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【三维设计】高考数学大一轮复习(备考基础查清+热点命题悟通)第十三章 第二节 直线与圆的位置关系_图文

第二节 直线与圆的位置关系 1.圆周角定理 (1)圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 一半 . (2)圆心角定理 圆心角的度数等于 它所对弧的度数 . 推论 1:同弧或等弧所对的圆周角 相等 ;同圆或等圆中, 相等的圆周角所对的弧也 相等 . 推论 2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90° 的圆周 角所对的弦是直径. 2.圆内接四边形的性质与判定定理 (1)性质 定理 1:圆内接四边形的对角 互补 . 定理 2:圆内接四边形的外角等于它的内角的对角. (2)判定 判定定理:如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形 的四个顶点 共圆 . 推论:如果四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这 个四边形的四个顶点 共圆 . 3.圆的切线性质及判定定理 (1)性质: 性质定理:圆的切线垂直于经过切点的 半径. 推论 1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过 切点 . 推论 2:经过切点且垂直于切线的直线必经过 圆心 . (2)判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线 是圆的 切线 . (3)弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧所对的 圆周角 . 4.与圆有关的比例线段 (1)相交弦定理: 圆内的两条相交弦, 被交点分成的两条线 段长的积 相等. (2)割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每 条割线与圆的交点的两条线段长的 积 相等. (3)切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线 长是这点到割线与圆交点的两条线段长的 比例中项 . (4)切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切 线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的 夹角. 1.易混圆心角与圆周角,在使用时注意结合图形作出 判断. 2.在使用相交弦定理、割线定理、切割线定理时易出 现比例线段对应不成比例而失误. [试一试] 1.如图,P 是圆 O 外一点,过 P 引圆 O 的两条 割线 PB、PD,PA=AB= 5,CD=3,则 PC 等于________. 解析:设 PC=x,由割线定理知 PA· PB=PC· PD. 即 5×2 5=x(x+3),解得 x=2 或 x=-5(舍去). 故 PC=2. 答案:2 2.如图,EB,EC 是⊙O 的两条切线,B,C 是 切点,A,D 是⊙O 上两点,如果∠E=46° , ∠DCF=32° ,则∠BAD 等于________. 解析:由已知,显然△EBC 为等腰三角形, 180° -∠E 因此有∠ECB= =67° , 2 因此∠BCD=180° -∠ECB-∠DCF=81° . 而由 A,B,C,D 四点共圆, 得∠BAD=180° -∠BCD=99° . 答案:99° 1.与圆有关的辅助线的五种作法 (1)有弦,作弦心距. (2)有直径,作直径所对的圆周角. (3)有切点,作过切点的半径. (4)两圆相交,作公共弦. (5)两圆相切,作公切线. 2.证明四点共圆的常用方法 (1)利用圆内接四边形的判定定理, 证明四点组成的四边形 的对角互补; (2)证明它的一个外角等于它的内对角; (3)证明四点到同一点的距离相等. 当证明四点共圆以后,圆的各种性质都可以得到应用. 3.圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时,要注意找相 等的角,找相似三角形,从而得出线段的比,由于圆幂定理涉 及圆中线段的数量计算,所以应注意代数法在解题中的应用. [练一练] 1.(2014· 荆州模拟)如图, PA 是⊙O 的切线, 切 点为 A,过 PA 的中点 M 作割线交⊙O 于 点 B 和 C, 若∠BMP=110° , ∠BPC=30° , 则∠MPB=________. 解析:由切割线定理得,MA2=MB· MC,又 MA=MP,故 MB MP MP =MB· MC, 即MP=MC, 又∠BMP=∠PMC.故△BMP 2 ∽△PMC,所以∠MPB=∠MCP,所以 30° +∠MPB+∠ MCP=∠AMB=180° -110° =70° ,所以∠MPB=20° . 答案:20° 2.(2014· 长沙一模)如图,过圆 O 外一点 P 分别作圆的切线和 割线交圆于点 A,点 B,且 PB=7,C 是 圆上一点, 使得 BC=5, ∠BAC=∠APB, 则 AB=________. 解析:由 PA 为圆 O 的切线可得,∠PAB=∠ACB,又∠ PB AB BAC=∠APB,于是△APB∽△CAB,所以AB=BC,而 PB=7,BC=5,故 AB2=PB· BC=7×5=35, 即 AB= 35. 答案: 35 1.(2013· 天津高考)如图, △ABC 为圆的内接 三角形, BD 为圆的弦, 且 BD∥AC. 过 点 A 作圆的切线与 DB 的延长线交于点 E, AD 与 BC 交于点 F.若 AB=AC,AE=6,BD= 5,则线 段 CF 的长为________. 解析:因为 AE 是圆的切线,且 AE=6,BD=5, 由切割线定理可得 EA2=EB· ED,即 36=EB· (EB+5),解得 EB=4. 又∠BAE=∠ADB=∠ACB=∠ABC,所以 AE∥BC. 又 AC∥BD,所以四边形 AEBC 是平行四边形, 所以 AE=BC=6,AC=EB=4. 又由题意可得△CAF∽△CBA, CA CF CA2 16 8 所以CB=CA,CF= CB = = . 6 3 8 答案: 3 2.(2013· 广东高考)如图,AB 是圆 O 的直径,点 C 在圆 O 上.延长 BC 到 D 使 BC=CD,过 C 作 圆 O 的切线交 AD 于 E.若 AB=6, ED=2, 则 BC=________. 解析:连结 OC,则 OC⊥CE, ∠ OCA+∠ ACE= 90° ,∵∠ OAC=∠ OCA,∴∠ OAC+∠ ACE=90° . 易知 Rt△ACB≌Rt△ACD,则∠OAC=∠EAC. ∴∠E