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山东省实验中学2005—2006学年度高三第一次诊断测试


山东省实验中学 2005—2006 学年度高三第一次诊断测试 数学试卷(理)
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共计 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一个选项是符合题目要求的) 1 复数 5 的共轭复数是
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1 ? 2i





A. ? 5 ? 10 i
3 3
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B. ? 5 ? 10 i
3 3

C . 1 ? 2i

D. 1 ? 2i
( )

2 设集合 M ? y y ? x 2 , x ? R , N ? y y ? 2 ? x , x ? R ,则 M ? N ?

?

?

?

?

A. ?(1,?1), (?1,?1)? B. ? 1,?1?
3 已知 f ( x ? 1) ?
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C. ?y 0 ? y ? 2?

D. ?y y ? 0?
( )

x ,则 f x ?1

?1

( x ? 1) 的解析式是
C. ?
1? x x

A. x
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1? x

B. ? 1

x

D. x ? 1
x

4 设函数 f ( x) 的定义域为 ( 2,6) ,则 f ( x 2 ? x) 的定义域是





A. (2,6) C. (?3,2)
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B. (??,?2) ? (1,??) D. (?3,?2) ? (1,2)

5 若函数 f ( x) 同时满足(i)有反函数(ii)是奇函数(iii)定义域与值域相同,则 f ( x) 的 解析式可能是 ( )

A. f ( x) ? ? x 3
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B. f ( x) ? 1 ? x 3

x ?x C. f ( x) ? e ? e

2

D. f ( x) ? lg

1? x 1? x
( )

6 当 ? 1 ? x ? 1 时,函数 f ( x) ? ax ? 2a ? 1 的值有正有负,则 a 的取值范围是 A a??
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1 3

B a ? ?1
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C ?1 ? a ? ?
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1 3

DR
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7 已知偶函数 f ( x) ? loga | x ? b | 在 (0,??) 上是减函数,则 f (b ? 2)与f (a ? 1) 的大小关系
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是 A f (b ? 2) ? f (a ? 1)
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( B f (b ? 2) ? f (a ? 1)
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C f (b ? 2) ? f (a ? 1)
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D 不能确定
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8 集合 A ? {x || x ? 2 |? 3, x ? R} , B ? {x | x 2 ? (1 ? a) x ? a ? 0, x ? R} ,若 B ? A ,则实
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数 a 的取值范围是 A [?1,5]
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( B (?1,5)
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C [?1,5)
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D (?1,5]
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9 对任意 x ? R , 有 f ( x) ?
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A

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1 16

1 f ( x ? 1) ,x ? [0,1] 时, f ( x) ? x(1 ? x) ,则 f (?1.5) ?( 2 1 1 15 B C D? 8 4 4
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10 函数 f ( x) ? e x?1 (?1 ? x ? 0) 的反函数是
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A. f C. f
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?1

( x) ? 1 ? ln x( x ? 0) ( x) ? 1 ? ln x(1 ? x ? e)

B. f D. f

?1

( x) ? ?1 ? ln x( x ? 0) ( x) ? ?1 ? ln x(1 ? x ? e)
1 2

?1

?1

11 如果函数 f ( x) ? loga ( x 3 ? ax) (a ? 0, a ? 1) 在区间 (? ,0) 内单调递增, 则实数 a 的范围 是 ( )

1 A. [ ,1) 4
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3 B. [ ,1) 4

9 C. (? ,?? ) 4

9 D. (1, ) 4

12 设定义域为 R 的函数 f ( x) ? ? 数是

?| lg | x ? 1 ||, x ? 1 , 则方程 f ( x) ? 2006的不同实数解的个 0, x ?1 ?
( )

A. 0

B. 2

C. 3

D. 4

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13 已知集合 A ? ? 1,2,3,4,5?,对应法则 f : x ? ( x ? 3) 2 ? 1 ,设集合 B 为 A 中的元素在 f 作
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用下的像集合,则 B = 14 函数 y ? ln(x ?
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x 2 ? 1 )的反函数的奇偶性是

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15 设函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,并且 f ( x ) 的图象关于直线 x ? 1 成轴对称,那么表 2
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达式 f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f (5) ? ________________ 16 函数 y ?
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log 0.5 (4 x 2 ? 3 x) 的定义域为_________________

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三、解答题(本题共 6 小题 74 分,应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤)

17 解关于 x 的不等式 x ? (a ?
2
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1 ) x ? 1 ? 0 ( a ? 0, a ? R ) a

18 已知函数 f ? x ? ?
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4x2 ? 7 , x ??0, 1? ,求 f ? x ? 的值域 2? x

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19 已知函数 f ( x) ? lg
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1? 2x ? a ? 4x ,其中 a ? R 如果当 x ? (??,1] 时, f ( x) 总有意义,求 3
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实数 a 的取值范围

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20 已知函数 f ( x) ? lg
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1? x 1? x

(Ⅰ)求证:对于 f ( x ) 的定义域内的任意两个实数 a , b ,都有 f (a ) ? f (b) ? f ( (Ⅱ)判断 f ( x ) 的奇偶性,并予以证明
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a?b ); 1 ? ab

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21 已知二次函数 f ( x ) 的二次项系数为 a ,且不等式 f ( x) ? ?2 x 的解集为 (1,3)
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(Ⅰ)若方程 f ( x) ? 6a ? 0 有两个相等的实数根,求 f ( x ) 的解析式;

(Ⅱ)若 f ( x ) 的最大值为正数,求 a 的取值范围

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22 已知 m ? R , 设命题 P :x1 和 x2 是方程 x ? ax ? 2 ? 0 的两个实根, 不等式 5m ? 3 ? x1 ? x2
2
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对任意实数 a ? [?1,1] 恒成立;Q : 函数 f ( x) ? x 3 ? mx 2 ? (m ? 4 ) x ? 6 在区间(-?,+?)上 3 有极值 求使 P 正确且 Q 正确的 m 的取值范围
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高三数学(理)参考答案
一、选择题 DCBDA CAAAD BD

1,2,5? 二、填空题 13 ?
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14 奇函数
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15 0
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16 [?
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1 3 ,0) ? ( ,1] 4 4

三、解答题 17 方程 x ? (a ?
2
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1 1 ) x ? 1 ? 0 的两个根为 a, …………………………2 分 a a

a?

1 a 2 ? 1 (a ? 1)(a ? 1) ? ? a a a
……………………………3 分

1 1 ,原不等式的解集为 ( , a ) ;…………… 6 分 a a 1 1 ②当 a ? ?1 或 0 ? a ? 1 时, a ? ,原不等式的解集为 (a, ) ;………………… 9 分 a a 1 ③当 a ? ?1 时, a ? ,原不等式的解集为 ? ……………………………………12 分 a
所以 ①当 a ? 1 或 ? 1 ? a ? 0 时, a ?
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18 解:对函数 f ? x ? 求导,得
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f ,? x ? ?
令f


?4 x 2 ? 16 x ? 7

?2 ? x?

2

??

? 2 x ? 1?? 2 x ? 7 ? ………………………………4 分 2 ?2 ? x?
……………………………6 分

? x? ? 0 解得


x1 ?

1 7 或 x2 ? 2 2

当 x 变化时, f x

? x ? 、 f ? x ? 的变化情况如下表:
0

? 1? ? 0, ? ? 2?

1 2
0

?1 ? 1? ? , ?2 ?

1

f, ? x?
f ? x?
? 7 2

?
减函数

?
增函数

?4

?3
…………………………………10 分

所以,当 x ? ? 0, ? 时, f ? x ? 是减函数;当 x ? ? , 1? 时, f ? x ? 是增函数; 所以,当 x ? [0,1] 时, f ? x ? 的值域为 ?4, ? 3 ………………12 分 19 解:原问题 ? 当 x ? (??, ,1] 时,不等式 1 ? 2 ? a ? 4 ? 0 ,…………………2 分
x x
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? ?

1? 2?

?1 ? ?2 ?

?

?

?1? 2x ?1? ?1? 即a ? ? ?? ? ? ? ? 恒成立……………………………………4 分 x 4 ? 4? ? 2?

x

x

?1? ?1? ? a 大于 ? ? ? ? ? ? 在 x ? (??, ,1] 上的最大值…………………………6 分 ? 4? ? 2? ?1? ?1? 因为函数 ? ? ? ? ? ? 在 x ? (??, ,1] 上是增函数,…………………………8 分 ? 4? ? 2?
所以最大值为
x x

x

x

3 ?1? ?1? ? ? ? ? ? ? ? ? , …………………………………………10 分 4 ?4? ? 2?
3 … 4
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所以实数 a 的范围为 a ? ?
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…………………………………………12 分

20 函数定义域为 x ? 1 ? x ? 1 ? (?1,1) …………………………………2 分
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?

?

(Ⅰ)证明: ?a, b ? (?1,1), f (a) ? f (b) ? lg

1? a 1? b (1 ? a)(1 ? b) ,…4 分 ? lg ? lg 1? a 1? b (1 ? a)(1 ? b)

? a?b ? f? ? ? lg ? 1 ? ab ?

1?

a?b 1 ? ab ? lg 1 ? ab ? a ? b ? lg (1 ? a)(1 ? b) , a?b (1 ? a)(1 ? b) 1 ? ab ? a ? b 1? 1 ? ab
? a?b ? ? ……………………………………7 分 ? 1 ? ab ?
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所以 f (a) ? f (b) ? f ?

(Ⅱ) ?x ? (?1,1), f (? x) ? f ( x) ? lg

1? x 1? x ? 1 ? x ?? 1 ? x ? ? lg ? lg? ?? ? ? lg1 ? 0 1? x 1? x ? 1 ? x ?? 1 ? x ?
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f (? x) ? ? f ( x) ,所以

f ? x ? 是奇函数 ……………………………12 分
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21 本小题主要考查二次函数、方程的根与系数关系,考查运用数学知识解决问题的能力 解: (Ⅰ)因为 f ( x ) ? 2 x ? 0 的解集为 ( 1,3 ). 所以

f ( x) ? 2 x ? a( x ? 1)(x ? 3),且a ? 0. ………………………………………2 分
2

所以 f ( x) ? a( x ? 1)(x ? 3) ? 2x ? ax ? (2 ? 4a) x ? 3a. ① 由方程 f ( x) ? 6a ? 0得ax ? (2 ? 4a) x ? 9a ? 0.
2 2



因为方程②有两个相等的根,所以 ? ? [?(2 ? 4a)] ? 4a ? 9a ? 0 , 即

5a 2 ? 4a ? 1 ? 0.

1 解得 a ? 1或a ? ? . ……………………………………4 分 5

由于 a ? 0, 舍去 a ? 1.将a ? ? 代入①得 f ( x) 的解析式

1 5

1 6 3 f ( x) ? ? x 2 ? x ? . 5 5 5
2

……………………6 分

1 ? 2a 2 a 2 ? 4 a ? 1 ) ? (Ⅱ)由 f ( x) ? ax ? 2(1 ? 2a) x ? 3a ? a( x ? a a
及 a ? 0, 可得f ( x)的最大值为?

a 2 ? 4a ? 1 . ……………………………8 分 a

? a 2 ? 4a ? 1 ? 0, ?? 由? 解得 a ? ?2 ? 3或 ? 2 ? 3 ? a ? 0. ……………11 分 a ?a ? 0, ?
故当 f ( x) 的最大值为正数时,实数 a 的取值范围是 (??,?2 ? 3) ? (?2 ? 3,0). …12 分 22 解:(1)由题设 x1 和 x2 是方程 x ? ax ? 2 ? 0 的两个实根,
2
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得 x1 + x2 = a 且 x1 x2 =-2,…………………………………………2 分 所以 | x1 ? x 2 |?

( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? a 2 ? 8
2
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当 a ?[-1,1]时, a ? 8 的最大值为 9,即 | x1 ? x2 | ?3

…………………4 分

由题意,不等式 5m ? 3 ? x1 ? x2 对任意实数 a ?[?1,1]恒成立求实数 m 的取值范围

? 求不等式 5m ? 3 ? 3 的解集 ? m ? 0
所以命题 P 真的充要条件为 m ? 0
3 2
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…………………… ……………6 分

(2)对函数 f ( x) ? x ? mx ? (m ? 令 f ' ( x) ? 0 ,即 3 x ? 2mx ? m ?
2

4 4 ) x ? 6 求导, f ' ( x) ? 3x 2 ? 2mx ? m ? 3 3
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4 ?0 3
2

………………8 分

此一元二次不等式的判别式 ? ? 4m ? 12(m ? ) ? 4m ? 12 m ? 16
2

4 3

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若?=0,则 f ' ( x) ? 0 有两个相等的实根 x0 ,且 f ' ( x ) 的符号如下:

x 的范围
f ' ( x ) 的符号

(-?, x0 ) +

x0
0

( x0 ,+?) +

因为,f( x0 )不是函数 f( x )的极值 ……………………………………………………10 分
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若?>0,则 f ' ( x) ? 0 有两个不相等的实根 x1 和 x2 ( x1 < x2 ),且 f ' ( x) 的符号如下:

x

(-?, x1 ) ?+

x1
0

( x1 , x2 ) ?-

x2
0

( x2 ,+?) +

f ' ( x) 符号

因此函数 f( x )在 x = x1 处取得极大值,在 x = x2 处取得极小值 ………………12 分
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综上所述,当且仅当?>0 时,函数 f( x )在(-?,+?)上有极值

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? ? 4m 2 ? 12m ? 16 ? 0 得 m ? ?1 ,或 m ? 4 ,
所以命题 Q 真的充要条件为 m ? ?1 或 m ? 4 ……………………………13 分
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综上,使 P 正确且 Q 正确时,实数 m 的取值范围为 (4,??) …………………14 分
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