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【成才之路】高中数学 第二章 圆锥曲线与方程章末归纳总结课件 北师大版选修1-1_图文

成才之路 ·数学 北师大版 ·选修1-1 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 第二章 圆锥曲线与方程 第二章 章末归纳总结 1 知 识 梳 理 2 知 识 结 构 4 题 型 探 究 3 误 区 警 示 5 自 主 演 练 知识梳理 坐标法是研究圆锥曲线问题的基本方法,它是用代数的方 法研究几何问题. 本章介绍了研究圆锥曲线问题的基本思路,建立直角坐标 系,设出点的坐标,根据条件列出等式,求出圆锥曲线方程, 再通过曲线方程,研究曲线的几何性质. 本章内容主要有两部分:一部分是求椭圆、双曲线、抛物 线的标准方程,基本方法是利用定义或待定系数法来求;另一 部分是研究椭圆、双曲线、抛物线的几何性质,并利用它们的 几何性质解决有关几何问题. 学习本章应深刻体会数形结合的思想,转化的思想,函数 与方程的思想及待定系数法等重要的数学思想和方法. 求轨迹方程的方法常用的有:直接法、定义法、代入法, 要注意题目中的限制条件,特别是隐含条件的发掘,直线与圆 锥曲线的位置关系问题,通常用判别式法;要注意有关弦长问 题中韦达定理的应用,需特别注意的是,直线平行于抛物线的 轴时与抛物线只有一个交点,直线平行于双曲线的渐近线时与 双曲线只有一个交点. 下表是对焦点在x轴上的椭圆、双曲线、抛物线列表做整 理.你可以仿照对焦点在y轴上情况自己列表整理. 知识结构 误区警示 1.椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a中,应有2a>|F1F2|;双曲线 定义||PF1|-|PF2||=2a中,应有2a<|F1F2|;抛物线定义中,定点 F不在定直线l上. 2.椭圆中几何量a、b、c满足a2=b2+c2,双曲线中几何 量a、b、c满足a2+b2=c2. 3.椭圆离心率e∈(0,1),双曲线离心率e∈(1,+∞),抛物 线离心率e=1. 4. 求圆锥曲线的标准方程时, 一定要先区别焦点在哪个轴 上,选取合适的形式. 5.由标准方程判断椭圆、双曲线的焦点位置时,椭圆看分 母的大小,双曲线看 x2、y2 系数的符号. x2 y2 b 6.双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为 y=± x; a b a y2 x2 a 双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为 y=± x. a b b 题型探究 圆锥曲线定义的应用 求过点A(2,0)且与圆x2+4x+y2-32=0相内切 的圆的圆心轨迹方程. [解析 ] 将圆x2 + 4x + y2 -32 = 0 的方程变形为: (x +2)2 +y2 =36,圆 心为B(-2,0),半径为6.如图, 设动圆的圆心 M 坐标为 (x , y) , 由于动圆与已知圆相内切,设切点为 C,则|BC|-|MC|=|BM|. ∵|BC|=6,∴|BM|+|CM|=6. 又∵动圆过点 A,∴|CM|=|AM|,则|BM|+|AM|=6>4. 根据椭圆的定义知, 点 M 的轨迹是以点 B(-2,0)和点 A(2,0) 为焦点的椭圆,其中,2a=6,2c=4,∴a=3,c=2.∴b2=a2- c2=5. x2 y2 故所求圆心的轨迹方程为 + =1. 9 5 在△ABC 中, C(-4,0), B(4,0), 动点 A 满足 sinB 1 -sinC= sinA,求点 A 的轨迹方程. 2 1 [分析] 由已知条件 sinB-sinC= sinA,可以考虑利用正 2 弦定理转化为三角形边的关系,再根据双曲线的定义即可写出 点 A 的轨迹方程. 1 [解析] 在△ABC 中,由 sinB-sinC= sinA 及正弦定理, 2 1 得|AC|-|AB|= |BC|, 2 又∵点 C(-4,0),B(4,0),∴|BC|=8, ∴|AC|-|AB|=4, ∴点 A 的轨迹是以 B、 C 为焦点的双曲线的一支(靠近 B 点, 除去点(2,0)), ∴2a=4,2c=|BC|=8,即 a=2,c=4,∴b2=c2-a2=12. x2 y2 ∴点 A 的轨迹方程为 - =1(x>2). 4 12 已知点 M 到点 F(4,0)的距离比它到直线 l:x+5 =0 的距离小 1,求点 M 的轨迹方程. [解析] 如图,设点 M 的坐标为(x, y), 由于点 M 到点 F(4,0)的距离比它到直 线 l:x+5=0 的距离小 1,则点 M 到点 F(4,0)的距离与它到直线 l′: x+4=0 的 距离相等,根据抛物线的定义可知点 M 的轨迹是以 F 为焦点,直线 l′为准线的 p 抛物线,且 =4,即 p=8.∴点 M 的轨迹方程为 y2=16x. 2 [方法规律总结 ] 功倍的效果. 求轨迹方程时,如果能够准确把握一些 曲线的定义,先判断曲线类别再求方程,往往对解题起到事半 直线与圆锥曲线的位置关系 (2014· 陕西文, 20)已知椭圆 x2 y2 + =1(a>b>0)经过点(0, 3),离心率 a2 b2 1 为 ,左右焦点分别为 F1(-c,0),F2(c,0). 2 (1)求椭圆的方程; 1 (2)若直线 l:y=- x+m 与椭圆交于 A、B 两点,与以 F1F2 2 |AB| 5 3 为直径的圆交于 C、 D 两点, 且满足 = , 求直线 l 的方程. |CD| 4 ? ?b= 3, ?c 1 [解析] (1)由题设知? = , ?a 2 2 2 2 ? ?b =a -c , 解得 a=2,b= 3,c=1, x2 y2 ∴椭圆的方程为 + =1. 4 3 (2)由题设,以 F1F2 为直径的圆的方程为 x2+y2=1, 2|m| ∴圆心到直线 l 的距离 d= , 5 5 由 d<1 得|m|< 2 . ∴|CD|=2 1-d =2 2 (*) 4 2 2 1- m = 5-4m2. 5 5 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 1 ? ?y=-2x+m, 由? 2