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2018_2019高中数学第3章三角恒等变换3.2第2课时二倍角的三角函数的应用课件苏教版必修4_图文

第3章 §3.2

二倍角的三角函数

第2课时 二倍角的三角函数的应用

学习目标
1.进一步熟练掌握二倍角公式的特征及正用、逆用. 2.掌握二倍角公式的变形即降幂公式的特征. 3.会用二倍角公式进行三角函数的一些简单的恒等变换.

内容索引

问题导学 题型探究

达标检测

问题导学

知识点

降幂公式

思考
如何用 cos α 表示 sin 2,cos 2? 答案 ∵cos α=2cos 2-1=1-2sin 2,










1-cos α 1+cos α 2α ∴sin 2= ,cos 2= . 2 2

答案

梳理
降幂公式
1-cos α (1)sin 2= . 2


1+cos α (2)cos 2= . 2


1-cos α (3)tan 2= . 1+cos α


题型探究

类型一
例1 解
2 2

化简求值

3 (1)化简 cos (θ+15° )+cos (θ-15° )- 2 cos 2θ; 3 cos (θ+15° )+cos (θ-15° )- 2 cos 2θ
2 2

1+cos[2?θ+15° ?] 1+cos[2?θ-15° ?] 3 = + - 2 cos 2θ 2 2 1 3 =1+2[cos(2θ+30° )+cos(2θ-30° )]- 2 cos 2θ 1 3 =1+2(cos 2θcos 30° -sin 2θsin 30° +cos 2θcos 30° +sin 2θsin 30° )- 2 cos 2θ

1 3 3 3 =1+2×2cos 2θcos 30° - 2 cos 2θ=1+ 2 cos 2θ- 2 cos 2θ=1.

解答

1+sin α 1-sin α 3π (2)已知 π<α< 2 ,化简: + . 1+cos α- 1-cos α 1+cos α+ 1-cos α
解 3π π α 3π ∵π<α< 2 ,∴2<2< 4 ,
? ? ? ?

? α α? α α? ?2 ? ?2 sin 2+cos 2? sin - cos ? ? 2 2 ? ? ? 原式= + α α α α - 2cos 2- 2sin 2 - 2cos 2+ 2sin 2
? ? ? α α α α 2? 2 α ? ? ? ? =- 2 ?sin 2+cos 2?+ 2 ?sin 2-cos 2?=- 2cos 2. ? ? ? ?

解答

跟踪训练 1

3 (1)化简 sin (θ+15° )+sin (θ-15° )+ 2 cos 2θ;
2 2



1-cos?2θ+30° ? 1-cos?2θ-30° ? 3 原式= + + cos 2 θ 2 2 2

1 3 =1-2[cos(2θ+30° )+cos(2θ-30° )] + 2 cos 2θ
1 3 3 3 =1-2(2cos 2θcos 30° )+ 2 cos 2θ=1- 2 cos 2θ+ 2 cos 2θ=1.

解答

2?3+cos 4x? 1 (2)求证:tan x+tan2x= . 1-cos 4x
2

证明

4 4 2 2 2 2 2 sin x + cos x ? sin x + cos x ? - 2sin x cos x sin x cos x ∵左边=cos2x+ sin2x = sin2xcos2x = sin2xcos2x 2 2

1 2 1 1-cos 4x 2 2 1-2sin xcos x 1-2sin 2x 1-2· 2 2?3+cos 4x? = sin2xcos2x = 1 = 1 = =右边, 1-cos 4x 2 sin 2 x ? 1 - cos 4 x ? 4 8

∴等式成立.

证明

类型二
例2 已知函数 f(x)=

与三角函数性质有关的问题
(x∈R).

? ? π? π? ? ? 2? 3sin?2x-6?+2sin ?x-12? ? ? ? ? ?

(1)求函数f(x)的最小正周期;
解 = ∵f(x)=
? ? π? π? ? ? 2? 3sin?2x-6?+2sin ?x-12? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? π? π? ? ? ?? ? ? ?? 3sin?2?x-12??+1-cos?2?x-12?? ? ? ?? ? ? ??
? ? ? ? ? ?? π? π? 3 1 ? ? ?? ? ? ??? ? sin ?2?x- ??- cos ?2?x- ???+1 12?? 2 12??? 2 ? ? ? ?

? ? =2? ? ?

? ? ? π? π? π? ? ? ? ? ? ? x - =2sin?2? 12?-6?+1=2sin?2x-3?+1, ? ? ? ? ? ?

2π ∴T= 2 =π.

解答

(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.
解 当
? π? ? f(x)取得最大值时,sin?2x-3? ?=1, ? ?

π π 5π 有 2x-3=2kπ+2(k∈Z),即 x=kπ+12 (k∈Z),
? ? ? 5π ? ∴所求 x 的集合为?x?x=kπ+12 ,k∈Z?. ? ? ?

解答

反思与感悟

(1) 为了研究函数的性质,往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型 (余弦型)函数,这是解决问题的前提. (2)充分运用两角和 (差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异,减少 角的种类和函数式的项数,为讨论函数性质提供了保障.

跟踪训练2

? ? π ? 2 已知函数f(x)=sin2x- sin ?x-6? ?,x∈R. ? ?

(1)求f(x)的最小正周期;
解 1-cos 2x 由已知,得 f(x)= - 2
? ? π ? 2 x - 1-cos? ? 3? ? ?

2

? π? 1? 1 3 1 1 ? 3 ?1 ? ? ? =2? cos 2x+ sin 2x?-2cos 2x= 4 sin 2x-4cos 2x=2sin?2x-6?. 2 ? ? ?2 ?

2π 所以 f(x)的最小正周期 T= 2 =π.

解答

(2)求

? π π? ? f(x)在区间?-3,4? ?上的最大值和最小值. ? ?



因为

? π π? ? f(x)在区间?-3,-6? ?上是单调减函数, ? ?

? π π? ? ? 在区间?-6,4?上是单调增函数, ? ?
? ? π 1 ? ? ?- ?=- ,f 3? 4 ? ? ? π 1 ? ? ?- ?=- ,f 6? 2 ? ?π? ? ? ? ?= ?4 ?

f

3 4. 3 1 ,最小值为- . 4 2
解答

所以

? ? π π ? - , f(x)在区间? ? ?上的最大值为 3 4 ? ?

类型三

三角函数在实际问题中的应用

例3

点 P 在直径 AB = 1 的半圆上移动,过 P 作圆的切线 PT 且 PT = 1 ,

∠PAB=α,问α为何值时,四边形ABTP面积最大?

解答

反思与感悟

利用三角函数知识解决实际问题,关键是目标函数的构建,自变量常常

选取一个恰当的角度,要注意结合实际问题确定自变量的范围.

π 跟踪训练3 如图,已知OPQ是半径为1,圆心角为 的扇形,C是扇形弧 3 上的动点,ABCD是扇形的内接矩形.记∠COP=α,求当角α取何值时,
矩形ABCD的面积最大?并求出这个最大面积.

解答

达标检测

4 θ -5 1.已知 tan2=3,则 cos θ= .
cos 2-sin 2 1-tan 2 1-32 4 cos θ= = = 2=- . θ θ θ 5 1+3 2 2 2 cos 2+sin 2 1+tan 2
2θ 2θ 2θ

解析

1

2

3

4

5

解析

答案

3 1 α 2.若 cos α=3,且 α∈(0,π),则 sin 2的值为 3 .

π? α ? ? ? 解析 ∵α∈(0,π),∴2∈?0,2?, ? ?
α ∴sin 2= 1-cos α = 2 1 3 3= 3 .

1

2

3

4

5

解析

答案

? ? π ? ? k π - , k π ? ?(k∈Z) 2 2 3.函数y=1+4cos x的单调增区间是 ? ?

.

解析 y=1+4cos2x=2cos 2x+3, 由-π+2kπ≤2x≤2kπ,k∈Z,

π 得- +kπ≤x≤kπ,k∈Z, 2
? ? π ? ? ∴该函数单调增区间为?kπ-2,kπ?(k∈Z). ? ?

1

2

3

4

5

解析

答案

4 1+cos 2α 1 -3 4.若 sin 2α =2,则 tan 2α= .
解析 1+cos 2α 2cos2α cos α 1 ∵ sin 2α =2sin α· cos α= sin α =2,

∴tan α=2,
2tan α 4 4 ∴tan 2α= =-3. 2 = 1-tan α -3

1

2

3

4

5

解析

答案

5.函数 f(x)=sin2x+ 3sin xcos x
解析

?π π? ? 在区间?4,2? ?上的最大值是 ? ?

3 2 .

? 1-cos 2x π? 3 1 ? ? f(x)= + sin 2 x = sin ?2x- ?+ , 6? 2 2 2 ?

?π π? ? ∵x∈?4,2? ?, ? ?

5π? π ? ?π ? , ∴2x-6∈?3 6 ?, ? ?
? ?1 ? π? ? ? ? ∵sin?2x-6?∈?2,1? ?, ? ? ? ?

1 3 ∴f(x)max=1+2=2.
1 2 3 4 5

解析

答案

规律与方法
1-cos 2α 1.二倍角余弦公式的变形可用来降幂,应灵活掌握:sin α= , 2
2

1+cos 2α cos α= . 2
2

2.解决有关的化简、求值、证明时注意二倍角公式的综合运用. 3.对于三角函数在实际问题中的应用,其求解策略为引入恰当的辅助角, 建立有关辅助角的三角函数表达式,并利用和、差、倍角公式进行化简 整理,由于引入辅助角的恰当与否直接影响该题的计算量,故求解时多 注意分析题设,恰当引入.