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高考数学大一轮复习第六章不等式推理与证明第二节一元二次不等式及其解法课件_图文

第二节 一元二次不等式及其解法 “三个二次”的关系 判别式 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数 y=ax2+bx+ c(a>0)的图象 判别式 Δ=b2-4ac 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 一元二次方程 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 一元二次方程 Δ>0 有两相异实根 Δ=0 Δ<0 x1,x2(x1<x2) 有两相等实根 没有实 b 数根 x1=x2=-2a ? ? ? ? b ? ?x?x≠- ? 2a ? ? ? ? ? __________ { x|x<x1 或 x>x2} _____________ R ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 {___________ x|x1<x<x2} ? __ ? [小题体验] 1.设集合 S={x|x>-2},T={x|x2+3x-4≤0},则(?RS)∪T = A.(-2,1] C.(-∞,1] B.(-∞,-4] D.[1,+∞) ( ) 解析:由题意得T= {x|-4≤x≤1}, 根据补集定义, ?RS={x|x≤-2}, 所以(?RS)∪T={x|x≤1}. 答案:C 2.(教材习题改编)不等式-x2+2x-3>0的解集为________. 答案:? 3.不等式ax 2 ? 1 1? +bx+2>0的解集是?-2,3?,则a+b的值是______. ? ? 1 解析:由题意知- , 2 1 是ax2+bx+2=0的两根, 3 则a=-12,b=-2. 所以a+b=-14. 答案:-14 1.对于不等式ax2+bx+c>0,求解时不要忘记讨论a=0时 的情形. 2.当Δ<0时,ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为R还是?,要注意 区别. 3.含参数的不等式要注意选好分类标准,避免盲目讨论. [小题纠偏] x-3 1.不等式 ≤0的解集为 x-1 A.{x|x<1或x≥3} C.{x|1<x≤3} B.{x|1≤x≤3} D.{x|1<x<3} ( ) ? ??x-3??x-1?≤0, x-3 解析:由 ≤0,得? ? x-1 ?x-1≠0, 解得1<x≤3. 答案:C 2.若不等式mx2+2mx+1>0的解集为R,则m的取值范围 是________. 解析:①当m=0时,1>0显然成立. ? ?m>0, ②当m≠0时,由条件知? 2 ? Δ = 4 m -4m<0. ? 得0<m<1. 由①②知0≤m<1. 答案:[0,1) 考点一 一元二次不等式的解法 [题组练透] 2 ? ?2x +1,x≤0, 1.已知函数f(x)= ? ? ?-2x,x>0, 则不等式f(x)-x≤2的解集 是________. 1 解析:当 x≤0 时,原不等式等价于 2x +1-x≤2,∴- ≤x 2 2 ≤0; 当 x>0 时, 原不等式等价于-2x-x≤2, ∴x>0. 综上所述, ? 1? ? ? ? 原不等式的解集为?x|x≥-2? . ? ? ? ? 1? ? ? ? 答案:?x|x≥-2? ? ? ? 2x+1 2.不等式 ≥-1的解集为________. x-5 3x-4 解析:将原不等式移项通分得 ≥0, x- 5 ? ??3x-4??x-5?≥0, 等价于? ? ?x-5≠0, 4 解得x>5或x≤ . 3 ? ? ?. ? ? ? ? ? 4 所以原不等式的解集为?x?x≤3或x>5 ? ? ? ? ? ? 4 ? ? 答案: x x≤3或x>5 ? ? ? ? ? ? ? ? 3.解下列不等式: (1)(易错题)-3x2-2x+8≥0; 解:原不等式可化为 3x2+2x-8≤0, 即(3x-4)(x+2)≤0. 4 解得-2≤x≤ , 3 ? ? ? 4 ? ? 所以原不等式的解集为 x -2≤x≤3 ? ? ? ? ? ?. ? ? (2)0<x2-x-2≤4. 解:原不等式等价于 2 ? ?x -x-2>0, ? 2 ? ?x -x-2≤4 2 ? ?x -x-2>0, ?? 2 ? ?x -x-6≤0 ? ??x-2??x+1?>0, ?? ? ??x-3??x+2?≤0 ? ?x>2或x<-1, ?? ? ?-2≤x≤3. 借助于数轴,如图所示, 所以原不等式的解集为 x|-2≤x<-1或2<x≤3 . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? [谨记通法] 解一元二次不等式的4个步骤 考点二 含参数的一元二次不等式的解法 [典例引领] ? 1? 解:原不等式变为(ax-1)(x-1)<0,因为a>0,所以a?x-a? (x-1) ? ? 解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0(a>0). <0, 1 所以当a>1时,解为a<x<1;当a=1时,解集为?; 1 当0<a<1时,解为1<x<a. ? ? ? ? 1 ? ? ? 综上,当0<a<1时,不等式的解集为 x 1<x<a ?. ? ? ? ? ? 当a=1时,不等式的解集为?. ? ? ? ?1 ? ? 当a>1时,不等式的解集为 x?a<x<1 ?. ? ? ? ? ? [由题悟法] 解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据 (1)二次项中若含有参数应讨论是等于0,小于0,还是大于 0,然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式. (2)当不等式对应方程的根的个数不确定时,讨论判别式Δ与0 的关系. (3)确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨 论两根的大小关系,从而确定解集形式. [提醒] 当不等式中二次项的系数含有参数时,不要忘记讨 论其等于0的情况. [即时应用] 1.已知不等式 ax -bx-1≥0 x2-bx-a<0 的解集是 A.(2,3) ?1 1? C.?3,2? ? ? 2 ? 1 1? 的解集是?-2,-3?,则不等式 ? ? ( B.

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