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湖北武穴中学2013届高考文科数学模拟试题


2013 届高三数学(文科)综合训练题
供题学校:武穴中学 命题人:郑齐爱 审题人:董慧 一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1. 设集合 S ? x x ? 2 ? 3 ,T ? x a ? x ? a ? 8 , S ? T ? R ,则 a 的取值范围是( A. ?3 ≤ a ≤ ?1 B. ?3 ? a ? ?1 C. a ≤ ?3 或 a ≥ ?1 ) D. a ? ?3 或 a ? ?1

?

?

?

?



?? ai 为纯虚数,则实数 a 为( ? ?i ? ? (A) ? (B) (C) 2 (D) ? 2 ? ? ? ? 1 3. 已知 sin(? ? ) ? ,则 cos( ? ? ) 的值等于( )
2. 设 i 是虚数单位,复数

4

3

4

A.

2 2 3

B.—

2 2 3

C.

1 3

D.—

1 3

4. 数列 {an } 的首项为 3, {bn } 为等差数列且 bn ? an?1 ? an (n ?N* ) ,若 b3 ? ?2, b10 ? 12 , 则 a8 ? ( ) (A)0 (B)3 (C)8 (D) 11

x2 y2 5. 已知点 F 是双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点,点 E 是该双曲线的右顶点,过 F 且 a b
垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A, B 两点,若 ?ABE 是直角三角形,则该双曲线的离心率等于 ( ) A.

2

B.

3

C. 3

D. 4

6. 一只蜜蜂在一个棱长为 3 的正方体内自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体 6 个 表面的距离均大于 1,称其为“安全飞行”,则蜜蜂“安全飞行”的概率为( ). A.

4? 81

B .

81 ? 4? 81

C.

1 27

D.

8 27


7. 已知 a1 , a2 , a3 , a4 都是非零实数,则“ a1a4 =a2a3 ”是“ a1 , a2 , a3 , a4 ”成等比数列的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件

? 8. 已 知 ?ABC 中 , A B ? A C?4 , B C 4 3, 点 P 为 BC 边 所 在 直 线 上 的 一 个 动 点 , 则

??? ??? ???? ? ? AP ? ( AB ? AC ) 满足(
A.最大值为 16

) B.为定值 8 C.最小值为 4 D.与 P 的位置有关

9. 下列命题中,真命题的个数为( ) (1)在? △ABC 中,若 A>B ,则 sin A>sin B ; (2)已知 AB ? (3, 4), CD ? (?2, ?1), 则AB在CD 上的投影为-2 ; (3)已知 p : ?x ? R,cos x ? 1, q : ?R, x2 ? x ? 1 ? 0, 则" p ? ?q " 为假命题 (4)要得到函数 y ? cos( A.1 B.2

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

x ? x ? ? ) 的图象,只需将 y ? sin 的图象向左平移 个单位. 2 4 2 4
D.4

C.3

10. 定义函数 y ? f ( x), x ? D ,若存在常数 C,对任意的 x1 ? D ,存在唯一的 x2 ? D ,使得

f ( x1 ) f ( x2 ) ? C ,则称函数 f (x) 在 D 上的几何平均数为 C.已知 f ( x) ? x, x ?[2, 4] ,则函数
f ( x) ? x 在 [2, 4] 上的几何平均数为(
A. 2 B. 2 C. )

4

D. 2 2

二、填空题: (本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分。请将答案填在答题卡对应题号的位置 上。答错位置,书写不清,模棱两可均不得分。 ) 11. 在△ABC 中,若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则 a : b : c ? 12. 学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,抽出了一个容量为 n 的样本,其频率分布直 方图如图所示,其中支出在 [50,60] 元的同学有 30 人,则 n 的值为 . 13. 下图是计算 y ? f ( x) 的函数值的程序框图,则 f [ f (2)] = .

14. 如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”, 它们是由整数的倒数组成的, n 行有 第

n 个数且两端的数均为

1 1 1 1 (n?2) ,每个数是它下一行左右相邻两数的和,如 ? ? , n 1 2 2
.

1 1 1 1 1 1 ? ? , ? ? ,?,则第 10 行第 4 个数(从左往右数)为 2 3 6 3 4 12

15. 已知 a ? (3,2), b ? (2, ?1) ,若向量 ? a ? b与a ? ?b 夹角为锐角,则实数 ? 取值范围 __ __.

?

?

? ? ?

?

16. 设点 A, B 是圆 x 2 ? y 2 ? 4 上的两点,点 C (1,0) ,如果 ?ACB ? 90? ,则线段 AB 长度的取值范 围为 . 成立,

17. 若函数 y=f(x)对定义域的每一个值 x1,都存在唯一的 x2,使

则 称此函数为“滨湖函数”.下列命题正确的是____________.(把你认为正确的序号都填上) ① ③ ⑤ 是“滨湖函数”; ②. 是“滨湖函数”; ④ 是“滨湖函数”; 是 “滨湖函数” . 是“滨湖函数”;

都是 “滨湖函数” 且定义域相同, , 则

三 、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(本答题共 6 小题,共 75 分) 18.(本小题 12 分)已知函数

? 1 f ( x) ? 2 cos x ? sin( x ? ) ? . 6 2

(I)求函数 f ( x) 的最小值和最小正周期; ( II ) 设 ?ABC 的 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c 且 c ? 3 , 角 C 满 足 f (C ) ? 0 , 若

s i nB ? 2 s i n ,求 a , b 的值. A

19. (本小题 12 分) 已知数列 ?a n ? 是公差为正数的等差数列, a 2 , a 5 是方程 x ? 12 x ? 27 ? 0 且
2

的两根,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,且 Tn ? 1 ? (1)求数列 ?a n ? , ?bn ? 的通项公式; (2)记 c n = a n bn ,求数列 ?c n ? 的前 n 项和 S n .

1 bn (n ? N *) . 2

20.(本小题 13 分)某单位开展岗前培训.期间,甲、乙 2 人参加了 5 次考试,成绩统计如下: 第一次 甲的成绩 乙的成绩 82 95 第二次 82 75 第三次 79 80 第四次 95 90 第五次 87 85

(Ⅰ)根据有关统计知识,回答问题:若从甲、乙 2 人中选出 1 人上岗,你认为选谁合适,请说 明理由; (Ⅱ)根据有关概率知识,解答以下问题: ①从甲、乙 2 人的成绩中各随机抽取一个,设抽到甲的成绩为 x ,抽到乙的成绩为 y .用 A 表示 满足条件 | x ? y |? 2 的事件,求事件 A 的概率; ②若一次考试两人成绩之差的绝对值不超过 3 分,则称该次考试两人“水平相当”.由上述 5 次 成绩统计,任意抽查两次考试,求至少有一次考试两人“水平相当”的概率.

21. (本小题 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx在点x0 处取得极小值-4, f ?( x) ? 0的x 若 的取值范围为(1,3). (Ⅰ)求 f (x) 的解析式及 f (x) 的极大值; (Ⅱ) 设g ( x) ? 6(2 ? m) x, x ?[2,3]时,函数y ? f ?( x) 的图像恒在 y ? g ( x) 的图象 当 的下方,求 m 的取值范围.

PF ? 0 ,由点 P 向 x 轴作 22.(本小题 14 分) .已知两定点 E(-2,0),F(2,0),动点 P 满足 PE ?
垂线段 PQ,垂足为 Q,点 M 满足 PM ? MQ ,点 M 的轨迹为 C. (Ⅰ)求曲线 C 的方程;

??? ??? ? ?

???? ?

???? ?

???? ??? ??? ? ? (Ⅱ)过点 D(0,-2)作直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点,点 N 满足 ON ? OA ? OB (O 为原
点) ,求四边形 OANB 面积的最大值,并求此时的直线 l 的方程.

2013 届高三(文科)数学综合训练题
供题学校:武穴中学 1-10: ,BCDBA 15、 ? ? CBBBD 命题人:郑齐爱

参考答案
13、0 ;

审题人:董慧 14、

11、 1 3:2 ; 12、100 ; :

1 ; 840

? 9 ? 65 ? 9 ? 65 或? ? 且? ? 1 ; 16、 [ 7 ? 1, 7 ? 1] ; 17、②③ ; 4 4 ? 18.解: (Ⅰ) f ( x) ? sin(2 x ? ) ? 1 ,? f ( x) 的最小值是 ?2 , 最小正周期是 T ? ? ; 6 ? ? ? ? 11? ? (Ⅱ)由 f (C ) ? sin(2C ? ) ? 1 ? 0 , si (2 C ?) 1? , 0 ? C ? ? ?? ? 2C ? ? 得 n , 6 6 6 6 6 ? ? ? ? 2C ? ? , C ? ,? sin B ? 2sin A ,由正弦定理得 b ? 2a …① ,又由余弦定理,得 6 2 3 ? c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos ,即 a 2 ? b2 ? ab ? 3 ?????②,联立①、②解得 a ? 1, b ? 2 . 3 a ? a2 ? 2 ? an ? 2n ? 1 , 19.解:? x2 ?12x ? 27 ? ( x ? 3)( x ? 9) ? 0又?d ? 0?a2 ? 3, a5 ? 9 ,? d ? 5 3 1 2 1 1 1 ? Tn ? 1 ? bn (n ? N *) ? b1 ? , 当n ? 2时bn ? Tn ? Tn ?1 ? bn ?1 ? bn ? bn ? bn ?1 , 2 3 2 2 3 2 1 1 3 2n ? 1 2 4n ? 2 bn ? ( ) n ?1 ; (2) c n ? ?2n ? 1? ? n ? ), , ? S n ? 2( ? 2 ? ?????? ? n 3 3 3 3 3n 3 3 1 1 3 2n ? 1 ? ?1 ? Sn ? 2( 2 ? 3 ? ?????? ? n ?1 ) , ? 2 Sn ? 2[ 1 ? 2( 12 ? ?????? ? 1n ) ? 2nn ?11] ? 4( 1 ? n n ?1 ) , 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2n ? 2 ? Sn ? 2 ? . 3n
2 2 2 20.解: (Ⅰ)? x甲 ? 85, ? 85,s甲 ? 31 s乙 ? 50,s甲 ? s乙 ? 派甲合适. x乙 ,2

(Ⅱ) ①可以看出基本事件的总数 n=25 个, 而满足条件 x ? y ? 2 的事件有 (82,80) , (82,80) , (79,80)(95,95) , (87,85)共 5 个, ? P ( A) ?

5 1 ? : 25 5

②考试有 5 次,任取 2 次,基本事件共 10 个: (82,95)和(82,75)(82,95)和(79,80) , , (82,95) (95,90) 和 , (82,95) (87,85) 和 , (82,75) (79,80) 和 , (82,75) (95,90) 和 , (82,75) 和(87,85)(79,80)和(95,90)(79,80)和(87,85)(95,90)和(87,85)其中符合条件 , , , 的事件共有 7 个,则 5 次考试,任取 2 次,两人“水平相当”为事件 B ,? P ( B ) ? 21.解: (Ⅰ)由题意知 f ?( x) ? 3ax ? 2bx ? c ? 3a( x ? 1)(x ? 3)(a ? 0) ,
2

7 . 10

?在(??,1)上, f ?( x) ? 0, 在(1,3), f ?( x) ? 0, 在(3, ??)上, f ?( x) ? 0. 因此 f ( x)在x0 ? 1 处取得

极小值-4, x=3 处取得极大值。 a ? b ? c ? ?4, f ?(1) ? 3a ? 2b ? c ? 0, f ?(3) ? 27a ? 6b ? c ? 0, 在 ?

解之得a ? ?1, b ? 6, c ? ?9, ? f ( x) ? ? x 3 ? 6 x 2 ? 9 x. 则 f ( x)在x ? 3处取得极大值 (3) ? 0. f
(Ⅱ)由题意得,当 x ?[2,3]时, f ?( x) ? g ( x) ,即 ?3x2 ? 12 x ? 9 ? 6(2 ? m) x

3 3 7 3 6(2 ? m) ? ?3( x ? ) ? 12 , y ? x ? 在[2,3]上是增函数,? x ? ? , x x 2 x 3 3 3 7 7 ?3( x ? ) ? 12 ? ,? 6(2 ? m) ? ,解得, m ? ,? m 的取值范围为 (??, ) . 4 4 x 2 2 ??? ??? ? ? 22.解: (Ⅰ)? 动点 P 满足 PE ? PF ? 0 ,? 点 P 的轨迹是以 E F 为直径的圆,? 动点 P 的轨迹
方程为 x2 ? y 2 ? 4 ,设 M(x,y)是曲线 C 上任一点,因为 PM ? x 轴, PM ? MQ ,? 点 P 的坐标

???? ???? ? ?

x 为 (x, 2y) , ? 点 P 在圆 x ? y ? 4 上, x ? (2 y) ? 4 , ? 曲线 C 的方程是 ? y 2 ? 1; ? 4
2 2 2 2

2

(Ⅱ)因为 ON ? OA ? OB ,所以四边形 OANB 为平行四边形, 当直线 l 的斜率不存在时显然不 符合题意;当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=kx-2,l 与椭圆交于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 两点,由 ? x 2 ?

? y ? kx ? 2 ? ? y ?1 ?4
2

得 1+4k ) x ?16kx ? 12 ? 0 , x1 ? x2 ? (
2 2

16k 12 , , x1 x2 ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

2 2 2 由 ? ? 16 k ? 48(1 ? 4k ) ? 0 ,得 k ?
2

3 3 3 或k ? ? , ,即 k ? 4 2 2

16k 2 12 S? OANB ? 2S?OAB ? 2 | x1 ? x2 |? 2 ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? 2 ( ) ?4 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

?2

162 k 2 ? 48(1 ? 4k 2 ) 4k 2 ? 3 , ?8 (1 ? 4k 2 ) 2 (1 ? 4k 2 ) 2

?

(1 ? 4t )2 16t 2 ? 8t ? 1 (4t ? 3) 2 ? 8(4t ? 3) ? 16 16 , ? ? ? 4t ? 3 ? 8 ? 4t ? 3 4t ? 3 4t ? 3 4t ? 3

3 1 7 7 t ? ,? 4t ? 3 ? 0 , (4t ? 3)2 ? 16 ,解得 t ? - (舍)或t ? , t ? 满足 4 4 4 4
? ? 0 , 4t ? 3 ? 8 ?

16 7 13 7 ? 13 , (当且仅当 t ? 时“=”成立) S? OANB ? 8 ,? 当 k ? ? , 4 4t ? 3 13 2

平行四边形 OANB 面积的最大值为 8

13 7 7 ,所求直线 l 的方程为 y ? x ? 2和y ? ? x?2. 13 2 2


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