析和发现自变量与函数间的依存关系,猜想或 推导函数的性质(如对称性、增减性等),探求函数的应用等.不足之处是有些变量与函数关 系很难或不能用解析式表示,求 x 与 y 的对应值需要逐个计算,有时比较繁杂. (2)列表法的优点是能鲜明地显现出自变量与函数值之间的数量关系,于是一些数学用表应 运而生.如用立方表、 平方根表分别表示函数.商店职员也制作售价与数量关系的计价表, 方 便收款.列表法的缺点是只能列出部分自变量与函数的对应值,难以反映函数变化的全貌. (3)用图象表示函数的优点是形象直观,清晰呈现函数的增减变化、点的对称、最大(或小) 值等性质.图象法的不足之处是所画出的图象是近似的、局部的,观察或由图象确定的函数 值往往不够准确. 问题探究 问题 1 你能从现实生活中举出用三种方法表示函数的例子吗? 探究思路:现实生活中有许许多多函数的例子,如:商场中各种商品与其价格之间的函数关 系就是用列表法表示的; 房地产公司出售的商品房, 总价格与面积之间的函数关系就是用解 析式来表示的;工厂每月的产量与月份之间的函数关系是用图表来表示的. 问题 2 函数的表示方法中的解析式法是我们表示函数最常用的一种方法, 你能说出求函数 解析式的常用方法吗? 探究思路:一般用字母 x 表示函数的自变量,字母 y 表示函数值,列出 x 与 y 之间的等量关 系,化简成 y=f(x)的形式.求函数的解析式的方法很多,常用的有代入法、换元法、待定系 数法、配凑法、方程或方程组法等. 典题精讲 2 例 1 已知函数 f(x)=2x +1,x∈[0,2] ,求 f(2x+1). 思路解析 由题意知道了函数 f(x)的表达式即知道了对应法则 “f” , 所以求 f(2x+1)可用代 入法求解. 2 解答:∵f(x)=2x +1, 2 2 ∴f(2x+1)=2(2x+1) +1=8x +8x+3. 又由题意知 0≤2x+1≤2,∴2 2 1 1 ≤x≤ . 2 2 1 1 , ]. 2 2 ∴f(2x+1)=2(2x+1) +1=8x +8x+3,x∈[2 例 2 已知函数 f(x+1)=x -1,x∈[-1,3] ,求 f(x)的表达式. 2 2 思路解析 函数是一类特殊的对应,已知函数 f(x+1)=x -1,即知道了 x+1 的象是 x -1,求 出 x 的象,即是 f(x)的表达式.求解 f(x)的表达式,本题可用“配凑法”或“换元法”. 2 2 2 解法一:(配凑法)∵f(x+1)=x -1=(x+1) -2(x+1),∴f(x)=x -2x. 2 又 x∈[-1,3]时,(x+1)∈[0,4] ,∴f(x)=x -2x,x∈[0,4]. 解法二:(换元法)令 x+1=t,则 x=t-1,且由 x∈[-1,3]知 t∈[0,4] , 2 2 2 ∴由 f(x+1)=x -1,得 f(t)=(t-1) -1=t -2t,t∈[0,4]. 2 2 ∴f(x)=(x-1) -1=x -2x,x∈[

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