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数学:人教版选修2-3第二章离散型随机变量教案(2.4正态分布)

寿阳一中

2.4 正态分布
教学目标: 知识与技能:掌握正态分布在实际生活中的意义和作用 。 过程与方法:结合正态曲线,加深对正态密度函数的理理。 情感、态度与价值观:通过正态分布的图形特征,归纳正态曲线的性质 。 教学重点:正态分布曲线的性质、标准正态曲线 N(0,1) 。 教学难点:通过正态分布的图形特征,归纳正态曲线的性质。 教具准备:多媒体、实物投影仪 。 教学设想: 在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口, 正态分布在统计学中是最基本、 最重要的一种分布。 内容分析: 1. 在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布 在上一节课我们研究了当样本容 量无限增大时, 频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线, 总体密度曲线较科学地反映了总 体分布 但总体密度曲线的相关知识较为抽象,学生不易理解,因此在总体分布研究中我们选择正 态分布作为研究的突破口 正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布 2.正态分布是可以用函数形式来表述的 其密度函数可写成:
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? 1 f ( x) ? e 2??

( x ? ? )2 2? 2

, x ? (??, ??) , (σ >0)

由此可见,正态分布是由它的平均数μ 和标准差σ 唯一决定的 常把它记为 N (?, ? 2 )
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3.从形态上看,正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线,其对称轴为 x=μ ,并在 x=μ 时取 最大值 从 x=μ 点开始,曲线向正负两个方向递减延伸,不断逼近 x 轴,但永不与 x 轴相交,因此 说曲线在正负两个方向都是以 x 轴为渐近线的 4.通过三组正态分布的曲线,可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征 5.由于正态分布是由其平均数μ 和标准差σ 唯一决定的,因此从某种意义上说,正态分布就有好 多好多,这给我们深入研究带来一定的困难 但我们也发现,许多正态分布中, 重点研究 N (0, 1) ,
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其他的正态分布都可以通过 F ( x) ? ? ( 分布,其密度函数为 F ( x) ?

x??

?

) 转化为 N(0,1) ,我们把 N(0,1)称为标准正态

1 2?

e

1 ? x2 2

,x∈(-∞,+∞) ,从而使正态分布的研究得以简化

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6.结合正态曲线的图形特征,归纳正态曲线的性质 正态曲线的作图较难,教科书没做要求, 授课时可以借助几何画板作图,学生只要了解大致的情形就行了,关键是能通过正态曲线,引导学 生归纳其性质 教学过程: 学生探究过程: 复习引入: 总体密度曲线:样本容量越大, 所分组数越多, 各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的 概率.设想样本容量无限增大,分组的组距无限缩小,那么频率分布直方图就会无限接近于一条光 滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线.
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频率/组距

总体密度曲线

单位
O

a

b

它反映了总体在各个范围内取值的概率.根据这条曲线,可求出总体在区间(a,b)内取值的 概率等于总体密度曲线,直线 x=a,x=b 及 x 轴所围图形的面积. 观 察 总 体密 度 曲线 的 形状 , 它 具有 “ 两头 低 ,中 间 高 ,左 右 对称 ” 的特 征 , 具有 这 种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示:
? 1 ?? ,? ( x) ? e 2?? ( x ? ? )2 2? 2

, x ? (??, ??)

式 中 的 实 数 ? 、 ? (? ? 0) 是 参 数 ,分 别 表 示 总 体 的 平 均 数与 标 准 差 , ?? ,? ( x) 的 图 象 为 正 态分布密度曲线 , 简称正态曲 线. 讲解新课:

一般地,如果对于任何实数 a ? b ,随机变量 X 满足

P(a ? X ? B) ? ? ?? ,? ( x)dx ,
a

b

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寿阳一中 则称 X 的分布为正态分布(normal distribution ) .正态分布完全由参数 ? 和 ? 确定,因此正 态分布常记作 N (?, ? 2 ) .如果随机变量 X 服从正态分布,则记为 X~ N (?, ? 2 ) . 经验表明,一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和,它 就服从或近似服从正态分布. 例如, 高尔顿板试验中, 小球在下落过程中要与众多小木块发生碰撞, 每次碰撞的结果使得小球随机地向左或向右下落, 因此小球第 1 次与高尔顿板底部接触时的坐标 X 是众多随机碰撞的结果,所以它近似服从正态分布.在现实生活中,很多随机变量都服从或近似地 服从正态分布.例如长度测量误差;某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等;一定条件下生 长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等;正常生产条件下各种产品的质量指标(如零件的尺寸、 纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等) ;某地每年七月份的平均气温、平均湿度、 降雨量等;一般都服从正态分布.因此,正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中.正 态分布在概率和统计中占有重要的地位. 说明:1 参数 ? 是反映随机变量取值的平均水平的特征数,可以用样本均值去佑计; ? 是衡量 随机变量总体波动大小的特征数,可以用样本标准差去估计. 2.早在 1733 年,法国数学家棣莫弗就用 n!的近似公式得到了正态分布.之后,德国数学家 高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它,并研究了它的性质,因此,人们也称正态分布为高 斯分布. 2.正态分布 N (?, ? 2 ) )是由均值μ 和标准差σ 唯一决定的分布 通过固定其中一个值,讨论均值与标准差对于正态曲线的影响
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3.通过对三组正态曲线分析,得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称 正 态曲线的作图,书中没有做要求,教师也不必补上 讲课时教师可以应用几何画板,形象、美观地 画出三条正态曲线的图形, 结合前面均值与标准差对图形的影响, 引导学生观察总结正态曲线的性 质 4.正态曲线的性质: (1)曲线在 x 轴的上方,与 x 轴不相交 (2)曲线关于直线 x=μ 对称 (3)当 x=μ 时,曲线位于最高点 (4)当 x<μ 时,曲线上升(增函数) ;当 x>μ 时,曲线下降(减函数) 并且当曲线向左、 右两边无限延伸时,以 x 轴为渐近线,向它无限靠近 (5)μ 一定时,曲线的形状由σ 确定 σ 越大,曲线越“矮胖” ,总体分布越分散; σ 越小.曲线越“瘦高” .总体分布越集中: 五条性质中前三条学生较易掌握,后两条较难理解,因此在讲授时应运用数形结合的原则,采 用对比教学 5.标准正态曲线 :当μ =0、σ =l 时,正态总体称为标准正态总体,其相应的函数表示式是
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f ( x) ?

1 2?

e

?

x2 2

, (-∞<x<+∞)

其相应的曲线称为标准正态曲线 标准正态总体 N(0,1)在正态总体的研究中占有重要的地位 任何正态分布的概率问题均可 转化成标准正态分布的概率问题 讲解范例: 例 1.给出下列三个正态总体的函数表达式,请找出其均值μ 和标准差σ
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(1) f ( x) ?

1 2? 1

e

?

x2 2

, x ? (??,??)

(2) f ( x) ?

2 2?

e

?

( x ?1) 2 8

, x ? (??,??)

(3) f ( x) ?

2 ?2( x ?1)2 e , x ? (??, ??) 2?

答案:(1)0,1;(2)1,2;(3)-1,0.5 例 2 求标准正态总体在( -1 , 2 )内取值的概率. 解:利用等式 p ? ?( x2 ) ? ?( x1 ) 有

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p ? ?(2) ? ?(?1) ? ?(2) ? ? 1 ? ??? ?? 1

?? ?

= ?(2) ? ?(1) ? 1 =0.9772 + 0.8413 - 1=0.8151 . 1.标准正态总体的概率问题:
y

x

对于标准正态总体 N(0,1) , ?( x0 ) 是总体取值小于 x0 的概率, 即

?( x0 ) ? P( x ? x0 ) ,
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其中 x0 ? 0 ,图中阴影部分的面积表示为概率 P( x ? x0 ) 只要有标准正态分布表即可查表解决. 从图中不难发现:当 x0 ? 0 时, ?( x0 ) ? 1 ? ?(? x0 ) ;而当 x0 ? 0 时,Φ (0)=0.5 2. 标准正态分布表 标准正态总体 N (0,1) 在正态总体的研究中有非常重要的地位,为此专门制作了“标准 正态分布表” . 在 这 个 表 中 , 对 应 于 x0 的 值 ?( x0 ) 是 指 总 体 取 值 小 于 x0 的 概 率 , 即
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?( x0 ) ? P( x ? x0 ) , ( x0 ? 0) .
若 x0 ? 0 ,则 ?( x0 ) ? 1 ? ?(? x0 ) . 利用标准正态分布表,可以求出标准正态总体在任意区间 ( x1 , x2 ) 内取值的概率,即直 线 x ? x1 ,x ? x2 与正态曲线、 x 轴所围成的曲边梯形的面积 P( x1 ? x ? x2 ) ? ?( x2 ) ? ?( x1 ) . 3.非标准正态总体在某区间内取值的概率:可以通过 F ( x) ? ? (
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x??

?

) 转化成标准正态总体,

然后查标准正态分布表即可 在这里重点掌握如何转化 首先要掌握正态总体的均值和标准差,然 后进行相应的转化 4.小概率事件的含义 发生概率一般不超过 5%的事件,即事件在一次试验中几乎不可能发生 假设检验方法的基本思想:首先,假设总体应是或近似为正态总体,然后,依照小概率事件几 乎不可能在一次试验中发生的原理对试验结果进行分析 假设检验方法的操作程序,即“三步曲” 一是提出统计假设,教科书中的统计假设总体是正态总体;
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寿阳一中 二是确定一次试验中的 a 值是否落入(μ -3σ ,μ +3σ ); 三是作出判断 讲解范例: 例 1. 若 x ~ N (0,1), 求 (l) P (-2.32< x <1.2) ; (2) P ( x >2). 解: (1) P (-2.32< x <1.2)= ? (1.2)- ? (-2.32) = ? (1.2)-[1- ? (2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747. (2) P ( x >2)=1- P ( x <2)=1- ? (2)=l-0.9772=0.0228. 例 2.利用标准正态分布表,求标准正态总体在下面区间取值的概率:
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(1)在 N(1,4)下,求 F (3)
2

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(2)在 N(μ ,σ )下,求F(μ -σ ,μ +σ ) ; F(μ -1.84σ ,μ +1.84σ ) ;F(μ -2σ ,μ +2σ ) ; F(μ -3σ ,μ +3σ )

3 ?1 ) =Φ (1)=0.8413 2 ? ?? ? ? ) =Φ (1)=0.8413 (2)F(μ +σ )= ? (
解: (1) F (3) = ? (

? ? ?? ? ? ) =Φ (-1)=1-Φ (1)=1-0.8413=0.1587 F(μ -σ )= ? ( ?
F(μ F(μ F(μ F(μ -σ ,μ +σ )=F(μ +σ )-F(μ -σ )=0.8413-0.1587=0.6826 -1.84σ ,μ +1.84σ )=F(μ +1.84σ )-F(μ -1.84σ )=0.9342 -2σ ,μ +2σ )=F(μ +2σ )-F(μ -2σ )=0.954 -3σ ,μ +3σ )=F(μ +3σ )-F(μ -3σ )=0.997

对于正态总体 N (?, ? 2 ) 取值的概率:

68.3%
x

95.4%
x

99.7%
x







在区间(μ -σ ,μ +σ ) 、 (μ -2σ ,μ +2σ ) 、 (μ -3σ ,μ +3σ )内取值的概率分别为 68.3%、 95.4%、99.7% 因此我们时常只在区间(μ -3σ ,μ +3σ )内研究正态总体分布情况,而忽略其中 很小的一部分
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例 3.某正态总体函数的概率密度函数是偶函数,而且该函数的最大值为 区间(-1.2,0.2)之间的概率

1 2?

,求总体落入

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解:正态分布的概率密度函数是 f ( x) ?

1 2? ?

e

?

( x?? )2 2? 2

, x ? (??,??) ,它是偶函数,说明μ

=0, f ( x) 的最大值为 f ( ? ) =

1 2? ?

,所以σ =1,这个正态分布就是标准正态分布

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P(?1.2 ? x ? 0.2) ? ?(0.2) ? ?(?1.2) ? ?(0.2) ? [1 ? ?(1.2)] ? ?(0.2) ? ?(1.2) ? 1
巩固练习:书本第 74 页 1,2,3

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寿阳一中 课后作业: 书本第 75 页 习题 2. 4 A 组 1 , 2 B 组 1 , 2 教学反思: 1.在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布 在上一节课我们研究了当样本容 量无限增大时, 频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线, 总体密度曲线较科学地反映了总 体分布 但总体密度曲线的相关知识较为抽象,学生不易理解,因此在总体分布研究中我们选择正 态分布作为研究的突破口 正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布 2.正态分布是可以用函数形式来表述的 其密度函数可写成:
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? 1 f ( x) ? e 2??

( x ? ? )2 2? 2

, x ? (??, ??) , (σ >0)

由此可见,正态分布是由它的平均数μ 和标准差σ 唯一决定的 常把它记为 N (?, ? 2 )
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3.从形态上看,正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线,其对称轴为 x=μ ,并在 x=μ 时取 最大值 从 x=μ 点开始,曲线向正负两个方向递减延伸,不断逼近 x 轴,但永不与 x 轴相交,因此 说曲线在正负两个方向都是以 x 轴为渐近线的 4.通过三组正态分布的曲线,可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征。由于正 态分布是由其平均数μ 和标准差σ 唯一决定的,因此从某种意义上说,正态分布就有好多好多,这 给我们深入研究带来一定的困难 但我们也发现,许多正态分布中,重点研究 N(0,1) ,其他的正
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态分布都可以通过 F ( x) ? ? ( 密度函数为 F ( x) ?

x??

?

) 转化为 N(0,1) ,我们把 N(0,1)称为标准正态分布,其

1 2?

e

1 ? x2 2

,x∈(-∞,+∞) ,从而使正态分布的研究得以简化。结合正态曲

线的图形特征,归纳正态曲线的性质 正态曲线的作图较难,教科书没做要求,授课时可以借助几 何画板作图,学生只要了解大致的情形就行了,关键是能通过正态曲线,引导学生归纳其性质。
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