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双曲线与方程 知识点总结 例题习题精讲

课程星级:★★★★★ 知能梳理 一、双曲线的定义 1 、 第 一 定 义 : 到 两 个 定 点 F1 与 F2 的 距 离 之 差 的 绝 对 值 等 于 定 长 ( < |F1F2| ) 的 点 的 轨 迹 ( PF1 ? PF2 ? 2a ? F1F2 ( a 为常数))。这两个定点叫双曲线的焦点。 要注意两点:(1)距离之差 的绝对值。(2)2a<|F1F2|。 当|MF1|-|MF2|=2a 时,曲线仅表示焦点 F2 所对应的一支; 当|MF1|-|MF2|=-2a 时,曲线仅表示焦点 F1 所对应的一支; 当 2a=|F1F2|时,轨迹是一直线上以 F1、F2 为端点向外的两条射线; 当 2a>|F1F2|时,动点轨迹不存在。 2、第二定义:动点到一定点 F 的距离与它到一条定直线 l 的距离之比是常数 e(e>1)时,这个动点的轨迹是双曲 线。这定点叫做双曲线的焦点,定直线 l 叫做双曲线的准线。 二、双曲线的标准方程( b2 ? c2 ? a2 ,其中| F1 F2 |=2c) 焦点在 x 轴上: x a 2 2 ? y2 b2 ? 1(a>0,b>0) 焦点在 y 轴上: y2 a2 ? x2 b2 ? 1 (a>0,b>0) (1)如果 x 2 项的系数是正数,则焦点在 x 轴上;如果 y 2 项的系数是正数,则焦点在 y 轴上。 a 不一定大于 b。 (2)与双曲线 x a 2 2 ? y2 b2 ? 1 共焦点的双曲线系方程是 a x2 2? k ? y2 b2 ? k ?1 (3)双曲线方程也可设为: x2 ? y2 ? 1(mn ? 0) mn 需要更多的高考数学复习资料 请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝.: 高考数学复习资料 知识点与方法技巧总结 例题精讲(详细解答) 或者搜.店.铺..: 龙奇迹学习资料网 三、点与双曲线的位置关系,直线与双曲线的位置关系 1、点与双曲线 点 P(x0 , y0 ) 在双曲线 x a 2 2 ? y2 b2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的内部 ? x02 a2 ? y02 b2 ?1 点 P(x0 , y0 ) 在双曲线 x a 2 2 ? y2 b2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的外部 ? x02 a2 ? y02 b2 ?1 点 P(x0 , y0 ) 在双曲线 x a 2 2 ? y2 b2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 上? x02 a2 - y02 b2 =1 2、直线与双曲线 代数法: 设直线 l : y ? kx ? m ,双曲线 x 2 ? y 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 联立解得 a2 b2 (b2 ? a 2k 2 )x 2 ? 2a 2mkx ? a 2m2 ? a 2b2 ? 0 (1) m ? 0 时, ? b ? k ? b ,直线与双曲线交于两点(左支一个点右支一个点); a a k ? b , k ? ? b ,或 k 不存在时,直线与双曲线没有交点; a a (2) m ? 0 时, k 存在时,若 b2 ? a2k 2 ? 0 , k ? ? b ,直线与双曲线渐近线平行,直线与双曲线相交于一点; a 若 b2 ? a2k 2 ? 0 , ? ? (?2a2mk)2 ? 4(b2 ? a2k 2 )(?a2m2 ? a2b2 ) ? 4a2b2 (m2 ? b2 ? a2k 2 ) ? ? 0 时, m2 ? b2 ? a2k 2 ? 0 ,直线与双曲线相交于两点; ? ? 0 时, m2 ? b2 ? a2k 2 ? 0 ,直线与双曲线相离,没有交点; ? ? 0时 m2 ? b2 ? a2k2 ? 0,k2 ? m2 ? b2 a2 直线与双曲线有一个交点; k 不存在, ?a ? m ? a 时,直线与双曲线没有交点; m ? a或 m? ? a直线与双曲线相交于两点; 3、过定点的直线与双曲线的位置关系: 设直线 l : y ? kx ? m 过定点 P( x0 , y0 ) ,双曲线 x a 2 2 y2 ? b2 ? 1(a ? 0,b ? 0) (1)当点 P(x0 , y0 ) 在双曲线内部时: ? b ? k ? b ,直线与双曲线两支各有一个交点; a a k ? ? b ,直线与双曲线渐近线平行,直线与双曲线相交于一点; a k ? b 或 k ? ? b 或 k 不存在时直线与双曲线的一支有两个交点; a a (2)当点 P(x0 , y0 ) 在双曲线上时: k ? ? b a 或 k ? b2 x0 a2 y0 ,直线与双曲线只交于点 P(x0 , y0 ) ; ? b ? k ? b 直线与双曲线交于两点(左支一个点右支一个点); a a k ? b2 x0 a2 y0 ( y0 ? 0 )或 b a ?k ? b2 x0 a2 y0 ( y0 ? 0 )或 k ? ?b a 或k 不存在,直线与双曲线在一支上有 两个交点; 当 y0 ? 0 时, k ? ? b a 或 k 不存在,直线与双曲线只交于点 P(x0 , y0 ) ; k ? b 或 k ? ? b 时直线与双曲线的一支有两个交点; a a ? b ? k ? b 直线与双曲线交于两点(左支一个点右支一个点); a a (3)当点 P(x0 , y0 ) 在双曲线外部时: 当 P?0,0?时, ? b ? k ? b ,直线与双曲线两支各有一个交点; a a k ? b 或 k ? b 或 k