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等差与等比数列和数列求和的基本方法和技巧


高三数学第一轮复习 2004-10-10

高考专题复习三——等差与等比数列 高考专题复习三——等差与等比数列 ——
等差与等比数列是最重要且应用广泛的有通项公式的数列,在高考中占有重要地位,成为 每年必考的重点内容,这部分内容的基础知识有:等差、等比数列的定义及通项公式,前几项 和公式以及等差、等比数列的性质,在解决有关等差,等比数列问题时,要注意运用方程的思 想和函数思想以及整体的观点,培养分析问题与解决问题的能力。 考纲要求:掌握等差数列与等比数列的概念,通项公式,前几项和公式并能运用知识解决一些 考纲要求 问题。 知识结构与要点: 一、知识结构与要点: 等差、 等差、等比数列的性质推广 定义 a n +1 ? a n = d → a n + 2 ? a n +1 = a n +1 ? a n 通项 a n = a1t ( n ? 1)d —等差中项 基本概念 推广 a n = a m + ( n ? m ) d 前 n 项和 S n =

n∈N

abc 成等差 ? b =

a+c 2

( a1 + a 2 )n 1 = a1n + ( n ? 1)nd 2 2

等差数列 当 d>0(<0) 时{ a n } 为递增(减)数列 当 d=0 时 {a n } 为常数 基本性质 与首末两端等距离的项之和均相等

a1 + a n = a 2 + a n ?1 = c...... = ai + a n ? i +1 i ∈ N

m + n = p + q ? am + an = a p + a q
{a n } 中共 n1n2. ......nk 成等差则 a n1 , a n 2, ......a nk 也成等

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定义:

an a a = q → n + 2 = n +1 a n ?1 a n +1 an
n ?1

n∈N

通项 a n = a1 ? q 基本概念

→ 等比中项:a b c 成等比数列 ? b 2 = ac
n?m

推广 a n = a m ? q 前 n 项和 S n =

a1n ( q = 1) a1 (1 ? q n ) a1 ? a n q = ( q ≠ 1) 1? q 1? q

等比数列 与首末两端等距离的两项之积相等

a1a n = a 2 a n ?1 = ...... = ai ? a n ? i +1
m + n = p + q ? a m ? an = a p ? a q

{a n } 成等比,若 n1 , n2 ,...nk 成等差 则 a1 , a n 2 ,...a nk 成等比
a1 > 0 q >1 q >1 a1 < 0

基本性质





0 < q <1
a1 > 0

时 { a n } 为递增数列



a1 < 0



0 < q <1

时 { a n } 为递减数列

当 q<0 时 { a n } 为摆动数列 当 q=1 时 { a n } 为常数数列 二、典型例题 例 1.在等差数列中 a 6 + a9 + a12 + a15 = 20 求 S 20 解法一

Q a n = a1 + ( n ? 1)d

∴ a6 + a 9 + a12 + a15 = ( a1 + 5d ) + ( a1 + 8d ) + ( a1 + 11d ) + ( a1 + 14d ) = 2( 2a1 + 19d ) = 20
∴ 2a1 + 19d = 10
那么 S 20 =

20( a1 + a 20 ) = 10(2a1 + 19d ) = 100 2

解法二:由 m + n = p + q ? a m + a n = a p + a q
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Q a6 + a9 + a12 + a15 = 2( a 6 + a15 ) = 2(a1 + a 20 ) = 20
点评:在等差数列中,由条件不能具体求出 a1 和 d,但可以求出 a1 与 d 的组合式,而所求的量 往往可以用这个组合式表示,那么用“整体代值”的方法将值求出 (2)利用: m + n = p + q ? a m + a n = a p + a q 将所求量化为已知量也是“整体代值”的思 想,它比用 a1 和 d 表示更简捷。 例 2.等差数列前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,则它的前 3m 项和为 解法一 用方程的思想,由条件知

( a1 + a m )m = 30 2 ( a1 + a 2 m )2m = 100 2

?

( a1 + a m )m = 60 ( a1 + a 2 m )m = 100

① ②

Q am a2m
∴ S 3m =

a 3m 也成等数列

3m 3 (a1 + a 3m ) = m( a1 + 2a 2m ? a m ) 由②Χ2-①得 2 2 3 ? 140 = 210 2

m(a1 + a 2m ? a m ) = 140 代入 S 3m =
解:在等差数列中由性质知 S m

S 2m ? S m S 3m ? S 2 m 成等差数列 ∴ S 3m = 3( S 2 m ? S m ) = 210 1 n ( n ? 1)d 2 ∴ Sn d = a + ( n ? 1) n 2

∴ S 3m ? S 2 m = 2( S 2 m ? S m ) ? S m
解法三 等差数列 {a n } 中Q S n = a1n +

S d 即 { n } 为以 a1 为首项公差为 的等差数列 n 2 Sm m S2m 2m S 3m 成等差 3m ∴2 ?

依题意条件知

S 3m S 2m S m = + 2m 3m m

∴ S 3m = 3( S 2 m ? S m ) = 210
点评:三种解法从不同角度反映等差数列所具有的特性,运用方程的方法、性质或构造新的等 差数列都是数列中解决问题的常用方法且有价值,对解决某些问题极为方便。 例 3 在等比数列中 S5 = 93

a 2 + a 3 + a 4 + a5 + a6 = 186 求 a8
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分析:在等比数列中对于 a1 q n a n S n 五个量一般“知三求二”其中首项 5 元比是关键, 因此 解法一Q a 2 + a3 + a 4 + a5 + a6 = 186

∴ S 5 + a6 = a1 + 186

∴ a6 = a1 + 9 3

∴ a1 ? q 5 = a1 + 9 3
∴ a1 ? a1 + 93 = 93 ? q = 2 1? q

a1 ? a1q 5 = 93 又 S5 = 1? q
则 a8 = a1 ? q = 384
7

a1 = 3

解法二: Q S5 = 93 而

a 2 + a3 + a 4 + a5 + a6 = ( a1 + a 2 + a3 + a 4 + a5 )q = 186
中得 a1 = 3

∴ q = 2 代入

a1 (1 ? q 5 ) = 93 1? q
7

故 a8 = a1 ? q = 384 点评:根据等比数列定义运用方程的方法解决数列问题常用解法二更为简捷。 例 4.在等差数列 {a n } 中 S 9 = ?36

S13 = ?104 等比数列 {bn } 中

b5 = a5

b7 = a7 则 b6 =

a + a9 解: S 9 = ( 1 ) × 9 = a5 ? 9 = ?36 2 S13 = a1 + a13 × 13 = a7 × 13 = ?104 2
2 ∴ b2 = 32

∴a5 = ?4 ∴a7 = ?8

b5 ? b7 = a5 ? a7 = 32

b6 = ±4 3
S13 = ?104 列方程,联立解

点评:此题也可以把 a1 和 d 看成两个未知数,通过 S 9 = ?36

a + a 2 n ?1 之 d= ? 2 a1 = 4 。再求出 a5a7 但计算较繁,运用 1 = a n 计算较为方便。
2
例 5.设等差数列 {a n } 前 n 项和为 S n 已知 a 3 = 12 (1)求公差 d 的范围

S12 > 0

S13 < 0

(2)指出 S1S 2 ......S12 中哪一个值最大,并说明理由

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S12 = 12a1 +
解: (1)由题义有

S13

12 × (12 ? 1) d >0 2 13 × (13 ? 1) = 13a1 + d <0 2
24 + 7d > 0 3+ d < 0

?

2a1 + 11d > 0 a1 + 6d < 0
24 < d < ?3 7

由 a 3 = 12 ? a1 = 12 ? 2d 则代入上式有

∴?

(2 S n = a1n +

n (n ? 1) d 24 24 1 1 d 1 d = n (12 ? 2d ) + n ( n ? 1)d = [n ? (5 ? )]2 ? [ (5 ? )]2 2 2 2 2 d 2 2 d 1 24 (5 ? )]2 最小时 S n 最大 2 d
所以 当 n=6 时 [ n ? 当?

Q d<0 所以 [n ?

24 < d < ?3 时 7
故 S 6 最大

6<

1 24 ( 5 ? ) < 6 .5 2 d

1 24 (5 ? )]2 最小 2 d

点评:本题解法体现了函数思想在处理数列问题中的运用,判断数列随 N 增大而变化规律的方 法与判断函数增减性的方法相同。 例 6 已知 a>0

a ≠ 1 数列 {a n } 是首项 5 元比都为 a 的等比数列,bn = a n lg a n (n ∈ N ) 如果

数列 {bn } 中每一项总小于它后面的项,求 a 的取值范围。 解:由已知有 a n = a ? a 因此由题意
n a
n ?1

= a n 所以 bn = a n ? lg a n = a n lg a n = na n lg a
即 na lg < ( n + 1)a
n a n +1
n

对任意 n ∈ N bn < bn +1 成立

lg a

即 a lg [( n + 1) a ? n ] > 0 那么 由 a>0

对任 n ∈ N 总成立,由 a > 0 知 a > 0

a ≠1



lg a > 0 ( n + 1) a ?n > 0



lg a < 0 ( a ? 1)n + n < 0

a >1
即(Ⅰ)

0 < a <1
或 (Ⅱ)

a>

n n +1

a<

n n +1

由Ⅰ知 a>1 中Ⅱ

n n 1 1 为递增的函数 所以 ( ) min = ∴ 0 < a < n +1 n +1 2 2 1 或 a>1 2
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故 a 的取值范围为 0 < a <

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点评:这是道数列与不等式综合的题目,既含有字母分类讨论又要运用极限的思想和函数最值 的观点来解决问题,同时还要判断函数 y =

x 的单调性,具有一定的综合性。 x+2

高考专题复习三——数列求和的基本方法和技巧 高考专题复习三——数列求和的基本方法和技巧 ——
数列是高中代数的重要内容,又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有 重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一,除了等差数列和等比数列有求和公式外,大部 分数列的求和都需要一定的技巧. 下面,就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和 的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式: S n =

n(a1 + an ) n(n ? 1) = na1 + d 2 2

(q = 1) ? na1 ? n 2、等比数列求和公式: S n = ? a1 (1 ? q ) a1 ? a n q = (q ≠ 1) ? 1? q 1? q ?
3、 S n =

∑ k = 2n(n + 1)
k =1 n

n

1

4、 S n =

∑k
k =1 n

2

1 = n(n + 1)(2n + 1) 6 1 = [ n(n + 1)]2 2 ?1 2 3 n ,求 x + x + x + ? ? ? + x + ? ? ? 的前 n 项和. log 2 3
由等比数列求和公式得

5、 S n =

∑k
k =1

3

[例 1] 已知 log 3 x =
解:由 log 3 x =

?1 1 ? log 3 x = ? log 3 2 ? x = log 2 3 2

1 1 (1 ? n ) x(1 ? x ) 2 2 =1- 1 S n = x + x 2 + x 3 + ? ? ? + x n (利用常用公式)= = 1 1? x 2n 1? 2
n

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[例 2] 设 Sn=1+2+3+…+n,n∈N*,求 f (n) =

Sn 的最大值. (n + 32) S n +1

解:由等差数列求和公式得 S n = ∴ f ( n) =

1 1 n(n + 1) , S n = (n + 1)(n + 2) (利用常用公式) 2 2

Sn n = 2 = (n + 32) S n +1 n + 34n + 64

1 n + 34 + 64 n



( n?

1 8 n

) 2 + 50



1 50

∴当 n ?

8 1 ,即 n=8 时, f ( n) max = 50 8
二、错位相减法求和

这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列 {an· bn}的前 n 项和,其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.

[例 3] 求和: S n = 1 + 3 x + 5 x 2 + 7 x 3 + ? ? ? + (2n ? 1) x n ?1 ………………①
解:由题可知,{ ( 2n ? 1) x n ?1 }的通项是等差数列{2n-1}的通项与等比数列{ x 设 xS n = 1x + 3 x + 5 x + 7 x + ? ? ? + ( 2n ? 1) x ……. ②(设制错位)
2 3 4 n n ?1

}的通项之积

①-②得 (1 ? x ) S n = 1 + 2 x + 2 x + 2 x + 2 x + ? ? ? + 2 x
2 3 4

n ?1

? (2n ? 1) x n (错位相减)

再利用等比数列的求和公式得: (1 ? x ) S n = 1 + 2 x ?

1 ? x n ?1 ? (2n ? 1) x n 1? x



Sn =

(2n ? 1) x n +1 ? (2n + 1) x n + (1 + x) (1 ? x) 2

[例 4] 求数列 ,

2 4 6 2n , 3 ,? ? ?, n ,? ? ? 前 n 项的和. 2 2 2 2 2 2n 1 }的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{ n }的通项之积 n 2 2

解:由题可知,{

设 Sn =

2 4 6 2n + 2 + 3 + ? ? ? + n ………………① 2 2 2 2

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1 2 4 6 2n S n = 2 + 3 + 4 + ? ? ? + n +1 ………………②(设制错位) 2 2 2 2 2
①-②得 (1 ? ) S n =

1 2

1 2n 2 2 2 2 2 2n + 2 + 3 + 4 + ? ? ? + n ? n +1 (错位相减) = 2 ? n?1 ? n +1 2 2 2 2 2 2 2 2 n+2 2 n?1
三、反序相加法求和

∴ Sn = 4 ?

这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序) ,再 把它与原数列相加,就可以得到 n 个 (a1 + an ) .
0 1 2 n [例 5] 求证: C n + 3C n + 5C n + ? ? ? + (2n + 1)C n = (n + 1)2 n

证明: 设 S n = C n + 3C n + 5C n + ? ? ? + ( 2n + 1)C n ………①
0 1 2 n

把①式右边倒转过来得
1 0 n n S n = (2n + 1)C n + (2n ? 1)C n ?1 + ? ? ? + 3C n + C n (反序)

又由 Cn = Cn
m

n?m

可得

0 1 n n S n = (2n + 1)C n + (2n ? 1)C n + ? ? ? + 3C n ?1 + C n ……..②

①+②得

0 1 n n 2 S n = (2n + 2)(C n + C n + ? ? ? + C n ?1 + C n ) = 2(n + 1) ? 2 n ( 反 序 相 加 ) ∴

S n = (n + 1) ? 2 n
[例 6] 求 sin 2 1o + sin 2 2 o + sin 2 3o + ? ? ? + sin 2 88o + sin 2 89o 的值
解:设 S = sin 1 + sin 2 + sin 3 + ? ? ? + sin 88 + sin 89 …①
2 o 2 o 2 o 2 o 2 o

将①式右边反序得

S = sin 2 89 o + sin 2 88 o + ? ? ? + sin 2 3o + sin 2 2 o + sin 2 1o …②(反序)
又因为 sin x = cos(90o ? x ), sin 2 x + cos 2 x = 1 ①+②得(反序相加)

2 S = (sin 2 1o + cos 2 1o ) + (sin 2 2 o + cos 2 2 o ) + ? ? ? + (sin 2 89 o + cos 2 89 o ) =89 ∴ S=44.5
四、分组法求和 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等

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差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.

[例 7] 求数列的前 n 项和: 1 + 1,

1 1 1 + 4, 2 + 7,? ? ?, n ?1 + 3n ? 2 ,… a a a
将其每一项拆开再重新组合

解:设 S n = (1 + 1) + ( 得

1 1 1 + 4) + ( 2 + 7) + ? ? ? + ( n?1 + 3n ? 2) a a a

S n = (1 +

1 1 1 + 2 + ? ? ? + n?1 ) + (1 + 4 + 7 + ? ? ? + 3n ? 2) (分组) a a a (3n ? 1)n (3n + 1)n = (分组求和) 2 2

当 a=1 时, S n = n +

1 1? n a n + (3n ? 1)n = a ? a + (3n ? 1)n 当 a ≠ 1 时, S n = 1 2 a ?1 2 1? a 1?
[例 8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前 n 项和.

n n





a k = k (k + 1)(2k + 1) = 2k 3 + 3k 2 + k



S n = ∑ k (k + 1)(2k + 1)
k =1



∑ ( 2k
k =1

3

+ 3k 2 + k )

将其每一项拆开再重新组合得 Sn =

2∑ k 3 + 3∑ k 2 + ∑ k
k =1 k =1 k =1

n

n

n











2(13 + 23 + ? ? ? + n 3 ) + 3(12 + 2 2 + ? ? ? + n 2 ) + (1 + 2 + ? ? ? + n) n 2 (n + 1) 2 n(n + 1)(2n + 1) n(n + 1) n(n + 1) 2 (n + 2) + + (分组求和)= 2 2 2 2
五、裂项法求和



这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项) 分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)如:

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(1) a n = f ( n + 1) ? f ( n)

(2)

sin 1o = tan(n + 1) o ? tan no cos no cos(n + 1)o ( 2n ) 2 1 1 1 = 1+ ( ? ) (2n ? 1)(2n + 1) 2 2n ? 1 2n + 1

(3) a n = (5) an =

1 1 1 = ? n(n + 1) n n + 1

(4) an =

1 1 1 1 = [ ? ] n(n ? 1)(n + 2) 2 n(n + 1) (n + 1)(n + 2)
n+2 1 2(n + 1) ? n 1 1 1 1 ? n = ? n = ? , 则S n = 1 ? n ?1 n n(n + 1) 2 n(n + 1) 2 n?2 (n + 1)2 (n + 1)2 n 1 1+ 2 1 n + n +1 , 1 2+ 3 ,? ? ?, 1 n + n +1 ,? ? ? 的前 n 项和.

(6) a n =

[例 9] 求数列

解:设 a n =

= n +1 ? n + ??? + 1

(裂项)

则 Sn =

1 1+ 2

+

1 2+ 3

n + n +1

(裂项求和)

= ( 2 ? 1) + ( 3 ?

2 ) + ? ? ? + ( n + 1 ? n ) = n + 1 ?1

[例 10] 在数列{an}中, an =
项的和. 解:∵ a n =

1 2 n 2 + + ??? + ,又 bn = ,求数列{bn}的前 n n +1 n +1 n +1 a n ? a n+1

1 2 n n + + ??? + = n +1 n +1 n +1 2

∴ bn =

2 1 1 = 8( ? ) n n +1 n n +1 ? 2 2

(裂项)



数列{bn}的前 n 项和

1 1 1 1 1 1 1 1 8n S n = 8[(1 ? ) + ( ? ) + ( ? ) + ? ? ? + ( ? )] (裂项求和)= 8(1 ? )= 2 2 3 3 4 n n +1 n +1 n +1 1 1 1 cos 1o [例 11] 求证: + + ??? + = cos 0 o cos 1o cos 1o cos 2 o cos 88 o cos 89 o sin 2 1o
解:设 S =

1 1 1 + + ??? + o o o o cos 0 cos 1 cos 1 cos 2 cos 88 cos 89 o
o

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sin 1o = tan(n + 1) o ? tan no cos no cos(n + 1)o

(裂项)

∴S =

1 1 1 + + ??? + o o o o cos 0 cos 1 cos 1 cos 2 cos 88 cos 89 o
o

(裂项求和)



1 {(tan 1o ? tan 0 o ) + (tan 2 o ? tan 1o ) + (tan 3 o ? tan 2 o ) + [tan 89 o ? tan 88 o ]} sin 1o 1 1 cos 1o ? cot 1o = 2 o (tan 89o ? tan 0o ) = sin 1o sin 1o sin 1
六、合并法求和 ∴原等式成立



针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列的和 时,可将这些项放在一起先求和,然后再求 Sn.

[例 12] 求 cos1°+ cos2°+ cos3°+··+ cos178°+ cos179°的值. ·
解:设 Sn= cos1°+ cos2°+ cos3°+··+ cos178°+ cos179° · ∵ cos n o = ? cos(180o ? n o ) (找特殊性质项) ∴Sn= (cos1°+cos179°) + (cos2°+cos178°) + (cos3°+cos177°) · + +·· (cos89°+cos91°) +cos90°(合并求和)=0

[例 13] 数列{an}: a1 = 1, a2 = 3, a3 = 2, an + 2 = an +1 ? an ,求 S2002.
解:设 S2002= a1 + a 2 + a3 + ? ? ? + a 2002 由 a1 = 1, a 2 = 3, a3 = 2, a n + 2 = a n +1 ? a n 可得

a 4 = ?1, a 5 = ?3, a 6 = ?2, a 7 = 1, a8 = 3, a9 = 2, a10 = ?1, a11 = ?3, a12 = ?2,
……

a 6 k +1 = 1, a 6 k + 2 = 3, a 6 k +3 = 2, a 6 k + 4 = ?1, a 6 k +5 = ?3, a 6 k + 6 = ?2

∵ a 6 k +1 + a 6 k + 2 + a 6 k +3 + a 6 k + 4 + a 6 k + 5 + a 6 k + 6 = 0 (找特殊性质项) ∴S2002= a1 + a 2 + a3 + ? ? ? + a 2002

(合并求和)

= ( a1 + a 2 + a 3 + ? ? ?a 6 ) + ( a 7 + a8 + ? ? ?a12 ) + ? ? ? + ( a 6 k +1 + a 6 k + 2 + ? ? ? + a 6 k + 6 )

+ ? ? ? + (a1993 + a1994 + ? ? ? + a1998 ) + a1999 + a 2000 + a 2001 + a 2002
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= a1999 + a 2000 + a 2001 + a 2002 = a 6 k +1 + a 6 k + 2 + a 6 k + 3 + a 6 k + 4 =5

[例 14] 在各项均为正数的等比数列中, a 5 a 6 = 9, 求 log 3 a1 + log 3 a 2 + ? ? ? + log 3 a10 的值. 若
解:设 S n = log 3 a1 + log 3 a 2 + ? ? ? + log 3 a10 由等比数列的性质 m + n = p + q ? am an = a p aq (找特殊性质项) 和对数的运算性质 log a M + log a N = log a M ? N 得

S n = (log 3 a1 + log 3 a10 ) + (log 3 a 2 + log 3 a9 ) + ? ? ? + (log 3 a 5 + log 3 a 6 )
= (log 3 a1 ? a10 ) + (log 3 a 2 ? a 9 ) + ? ? ? + (log 3 a5 ? a 6 ) = log 3 9 + log 3 9 + ? ? ? + log 3 9 =10 七、利用数列的通项求和

(合并求和)

先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通项及其特征,然后再利用数列的通项揭 示的规律来求数列的前 n 项和,是一个重要的方法.

[例 15] 求 1 + 11 + 111 + ? ? ? + 111 ? 3 之和. 12? ?1
n个1

解:由于 111 ? ? ? 1 = 123
k个1

1 1 × 999 ?49 = (10 k ? 1) 1 2?3 9 4 ? 9 k个1
n个1

(找通项及特征)

∴ 1 + 11 + 111 + ? ? ? + 111 ? 3 12? ?1



1 1 1 1 1 (10 ? 1) + (10 2 ? 1) + (10 3 ? 1) + ? ? ? + (10 n ? 1) (分组求和) 9 9 9 9



1 1 1 (10 + 10 2 + 103 + ? ? ? + 10 n ) ? (1 +4 24? + 1) 1+1+ ?? 3 9 9 1 4个1 4 n



1 10(10 n ? 1) n ? ? 9 10 ? 1 9



1 (10 n +1 ? 10 ? 9n) 81

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[例 16]已知数列{an}: a n =

∞ 8 , 求∑ (n + 1)(a n ? a n +1 ) 的值. (n + 1)(n + 3) n =1

解:∵ ( n + 1)(a n ? a n +1 ) = 8( n + 1)[

1 1 ? ] (n + 1)(n + 3) (n + 2)(n + 4)

(找通项及特征)

= 8 ?[

1 1 + ] (设制分组) (n + 2)(n + 4) (n + 3)(n + 4)
1 1 1 1 ? ) + 8( ? ) n + 2 n + 4 n +3 n + 4
n

=4 ? (


(裂项)



∑ (n + 1)(a
n =1

? a n +1 ) = 4∑ (
n =1



∞ 1 1 1 1 ? ? ) + 8∑ ( ) (分组、裂项求和) n+2 n+4 n+4 n =1 n + 3

=4?( +

1 3

1 1 13 ) +8? = 4 4 3

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高考专题复习练习三——等差与等比数列 高考专题复习练习三——等差与等比数列 ——
1(北京)已知数列 {a n } 中, a1 =

1 1 , S n 为数列的前 n 项和,且 S n 与 的一个等比中项为 2 an


n( n ∈ N `) ,则 lim S n 的值为(
n→∞

(A)

3 4

(B)

3 2

(C)

2 3

(D)1 )

2 黄冈) ( 在等差数列{an}中, 1 + a2 + … + a50 = 200,51 + a52 + … + a100 = 2700, a1 等于 a a 则 ( (A)-1221 (B)-21.5 (C)-20.5 (D)-20
1 ? ?2an (0 ≤ an < 2 ) 6 ? 3(合肥)数列 {an }满足 an +1 = ? 若 a1 = ,则 a8 = ( 1 7 ?2a ? 1 ( ≤ a < 1) n ? n 2 ?



(A)

6 7

(B)

5 7

(C)

3 7

(D)

1 7
2

4(北京)在数列 {a n } 中, a1 = 1, a n +1 = a n ? 1 , 则此数列前 4 项之和为( (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) -2 5(天津)在等差数列 {a n } 中, n ≥ 2 ,公差 d<0,前 n 项和是 S n ,则有( (A) na n < S n < na1

)



(B) na1 < S n < na n (C) S n ≥ na1 (D) S n ≤ na n
1 3

6(北京)等差数列{a n}中,已知 a1 = ,a2+a5=4,a n =33,则 n 为( A、48 B、49 C、50 D、51



7、如果数列 {a n } 满足 a1 ,a 2 ? a1 ,a 3 ? a 2 ,…,a n ? a n ?1 ,… 是首项为 1,公比为 2 的等 比数列,则 a n = _________________。 8、已知数

{a n }中,a1 = 1,a 2 = 2 ,a n a n+1a n =2 = a n + a n +1 + a n+2 ,a n+1a n+2 ≠ 1 {xn }

,则

a 3 ,a 4 ,a5 ,a 6 的值依次是_________________, a100 =___________________.
9、若数列 满 足 lg x n +1 = 1 + lg x n ( n ∈ N * ) , 且 x1 + x 2 + … + x100 = 100 , 则

lg( x101 + x102 + … + x 200 ) 的值为______________。
10、天津) ( 设数列 {

1 1 } 是等差数列, a2a4+a4a6+a6a2=1, 2 a 4 a 6 = , a10 =____________. 且 a 则 an 6
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高三数学第一轮复习 2004-10-10

11、在等差数列{an}中,a1= 12、 (本题满分 14 分)

1 ,第 10 项开始比 1 大,则公差 d 的取值范围是___________. 25
2 3

已知函数 f (x)=-3x+3,x∈ [ ,1] (1)求 f (x)的反函数 y=g (x); (2)在数列{a n}中,a1=1,a2=g (a1),a3=g (a2) ,…an=g (an-1) 求证:数列 {an ? } 是等比数列. (3)解关于 n 的不等式: an ≥
7 9 3 4

13、本小题满分 12 分) 已知数列 an 的首项 a1 = a (a 是常数) a n = 2a n ?1 + n 2 ? 4n + 2 ( n ∈ N , n ≥ 2 ) , . (Ⅰ) {a n } 是否可能是等差数列.若可能,求出 {a n } 的通项公式;若不可能,说明理由; (Ⅱ)设 b1 = b , bn = a n + n 2 ( n ∈ N , n ≥ 2 ) S n 为数列 {bn } 的前 n 项和,且 {S n } 是等比 , 数列,求实数 a、b 满足的条件.

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高考专题复习练习三——等差与等比数列答案 高考专题复习练习三——等差与等比数列答案 ——
1.D 2.C 3.B 4.A 5.A 6.C 7. 2 ? 1
n

8. 3,1, 2 , 3

1 9.102

10.

1 5

11.

8 3 <d《 75 25
2 3

12、(1)解:因为函数 f (x)=-3x+3, x ∈ [ ,1] 的值域是[0,1] 所以 f (x)的反函数为 g (x)= 1 ?
x , x ∈ [0,1] …………………………… 3 1 (2)解:依题意得 an = g (an ?1 ) = (? )an ?1 + 1 3 3 1 1 1 3 所以 an ? = (? )an ?1 + = (? )(an ?1 ? ) 4 3 4 3 4

3分

3 4 = ?1 即 3 3 an ?1 ? 4 an ?

(n ≥ 2, n ∈ N )

根据等比数列的定义得:数列 {an ? } 是公式为 ? 的等比数列…………………… 所以 an ?

3 4

1 3

7分

3 3 1 1 1 = (a1 ? )(? )n ?1 = (? )n ?1 (n ∈ N ) 4 4 3 4 3 3 1 1 (n ∈ N ) …………………………………………………… 9分 所以 an = + (? ) n ?1 4 4 3 3 1 1 3 所以 lim an = lim[ + (? ) n ?1 ] = ……………………………………………… 11 分 n →∞ n →∞ 4 4 3 4 7 3 1 7 1 1 (3)解: an ≥ ? [1 ? (? ) n ] ≥ ? (? )n ≤ ? 9 4 3 9 3 27

显然当 n 是偶数时,此不等式不成立; 当 n 是奇数时, (? ) n ≤ ?
1 3 1 1 1 1 1 ? ?( ) n ≤ ? ? ( )n ≥ ?n≤3 27 3 27 3 27

所以原不等式的解为 n=1 或 n=3 …………………………………………………… 13.解: (Ⅰ)∵ a1 = a, 依a n = 2 a n ?1 + n 2 ? 4 n + 2( n = 2,3, L)

14 分

∴ a 2 = 2a + 4 ? 8 + 2 = 2a ? 2 a 3 = 2a 2 + 9 ? 12 + 2 = 4a ? 5 a 4 = 2a 3 + 2 = 8a ? 8

a 2 ? a1 = 2a ? 2 ? a = a ? 2, a 3 ? a 2 = 2a ? 3, a 4 ? a 3 = 4a ? 3
若 {a n } 是等差数列,则 a 2 ? a1 = a 3 ? a 2 , 得a = 1 但由 a 3 ? a 2 = a 4 ? a 3 ,得 a=0,矛盾.
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∴ {a n } 不可能是等差数列………………………………………5 分 (Ⅱ)∵ bn = a n + n 2 ∴ bn +1 = a n +1 + ( n + 1) 2 = 2 a n + ( n + 1) 2 ? 4( n + 1) + 2 + (n + 1) 2

= 2a n + 2n 2 = 2bn (n≥2)
∴ b2 = a 2 + 4 = 2a + 2 ………………………………………………7 分 当 a≠-1 时, bn ≠ 0{bn } 从第 2 项起是以 2 为公比的等比数列

(2a + 2)(2 n ?1 ? 1) = b + (2a + 2)(2 n ?1 ? 1) ………………8 分 ∴ S n = b1 + 2 ?1
n≥2 时,

Sn (a + 1)2 n + b ? 2a ? 2 b ? 2a ? 2 = = 2? n ?1 S n ? 1 (a + 1)2 + b ? 2a ? 2 (a + 1)2 n ?1 + b ? 2a ? 2

∴ {S n } 是等比数列, ∴

Sn (n≥2)是常数 S n?1

∵a≠-1 时, ∴b-2a-2=0……………………………………………………10 分 当 a=-1 时, b2 = 0,由bn = 2bn ?1 (n≥3),得 bn = 0 (n≥2) ∴ S n = b1 + b2 + LL + bn = b ∵ {S n } 是等比数列 ∴b≠0 综上, {S n } 是等比数列,实数 a、b 所满足的条件为 ?

? a ≠ ?1 ? a = ?1 或? …12 分 ?b = 2a + 2 ?b ≠ 0

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