当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学第二章圆锥曲线与方程章末综合检测苏教版选修11

第二章 圆锥曲线与方程

(时间:120 分钟;满分:160 分) 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.把答案填在题中横线上)

y2 1.椭圆 + =1 的焦距为 6,则 k 的值为________. 20 k 2 解析:由已知 2c=6,∴c=3,而 c =9,∴20-k=9 或 k-20=9,∴k=11 或 k=29.
答案:11 或 29 2 2 2.双曲线 mx +y =1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m=________. 解析:由题意知,m<0,双曲线 mx +y =1 化为标准形式 y - =1,故 a =1,b =- 1 -
2 2 2

x2

x2

2

2

m

1

m

,所以 a=1,b= 1 答案:- 4

1 - ,则由 2

m

1 1 - =2×2,解得 m=- . m 4

3.在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为 2,焦点到相应准线的距离为 1,则 该椭圆的离心率为________.

x2 y2 解 析 : 不 妨 设 椭 圆 方 程 为 2 + 2 = 1(a>b>0) , 则 有 a b
2

? ?a= 2 ?a ? ? c -c=1
2b
2

2

,即

2b ? ? a = 2, ① ?b ? ? c =1, ②
2

①÷②得 e= 答案: 2 2
2 2

2 . 2

4.与 x -4y =1 有相同的渐近线,且过 M(4, 3)的双曲线方程为________. 解析:设方程为 x -4y =λ (λ ≠0),将 M(4, 3)代入方程得 λ =4,所以方程为 - 4 y2=1. 答案: -y =1 4 2 2 5.已知双曲线 3x -y =9,则双曲线右支上的点 P 到右焦点的距离与点 P 到右准线的 距离之比等于________. 解析:即求离心率,双曲线化为标准方程 - =1, 3 9
2 2

x2

x2

2

x2 y2

1

可知 a= 3,c= a +b = 3+9=2 3,e= = 答案:2

2

2

c 2 3 =2. a 3

6.若抛物线 y =2px 的焦点与椭圆 + =1 的右焦点重合,则 p 的值为________. 6 2 解析:椭圆 + =1 的右焦点为(2,0),而抛物线 y =2px 的焦点为( ,0),则 =2, 6 2 2 2 故 p=4. 答案:4 → → 2 7.设 O 为坐标原点,F 为抛物线 y =4x 的焦点,A 是抛物线上一点,若OA·AF=-4, 则点 A 的坐标是________. 2 y2 y2 0 0 → y0 → → → 解析:由题意得 F(1,0),设 A( ,y0),则OA=( ,y0),AF=(1- ,-y0),由OA·AF 4 4 4 =-4,解得 y0=±2,此时点 A 的横坐标为 =1,故点 A 的坐标是(1,±2). 4 答案:(1,±2) 8.设 P 是椭圆 + =1 上的任意一点,又点 Q 的坐标为(0,-4),则 PQ 的最大值为 25 16 ________. y2 9 64 2 2 2 2 2 解析:设 P 的坐标(x,y),则 PQ =x +(y+4) =25(1- )+(y+4) =- (y- ) 16 16 9 625 + (-4≤y≤4), 9 2 当 y=4 时,PQ 最大, 此时 PQ 最大,且 PQ 的最大值为 42 2 - + + =8. 16 答案:8 9.以双曲线 - =1 的右焦点为圆心,且与其渐近线相切的圆的方程是________. 9 16 4 解析:由题意知圆心坐标应为(5,0).又因为点(5,0)到渐近线 y=± x 的距离为 4, 3 2 2 所以圆的方程为 x +y -10x+9=0. 2 2 答案:x +y -10x+9=0 10.椭圆对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形,焦点到椭 圆上的点的最短距离为 3,则这个椭圆方程为________.

2

x2 y2

x2 y2

2

p

p

y2 0

x2

y2

x2

y2

? ?a-c= 3 解析:由题意知?c 1 = ? ?a 2
x2 y2 y2 x2

,解得?

?a=2 3 ?c= 3



椭圆方程为 + =1 或 + =1. 12 9 12 9 答案: + =1 或 + =1 12 9 12 9 → → → → 11.已知两点 M(-2,0),N(2,0),点 P 为坐标平面内的动点,满足|MN|·|MP|+MN·NP =0,则动点 P(x,y)的轨迹方程为________. → → → → 解析:设 P(x,y),M(-2,0),N(2,0),则MN=(4,0),|MN|=4,MP=(x+2,y),NP= (x-2,y);
2

x2

y2

y2

x2

→ → → → 由|MN|·|MP|+MN·NP=0, 得4 x+ 2+y2+4(x-2)=0, 2 化简整理得 y =-8x. 2 答案:y =-8x 12.设过点 P(x,y)的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A,B 两点,点 Q → → → → 与点 P 关于 y 轴对称, O 为坐标原点, 若BP=2PA且OQ·AB=1, 则点 P 的轨迹方程是________. 解析:设 P(x,y),则 Q(-x,y),又设 A(a,0),B(0,b),则 a>0,b>0. 3 → → → → 于是BP=(x,y-b),PA=(a-x,-y),由BP=2PA可得 a= x,b=3y,所以 x>0,y>0. 2 3 → 又AB=(-a,b)=(- x,3y), 2 3 2 → → 2 由OQ·AB=1 可得 x +3y =1(x>0,y>0). 2 3 2 2 答案: x +3y =1(x>0,y>0) 2 2 13 . 抛物线 y = x 上 存在 两 点关 于直线 y = m(x - 3) 对称 ,则 m 的取 值范 围 是 ____________. 解析:法一:设两对称点的坐标为 A(x1,y1),B(x2,y2) 1 且 AB 所在直线的方程可设为:y=- x+b,

m

代入 y =x,得 y +my-mb=0, ∴y1+y2=-m, 2 且 Δ =m +4mb>0.① 设 A、B 的中点为(x0,y0),则 y0= =- , 2 2 5 又 A、B 的中点在直线 y=m(x-3)上,所以 x0= , 2 1 又(x0,y0)在直线 y=- x+b 上.

2

2

y1+y2

m

m

1 m 5 ∴b=y0+ x0=- + , m 2 2m 2 代入①并整理得:m <10, ∴- 10<m< 10, ∴m 的取值范围是(- 10, 10). 法二:设两对称点的坐标为 A(x1,y1),B(x2,y2),且 A、B 的中点为(x0,y0),依题意, 则有:

? =x ② ?y y -y 1 =- ?x -x m ?y +y =2y ?x +x =2x y =m x - ? ?y <x ⑦
2 2 1 2 2 1 1 1 0 2 2 2 0 0 0 2 0 0

y2 1=x1



③ , ④ ⑤ ⑥

①-②得:(y1+y2)(y1-y2)=x1-x2,

3

将③④代入上式得:y0=- ,⑧ 2 5 将⑧代入⑥得:x0= ,⑨ 2 m ? ?2 5 将⑧⑨代入⑦得?- ? < , ? 2? 2 ∴m <10,∴- 10<m< 10. ∴m 的范围是(- 10, 10). 答案:(- 10, 10) 14.已知 F1,F2 为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0 且 a≠b)的两个焦点,P 为双曲线右支上 异于顶点的任意一点,O 为坐标原点.下面四个命题: ①△PF1F2 的内切圆的圆心必在直线 x=a 上; ②△PF1F2 的内切圆的圆心必在直线 x=b 上; ③△PF1F2 的内切圆的圆心必在直线 OP 上; ④△PF1F2 的内切圆必通过点(a,0). 其中真命题有________(写出所有真命题的代号). 解析:设△PF1F2 的内切圆分别与 PF1,PF2 切于点 A、B,与 F1F2 切于点 M,则 PA=PB, F1A=F1M,F2B=F2M,又点 P 在双曲线右支上,所以 PF1-PF2=2a,故 F1M-F2M=2a,而 F1M +F2M=2c,设 M 点坐标为(x,0),则由 F1M-F2M=2a 可得(x+c)-(c-x)=2a 解得 x=a, 显然内切圆的圆心与点 M 的连线垂直于 x 轴,故①④正确. 答案:①④ 二、 解答题(本大题共 6 小题, 共 90 分, 解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分 14 分)如图,一个抛物线形拱桥,当水面离拱顶 4 m 时,水面宽 8 m.
2

m

x2 y2 a b

(1)试建立坐标系,求抛物线的标准方程; (2)若水面上升 1 m,求水面宽度. 解:(1)如图,以拱顶为原点,水平线为 x 轴,建立坐标系,

设抛物线的标准方程为 x =-2py(p>0). 2 由已知条件可知,点 B 的坐标是(4,-4),代入方程,得 4 =-2p×(-4),即 p=2. 2 所以,所求抛物线标准方程是 x =-4y. 2 (2)若水面上升 1 m,则 y=-3,代入 x =-4y, 2 得 x =-4×(-3)=12,x=±2 3,所以这时水面宽为 4 3 m. 2 2 16.(本小题满分 14 分)已知双曲线过点(3,-2),且与椭圆 4x +9y =36 有相同的焦 点. (1)求双曲线的标准方程; (2)求以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程. 解:(1)把椭圆方程化为标准形式为 + =1,焦点坐标为 F1(- 5,0),F2( 5,0). 9 4

2

x2 y2

4

a2+b2=5 ? ? x2 y2 故设双曲线的标准方程为 2- 2=1(a>0,b>0),则? 9 4 a b 2- 2=1 ? ?a b
故所求双曲线的标准方程为 - =1. 3 2

?a =3 ? ,解得? 2 ?b =2 ?

2



x2 y2

3 5 (2)由(1)知双曲线的右准线方程为 x= ,即为抛物线的准线方程.故设抛物线的标 5

p 3 5 6 5 2 准方程为 y =-2px(p>0),则有 = ,故 p= . 2 5 5
12 5 2 所以抛物线的标准方程为 y =- x. 5 17.(本小题满分 14 分)已知双曲线 - =1 与点 M(5,3),F 为右焦点,试在双曲线上 9 27 1 求一点 P,使 PM+ PF 最小,并求出这个最小值. 2 3 解:双曲线的右焦点 F(6,0),离心率 e=2,右准线为 l:x= .作 MN⊥l 于 N,交双曲 2 1 1 3 7 线右支于 P,连结 FP,则 PF=ePN=2PN? PN= PF.此时 PM+ PF=PM+PN=MN=5- = 为 2 2 2 2 最小值.

x2

y2

在 - =1 中,令 y=3,x =12? x=±2 3; 9 27 又∵x>0,∴取 x=2 3. 1 7 即当所求 P 点的坐标为(2 3,3)时,PM+ PF 取最小值 . 2 2 18.(本小题满分 16 分)已知 F1,F2 是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,点 N(- → → 2,1)在椭圆上,线段 NF2 与 y 轴的交点 M 满足NM+F2M=0. (1)求椭圆 C 的方程; π (2)设 P 为椭圆 C 上一点,且∠F1PF2= ,求△F1PF2 的面积. 3 解:(1)由已知,点 N(- 2,1)在椭圆上, 2 1 ∴有 2+ 2=1,①

x2

y2

2

x2 y2 a b

a

b

→ → 又∵NM+F2M=0,M 在 y 轴上,∴M 为 NF2 的中点, 2 2 ∴- 2+c=0,c= 2.∴有 a -b =2,② 由①②,解得 b =2(b =-1 舍去),∴a =4,故所求椭圆 C 的方程为 + =1. 4 2 (2)设 PF1=m,PF2=n,
2 2 2

x2 y2

5

1 π 3 则 S△F1PF2= mnsin = mn. 2 3 4 由椭圆的定义知 PF1+PF2=2a,即 m+n=4.① π 2 2 2 2 2 2 又由余弦定理得 PF1+PF2-2PF1·PF2cos =F1F2,即 m +n -mn=(2 2) .② 3 8 2 2 由① -②,得 mn= ,∴S△F1PF2= 3. 3 3 2 19. (本小题满分 16 分)已知抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F, A 是抛物线上横坐标为 4, 且位于 x 轴上方的点,A 到抛物线准线的距离等于 5.过 A 作 AB 垂直于 y 轴,垂足为 B,OB 的中点为 M.

(1)求抛物线方程; (2)过 M 作 MN⊥FA,垂足为 N,求点 N 的坐标; (3)以 M 为圆心,MB 为半径作圆 M,当 K(m,0)是 x 轴上一动点时,讨论直线 AK 与圆 M 的位置关系. 解:(1)抛物线 y =2px 的准线为 x=- , 2 于是 4+ =5,∴p=2.∴抛物线方程为 y =4x. 2 (2)∵点 A 的坐标是(4,4),由题意得 B(0,4),M(0,2), 4 3 又∵F(1,0),∴kFA= ;MN⊥FA,∴kMN=- , 3 4 4 则 FA 的方程为 y= (x-1), 3 3 MN 的方程为 y-2=- x. 4 4 ? ?y=3 x- 解方程组? 3 ?y-2=-4x ? 8 ? ?x=5 ,得? 4 ?y=5 ?
2

p

p

2



8 4 ∴点 N 的坐标为( , ). 5 5 (3)由题意得,圆 M 的圆心是点(0,2),半径为 2. 当 m=4 时,直线 AK 的方程为 x=4,此时,直线 AK 与圆 M 相离, 4 当 m≠4 时,直线 AK 的方程为 y= (x-m), 4-m 即为 4x-(4-m)y-4m=0, |2m+8| 圆心 M(0,2)到直线 AK 的距离 d= , 2 16+ m- 令 d>2,解得 m>1. ∴当 m>1 时,直线 AK 与圆 M 相离; 当 m=1 时,直线 AK 与圆 M 相切; 当 m<1 时,直线 AK 与圆 M 相交.
6

20. (本小题满分 16 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 + =1 的左、右 9 5 顶点为 A、 B, 右焦点为 F.设过点 T(t, m)的直线 TA、 TB 与此椭圆分别交于点 M(x1, y1)、 N(x2, y2),其中 m>0,y1>0,y2<0.

x2 y2

(1)设动点 P 满足 PF -PB =4,求点 P 的轨迹; 1 (2)设 x1=2,x2= ,求点 T 的坐标; 3 (3)设 t=9,求证:直线 MN 必过 x 轴上的一定点(其坐标与 m 无关). 解:由题设得 A(-3,0),B(3,0),F(2,0). 2 2 2 (1)如图,设点 P(x,y),则 PF =(x-2) +y , 2 2 2 PB =(x-3) +y . 2 2 2 2 2 2 由 PF -PB =4,得(x-2) +y -(x-3) -y =4, 9 化简得 x= . 2 9 故所求点 P 的轨迹为直线 x= . 2 2 2 x1 y1 5 ? 5? (2)如图,由 x1=2, + =1 及 y1>0,得 y1= ,则点 M?2, ?,从而直线 AM 的方程 9 5 3 ? 3? 1 为 y= x+1; 3

2

2

1 x2 y2 20 由 x2= , + =1 及 y2<0,得 y2=- , 3 9 5 9 20? ?1 则点 N? ,- ?, 9? ?3 5 5 从而直线 BN 的方程为 y= x- . 6 2 1 y= x+1, ? ? 3 由? 5 5 y= x- , ? ? 6 2

2

2

x=7, ? ? 解得? 10 y= . ? 3 ?

? 10? 所以点 T 的坐标为?7, ?. 3? ?
(3)证明:如图,由题设知,直线 AT 的方程为 y= (x+3),直线 BT 的方程为 y= (x 12 6 -3).

m

m

7

m ? ?y =12 x + 点 M(x ,y )满足? x y ? 9 + 5 =1, ?
1 2 1 1 1 1 2 1

, 得

. 9 5 因为 x1≠-3,则 2 x1-3 m2 x1+3 240-3m =- 2· ,解得 x1= 2 , 9 12 5 80+m 40m 从而得 y1= 2. 80+m

x1-

x1+

=- 2· 12

m2

x1+

2

m ? ?y =6 x - 点 N(x ,y )满足? x y ? ? 9 + 5 =1,
2 2 2 2 2 2 2 2 2



3m -60 -20m 解得 x2= 2 ,y2= 2. 20+m 20+m 2 2 240-3m 3m -60 若 x1=x2,则由 2 = 2 及 m>0,得 m=2 10,此时直线 MN 的方程为 x=1, 80+m 20+m 过点 D(1,0). 若 x1≠x2,则 m≠2 10,直线 MD 的斜率 40m 2 80+m 10m kMD= = 2 2, 240-3m 40-m - 1 2 80+m -20m 2 20+m 10m 直线 ND 的斜率 kND= 2 = 2, 3m -60 40-m 2 -1 20+m 得 kMD=kND,所以直线 MN 过定点 D. 因此直线 MN 必过 x 轴上的定点(1,0).

8