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高中数学选修2-1新教学案:第一章常用逻辑用语小结与复习

2-1

第一章 常用逻辑用语 小结与复习(学案)

【知识归类】 1.命题:能够判断真假的陈述句. 2. 四种命题的构成:原命题:若 p 则 q ;逆命题:若 q 则 p ;否命题:若 ? p 则 ? q ;逆否 命题: 若 ? q 则 ? p . 一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下关系: 原命题为真,它的逆命题 . 原命题为真,它的否命题 原命题为真,它的逆否命题 . 逆命题为真,它的否命题 原命题与逆否命题互为逆否命题,它们的真假性是 . 逆命题与否命题互为逆否命题,它们同真同假. 3. 充分条件与必要条件: p ? q : p 是 q 充分条件; q 是 p 必要条件; . .

p ? q : p是q的充分必要条件,简称充要条件 .
4. 逻辑联接词: “且”“或”“非”分别用符号“ ? ” ? ” ? ”表示,意义为: 、 、 “ “ 或:两个简单命题至少一个成立;且:两个简单命题都成立;非:对一个命题的否定. 按要求写出下面命题构成的各复合命题,并注明复合命题的“真”与“假”. p :矩形有外接圆; q : 矩形有内切圆.

p或q : p且q :
非p: 5. 全称量词与全称命题: 常用的全称量词有: “所有的” 、 “任意的” 、 “每一个” 、 “一切” 、 “任给”等,并用符号“ ? ”表示.含有全称量词的命题叫全称命题. 6. 存在量词与特称命题:常用的存在量词有: “存在一个”“至少有一个”“有些” 、 、 、 “有的”“某个”等,并用符号“ ? ”表示.含有存在量词的命题叫特称命题. 、 7. 对常用的正面叙述的词语填上它们的否定词语: 正面词语 否定词语 正面词语 否定词语 8. 反证法的逻辑基础: (1) p 与 ? p 的真假相异,因此,欲证 p 为真,可证 ? p 为假,即将 ? p 作为条件进行推 理,如果导致矛盾,那么 ? p 必为假,从而 p 为真. (2) “ 若p, 则q ”与“ 若?q则?p ”等价.欲证“ 若p, 则q ”为真,可由假设“ ? q ” 所有的 任意两个 至多有一个 至少有一个 至多有 n 个 等于= 大于(>) 小于(<) 是 都是 任意的

来证明“ ? p ”,即将“ ? q ”作为条件进行推理,导致与已知条件 p 矛盾. (3)由“ 若p, 则q ”的真假表可知, 若p, 则q ”为假,当且仅当 p 真 q 假,所以我 “ 们假设“ p 真 q 假” ,即从条件 p 和 ? q 出发进行推理,如果导致与公理、定理、定义矛盾, 就说明这个假设是错误的,从而就证明了“ 若p, 则q ”是真命题. 后两条的逻辑基础,可以概括成一句话:“否定结论,推出矛盾”. 【题型归类】 题型一:四种命题之间的关系 例1 ,则 命题 “ 若a2 ? b2 ? 0(a、b ?R) a=b=0 ”的逆否命题是( ).

(A) 若 a ? b ? 0 (a,b ? R),则 a 2 ? b 2 ? 0
2 2 (B) 若 a=b ? 0 (a,b ? R),则 a ? b ? 0
2 2 (C) 若 a ? 0且b ? 0 (a,b ? R),则 a ? b ? 0

2 2 (D) 若 a ? 0或b ? 0 (a,b ? R),则 a ? b ? 0

题型二:充分、必要条件题型 例 2 “ ? , ? , ? 成等差数列 ”是“等式 sin(? +? )=sin2? 成立 ”的 ( (A)充分而不必要条件 (C)充要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分有不必要的条件 ).

变式练习: a ? 1 ”是“ 对任意的正数x, 2 x ? “ (A)充分而不必要条件 (C)充要条件 例 3 已知p : ?2 ? 1 ?

a ? 1 ”的 x



).

(B)必要而不充分条件 (D)既不充分有不必要的条件

x ?1 ? 2; q : x 2 ? 2 x ? 1 ? m 2 ? 0(m ? 0) , ? p 是 ? q 的必要但 若 3

不充分条件,求实数 m 的取值范围. 题型三:复合命题真假的判断 例4 已知 p : 方程x2 ? mx ? 1 ? 0有两个不等的负实数根;

q :方程 4x2 ? 4 ? m ? 2? x ? 1 ? 0 无实根, 若p或q为真,p且q为假, m 的取值范 求
围. 变式练习:设有两个命题, p :不等式 x ? x ? 1 ? a 的解集为 R, q :函数 f ( x) ?

? ? 7 ? 3a ? 在 R 上是减函数,如果这两个命题中有且只有一个真命题,则 a 的取值范围
x

是 . 题型四:全称命题、特称命题 例 5 设 A, B 为两个集合,下列四个命题:

(1) A ? B ? ?x ? A, 有x ? B
(3) A ? B ? B ? A

(2) A ? B ? A ? B ? ? (4) A ? B ? ?x ? A使得x ? B

其中真命题的序号为 . 变式练习:下列命题中,既是真命题又是特称命题的是
? (A) 有一个? 使si n 90 ? ? ? sin ?

(

).

?

?

(B) 存在实数x,使 sin x ?

?
2

? (C) 对一切? ,sin 180 ? ? ? sin ?

?

?

(D) sin15 ? sin 60 cos 45 ? cos 60 sin 45 题型五:综合应用

?

?

?

?

?

例 6 已知关于 x 的实系数二次方程 x ? ax ? b ? 0 有两个实数根 ? , ? .证明:
2

? ?2



? ? 2是2 ? ? 4 ? b且 b ? 4 的充要条件.

【思想方法】 1.数学思想:本部分用到的数学思想有:划归思想,分类讨论思想亦即否定思想. 2.数学方法:本部分用到的数学主要是反证法,否定一个命题经常通过 “举反例” 来说明.

1.对任意实数给出下列命题: (1) a ? b ”是“ ac ? bc ”的充要条件; “ (2) a ? 5 是无理数”是“ a 是无理数”的充要条件; “
2 2 (3) a ? b ”是“ a ? b ” 的充分条件; “

(4) a ? 5 ”是“ a ? 3 ”的必要条件 “ 其中真命题的个数是 ( A ) 1 ( ). ( D ) 4 ( )

(B) 2

( C ) 3

2. “ x ? y ”是“ x ? y ”的 ( A )充分不必要条件 ( C )充要条件 3.设 a ?R 则 a ? 1是

( B ) 必要不充分条件 ( D ) 既不充分也不必要条件

1 ?1 的 a

( ( B ) 必要不充分条件 ( D ) 既不充分也不必要条件



( A )充分不必要条件 ( C )充要条件

4. “ x ? 5 ”的一个必要不充分条件是 ( A )x ?6 ( C )x?6
? 5.在 ?ABC中, “ A>30 ”是“ sin A ?

( (B) x?3 ( D ) x ? 100



1 2

”的

( ( B ) 必要不充分条件 ( D ) 既不充分也不必要条件 (



( A )充分不必要条件 ( C )充要条件

6. 设 M , N 是两个集合,则“ M ? N ? ? ”是“ M ? N ? ? ”的

)

( A )充分不必要条件 ( B ) 必要不充分条件 ( C )充要条件 ( D ) 既不充分也不必要条件 7. 已知命题 p : 所有有理数都是实数,命题 q : 正数的对数都是负数,则下列命题中为 真命题的是 ( A ) ? ?p ? ? q ( B )p?q C ) ? ?p ? ? ? ?q ? ( ( D ) ? ?p ? ? ? ?q ? )

2 8. 已知命题:对任意的实数 x ,若 x ? 2 则 x ? 4 .写出它的逆、否、逆否命题,并判

断其真假. 9.已知命题:矩形的对角线相等. (1)写出这个命题的否命题,并判断真假; (2)写出这个命题的否定,并判断真假. 10.已知方程 x ? ? 2k ?1? x ? k ? 0 ,求使方程有两个大于 1 的实数根的充要条件.
2 2

2-1

第一章 常用逻辑用语 小结与复习(教案)

【知识归类】 1.命题:能够判断真假的陈述句. 2. 四种命题的构成:原命题:若 p 则 q ;逆命题:若 q 则 p ;否命题:若 ? p 则 ? q ;逆否 命题: 若 ? q 则 ? p . 一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下关系: 原命题为真,它的逆命题 真假不一定 . 原命题为真,它的否命题 真假不一定 . 原命题为真,它的逆否命题 真命题 . 逆命题为真,它的否命题 真命题 . 原命题与逆否命题互为逆否命题,它们的真假性是同真同假 . 逆命题与否命题互为逆否命题,它们同真同假. 3. 充分条件与必要条件: p ? q : p 是 q 充分条件; q 是 p 必要条件;

p ? q : p是q的充分必要条件,简称充要条件 .
4. 逻辑联接词: “且”“或”“非”分别用符号“ ? ” ? ” ? ”表示,意义为: 、 、 “ “ 或:两个简单命题至少一个成立;且:两个简单命题都成立;非:对一个命题的否定. 按要求写出下面命题构成的各复合命题,并注明复合命题的“真”与“假”. p :矩形有外接圆; q : 矩形有内切圆.

p或q : 矩形有外接圆或内切圆 (真) p且q : 矩形有外接圆且有内切圆 (假)
非 p : 矩形没有外接圆 (假) 5. 全称量词与全称命题: 常用的全称量词有: “所有的” 、 “任意的” 、 “每一个” 、 “一切” 、 “任给”等,并用符号“ ? ”表示.含有全称量词的命题叫全称命题. 6. 存在量词与特称命题:常用的存在量词有: “存在一个”“至少有一个”“有些” 、 、 、 “有的”“某个”等,并用符号“ ? ”表示.含有存在量词的命题叫特称命题. 、 7. 对常用的正面叙述的词语填上它们的否定词语: 正面词语 否定词语 等于= 不等于 ? 大于(>) 不大于 ? 小于(<) 不小于 ? 是 不是 都是 不都是 某个 任意的

正面词语

所有的

任意两个

至多有一个

至少有一个

至多有 n 个

否定词语

某些

某两个

至少有两个

一个也没有

至少有 n+1 个

8. 反证法的逻辑基础: (1) p 与 ? p 的真假相异,因此,欲证 p 为真,可证 ? p 为假,即将 ? p 作为条件进行推 理,如果导致矛盾,那么 ? p 必为假,从而 p 为真. (2) “ 若p, 则q ”与“ 若?q则?p ”等价.欲证“ 若p, 则q ”为真,可由假设“ ? q ” 来证明“ ? p ”,即将“ ? q ”作为条件进行推理,导致与已知条件 p 矛盾. (3)由“ 若p, 则q ”的真假表可知, 若p, 则q ”为假,当且仅当 p 真 q 假,所以我 “ 们假设“ p 真 q 假” ,即从条件 p 和 ? q 出发进行推理,如果导致与公理、定理、定义矛盾, 就说明这个假设是错误的,从而就证明了“ 若p, 则q ”是真命题. 后两条的逻辑基础,可以概括成一句话:“否定结论,推出矛盾”. 【题型归类】 题型一:四种命题之间的关系 例1

命题 “ 若a2 ? b2 ? 0(a、b ?R) a=b=0 ”的逆否命题是( D ). ,则

(A) 若 a ? b ? 0 (a,b ? R),则 a 2 ? b 2 ? 0 (B) 若 a=b ? 0 (a,b ? R),则 a 2 ? b 2 ? 0 (C) 若 a ? 0且b ? 0 (a,b ? R),则 a 2 ? b 2 ? 0
2 2 (D) 若 a ? 0或b ? 0 (a,b ? R),则 a ? b ? 0

【审题要津】命题结论中的 a=b=0 如何否定是关键. 解: a=b=0 是 a=0且b=0 ,否定时“且”应变为“或”,所以逆否命题为:

若 a ? 0或b ? 0 (a,b ? R),则 a2 ? b 2 ? 0 ,故应选 D
【方法总结】一个命题结论当条件,条件作结论得到的命题为原命题的逆否命题. 题型二:充分、必要条件题型 例 2 “ ? , ? , ? 成等差数列 ”是“等式 sin(? +? )=sin2? 成立 ”的 ( A ). (A)充分而不必要条件 (C)充要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分有不必要的条件

【审题要津】 ? , ? , ? 成等差数列 ,说明 ? ? ? ? 2? ,问题的关键是由两个角的正弦 值相等是否一定有两个角相等. 解: 由 ? , ? , ? 成等差数列 ,所以 ? ? ? ? 2 ? ,所以 sin( + )=sin2 成立 ,充分; ? ? ? 反之,由 sin(? +? )=sin2? 成立 ,不见得有 ? , ? , ? 成等差数列 ,故应选 A. 【方法总结】p ? q : p 是 q 充分条件; q 是 p 必要条件,否则: p 是 q 的不充分条件; q 是 p 不必要条件.

变式练习: a ? 1 ”是“ 对任意的正数x, 2 x ? “ (A)充分而不必要条件 (C)充要条件 例 3 已知p : ?2 ? 1 ?

a ? 1 ”的 x

( A ).

(B)必要而不充分条件 (D)既不充分有不必要的条件

x ?1 若 ? 2; q : x 2 ? 2 x ? 1 ? m 2 ? 0(m ? 0) , ? p 是 ? q 的必要但 3

不充分条件,求实数 m 的取值范围. 【审题要津】命题 p , q 可以化的更简,由 ? p 和 ? q 的关系可以得到 p 与 q 的关系,利 用集合的理论方法将问题解决. 解: 由 x 2 ? 2 x ? 1 ? m2 ? 0 得: 1 ? m ? x ? 1 ? m,(m ? 0) ,

??q : A ? ? x x ? 1 ? m或x ? 1 ? m, m ? 0? .

?由-2 ? 1 ?

x ?1 ? 2得 ? 2 ? x ? 10,??p : B ? ? x x ? ?2或x ? 10? . 3

由 ? p 是 ? q 的必要但不充分条件知: p 是 q 的充分但不必要条件,即 B ? A 于是:

?m ? 0 ? ?1 ? m ? ?2 解得0<m ? 3为所求 . ?1 ? m ? 10 ?
【方法总结】利用集合作为逻辑演绎的一个方法,体现了集合的应用,能把各种关系清 楚地描绘出来. 题型三:复合命题真假的判断 例4 已知 p : 方程x2 ? mx ? 1 ? 0有两个不等的负实数根;
2 q: 方程 4x ? 4 ? m ? 2? x ? 1? 0无实根, 若p或q为真,p且q为假, m 的取值范 求

围. 【审题要津】把两个方程化简,然后根据 p或q及p且q 列不等式组,方可求 m 的取值 范围. 解: p : ?

?? ? m2 ? 4 ? 0, ?m ? 0
2

解得m ? 2;

q : ? ? 16 ? m ? 2 ? ? 16 ? 16 ? m2 ? 4m ? 3? ? 0解得1 ? m ? 3.

? p或q及p且q ,? p为真,q为假或p为假,q为真,

?m ? 2, ?m ? 2, 即? 或? 解得m ? 3或1 ? m ? 2 ?m ? 1或m ? 3 ?1 ? m ? 3.
【方法总结】此题是方程与命题的综合题,涉及到一元二次方程的判别式和根与系数的 关系,一元二次不等式及不等式组、集合的补集、 p或q及p且q 两类复合命题的真假判断.

变式练习:设有两个命题, p :不等式 x ? x ? 1 ? a 的解集为 R, q :函数 f ( x) ?

? ? 7 ? 3a ? 在 R 上是减函数,如果这两个命题中有且只有一个真命题,则 a 的取值范围是
x

1? a ? 2.
题型四:全称命题、特称命题 例 5 设 A, B 为两个集合,下列四个命题:

(1) A ? B ? ?x ? A, 有x ? B
(3) A ? B ? B ? A 其中真命题的序号为 (4) .

(2) A ? B ? A ? B ? ? (4) A ? B ? ?x ? A使得x ? B

【审题要津】根据子集的概念,通过举反例加以排除假命题. 解: 若A ? ?1 2,,B ? ?1 2, ,满足A ? B,但 ? A且 ? B,A ? B ? ?1 2? , ,3? ,4? 1 1 , 所以(1),(2)是假命题; 若A ? ?1 2, ,B ? ?1 ,满足A ? B但B ? A ,所以(3)是假 ,4? ? 命题,只有(4)为真命题. 【方法总结】全称命题通过“举反例”来否定. 变式练习:下列命题中,既是真命题又是特称命题的是
? (A) 有一个? 使si n 90 ? ? ? sin ?

( A ).

?

?

(B) 存在实数x,使 sin x ?

?
2

? (C) 对一切? ,sin 180 ? ? ? sin ?

?

?

(D) sin15 ? sin 60 cos 45 ? cos 60 sin 45 题型五:综合应用

?

?

?

?

?

例 6 已知关于 x 的实系数二次方程 x ? ax ? b ? 0 有两个实数根 ? , ? .证明:
2

? ?2



? ? 2是2 ? ? 4 ? b且 b ? 4 的充要条件.
【审题要津】充要条件的证明题都必须从充分和必要两个方面加以证明,其中的充分性

是由条件推出结论,从题目的叙述中可以看出,

? ? 2 且 ? ? 2是 条 件 ,

2 ? ? 4 ? b且 b ? 4 是结论,由于二次方程的根由相应的二次函数的图象与 x 轴的交点直
观的表示出来,因此可以其直观性帮助解题。 证明: (1)充分性:由韦达定理得 b ? ? ? ? ? ?? ? 2 ? 2 ? 4 . ?

设 f ( x) ? x2 ? ax ? b , 则 函 数 f ( x ) 的 图 象 是 开 口 向 上 的 抛 物 线 , 又

? ? 2 , ? ? 2 ,? f (?2) ? 0 .即有 4 ? 2a ? b ? 0 , 4 ? 2a ? b ? 0
联立解得 2 a ? 4 ? b . (2)必要性: 由 2 a ? 4 ? b ? f (?2) ? 0 且 f ( x ) 的图象是开口向上的抛物线,? 方 程 f ( x) ? 0 的两根 ? , ? 同在 (?2, 2) 内或无实根. ?? , ? 是方程 f ( x) ? 0 的根, ?? , ? 同在 (?2, 2) 内,即 ? ? 2 且

? ? 2.

【方法总结】 从本题的要求看,需首先判定条件的充分性和必要性,判定的一般步骤是(1) 先分清条件与结论,(2)进行互推,(3)根据定义下结论. 【思想方法】 1.数学思想:本部分用到的数学思想有:划归思想,分类讨论思想亦即否定思想. 2.数学方法:本部分用到的数学主要是反证法,否定一个命题经常通过 “举反例” 来说明.

1.对任意实数给出下列命题: (1) a ? b ”是“ ac ? bc ”的充要条件; “ (2) a ? 5 是无理数”是“ a 是无理数”的充要条件; “
2 2 (3) a ? b ”是“ a ? b ” 的充分条件; “

(4) a ? 5 ”是“ a ? 3 ”的必要条件 “ 其中真命题的个数是 ( A ) 1 ( B ). ( D ) 4 ( B ). ( B ) 必要不充分条件 ( D ) 既不充分也不必要条件 ( A ). ( B ) 必要不充分条件 ( D ) 既不充分也不必要条件 ( B ). x?3 (B) ( D ) x ? 100

(B) 2

( C ) 3

2. “ x ? y ”是“ x ? y ”的 ( A )充分不必要条件 ( C )充要条件 3.设 a ?R 则 a ? 1是 ( ( 4. ( (

1 ?1 的 a

A )充分不必要条件 C )充要条件 “ x ? 5 ”的一个必要不充分条件是 A )x ?6 C )x?6
?

5.在 ?ABC中, “ A>30 ”是“ sin A ? ( A )充分不必要条件

1 2

”的 ( B ) 必要不充分条件

( B ).

( C )充要条件

( D ) 既不充分也不必要条件 (B).

6. 设 M , N 是两个集合,则“ M ? N ? ? ”是“ M ? N ? ? ”的

( A )充分不必要条件 ( B ) 必要不充分条件 ( C )充要条件 ( D ) 既不充分也不必要条件 7. 已知命题 p : 所有有理数都是实数,命题 q : 正数的对数都是负数,则下列命题中为 真命题的是 ( A ) ? ?p ? ? q ( B )p?q C ) ? ?p ? ? ? ?q ? ( D ). ( D ) ? ?p ? ? ? ?q ?

2 8. 已知命题:对任意的实数 x ,若 x ? 2 则 x ? 4 .写出它的逆、否、逆否命题,并判

断其真假.
2 解: 逆命题: ?x ? R, 若x >4则x>2 (假) 2 否命题: ?x ? R, 若x ? 2则x ? 4 (假) 2 逆否命题: ?x ? R, 若x ? 4则x ? 2 (假)

9.已知命题:矩形的对角线相等. (1)写出这个命题的否命题,并判断真假; (2)写出这个命题的否定,并判断真假. 解: (1)先将命题改写成“ 若p则q ”的形式:若四边形是矩形,则它的对角线相等. 否命题:若四边形不是矩形,则它的对角线不相等(假). 这是一个全称命题,所以它的否定是:有些矩形的对角线不相等(假). 10.已知方程 x ? ? 2k ?1? x ? k ? 0 ,求使方程有两个大于 1 的实数根的充要条件.
2 2

解:令 f ( x) ? x ? ? 2k ?1? x ? k ,方程有两个大于 1 的实数根
2 2

1 ? ?? ? ? 2k ? 1?2 ? 4k 2 ? 0, ?k ? , 4 ? ? 1 ? 2k ? 1 ? ? ?? ? 1, 即 ?k ? ? . 2 2 ? ? ? f (1) ? 0, ?k ? ?2或k ? 10. ? ? ?
所以其充要条件为 k ? ?2.


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