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江苏省灌云县陡沟中学高二数学6月质量调研试题

江苏省灌云县陡沟中学 2014-2015 学年高二数学 6 月质量调研试题
(时间:120 分钟 总分:160 分) 注意事项:所有试题的答案均填写在答题纸上,答案写在试卷上的无效. 一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸填空题的相应 答题线上. ) 1.已知 A ? ?1,3,4? , B ? ?3, 4,5? ,则 A 2.函数 f ( x) ? sin(3 x ?

B?




?
6

) 的最小正周期为

3.复数 1﹣2i (i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于第 4.函数 f ( x) ? 2x ? 4 的定义域为 5. 命题 P: “ ?? x Rx, ? x2 ?? 3 0
2

象限.

. ” ,命题 P 的否定: 条件.

6. “ x ? x ”是“ x =1”的
3

7.甲、乙两位同学下棋,若甲获胜的概率为 0.2 ,甲、乙下和棋的概率为 0.5 ,则乙获胜的 概率为 . 8. 若复数 z=4+3i (i 为虚数单位) ,则|z|= 9. 双曲线 x ?
2



y2 ? 1 的渐近线方程为 9
2 2 2 2

10. 若双曲线 x ? y ? a (a ? 0) 的右焦点与抛物线 y ? 4 x 的焦点重合,则 a ? 11 已知曲线 y ? ax 在 x =1 处切线的斜率是﹣4,则实数 a 的值为
2

.

12. 已知向量 a ? (2x ? 1,?1),b ? (2, x ? 1), a ? b ,则 x ? 13. 函数 f ( x) ? x ? 3x ? 1 的单调减区间为
3 2





14. 已知椭圆

x2 y2 x2 ? ? 1 与双曲线 ? y 2 ? 1 有共同焦点 F1 , F2 ,点 P 是两曲线的一个交 9 4 4


点,则|PF1|?|PF2|=

二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 15.(本题满分 14 分) 已知复数 Z1 满足 Z1 ?i=1+i (i 为虚数单位) ,复数 z2 的虚部为 2. (1)求 Z1 ; (2)若 Z1 ? Z 2 是纯虚数,求 Z 2 .

16(本题满分 14 分)

?1? 在 ?ABC 中, a ?

3 , b ? 2 , A = 600 ,求角 B ;

?2? 在 ?ABC 中,已知 c 2 ? a 2 ? b 2 ? ab ,求角 C .

17.(本题满分 16 分) 在等差数列 ?an ? 中, a1 ? 15, a5 ? 7 . (1)求 ?an ? 的通项公式 an ;(2)求 ?an ? 的前 n 项和 S n 的最大值.

18.(本题满分 16 分) 如图,已知椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的右焦点为 F ( c ,0) ,下顶点为 A (0, a 2 b2

﹣b ) , 直线 AF 与椭圆的右准线交于点 B , 若 F 恰好为线段 AB 的中点. (1)求椭圆 C 的离心率; (2)若直线 AB 与圆 x 2 ? y 2 ? 2 相切,求椭圆 C 的方程.

19.(本题满分 16 分) 如图,在边长为 2 (单位:m)的正方形铁皮的四周切去四个全等的等腰三角形,再把它 的四个角沿着虚线折起,做成一个正四棱锥的模型.设切去的等腰 三角形的高为 x m. (1)求正四棱锥的体积 V( x ) ; (2)当 x 为何值时,正四棱锥的体积 V( x )取得最大值?

20.(本题满分 16 分) 设函数 f ( x) ? ln x ? ax, a ? R.

(1)当 x =1 时,函数 f ( x) 取得极值,求 a 的值; (2)当 a >0 时,求函数 f ( x) 在区间[1,2]的最大值.

数 学 参 考 答 案 一、填空题 1. ?3, 4? ; 2.

2? ; 3

3.四;

4. [2, ??) ;

5. ?x ? R , x ? 2 x ? 3 ? 0
2

6. 必要不充分; 2) ; 14.5.

7. 0.3; 8. 5; 9. y=±3x

10.

2 ;11. ﹣2; 12. 1 ; 2

13. (0,

二、解答题 15. (1)因为 z1?i=1+i, 所以 z1= = =1﹣i.

(2)因为 z2 的虚部为 2,故设 z2=m+2i (m∈R) . 因为 z1?z2=(1﹣i) (m+2i)=(m+2)+(2﹣m)i 为纯虚数, 所以 m+2=0,且 2﹣m≠0,解得 m=﹣2. 所以 z2=﹣2+2i. 16.(1) 解 : 由 正 弦 定 理

a b 3 2 2 ? 得 , 化 简 得 s i nB ? ? , 因为 sin A sin B sin 60 sinB 2

0? ? B ? 180? ,所以 B= 45? 或者 135? ;当 B= 135? 时,B+A= 195? ? 180? ,与三角形内角和等于
180? 矛盾,所以 B= 45? .

ab 1 a 2 ? b2 ? c2 2 2 2 ? ,因为 (2)解:由余弦定理 cosC ? 及条件 c ? a ? b ? ab 得 cos C ? 2ab 2 2ab

0 ? C ? 180 ,所以 C= 60? .
17. 解: (1)因为 ?an ? 为等差数列,所以 a5 ? a1 ? 4d ,因为 a1 ? 15, a5 ? 7 ,所以代入解得

d ? ?2 ,所以 an ? a1 ? (n ?1)d ? 15 ? (n ?1) ? (?2) ? 17 ? 2n .
(2)因为 S n ? 有最大值 64. 18. 解 (1)因为 B 在右准线 x= 上,且 F(c,0)恰好为线段 AB 的中点,

n(a1 ? an ) n(15 ? 17 ? 2n) ? ? ?n 2 ? 16 n ? ?(n ? 8) 2 ? 64 ,所以当 n=8 时,S n 2 2

所以 2c=

,即

= ,所以椭圆的离心率 e=



(2)由(1)知 a=
2

c,b=c,所以直线 AB 的方程为 y=x﹣c,即 x﹣y﹣c=0,
2

因为直线 AB 与圆 x +y =2 相切,所以 解得 c=2.所以 a=2 所以椭圆 C 的方程为 ,b=2. + =1.

=



19.解 (1)设正四棱锥的底面中心为 O,一侧棱为 AN.则 由于切去的是等腰三角形,所以 AN= 在直角三角形 AON 中,AO= 所以 V(x)= ? ?[2(1﹣x)] ?
2

,NO=1﹣x,…(2 分) = = (1﹣x)
2

=



, (0<x<1) .

(2)V′(x)=

[(2x﹣2)

+

]=

(x﹣1)



令 V′(x)=0,得 x=1(舍去) ,x= . 当 x∈(0, )时,V′(x)>0,所以 V(x)为增函数; 当 x∈( ,1)时,V′(x)<0,所以 V(x)为减函数. 所以函数 V(x)在 x= 时取得极大值,此时为 V(x)最大值. 答:当 x 为 m 时,正四棱锥的体积 V(x)取得最大值. 20. 解答: 解 (1)f(x)的定义域为(0,+∞) ,所以 f′(x)= ﹣a= 因为当 x=1 时,函数 f(x)取得极值, 所以 f′(1)=1﹣a=0,解得 a=1. 经检验,a=1 符合题意. (2)f′(x)= ﹣a= ,x>0.



令 f′(x)=0 得 x= .因为 x∈(0, )时,f′(x)>0,x∈( ,+∞)时,f′ (x)<0, 所以 f(x)在(0, )上递增,在( ,+∞)上递减,

①当 0< ≤1,即 a≥1 时,f(x)在(1,2)上递减,所以 x=1 时,f(x)取最大 值 f(1)=﹣a; ②当 1< <2,即 <a<1 时,f(x)在(1, )上递增,在( 所以 x= 时,f(x)取最大值 f( )=﹣lna﹣1; ③当 ≥2,即 0<a≤ 时,f(x)在(1,2)上递增,所以 x=2 时,f(x)取最大 值 f(2)=ln2﹣2a; 综上,①当 0<a≤ 时,f(x)最大值为 ln2﹣2a;②当 <a<1 时,f(x)最大值 为﹣lna﹣1. ③当 a≥1 时,f(x)最大值为﹣a. ,2)上递减,