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高中数学正弦、余弦定理知识点详解,应用解答。配套习题

正弦定理和余弦定理
第一部分 知识梳理

1.正弦定理:

a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C

正弦定理可以解决两类解三角形问题 (1)已知两角和任一边,求另两边和另一脚 (2)已知两边和其中一边的对角,求其它边和角 2.利用正弦定理确定三角形解的情况 已知三角形两边和其中一条边的对角, 利用正弦定理求其他边和角时, 要注意对解的情况 进行判断,这类问题往往有一解、两解、无解三种情况
已知边a,b和?A
C a A H a<CH=bsinA 无解 B a=CH=bsinA 仅有一个解 b a A b a B1 H a A B2 a?b H B C b C a

C b A

CH=bsinA<a<b 有两个解

仅有一个解

? b2 ? c2 ? a 2 , ?cos A ? 2bc ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A, ? 2 2 2 a ?c ?b ? 2 ? 2 2 , 3.余弦定理: ?b ? a ? c ? 2ac cos B, ? ?cos B ? 2 2 2 2ac c ? a ? b ? 2 ab cos C . ? ? 2 2 2 ? ? cos C ? a ? b ? c . ? 2ab ?
余弦定理可以解决两类解三角形问题 (1)已知三角形的三边求三角形三角 (2)已经三角形的两边及其夹角解三角形第三边及其余两角 4.三角形的面积公式:

1 1 1 aha= bhb= chc(ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 上的高) 2 2 2 1 1 1 (2) S ? = absinC= bcsinA= acsinB; 2 2 2
(1) S ? = 第二讲 精讲点拨

考点 1 正弦定理 (1) ① 有关正弦定理的叙述: ① 正弦定理只适用与锐角三角形 ② 正弦定理不适用 与直角三角形 ③在某一确定的三角形中,各边与它所对角的正弦的比是一定值 ④ 在 ?ABC 中, a : b : c ? sin A : sin B : sin C ,其中正确的个数是( )
1

A.

1

B. 2
2

C. 3
2 2

D 4 )

② 在 ?ABC 中,已知 a ? b ? c ? bc ,则角 A 为(

A 60?
考点 2

B

120?

C 30?

D 60? 或 120?

正、余弦定理在解三角形中的应用
?
?

(2) ① 在 ?ABC 中,已知 c ? 10. A ? 45 , C ? 30 ,解这个三角形。 ② 在 ?ABC 中,已知 a ?

2 , b ? 2 , A ? 30? ,解这个三角形。

③ 已知在 ?ABC 中, a ? 7 , b ? 3 , c ? 5 ,求最大角和 sin C ④ 已知在 ?ABC 中, a ? 2, b ? 2 2, C ? 15? ,求 A

考点 3 利用正弦定理确定三角形解情况
? (3) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c ,a ? 4 , A ? 30 ,b ? x ?x ? 0? ,

判断此三角行的解的个数

考点 4 利用正、余弦定理判断三角形的形状 (4)① 在 ?ABC 中,已知 a tan B ? b tan A ,试判断三角形的形状。
2 2

② 已知 ?a ? b ? c ??a ? b ? c ? ? 3ab 且 2 cos A sin B ? sin c ,试判断此三角形的形 状。

2

考点 5 正、余弦定理与其它知识的综合运用 (5) 设函数 f ( x) ? m ? n ,其中向量 m ? (2 cos x,1), n ? cos x, 3 sin 2x ?x ? R? ① 求 f ( x) 的最小正周期与单调递减区间、

?

?

C 的对边, b ? 1, ?ABC a, b, c 分别是叫 A 、 ② 在 ?ABC 中, 已知 f ? A? ? 2 , B、
的面积为

b?c 3 ,求 的值 sin B ? sin C 2

第三部分 一、 选择题
1.已知△ABC 中,a=4,b=4 A.30° C.60° 2.在 ?ABC 中, a A. 9

精讲点拨、

3 ,∠A=30°,则∠B 等于(

)

B.30°或 150° D.60°或 120

? 6 , B ? 30
B. 18

?

,C

? 120 ,则 ?ABC 的面积是(
?



C. 9 )

3

D. 18

3

3.不解三角形,下列判断正确的是( A. a C. a 4

? 7 , b ? 14 , A ? 30? ,有两解 ? 6 , b ? 9 , A ? 45? ,有两解

B. a D. b

? 30 , b ? 25 , A ? 150? ,有一解

? 9 , c ? 10 , B ? 60? ,无解
) D. )

已知锐角三角形三边分别为 3,4,a,则 a 的取值范围为( A. 1 ?

a?5

B. 1 ?

a?7

C.

7 ?a?5

7 ?a?7

5.在 ?ABC 中,若 sin B sin C A.等腰三角形

? cos 2

A ,则 ?ABC 是( 2

B.直角三角形

C.等边三角形

D.等腰直角三角形

6. 在 ?ABC 中, ?A =60 ,AB=2,且 S?ABC
0

?

3 2

,则 BC 边的长为(



A.

3

B.3

C.

7

D. )

7.在 200 米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 30° 、60° ,则塔高为(

3

?A.

400 3

米?

B.

400 3 米 3
?

C. 200

3 米?

D. 200 米 )

8.如果满足 ?ABC ? 60 , A. k

AC ? 12 , BC ? k 的△ABC 恰有一个,那么 k 的取值范围是(
? k ? 12
C. k

?8 3

B. 0

? 12

D. 0

? k ? 12 或 k ? 8 3

二、填空题 9.在△ABC 中,已知 AB=4,AC=7,BC 边的中线 AD ?

7 ,那么 BC= 2
?

10.一船以每小时 15km 的速度向东航行,船在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东 60 ,行驶4h 后,船到达 C 处,看到这个灯塔在北偏东 15 ,这时船与灯塔的距离为 三、解答题: 11. 在
?

km.

?ABC

中,

a , b, c

分别是角

A,B

,

C

所对边的长,

S



?ABC

的面积.已知

S ? a 2 ? (b ? c)2 ,求 tan A 的值.

12.在△ABC 中,求证:

a b cos B cos A ? ? c( ? ) b a b a

13. 在 ?ABC 中,已知角 (1)求角 C 的大小; (2)如果 0 ?

A , B , C 的对边分别是 a , b , c ,且 a2 ? b2 ? c2 ? 3ab .
? 2 cos 2 A ? sin B ? 1 ,求实数 m 的取值范围. 2

A?

2? 3

,m

4


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