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2015年江苏高考南通密卷8(南通市数学学科基地命题)


2015 年高考模拟试卷 (7)
第Ⅰ卷(必做题,共 160 分) 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分 .

16. (本小题满分 14 分)如图,直角梯形 ABCD 中, AB ∥ CD, AB ?

1 CD , AB ? BC ,平面 ABCD ? 平 2
1 DC . 4

i?2 = . 1 ? 2i N= 2. 设全集 U ={1,2,3,4,5}, ? U N = {2,4} ,则
1.复数

面 BCE , ?BCE 为等边三角形, M , F 分别是 BE, BC 的中点, DN ? (1)证明 EF ? AD ; (2)证明 MN ∥平面 ADE ; (3)若 AB ? 1, BC ? 2 ,求几何体 ABCDE 的体积.

. 3. 从 1,2,3,4 这四个数中一次随机地取两个数,则其中一个数是另一个数的两倍的概率是 . 4. 某单位有职工 52 人,现将所有职工按 l,2,3,…,52 随机编号 ,若采用系统抽样的方法抽取一个容量为 4 的样 本,已知 6 号 ,32 号 ,45 号职工在样本中,则样本中还有一个职工的编号是 ________. 5.执行如图所示的程序框图 ,若输出 s 的值为 11,则输入自然数 n 的 值是 . 6.一个圆柱的轴截面是正方形,其侧面积与一个球的表面积相等, 那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为 ________ . 7 . 已知各项均为正数的等比数列 {an } 中, a4 与 a14 的等比中项为 2 2 ,则

D N

A

B M

F C E

2a7 ? a1 1的最小值为

.

8. 给出下列几个命题: ①若函数 f ( x ) 是定义域为 R 的奇函数,对于任意的 x ? R 都有 f ( x) ? f (2 ? x ) ? 0,则函数 f ( x ) 的图象关于直线 x ? 1 对称; ②已知 x1 , x2 是函数 f ( x ) 定义域内的两个值, 当 x1 ? x2 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 则 f ( x) 是减函数; ③设函数 y ? 1 ? x ? x ? 3 的最大值和最小值分别为 M 和 m ,则 M ? 2m ; ④若 f ( x ) 是定义域为 R 的奇函数,且 f ( x ? 2) 也为奇函数,则 f ( x ) 是以 4 为周期 的周期函数. 其中正确的命题序号是 . (写出所有正确命题的序号) 17. (本小题满分 14 分)在平面直角坐标系 xoy 中,已知椭圆

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,其焦 2 a b 2

点在圆 x 2 ? y 2 ? 1上. (1)求椭圆的方程; (2)设 A, B, M 是椭圆上的三点(异于椭圆的顶点) ,且存在锐角 ? ,使 .

9. 设 F1 、 F2 是双曲线 -y = 1 的两个焦点, P 在双曲线上, 当△F1PF2 的面积为 2 时, PF 1 ? PF2 的值为 3
2

x

2

???? ???? ?

2 10 . 已 知 函 数 f ( x) ? ? x ? ax ? b(a, b ? R) 的 值 域 为 ( ??, 0] , 若 关 于 x 的 不 等 式 f ( x) ? c ? 1 的 解 集 为 (m ? 4, m ? 1) ,则实数 c 的值为 .

???? ? ??? ? ??? ? OM ? cos? OA ? sin ? OB . ① 求证 :直线 OA 与 OB 的斜率的乘积为定值; 2 2 ② 求 OA ? OB 的值.

11.已知正实数 a , c 满足 a ? c ? ac ? 3 ,则 2a ? c 的最大值为
2 2



12.已知圆 C: ( x ? 2) ? y ? 4 ,点 P 在直线 l: y ? x ? 2 上,若圆 C 上存在两点 A、B 使得 PA ? 3PB , 则点 P 的横坐标的取值范围是 .
2 2
? 13.在 ?ABC 中,内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c , B ? 30 , c ? 6 ,令 b ? f (a) .

若函数 g (a) ? f (a) ? k ( k 是常数)只有一个零点.则实数 k 的取值范围是 14.设两个向量 a ? (? ? 2, ? 2 ? cos2 ? ) 和 b ? (m, 若 a ? 2b ,则



?

?

?

?

? 的取值范围是 m

m ? sin ? ) ,其中 ? , m,? ? R . 2



18. (本小题满分 16 分 ) 某小区想利用一矩形空地 ABCD 建造市民健身广场,设计时决定保留空地边上的 一个水塘(如图中阴影部分) ,水塘可近似看作一个等腰直角三角形,其中 AD ? 60m , AB ? 40m ,且 ?EFG ? 中, ?EGF ? 90 ,经测量得到 AE ? 10m, EF ? 20m .为保证安全同时考虑美观,健身广场周围准备加设一个 保护栏.设计时经过点 G 作一条直线交 AB、DF 于 M、N ,从而得到五边形 MBCDN 的市民健身广场. (1)假设 DN ? x(m) ,试将五边形 MBCDN 的面积 y 表示为 x 的函数,并注明函数的定义域; (2)问:应如何设计,可使市民健身广场的面积最大?并求出健身广场的最大面积. A M B C E G F N D

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.

5 15. (本小题满分 14 分)在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,已知 sin B ? , 13 且 a、b、c 成等比数列. 1 1 ? (1)求 的值; tan A tan C (2)若 ac cos B ? 12 ,求 a ? c 的值.
1

19. (本小题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? 2ln x ? x 2 ? ax ( a ? R ) . (1)当 a ? 2 时,求 f ( x) 的图象在 x ? 1 处的切线方程;
1 (2)若函数 g ( x) ? f ( x) ? ax ? m 在 [ , e] 上有两个零点,求实数 m 的取值范围; e

C. (选修4-4:坐标系与参数方程)在极坐标系中,圆 C 的圆心坐标为 C (2,

?
3

) ,半径为 2. 以极点为

(3)若函数 f ( x) 的图象与 x 轴有两个不同的交点 A( x1, 0),B( x2 , 0) ,且 0 ? x1 ? x2 , 求证: f ?(
x1 ? x2 . ) ? 0 (其中 f ?( x) 是 f ( x) 的导函数) 2

? 3 x ? 1? t ? ? 2 (t为 原点,极轴为 x 的正半轴,取相同的长度单位建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程为 ? ?y ? 3 ? 1 t ? ? 2
参数) (1)求圆 C 的极坐标方程; (2)设 l 与圆 C 的交点为 A, B , l 与 x 轴的交点为 P ,求 PA ? PB

20. (本小题满分 16 分)设数列 {an } 的各项均为正数,若对任意的 n ? N * ,存在 k ? N * ,
2 使得 an ? k ? an an? 2 k 成立,则称数列 {an } 为“ J k 型”数列.

(1)若数列 {an } 是“ J 2 型”数列,且 a2 ? 8 , a8 ? 1 ,求 a2 n ; (2)若数列 {an } 既是“ J 3 型”数列,又是“ J 4 型”数列,证明数列 {an } 是等比数列.

D. (选修4-5:不等式选讲) 已知 x1 , x 2 , x3 为正实数,若 x1 ? x2 ? x3 ? 1 ,求证:

2 x2 x2 x2 ? 3 ? 1 ?1. x1 x2 x3

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分. 22. (本小题满分 10 分) 如图,在四棱锥 P - ABCD 中, PA ^ 底面 ABCD , AD ^ AB , AB // DC , AD = DC = AP = 2 , AB = 1 ,点 E 为棱 PC 的中点. (1)证明 BE ^ DC ; (2)若 F 为棱 PC 上一点,满足 BF ^ AC ,求二面角 F - AB - P 的余弦值. 第Ⅱ卷(附加题,共 40 分) 21. [选做题 ]本题包括 A、 B、 C、 D 四小题,每小题 10 分;请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答 . .................... A. (选修4-1:几何证明选讲)如图 , ? O 的直径 AB 的延长线与弦 CD 的延长线相交于点 P , E 为 ? O 上一点, AE ? AC ,求证: ?PDE ? ?POC . E

A

O

B D

P

C
B. (选修4-2:矩阵与变换) 已知二阶矩阵 M 有特征值 ? ? 3 ,及对应的一个特征向量

23. (本小题满分 10 分) 已知 an ? (1 ? 2)n (n ? N *) (1)若 an ? a ? b 2(a, b ? Z ) ,求证 a 是奇数; (2)求证对于任意 n ? N * ,都存在正整数 k ,使得 an ? k ?1 ? k .

?? ?1? e1 ? ? ? ,并且 M 对应的变换将点 (?1, 2) .变换成 (9,15) ,求矩阵 M . ?1?

2

2015 年高考模拟试卷 (8)参考答案
南通市数学学科基地命题
第Ⅰ卷(必做题,共 160 分) 一、填空题 1.1 ? i ; 2. 8; 3. 77 ; 4. 153;

(2)因为 m· n= 12cos A-5cos 2A, 3?2 43 所以 m· n=- 10cos2A+ 12cosA+ 5=- 10? ?cos A- 5? + 5 . 3 4 π 4 所以当 cos A= 时,m· n 取最大值.此时 sin A= (0<A< ),于是 tan A= . 5 5 2 3

2 5. ; 5

6. 4;

7.4 ;

? ? π ≥ π, 1 2 8. { ,, 1}. 【解析】 ?2ω 2 3 3 ?3ωπ= kπ, ?

所以 tan C=- tan(A+B)=-

tan A+ tan B = 7. 1- tan Atan B

P
N

15. (1)连接 AC 交 MB 于 Q ,连接 NQ , MC . 因为 AM // BC , AM ?

? ? 0< ω ≤ 1 1 2 k ,其中 k∈ Z,则 k= 或 k= 或 k=1. 即? 3 3 ? ω=3 ?
9. 3 n ; 10. [?4, 0] ; 11.
65 ; 10

1 AD ? BC , 2

D

C

M
A

所以四边形 ABCM 是平行四边形, 所以 Q 是 AC 的中点. 又 N 是 PC 的中点,所以 NQ // PA . 因为 NQ ? 平面 MNB , PA ? 平面 MNB ,所以 PA // 平面 MNB . (2)因为 PA ? PD , AM ? MD ,所以 PM ? AD . 因为 MD // BC , MD ? BC , 所以四边形 BCDM 是平行四边形,所以 MB // DC , 因为 ?ADC ? 90°,即 AD ? DC ,所以 AD ? MB . 因为 PM ? MB ? M , PM , MB ? 平面平面 PMB ,

Q

B

12.3 . 【解析】 f (0) ? 1? a ? 0 ,所以 a ? ?1 .所以

(第 16 题图)

? x 1 2 ? x ? 1, x ≤ 0 ? 1 ? 2 f ? x? ? ? ,可以数形结合,先研究 x ? 0 时, y ? 2x 与y ? x ? 1 的交点只有 1 个,可以通 2 ??( 1 ) x ? 1 x ? 1, x ? 0 ? ? 2 2

过比较 y ? 2 x 在 (0,1) 处的斜率与 13. 5 ? 2 . 【解析】由 xy ?

1 的大小可得.故共有 3 个零点. (或直接导数研究每一段的图象) 2

x ? 4y x ? 4y 1 4 ,得 x ? y ? ? ? ,所以 1 ? y ? x ? 4 ≥4 , y x x? y xy y x

解得 0 ? y ≤ 5 ? 2 .

? 14. ? ? 19 ? 1, 19 ? 1? .

? ?x ? y ? 4 【解析】设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则 ? 2 . 2 ? ? x2 ? y2 ? 16
2 1 2 1

所以 AD ? 平面 PMB . 因为 AD ? 平面 PAD 所以平面 PAD ? 平面 PMB . 17.(1)设助跑道所在的抛物线方程为 f(x)=a0x2+b0x+ c0,

又 PQ 的中点 N ( x, y ) ,即 N (
2 2

x1 ? x2 y1 ? y 2 , ), 2 2

( x 2 ? y12 ) ? ( x2 2 ? y2 2) ? 2( x1 x2 ? y1 y2 ) 1 ? 5 ? ( x1 x2 ? y1 y2 ) , 则有 x ? y ? 1 4 2

由条件, MP ? MQ ,得 x1 x2 ? y1 y2 ? x1 ? x2 ?1 ? 2 x ?1 , 所 以 x2 ? y 2 ? 5 ? x ?

?c0 ? 4 ? 依题意 ? 4a0 ? 2b0 ? c0 ? 0 , ?9a ? 3b ? c ? 1 0 0 ? 0
解得 a0=1,b0=- 4, c0=4, 所以助跑道所在的抛物线方程为 f(x)=x2-4x+ 4, x∈[0,3] . (2)设飞行轨迹所在抛物线为 g(x)= ax2+bx+ c(a<0), 依题意 ?

? 19 ? 1 19 ? 1? 1 1 19 , 即 ( x ? )2 ? y 2 ? , 由 于 P Q? 2 M N , MN ? ? , ? , 所 以 2 ? 2 2 4 ? 2

? PQ ? ? ? 1 9? 1 , ?1 ?9. 1

二、解答题 15. (1)由题意, 2sin Acos B= sin Ccos B+cos Csin B, 所以 2sin Acos B= sin(B+C)=sin(π-A)=sin A. 2 π 因为 0<A< π,所以 sin A≠0.所以 cos B= .因为 0<B<π,所以 B= . 2 4
3

? ? f ? 3? ? g ? 3? , ? ? f 3 ? g 3 ? ? ? ? ? ?

即?

?9a ? 3b ? c ? 1 ?b ? 2 ? 6a ,解得 ? ?6a ? b ? 2 ?c ? 9a ? 5
2

所以 g(x)=ax +(2- 6a)x+ 9a-5

=a ? x ?

? ?

1 3a ? 1 ? 2 ? + 1- a . a ?

①—②,得

? x1 ? x2 ?? x1 ? x 2 ?
a
2

??

? y 1 ? y 2?? y 1 ? y 2?
b2



令 g(x)=1,得 ? x ?

? ?

3a ? 1 ? 2 1 ? = a2 . a ?

所以直线 BD 的斜率 k ? ?

y1 ? y2 b 2 x ? x2 2 b2 ?? 2 ? 1 ?? ? 2 , x1 ? x2 a y1 ? y2 k a

因为 a<0,所以 x=

3a ? 1 1 2 - = 3- . a a a

由于以 AD 为直径的圆恰好经过点 B , 所以 AB ? BD,即 k ? k ? ? ?1 ,所以 a 2 ? 2b 2 , 所以椭圆的离心率 e ?
c 2 ? . a 2

当 x=

3a ? 1 1 时, g(x)有最大值,为 1- , a a

则运动员的飞行距离

2 2 d= 3- -3=- , a a
飞行过程中距离平台最大高度

方法二:设 B ? t , kt ? ,则 A? ?t, ? kt? , C? t, 0? , 所以直线 AD 的方程为 y ?

k ?x ? t?. 2

1 1 h= 1- -1=- , a a
依题意,4≤-

2 1 ≤6,即 2≤- ≤3, a a

? x2 y 2 ? ?1 ? a2 k 2 2 ? 2 b2 由 ?a ,消 y ,得 b2 x2 ? ? x ? t ? ? a 2 b2 , 4 k ?y ? ?x ? t? ? ? 2

即 4b2 ? a2 k 2 x2 ? 2a2 k 2tx ? a2k 2t 2 ? 4a2b2 ? 0 , 所以 xA ? xD ?

?

?

即飞行过程中距离平台最大高度的取值范围为在 2 m 到 3 m 之间.
?c 2 ? ? 2 ?a ?a 2 ? 4 1 ?2 x2 y 2 ? 18. (1)由题意, ? 2 ? 2 ? 1 ,解得 ? 2 ,所以椭圆的方程为 ? ?1. b 4 2 ? ?a ?b ? 2 ?a 2 ? b2 ? c 2 ? ?

2a2 k 2t , 4b2 ? a2 k 2

从而 xD ?

2a2 k 2t 3a2 k 2 ? 4b 2 a 2k 3 ,即 ? t D ( t , t) , 4b2 ? a2 k 2 4b2 ? a 2k 2 4b 2 ? a 2k 2

(2)方法一:设 B ? x1 , y1 ? , D ? x2 , y2 ? ,则 A ? ? x1 , ? y1 ? , C ? x1 ,0 ? .
???? ???? 因为 A, C , D 三点共线,所以 AC // AD ,

a2k 3 t ? kt 2 2b 2 a2k 2 ? ? 所以直线 BD 的斜率 k ? ? 4b2 ? , 3a k 2 ? 4b 2 a2k t ?t 4b 2 ? a 2 k 2

由于以 AD 为直径的圆恰好经过点 B , 所以 AB ? BD,即 k ? k ? ? ?1 ,所以 a 2 ? 2b 2 , 所以椭圆的离心率 e ?
c 2 ? . a 2

??? ? ???? 由 AC ? ? 2x1 , y1 ? , AD ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? ,
得 2 x1 ? y1 ? y2 ? ? ? x1 ? x2 ? y1 ,即 又 B, D 均在椭圆上,
? x12 y12 ? ?1 ① ? ? a 2 b2 有? 2 , 2 ? x2 ? y2 ? 1 ② ? ? a 2 b2
y1 ? y 2 y k ? 1 ? . x1 ? x2 2 x1 2

19. (1)因为 Sn?1 ? t ? Sn ? a 当 n≥2 时, Sn ? t ? Sn?1 ? a

① ②,

①—②得, an?1 ? t ? an ( n≥2 ) , 又由 S 2 ? t ? S1 ? a ,得 a 2 ? t ? a1 ,

4

所以, {an } 是首项为 a ,公比为 t 的等比数列,所以 an ? a ? t n?1 ( n ? N ) .
*

所以 g ? x? ? x? ln x ? 3? . 不等式 g ? x ? ? x ?

(2)当 t ? 1 时, a n ? a , S n ? na , bn ? na ? 1 , 由 | bn | ≥ | b3 | ,得 | na ? 1|≥ | 3a ? 1|, (n ? 3)a[(n ? 3)a ? 2]≥0 当 a ? 0 时, n ? 3 时, ( *)不成立; 当 a ? 0 时, ( *)等价于 (n ? 3)[(n ? 3)a ? 2]≤ 0 ( **) ( *)

e4 e4 ? 0 即为 g ? x ? ? ?( x ? ) . 4x 4x

由 g ? ? x ? ? ln x ? 2 ,知函数 g ? x ? 在 x ? e 2 处取最小值为 ? e 2 , 设 ? ? x ? ? ?( x ?
e4 e4 e4 ? ?e 2 , ) ,因为 x ? 0 ,所以 ?( x ? )≤-2 x ? 4x 4x 4x

n ? 3 时, ( **)成立.
n≥4 时,有 (n ? 3)a ? 2 ≤ 0 ,即 a ≤ ?

1 1 当且仅当 x ? e2 时取“=” ,即当 x ? e2 时, ? ? x ? 的最大值为 ? e 2 , 2 2 1 因为 e2 ? e2 ,所以 g ? x ? ? ? ? x ? ,即原不等式成立. 2
(注:不等式 g ? x? ? x ? 设 ? ? x ? ? ln x ?

2 2 恒成立,所以 a ≤ ? . n?3 7 1 2 n ? 1 时,有 4a ? 2≥0 , a≥ ? . n ? 2 时,有 5a ? 2≥0 , a≥ ? . 2 5

? 2 2? 综上, a 的取值范围是 ? ? , ? ? . ? 5 7?

e4 e4 ? 0 即为 ln x ? 2 ? 2 ? 0 , 4x x

e4 ? 2 ,证明 ? ? x ? ? 0 对 ?x ? ? 0, ?? ? 成立,证明略) x2

(3)当 t ? 1 时, S n ?
cn ? k ? n ?

a (1 ? t n ) a(1 ? t n ) a at n , bn ? , ?1 ? 1? ? 1? t 1? t 1? t 1? t

2 (3) h ? x ? ? 2ln x ? x ? ax2 ? ? ?ln x ? 2 ?1 ? a ? x ? 2? ? ? ln x ? ? 2a ? 1? x ? ax ? 2 ,

?

?

an at (1 ? t n ) at n ?1 1? a ? t k (1 ? t )2 ? at ? ? ? ? n ? , 1? t (1 ? t ) 2 (1 ? t ) 2 1? t (1 ? t ) 2

h? ? x ? ?

?2ax 2 ? ? 2a ? 1? x ? 1 ? x ? 1?? 2ax ? 1? 1 ? ? 2a ? 1? ? 2ax ? ?? . x x x

①当 a ≥ 0 时,由于 x ? ?1, 4? ,所以 h? ? x ?≤0 ,所以 h ? x ? 在 ?1, 4? 上递减, 由 h ?1? ? a ? 1 ? 0 , h ? 4? ? ln 4 ? 8a ? 2 ? 0 ,所以函数 h ? x ? 在 ?1, 4? 上的零点个数 1;

?1 ? a ? t ?0, ?a ? t ? 1, ? ? 1? t ? 所以,当 ? 时,数列 {cn } 是等比数列,所以 ? t 2 k? , ? k (1 ? t ) ? at ? 0 ? t ?1 ? 2 ? ? (1 ? t )

又因为 a , t , k 成等差数列,所以 2t ? a ? k ,即 2t ? t ? 1 ? 解得 t ?
5 ?1 . 2

t , t ?1

? ? 1 ?? ?2a ? ? x ? 1? ? x ? ? ? ?? ? ? 2a ?? , ②当 a ? 0 时, h? ? x ? ? x
1? 当 ?

从而, a ?

5 ?1 5 ?3 ,k ? . 2 2

1 1 ≤1 ,即 a≤ ? 时,当 x ? ?1, 4? 时, h? ? x ? ≥ 0 ,所以 h ? x ? 在 ?1, 4? 上递增, 2a 2

因为 h ?1? ? a ? 1 , h ? 4? ? ln 4 ? 8a ? 2 ? 0 ,

所以,当 a ?

5 ?1 ,t ? 2

5 ?1 5 ?3 ,k ? 时,数列 {cn } 为等比数列. 2 2

1 所以当 ?1 ? a≤ ? 时,函数 h ? x ? 在 ?1, 4? 上的零点个数 0; 2
当 a≤ ? 1 时,函数 h ? x ? 在 ?1, 4? 上的零点个数 1.
2? 当 ?

20. (1)由题意, f ? ? x ? ?

2 ? 1 ? 2ax≥0 在 x ? ?1, 4? 上恒成立, x

2 1 即 2a ≤ 2 ? 在 x ? ?1, 4? 上恒成立. x x
设 t ? x? ?

1 1 ≥ 4 ,即 ? ≤a ? 0 时, h? ? x ?≤0 ,所以 h ? x ? 在 ?1, 4? 上递减, 2a 8

2 1 1 1 1 ?3 ? ? ? 2( ? )2 ? ? x ? ?1, 4?? ,所以 t ? x ? ? ? ,3? , x2 x x 4 8 ?8 ?

因为 h ?1? ? a ? 1 ? 0 , h ? 4? ? ln 4 ? 8a ? 2 ,

3 3 所以 2a ≤ ,即 a ≤ . 8 16
(2)由 g ? x? ? x? ln x ? 3? ? ? 1 ? a? x2 ,得 g ? ? x? ? ln x ? 2?1 ? a? x ? 2 . 由题意, g ? ? e ? ? ?1 ,即 ln e ? 2? 1? a? e ? 2 ? ?1,所以 a ? 1 .
5

1 1 所以当 h ? 4? ? 0 ,即 ? ≤a ? ? ln 2 ? 1? 时,函数 h ? x ? 在 ?1, 4? 上的零点个数 0; 8 4
当 h ? 4 ?≤0 ,即
3? 当 1 ? ?

1 ? ln 2 ? 1?≤a ? 0 时,函数 h ? x ? 在 ?1, 4? 上的零点个数 1. 4

1 1 1 ? 4 ,即 - ? a ? ? 时, 2a 2 8

1 ? ? ? 1 ? 满足 x ? ?1, ? ? 时, h? ? x ?≤0 ; x ? ? , 4 ? 时, h? ? x ? ≥ 0 , ? 2a ? ? 2a ? 1 ? ? ? 1 ? 即函数 h ? x ? 在 ?1, ? ? 上递减,在 ? , 4 ? 上递增, ? 2a ? ? 2a ?

由逆矩阵公式得, (NM)
? 1 ? 所以 ? 4 ?? 3 ? 4 ?

?1

? 1 ? 4 ?? ?? 3 ? ? 4

3? 4 ? ?, 1 ? 4 ? ?

因为 h ?1? ? a ? 1 ? 0 , h ? 4? ? ln 4 ? 8a ? 2 ? 0 ,
? 1 ? ? 1 ? 1 ? 1, 而 h ? ? ? ? ln ? ? ? ? ? 2a ? ? 2a ? 4a

3? 4 ?? 8 ? ? 5 ? ?? ??? ? ,即有 a ? 5 , b ? ? 3 . 1 ? ?4 3 ? ?? 3 ? ? 4 ?

设t ??

1 1 ,则 ? ? t ? ? ln t ? t ? 1 ,且 1 ? t ? 4 , 2a 2

1 3 π sin ? ) ? 2 , C.由 ? cos(? ? ) ? 2 ,得 ? ( cos ? ? 2 2 3

1 1 2?t 由 ?? ?t ? ? ? ? ,知 t ? ?1, 2? 时, ? ? ? t ? ? 0 , t ? ? 2,4? 时, ? ? ? t ? ? 0 , t 2 2t
即 ? ? t ? 在 ?1, 2 ? 上为增函数,在 ? 2, 4 ? 上为减函数, 因为 ? ?1? ? ln1 ?

即 l 的直角坐标方程为 x ? 3 y ? 4 ? 0 .

? ? x ? 3 cos ? , 因为椭圆 C 的参数方程为 ? ? ? y ? sin ? ,
所以椭圆 C 上的点到直线 l 距离
3 cos? ? 3 sin ? ? 4 2 π 6 cos(? ? ) ? 4 4 ? 6 cos(? ? π ) 4 4 , ? 2 2

1 1 ? 1 ? ? 0 , ? ? 4? ? ln 4 ? 2 ? 1 ? 0 , 2 2

? 1 ? 所以当 1 ? t ? 4 时, ? ? t ? ? 0 ,即 h ? ? ? ? 0 , ? 2a ?

d?

?

1 1 所以当 - ? a ? ? 时,函数 h ? x ? 在 ?1, 4? 上的零点个数 0. 2 8
综上所述,当 ?1 ? a ? 当 a≤ ? 1 或 a ≥

所以 d 的最大值为 2 ?

6 6 ,最小值为 2 ? . 2 2

1 ? ln 2 ? 1? 时,函数 h ? x ? 在 ?1, 4? 上的零点个数 0; 4

D.因为 a,b 均为正实数,所以 h2 ≤ 22ab 2 . a ?b 因为 a 2 ? b2≥2ab ,所以 22ab 2 ≤ 1 ,即 h2 ≤1 . a ?b 22. (1)令 x=0 得, a0=1;令 x=1 得, a0+ a1+a2+a3+?+ a2n=22n. 于是 a1+ a2+ a3+?+a2n=22n-1. (2)ak=C 2kn,k=1,2,3,?, 2n, 首先考虑
D

1 ? ln 2 ? 1? 时,函数 h ? x ? 在 ?1, 4? 上的零点个数 1. 4
第Ⅱ卷(附加题,共 40 分)

21.A.连接 BC, AB , CD 相交于点 E . 因为 AB 是线段 CD 的垂直平分线, 所以 AB 是圆的直径,∠ ACB=90° . 设 AE ? x ,则 EB ? 6 ? x ,由射影定理得 CE2=AE·EB,又 CE ? 5 , 即有 x(6 ? x ) ? 5,解得 x ? 1 (舍)或 x ? 5 . 所以,AC2=AE·AB=5×6= 30, AC ? 30 .
?2 0? B.依题意,NM ? ? ? ?0 2?
? ? ? ? ? ? 1 2 3 2 ? ? 3 ? ? 1 ? 3? 2 ?, ? ?? 1 ? 1 ? ? ? ? 3 2 ? ?
A

C B E

k!(2n+1-k)! (k+1)!(2n- k)! k!(2n-k)!(2n+1- k+ k+ 1) 1 1 + = k + k+ 1 = (2n+ 1)! (2n+ 1)! (2n+ 1)! C2 n + 1 C2n+ 1



k!(2n-k)!(2n+2) 2n + 2 = , (2n+ 1)! (2n+ 1) C 2kn 2n + 1 1 1 1 = ( + k+ 1 ), C2kn 2n+2 C2nk +1 C2n+ 1 2n + 1 1 1 1 1 - k+ 1= ( k - + 2 ). C2kn C 2 n 2n + 2 C 2 n + 1 C2kn +1



因此

1 1 1 1 1 1 故 - + - +?+ - a1 a2 a3 a4 a2 n - 1 a2 n =
6

2n + 1 1 1 1 1 1 1 ( - + - +?+ 2n- 1- 2n+ 1 ) 2n+2 C2n1 C2n3 C2n3 C2n5 +1 +1 +1 +1 C2n+ 1 C 2n+ 1



2n + 1 2n + 1 1 1 1 n ( ( -1)=- . 1 - 2n + 1 ) = 2n + 2 C 2 n + 1 n+ 1 C 2 n + 1 2n + 2 2n + 1

23. (1)首先,容易得到一个简单事实: {an}与{bn}均为不减数列且 an∈N,bn∈N. 若 a1=b1=0,故{an}中小于等于 1 的项至少有一项,从而 b1≥1,这与 b1=0 矛盾. 若 a1=b1≥2,则{an}中没有小于或等于 1 的项,从而 b1=0,这与 b1≥2 矛盾. 所以, a1=1. (2)假设当 n=k 时,ak=bk=k, k∈N *. 若 ak+1≥ k+2,因 {an}为不减数列,故 {an}中小于等于 k+1 的项只有 k 项, 于是 bk+1=k,此时 {bn}中小于等于 k 的项至少有 k+1 项 (b1,b2,?,bk,bk+1), 从而 ak≥k+1,这与假设 ak=k 矛盾. 若 ak+1=k,则{an}中小于等于 k 的项至少有 k+1 项 (a1,a2,?, ak,ak+1), 于是 bk≥k+1,这与假设 bk=k 矛盾. 所以, ak+1=k+1. 所以,当 n=k+1 时,猜想也成立. 综上,由 (1), (2)可知,an=bn=n 对一切正整数 n 恒成立. 所以, an=n,即为所求的通项公式.

7


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