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3.1.4-3.1.5空间向量的正交分解及其坐标表示


3.1.4 空间向量的正交 分解及其坐标表示

?? ?? ? 如果e1, e 2是同一平面内的两个不共线向量, ? 那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有 ? ? ?? ? 一对实数?1,?2,使a=?1 e1+?2 e 2。 ?? ?? ? (e1、 e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。)

平面向量基本定理:

【温故知新】

平面向量的正交分解及坐标表示

y

? ? ? i ? (1,0), j ? (0,1),0 ? (0,0).

? ? ? a ? xi ? y j

? a
x

? i

? o j

?? 我们知道,平面内的任意一个向量 p 都可以 ? ? 用两个不共线的向量 a, b 来表示(平面向量基本定 理)。对于空间任意一个向量,有没有类似的结论呢?

问题:

? ? ??? ? ???? ? ???? OP ? OQ ? zk. OQ ? xi ? y j.

z

??? ? ??? ? ? ? ? ? OP ? OQ ? zk ? xi ? y j ? zk. ?? ? 由此可知,如果 i, j , k 是空间两

两垂直的向量,那么,对空间任一 ?? 向量 p ,存在一个有序实数组 ? ? ? ? ? {x,y,z}使得 p ? xi ? y j ? zk .

?? ? ? ? 我们称 xi, y j, zk 为向量 p ?? ?

? ? k ? j O i
x

?? p

P

y Q



i, j, k上的分向量。

探究:在空间中,如果用任意三个不共面向量

?? ? 代替两两垂直的向量 i, j , k
结论吗?

? ? ? a, b, c

,你能得出类似的

? ?? 如果三个向量 a, b, c不共面,那么对空间任一 ??
向量 ,存在一个唯一的有序实数组 {x,y,z} , p ? ? ? ? ? 使 p ? xa ? yb ? zc.

一、空间向量基本定理:

任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。

? ?? a, b, c 都叫做基向量

特别提示:对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面,
还应明确: (1)任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。

? (2) 由于可视 0 为与任意一个非零向量共线,与任 意两个非零向量共面,所以三个向量不共面,就隐含着 ? 它们都不是 0 。
(3)一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基 底中的某一个向量,二者是相关联的不同概念。 推论:设O、A、B、C是不共线的四点,则对空间任一 点P,都存在唯一的有序实数组{x,y,z},使

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OP ? xOA ? yOB ? zOC.

当且仅当x+y+z=1时,P、A、B、C四点共面。

例题讲解: ? ? ?

? ? ? ? ?? ? ? ? ?? 例1 设 x ? a ? b, y ? b ? c, z ? c ? a, 且 a, b, c 是空 间的一个基底,给出下列向量组 ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ① a, b, x ② x, y, z ③ b, c, z ④ x, y, a ? b ? c
,其中可以作为空间的基底的向量组有( A. 1个 B. 2个 C. 3个 D.4个

C)
D1 C1 B1 C B

分析:能否作为空间的基底,即是判 A1 断给出的向量组中的三个下向量是 ? ?? D 否共面,由于 a, b, c 是不共面的向 量,所以可以构造一个平行六面体 A 直观判断 ? ??? ? ? ???? ? ? ??? ? 设 a ? AB, b ? AA1 , c ? AD ,易判断出答案

练习 1

??? ? ??? ? ??? ? 1、已知O,A,B,C为空间四个点,且向量 OA, OB, OC

不构成空间的一个基底,那么点O,A,B,C是否共面
? ?? ? ?? 2、已知向量 {a, b, c}是空间的一个基底,从 a, b, c

? ? ? ? ? ? ? 中选一个向量,一定可以与向量 p ? a ? b, q ? a ? b
构成空间的另一个基底?

思考
1、已知向量{a,b,c}是空间的一个基底. 求证:向量a+b,a-b,c能构成空间的一个基底.

二、空间直角坐标系 单位正交基底:如果空间的一个基底的 三个基向量互相垂直,且长都为1,则这个 基底叫做单位正交基底,常用 e1 , e2 , e3 表示 空间直角坐标系:在空间选定一点O和一 个单位正交基底 e1,e2,e3 ,以点O为原点,分别 以e1,e2,e3的正方向建立三条数轴:x轴、y轴、 z轴,它们都叫做坐标轴.这样就建立了一个 z 空间直角坐标系O--xyz
e3 e1 O x e2 y

点O叫做原点,向量e1,e2,e3 都叫做坐标向量.通过每两个坐 标轴的平面叫做坐标平面。

三、空间向量的直角坐标系
给定一个空间坐标系和向 量 p,且设e1,e2,e3为坐标向量, 由空间向量基本定理,存在唯 一的有序实数组(x,y, z)使 p = xe1+ye2+ze3 有序数组( x, y, z)叫做p在空间 直角坐标系O--xyz中的坐标, 记作.P=(x,y,z)
x e3 e1 O e2

z

p
y

例2

' ' ' ' 已知ABC D? A B C D 是棱长为2的立方体 ' E、F分别是BB 和DC的中点,建立如图 所示的空间直角坐标系 ,试写出图中各点 z 的坐标。 ’ ·
D

C’

A’ F D

B’ E B

C

A

y

x

变式:在直三棱柱ABO-A’B’O’中,∠AOB=90。 |AO|=4,|BO|=2,|AA’|=4,D为A’B’的中点,如图 建立直角坐标系,则 D的坐标是 ______;
z O’

A'的坐标是 _____
B’

A’ O
A

D

B

y

x

例3、如图,M,N分别是四面体OABC的边OA, BC 的中点, P , Q 是 MN 的三等分点。用向量 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? O 表示 和 。 OP OA, OB, OC OQ
??? ? ???? ? ???? 1 ??? ? 2 ???? ? 解 : OP ? OM ? MP ? OA ? MN 2 3 ? 2 ???? 1 ??? ? 1 ??? ? OA ? (ON ? OA) 2 3 2 ? 1 ??? ? 1 ??? ? 1 ??? ? OA ? OB ? OC 6 3 3

M A Q P N C

??? ? ???? ? ???? ? ? 1 ??? OQ ? OM ? MQ ? OA ? 2 ? 1 ??? ? 1 ??? ? 1 ??? ? OA ? (ON ? OA) ? 2 3 2 ? 1 ??? ? 1 ??? ? 1 ??? ? OA ? OB ? OC 3 6 6

? B 1 ???? MN 3 ? 1 ??? ? ??? ? 1 ??? OA ? (OB ? OC ) 3 6

练习 .空间四边形OABC中,OA=a,OB=b,OC=c

点M在OA上,且OM=2MA,N为BC的中点,则 MN=( ). 1 2 1 O (A) a - b + c
2 3 2 2 1 1 (B)- 3 a + b + c 2 2 1 1 2 (C) 2 a + b - c 2 3 2 1 2 (D) 3 a + b - 2 c 3

M A N C

B

练习2

P94练习的 第3题

3.1.5 空间向量运算的 坐标表示

平面向量运算的坐标表示: ? ? 设a ? (a1 , a2 ), b ? (b1 , b2 )则 ? ? a ? b ? (a 1 ?b1 , a2 ? b2 ) ; ? ? a ? b ? (a 1 ?b1 , a2 ? b2 ) ; ? (?a1 , ?a2 ) ; ?a ? ? ? a1b1 ? a2 b2 a ?b ? ; ? ? ? 2 2 a ? ? ; a1 ? a2 a ?a ? ? a1b1 ? a2 b2 a ?b ? ? ? ? 2 2 2 2 a b a1 ? a2 b1 ? b2 ; cos a , b ? ? ? ? ? ? a // b ? a ? ?b (? ? R) ?a1 ? ?b1 , a2 ? ?b2 (? ? R); ? ? ? ? a ? b ? a ? b ? 0 ? a1b1 ? a2b2 ? 0

【温故知新】

【新知探究】
平面向量运算的坐标表示: 空间向量运算的坐标表示:

? ? 设a ? (a1 , a2 ), b ? (b1 , b2 )则

? ? a ?b ? ? ? a ?b ? ? ?a ? ? ? a ?b ?

? ? (a 1 ?b1 , a2 ? b2 ); 类 a ? b ?(a 1 ?b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; 比 ? ? (a 1 ?b1 , a2 ? b2 ); a ? b ? (a 1 ?b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; 推 ? (?a1 , ?a2 ) ; 广 ?a ? (?a1 , ?a2 , ?a3 ) ; ? ? a1b1 ? a2b2 ; a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ;

? ? 设a ? (a1 , a2 , a3 ), b ? (b1 , b2 , b3 )则

? 设 ?a ? (a1 , a2 ), b ? (b1 , b2 )则

空间向量运算的坐标表示: 平面向量运算的坐标表示: ? ? ?

【新知探究】

a ? ?

a ? b ? ? ? ? cos a , b ? a b a1b1 ? a2 b2
2 1 2 2 1

? ? a ? a ?a 2 2 类 ; ? a1 ? a2 ? 比 ?

设 ?a ? (a1 , a2 , a3 ), b ? (b1 , b2 , b3 )则

? a ?b ? ? ? ? 推 cos a , b ? a b 广 a1b1 ? a2 b2 ? a3b3

? ? a ?a a12 ? a22 ? ? a32;

? a ? a2 b ? b2 ; ? a12 ? a22 ? a32 b12 ? b22 ? b32; ? ? ? ? ? ? ? ? a // b ? a ? ?b (? ? R) a // b ? a ? ?b (? ? R) ; ?a1 ? ?b1 , a2 ? ?b2 (? ? R) ; ? a1 ? ?b1 , a2 ? ?b2 , a3 ? ?b3 (? ? R) ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? a ?b ? 0 a ? b ? a ?b ? 0 ? a1b1 ? a2b2 ? 0 ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 0
2

两个向量夹角公式
? ? ? ? a1b1 ? a2 b2 ? a3b3 a ?b ; cos ? a , b ?? ? ? ? | a |?| b | a12 ? a2 2 ? a32 ? b12 ? b2 2 ? b32
注意:

? ? ? ? (1)当 cos ? a , b ?? 1 时, a 与 b 同向;

? ? ? a与 (2)当 cos ? a , b ?? ?1 时,
? ? 思考:当 0 ? cos ? a , b ?? 1

? b 反向; ? ? ? ? (3)当cos ? a , b ?? 0 时,a ? b 。

? ? 及 ?1 ? cos ? a , b ?? 0

时,夹角在什么范围内?

【新知探究】
空间两点间的距离公式
在空间直角坐标系中,已知 A( x1 , y1 , z1 ) 、
B( x2 , y2 , z2 ),则

???? AB ?

( x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1 )

???? ???? ???? 2 2 2 ( x ? x ) ? ( y ? y ) ? ( z ? z ) 2 1 2 1 2 1 ?| AB |? AB ? AB ?

d AB

???? 2 2 2 ?| AB |? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) ? ( z2 ? z1 )

中点坐标公式 已知 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 ) x1 ? x2 y1 ? y2 z1 ? z2 , , ) 则线段 AB 的中点坐标为 ( 2 2 2

【应用举例】

∥ a ? 3b, 求k的值 例 1 ,已知a ? (1,5,?1),b ? (?2,3,5),若k a ? b

1 k?? 3

【应用举例】
练习 ABCD ,顶点 A(1,0,0), B(0,1,0) , C (0,0,2) , ⑴已知 (1,-1,2) 则顶点 D 的坐标为 ______________; ? ⑵ Rt △ ABC 中, ?BAC ? 90 , A(2,1,1), B(1,1, 2) , 2 C ( x,0,1) ,则 x ? ____;


? ? 3、已知 a ? (3,0,1), b ? (k , 2, ?1),

? ? 3? a, b ? 4

,求实数k的值

? 3 ? ? 1 ? B(1,1, 0), E1 ? 1, ,1 ? , D(0, 0, 0), F1 ? 0, , 1? 4 ? 4 ? ???? ? ? 3? ? ? 1 ? ? D BE1 ? ? 1 , , 1 ? ? (1 , 1 , 0) ? ? 0 , ? , 1 ? , C O y 4 ? ? 4 ? ? ???? ? ? 1 A B ? ? 1 ? DF1 ?? 0 , ,1 ?? (0 , 0 , 0)? ? 0 , ,1 ? . x 4 对向量计算或证明。 ?(3) ? ? 4 ???? ?? ? ???? ? ???? ? 17 ???? 17 15 ? 1? 1 , | DF1 |? . BE1 ? DF1 ? 0 ? 0 ? ? ? ? ? ? 1 ? 1 ? , | BE1 |? 4 4 4 ?? 4 1615 ? ???? ???? ? 15 ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? BE1 ? DF1 15 ? 16 ? ???? ? ? ? cos ? BE1 , DF1 ?? ???? ? . cos ? E B , DF ?? ______ 17 1 1 17 17 17 | BE1 | ? | DF1 | ? 4 15 4 因此,BE1与DF1所成角的余弦值是 . 17

??? ? 解:设正方体的棱长为 1,分别以 DA 、DC 、 DD1 为单位正交基底建立空间直角坐标系 (2)把点、向量坐标化, Oxyz ,则 A
1

例1.正方体ABCD—A1B1C1D1中,E1、F1分别是A1B1、 C1D1的一个四等分点,求: BE1与 DF 所成角的余弦值 . (1) 建立直角坐标系, ???? 1 ???? ? z
D1 F1 E1 B1

【应用举例】

C1

又A, E , D, F1不共线,所以AE∥DF1. A B 变式2: F是AA1的一个四等分点, x 求证:BF⊥DF1. ??? ? ? 1? 1? ? 证明:B(1,1, 0), F ? 1, 0, ? , 所以 BF ? ? 0,1 ,? ? 4? 4? ? ? ???? ? ? 1 ???? ???? ? ? ? 1? ? 1 ? 又 DF1 ? ? 0 , ,1 ?, 所以BF ? DF1 ? ? 0, 1, - ? ? ? 0,, 1? ? 0 4 ? 4? ? 4 ? ? ??? ? ???? ? ? 因此BF ? DF1 , 即BF⊥DF1.

??? ? ? 1 ? ? 1 ? 证明:A(1, 0, 0), E ? 1, ,1 ? ,所以 AE ? ? 0, , 1 ? 4 ? 4 ? ? ? ??? ? ???? ? ???? ? ? 1 ? 又 DF1 ? ? 0 , ,1 ?, 所以AE ? DF1 , F ? 4 ?

例1.正方体ABCD—A1B1C1D1中,E1、F1分别是A1B1、 C1D1的一个四等分点, z 变式1: E是A1B1的一个四等分点, D F C 求证:AE∥DF1. A E B E
1 1 1 1 1

【应用举例】

1

D

O

C

y

例1.正方体ABCD—A1B1C1D1中,E1、F1分别是A1B1、 C1D1的一个四等分点, z D F C 变式3: G是BB1的一个四等分点, E B H为AA1上的一点,若GH⊥DF1, A 试确定H点的位置. 1? ? H 解:设H点坐标为(1, 0, a ),又G ? 1,1, ? , D 4 ? ? G Cy O ???? ? 1? 所以 GH ? ? 0, ?1 ,a ? ? A B 4? ? ???? ? ? 1 ? x ? ???? ???? 又 DF1 ? ? 0 , ,1 ?, 且GH ? DF1 ? 4 ? ???? ???? ? 1 1 所以GH ? DF1 ? 0 - ? a ? ? 0 4 4 1 解得a ? , 2 即当H为AA1 的中点时,能使GH⊥DF1.
1 1 1 1 1 1

【应用举例】

(09广东理)已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2,点E 是正方形BCC1B1的中心,点F、G分别是棱 C1D1, AA1的中 点.设点E1,G1分别是点 E,G在平面DCC1D1内的正投影 z FF (2)证明:直线FG1⊥平面 FEE1 ; (3)求异面直线E1G1与EA所成角的正弦值. ? ??? ? ???? ???? (2)证明:分别以 DA 、 DC 、 DD1 为单位 E G

G1 (0,0,1),F ? 0,1,2? , E1 (0,2,1), E ?1,2,1? ???? ? ??? ? ? ???? FG? , ? 1? , FE ? ?1 ,1, ? 1? , 1 ? ? 0 , ?1 x FE1 ? ? 0 ,1, ? 1?, ???? ? ??? ? ???? ? ???? ? ? FG1 ? FE ? 0 ? 1 ? 1 ? 0, FG1 ? FE1 ? 0 ? 1 ? 1 ? 0 ? FG1 ? FE,FG1 ? FE1 又FE ? FE1 ? F ? FG1 ? 面FEE1

正交基底建立空间直角坐标系 Oxyz ,则

1 G1

G
O

EE

1

y

(09广东理)已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2,点E 是正方形BCC1B1的中心,点F、G分别是棱 C1D1, AA1的中 点.设点E1,G1分别是点 E,G在平面DCC1D1内的正投影 z F (2)证明:直线FG1⊥平面 FEE1 ; (3)求异面直线E1G1与EA所成角的正弦值. ????? ??? ? (3)解: E1G1 ? ? 0 , ?2, 0 ?, EA ? ?1 , ?2, ? 1? , E1 G1
????? ??? ? ? E1G1 ? EA ? 0 ? 1 ? ? ?2 ? ? ? ?2 ? ? 0 ? ? ?1? ? 4 ,

????? ??? ? E1G1 ? EA 4 6 ????? ??? ? ? cos ? E1G1 , EA ?? ? ? .x | E1G1 | ? | EA | 2 ? 6 3

????? ??? ? | E1G1 |? 2 , | EA |? ????? 6 . ??? ?

G
O

E

y

????? ??? ? 6 2 3 ? sin ? E1G1 , EA ?? 1 ? ( ) ? 3 3

3 因此,E1G1与EA所成角的正弦值是 . 3

例 2 如图, 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E ,F 分别是 BB1 ,D1 B1 中点,求证: EF ? DA1
证明:如图,不妨设正方体的棱长为 1, ??? ? ???? ???? ? 分别以 DA 、 DC 、 DD1 为单位正交基底 建立空间直角坐标系 Oxyz , 1 1 1 则 E (1 , 1 , ) , F ( , , 1) 2 2 2 ???? 1 1 1 所以 EF ? ( ? , ? , ) , 2 2 2 又 A1 (1 , 0 , 1) , D(0 , 0 , 0) , ???? ? 所以 DA1 ? (1, 0 , 1) ???? ???? ? 1 1 1 所以 EF ? DA1 ? ( ? , ? , ) ? (1 , 0 , 1) ? 0 , 2 2 2 ??? ? ???? ? 因此 EF ? DA1 ,即 EF ? DA1

? ? 4,2,?4? ?1?与a ? ?2,?1,2?共线, 且满足a ? z ? ?18的z ?
? 1 8 ? ?2?A?1,2,1?, B?? 1,3,4?, AP ? 2PB, 则OP ?? ? , ,3 ? ? 3 3 ? ?3?三点A?1,5,?2?, B?2,4,1?, C ? p,3, q ?共线,则
p? 3 q?

练习1、

4

练习 2: ⑴已知 A( 0, 2, 3)、B7 (? 3 2,1,6), C (1, ?1,5) , 则 △ ABC 的面积 S=_____. 2
? ? ? ? ⑵ a ? ( x, 2,1) , b ? (?3, x 2 , ?5) 且 5a 与 b 的夹角为 ( ? 1, ) 钝角,则 x 的取值范围为 2 .

⑶正方体 A1 B1C1 D1 ─ABCD 的棱长为 2, E 、F

D1 A1 的中点 , 求点 A 到直线 EF 的 分别是 C1C 、 距离.

【课堂小结】
今天你学到了什么呢? 1.基本知识: (1)向量的加减、数乘和数量积运算的坐标 表示; (2)两个向量的夹角公式和垂直、平行判定 的坐标表示。 用向量坐标法计算或证明几何问题 2.思想方法: (1) 建立直角坐标系, (2)把点、向量坐标化, (3)对向量计算或证明。
作业:课本 P98 A 组第 8、 10 题


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