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2018-2019学年高中数学人教A版选修4-5教学案:第一讲二1.绝对值三角不等式

数学 1.绝对值三角不等式 对应学生用书 P11 绝对值三角不等式 (1)定理 1:如果 a,b 是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当 ab≥0 时,等号成立. 几何解释:用向量 a,b 分别替换 a,b. ①当 a 与 b 不共线时, 有|a+b|<|a|+|b|, 其几何意义为: 三角形的两边之和大于第三边. ②若 a,b 共线,当 a 与 b 同向时,|a+b|=|a|+|b|,当 a 与 b 反向时,|a+b|<|a|+|b|. 由于定理 1 与三角形之间的这种联系,故称此不等式为绝对值三角不等式. ③定理 1 的推广:如果 a,b 是实数,则||a|-|b||≤|a± b|≤|a|+|b|. (2)定理 2:如果 a,b,c 是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|. 当且仅当(a-b)(b-c)≥0 时,等号成立. 几何解释:在数轴上,a,b,c 所对应的点分别为 A,B,C, 当点 B 在点 A,C 之间时,|a-c|=|a-b|+|b-c|. 当点 B 不在点 A,C 之间时:①点 B 在 A 或 C 上时,|a-c|=|a-b|+|b-c|; ②点 B 不在 A,C 上时,|a-c|<|a-b|+|b-c|. 应用:利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值. 对应学生用书 P11 含绝对值不等式的判断与证明 s s s [例 1] 已知|A-a|< ,|B-b|< ,|C-c|< . 3 3 3 求证:|(A+B+C)-(a+b+c)|<s. [思路点拨] 原式 ― ― → 变形 重新 分组 ― ― → 定理 转化为|A-a|+ |B-b|+|C-c| ― → 得出结论 [证明] |(A+B+C)-(a+b+c)|=|(A-a)+(B-b)+(C-c)| ≤|(A-a)+(B-b)|+|C-c|≤|A-a|+|B-b|+|C-c|. 数学 s s s 因为|A-a|< ,|B-b|< ,|C-c|< , 3 3 3 s s s 所以|A-a|+|B-b|+|C-c|< + + =s. 3 3 3 含绝对值不等式的证明题主要分两类:一类是比较简单的不等式,往往可通过平方法、 换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明,或利用绝对值三角不等式 ||a|-|b|||a± b|≤|a|+ |b|,通过适当的添、拆项证明;另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式,往往可考 虑利用一般情况成立, 则特殊情况也成立的思想, 或利用一元二次方程的根的分布等方法来 证明. 1.已知|x|<a,|y|<b,则下列不等式中一定成立的是( A.|x+y|<a+b C.|x|+|y|≤a+b 解析:|x+y|≤|x|+|y|<a+b. 答案:A ε ε 2.设 ε>0,|x-a|< ,|y-a|< . 4 6 求证:|2x+3y-2a-3b|<ε. 证明:|2x+3y-2a-3b|=|2(x-a)+3(y-b)|≤ |2(x-a)|+|3(y-b)|=2|x-a|+3|y-b| ε ε <2× +3× =ε. 4 6 ) B.|x-y|<a-b D.|x|-|y|≤a-b 绝对值三角不等式的应用 [例 2] (1)求函数 y=|x-3|-|x+1|的最大值和最小值. (2)如果关于 x 的不等式|x-3|+|x-4|<a 的解集为空集,求参数 a 的取值范围. [思路点拨] 利用绝对值三角不等式或函数思想方法可求解. [解] (1)法一:||x-3|-|x+1|| ≤|(x-3)-(x+1)|=4, ∴-4≤|x-3|-|x+1|≤4. 数学 ∴ymax=4,ymin=-4. 法二:把函数看作分段函数. 4,x<-1, ? ? y=|x-3|-|x+1|=?2-2x,-1≤x≤3, ? ?-4,x>3. ∴-4≤y≤4. ∴ymax=4,ymin=-4. (2)只要 a 不大于|x-3|+|x-4|的最小值,则|x-3|+|x-4|<a 的解集为空集,而|x-3|+ |x-4|=|x-3|+|4-x|≥|x-3+4-x|=1, 当且仅当(x-3)(4-x)≥0,即 3≤x≤4 时等号成立. ∴当 3≤x≤4 时,|x-3|+|x-4|取得最小值 1. ∴a 的取值范围为(-∞,1]. (1)利用绝对值不等式求函数最值,要注意利用绝对值的性质进行转化,构造绝对值不 等式的形式. (2)求最值时要注意等号成立的条件,它也是解题的关键. 3.若 a,b∈R,且|a|≤3,|b|≤2 则|a+b|的最大值是________,最小值是________. 解析:|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|, ∴1=3-2≤|a+b|≤3+2=5. 答案:5 1 4.求函数 f(x)=|x-1|+|x+1|的最小值. 解:∵|x-1|+|x+1|=|1-x|+|x+1|≥ |1-x+x+1|=2, 当且仅当(1-x)(1+x)≥0, 即-1≤x≤1 时取等号. ∴当-1≤x≤1 时,函数 f(x)=|x-1|+|x+1| 取得最小值 2. 数学 5.若对任意实数,不等式|x+1|-|x-2|>a 恒成立,求 a 的取值范围. 解:a<|x+1|-|x-2|对任意实数恒成立, ∴a<[|x+1|-|x-2|]min. ∵||x+1|-|x-2||≤|(x+1)-(x-2)|=3, ∴-3≤|x+1|-|x-2|≤3. ∴(|x+1|-|x-2|)min=-3. ∴a<-3.即 a 的取值范围为(-∞,-3). 对应学生用书 P12 1.对于|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|,下列结论正确的是( A.当 a,b 异号时,左边等号成立 B.当 a,b 同号时,右边等号成立 C.当 a+b=0 时,两边等号均成立 ) D.当 a+b>0 时,右边等号成立;当 a+b<0 时,左边等号成立 解析:当 a,b 异号且|a|>|b|时左边等号才成立 A 不正