当前位置:首页 >> 数学 >>

2.7函数的图像


中国教育培训领军品牌

§2.7
教学目标

函数的图像

1.掌握常见函数的图象(如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数、幂函数). 2.会利用图象变换的知识作出一些简单函数的图象. 3.会求经过某种变换后所得图象的函数表达式. 4.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.

学习内容

知识梳理
1.描点法作图 方法步骤:(1)确定函数的定义域;(2)化简函数的解析式;(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚 至变化趋势);(4)描点连线,画出函数的图象. 2.图象变换 (1)平移变换

(2)对称变换

(3)伸缩变换

全力以赴赢在环雅

1

中国教育培训领军品牌

例题讲解

题型一 练习作函数的图象 例1 分别画出下列函数的图象: (2)y=2x 2;


(1)y=|lgx|;

x+2 (3)y=x2-2|x|-1; (4)y= . x-1 思维启迪 根据一些常见函数的图象,通过平移、对称等变换可以作出函数图象. 解
?lgx ?x≥1?, ? (1)y=? 图象如图①. ? ?-lgx?0<x<1?

(2)将 y=2x 的图象向左平移 2 个单位.图象如图②.

?x2-2x-1 ?x≥0? ? (3)y=? 2 .图象如图③. ? ?x +2x-1?x<0?

x+2 3 3 (4)因 y=1+ , 先作出 y= 的图象, 将其图象向右平移 1 个单位, 再向上平移 1 个单位, 即得 y= 的图象, x x-1 x-1 如图④.

思维升华

m (1)常见的几种函数图象如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如 y=x+ (m>0) x

的函数是图象变换的基础; (2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换等常用方法技巧,可以帮助我们简化作图过程. 巩固 作出下列函数的图象.

全力以赴赢在环雅

2

中国教育培训领军品牌 (1)y=sin|x|;(2)y= 解 x+2 . x+3

(1)当 x≥0 时,y=sin|x|与 y=sinx 的图象完全相同,

又 y=sin|x|为偶函数,其图象关于 y 轴对称,其图象如图.

x+2 1 1 (2)y= =1- ,该函数图象可由函数 y=- 向左平移 3 个单位再向上平移 1 个单位得到,如下图所示. x x+3 x+3

题型二 识图与辨图 例2 (1)(2013· 四川)函数 y= x3 的图象大致是 3x-1 ( )

?-2x,?-1≤x≤0? (2)已知 f(x)=? ,则下列函数的图象错误的是 ? x,?0<x≤1?

(

)

思维启迪

(1)根据函数的定义域,特殊点和函数值的符号判断;

(2)正确把握图象变换的特征,结合 f(x)的图象识辨. 答案 (1)C (2)D

全力以赴赢在环雅

3

中国教育培训领军品牌 解析 ?-1?3 3 x3 (1)由 3x-1≠0 得 x≠0, ∴函数 y= x 的定义域为{x|x≠0}, 可排除选项 A; 当 x=-1 时, y= = >0, 1 2 3 -1 -1 3

64 可排除选项 B;当 x=2 时,y=1,当 x=4 时,y= ,但从选项 D 的函数图象可以看出函数在(0,+∞)上是单调 80 递增函数,两者矛盾,可排除选项 D.故选 C. (2)先在坐标平面内画出函数 y=f(x)的图象,再将函数 y=f(x)的图象向右平移 1 个单位长度即可得到 y=f(x-1)的 图象,因此 A 正确; 作函数 y=f(x)的图象关于 y 轴的对称图形,即可得到 y=f(-x)的图象,因此 B 正确; y=f(x)的值域是[0,2],因此 y=|f(x)|的图象与 y=f(x)的图象重合,C 正确; y=f(|x|)的定义域是[-1,1],且是一个偶函数,当 0≤x≤1 时,y=f(|x|)= x,相应这部分图象不是一条线段,因此 选项 D 不正确. 综上所述,选 D. 思维升华 函数图象的识辨可从以下方面入手: (1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置; (2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势; (3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性; (4)从函数的周期性,判断图象的循环往复; (5)从函数的特征点,排除不合要求的图象. 巩固 1 (1)已知函数 f(x)= ,则 y=f(x)的图象大致为 ln?x+1?-x ( )

(2)把函数 y=f(x)=(x-2)2+2 的图象向左平移 1 个单位,再向上平移 1 个单位,所得图象对应的函数解析式是 ( A.y=(x-3)2+3 C.y=(x-1)2+3 答案 解析 (1)B (2)C (1)方法一 (函数性质法) B.y=(x-3)2+1 D.y=(x-1)2+1 )

函数 f(x)满足 x+1>0,ln(x+1)-x≠0, 即 x>-1 且 lg(x+1)-x≠0,设 g(x)=ln(x+1)-x, 全力以赴赢在环雅

4

中国教育培训领军品牌 -x 1 则 g′(x)= -1= . x+1 x+1 由于 x+1>0,显然当-1<x<0 时,g′(x)>0, 当 x>0 时,g′(x)<0,故函数 g(x)在 x=0 处取得极大值,也是最大值, 故 g(x)≤g(0)=0,当且仅当 x=0 时,g(x)=0, 故函数 f(x)的定义域是(-1,0)∪(0,+∞), 且函数 g(x)在(-1,0)∪(0,+∞)上的值域为(-∞,0), 故函数 f(x)的值域也是(-∞,0),且在 x=0 附近函数值无限小, 观察各个选项中的函数图象,只有选项 B 中的图象符合要求. 方法二 (特殊值检验法) 当 x=0 时,函数无意义,排除选项 D 中的图象, 1 1 当 x= -1 时,f( -1)= e e 1 =-e<0,排除选项 A、C 中的图象,故只能是选项 B 中的图象. 1 1 ln? -1+1?-? -1? e e

1 (注:这里选取特殊值 x=( -1)∈(-1,0),这个值可以直接排除选项 A、C,这种取特值的技巧在解题中很有用处) e (2)把函数 y=f(x)的图象向左平移 1 个单位,即把其中 x 换成 x+1, 于是得 y=[(x+1)-2]2+2=(x-1)2+2, 再向上平移 1 个单位,即得到 y=(x-1)2+2+1 =(x-1)2+3. 题型三 函数图象的应用 例3 1 (1)当 0<x≤ 时,4x<logax,则 a 的取值范围是 2 2 ) 2 B.( 2 ,1) 2 ( )

A.(0,

C.(1, 2)

D.( 2,2) )

(2)(2013· 湖南)函数 f(x)=2lnx 的图象与函数 g(x)=x2-4x+5 的图象的交点个数为( A.3B.2C.1D.0 思维启迪 (1)可以通过函数 y=4x 和 y=logax 图象的位置、特征确定 a 的范围;

(2)画两函数图象、观察即可. 答案 解析 (1)B (2)B 1 (1)方法一 ∵0<x≤ ,∴1<4x≤2, 2

∴logax>4x>1,∴0<a<1. 令 f(x)=4x,g(x)=logax, 1 1 当 x= 时,f( )=2.(如图) 2 2

全力以赴赢在环雅

5

中国教育培训领军品牌 1 1 2 而 g( )=loga =2,∴a= . 2 2 2 又∵g(x)=logax,x0∈(0,1), a1,a2∈(0,1)且 a1<a2 时,loga2x0>loga1x0, 1 ∴要使当 0<x≤ 时,4x<logax 成立, 2 需 2 <a<1.故选 B. 2

1 方法二 ∵0<x≤ ,∴1<4x≤2,∴logax>4x>1, 2 ∴0<a<1,排除 C,D;
1 1 1 1 取 a= ,x= ,则有 4 2 =2, log 1 =1,显然 4x<logax 不成立,排除 A;故选 B. 2 2 2

2

(2)画出两个函数 f(x),g(x)的图象, 由图知 f(x),g(x)的图象的交点个数为 2. 思维升华 (1)根据函数图象,可以比较函数值大小,确定参数范围;

(2)利用函数图象,可以解决一些形如 f(x)=g(x)方程的解或函数零点问题. 巩固 共有( (1)已知函数 y=f(x)的周期为 2,当 x∈[-1,1]时 f(x)=x2,那么函数 y=f(x)的图象与函数 y=|lgx|的图象的交点 ) B.9 个 D.1 个
2

A.10 个 C .8 个

(2)直线 y=1 与曲线 y=x -|x|+a 有四个交点,则 a 的取值范围是________. 答案 解析 5 (1)A (2)1<a< 4 (1)观察图象可知,共有 10 个交点.

2 ? ?x -x+a,x≥0, (2)y=? 2 作出图象,如图所示. ?x +x+a,x<0, ?

1 1 5 此曲线与 y 轴交于(0,a)点,最小值为 a- ,要使 y=1 与其有四个交点,只需 a- <1<a,∴1<a< . 4 4 4

全力以赴赢在环雅

6

中国教育培训领军品牌

综合题库

A组 1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)当 x∈(0,+∞)时,函数 y=|f(x)|与 y=f(|x|)的图象相同. (2)函数 y=af(x)与 y=f(ax)(a>0 且 a≠1)的图象相同. (3)函数 y=f(x)与 y=-f(x)的图象关于原点对称. (4)若函数 y=f(x)满足 f(1+x)=f(1-x),则函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称. (5)将函数 y=f(-x)的图象向右平移 1 个单位得到函数 y=f(-x-1)的图象. (6)不论 a(a>0 且 a≠1)取何值,函数 y=loga2|x-1|的图象恒过定点(2,0). 2.(2013· 山东)函数 y=xcosx+sinx 的图象大致为 ( ) ( × ( × ( × ( √ ( × ( × ) ) ) ) ) )

答案 D π 解析 函数 y=xcosx+sinx 为奇函数,排除 B.取 x= ,排除 C;取 x=π,排除 A,故选 D. 2 3.(2013· 北京)函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度,所得图象与曲线 y=ex 关于 y 轴对称,则 f(x)等于 ( A .e C .e
x+1

)

B.e

x-1
-x-1

-x+1

D.e

答案 D 解析 与 y=ex 图象关于 y 轴对称的函数为 y=e x.依题意,f(x)图象向右平移一个单位,得 y=e
- -x

的图象.∴f(x)

的图象由 y=e 的图象向左平移一个单位得到.∴f(x)=e

-x

-(x+1)

=e

-x-1

. ( )

4.已知图①中的图象对应的函数为 y=f(x),则图②中的图象对应的函数为

A.y=f(|x|) 全力以赴赢在环雅

B.y=|f(x)|

7

中国教育培训领军品牌 C.y=f(-|x|) 答案 C
?f?-x?,x≥0 ? 解析 y=f(-|x|)=? . ? ?f?x?,x<0 ? ?2,x>m, 5.已知函数 f(x)=? 2 的图象与直线 y=x 恰有三个公共点,则实数 m 的取值范围是 ?x +4x+2,x≤m ?

D.y=-f(|x|)

( A.(-∞,-1] C.[-1,2] 答案 B B.[-1,2) D.[2,+∞)

)

解析 方法一 特值法,令 m=2,排除 C、D,令 m=0,排除 A,故选 B. 方法二 令 x2+4x+2=x,解得 x=-1 或 x=-2, 所以三个解必须为-1,-2 和 2,所以有-1≤m<2.故选 B. B组 1.函数 y=ln(1-x)的大致图象为 ( )

答案 C 解析 将函数 y=lnx 的图象关于 y 轴对折, 得到 y=ln(-x)的图象, 再向右平移 1 个单位即得 y=ln(1-x)的图象. 故 选 C. 1 2.函数 y=5x 与函数 y=- x的图象关于 5 A.x 轴对称 C.原点对称 答案 C 1 - 解析 y=- x=-5 x,可将函数 y=5x 中的 x,y 分别换成-x,-y 得到,故两者图象关于原点对称. 5 3.若 loga2<0(a>0,且 a≠1),则函数 f(x)=loga(x+1)的图象大致是 ( ) B.y 轴对称 D.直线 y=x 对称 ( )

全力以赴赢在环雅

8

中国教育培训领军品牌

答案 B 解析 ∵loga2<0,∴0<a<1, 由 f(x)=loga(x+1)单调性可知 A、D 错误, 再由定义域知 B 选项正确. x+3 4.为了得到函数 y=lg 的图象,只需把函数 y=lgx 的图象上所有的点( 10 A.向左平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 B.向右平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 C.向左平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 D.向右平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 答案 C x+3 解析 y=lg =lg(x+3)-1, 10 将 y=lgx 的图象向左平移 3 个单位长度得到 y=lg(x+3)的图象, 再向下平移 1 个单位长度,得到 y=lg(x+3)-1 的图象. 5.使 log2(-x)<x+1 成立的 x 的取值范围是 A.(-1,0) B.[-1,0) C.(-2,0) D.[-2,0) 答案 A 解析 在同一坐标系内作出 y=log2(-x),y=x+1 的图象,知满足条件的 x∈(-1,0),故选 A. ( ) )

1 6.已知 f(x)=( )x,若 f(x)的图象关于直线 x=1 对称的图象对应的函数为 g(x),则 g(x)的表达式为________. 3 答案 g(x)=3x
-2

解析 设 g(x)上的任意一点 A(x,y),则该点关于直线 x=1 的对称点 B 为 B(2-x,y),而该点在 f(x)的图象上. 1 - - - ∴y=( )2 x=3x 2,即 g(x)=3x 2. 3 7.用 min{a,b,c}表示 a,b,c 三个数中的最小值.设 f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0),则 f(x)的最大值为________. 答案 6 解析 f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0)的图象如图.令 x+2=10-x,得 x=4.

全力以赴赢在环雅

9

中国教育培训领军品牌

当 x=4 时,f(x)取最大值,f(4)=6. 2 ? ?x , x≥2, 8.已知函数 f(x)=? 若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不同的实根,则实数 k 的取值范围是________. ??x-1?3,x<2. ? 答案 (0,1)

解析 画出分段函数 f(x)的图象如图所示,结合图象可以看出,若 f(x)=k 有两个不同的实根,也即函数 y=f(x)的 图象与 y=k 有两个不同的交点,k 的取值范围为(0,1).

9.已知函数 f(x)=x|m-x|(x∈R),且 f(4)=0. (1)求实数 m 的值; (2)作出函数 f(x)的图象; (3)根据图象指出 f(x)的单调递减区间; (4)若方程 f(x)=a 只有一个实数根,求 a 的取值范围. 解 (1)∵f(4)=0,∴4|m-4|=0,即 m=4.

(2)f(x)=x|x-4| =?
?x?x-4?=?x-2?2-4,x≥4, ? ?-x?x-4?=-?x-2? +4,x<4. ?
2

f(x)的图象如图所示: (3)f(x)的减区间是[2,4]. (4)从 f(x)的图象可知,当 a>4 或 a<0 时,f(x)的图象与直线 y=a 只有一个交点,方程 f(x)=a 只有 一个实数根,即 a 的取值范围是(-∞,0)∪(4,+∞). 1 10.已知函数 f(x)的图象与函数 h(x)=x+ +2 的图象关于点 A(0,1)对称. x (1)求 f(x)的解析式; a (2)若 g(x)=f(x)+ ,且 g(x)在区间(0,2]上为减函数,求实数 a 的取值范围. x 解 (1)设 f(x)图象上任一点 P(x,y),则点 P 关于(0,1)点的对称点 P′(-x,2-y)在 h(x)的图象上,

1 1 即 2-y=-x- +2,∴y=f(x)=x+ (x≠0). x x 全力以赴赢在环雅

10

中国教育培训领军品牌 a+1 a+1 a (2)g(x)=f(x)+ =x+ ,g′(x)=1- 2 . x x x ∵g(x)在(0,2]上为减函数, a+1 ∴1- 2 ≤0 在(0,2]上恒成立,即 a+1≥x2 在(0,2]上恒成立,∴a+1≥4,即 a≥3,故 a 的取值范围是[3,+∞). x

C组
2 ? ?x +2x-1,x≥0, ? 1.已知函数 f(x)= 2 则对任意 x1,x2∈R,若 0<|x1|<|x2|,下列不等式成立的是 ?x -2x-1,x<0, ?

( A.f(x1)+f(x2)<0 C.f(x1)-f(x2)>0 答案 D 解析 函数 f(x)的图象如图所示: B.f(x1)+f(x2)>0 D.f(x1)-f(x2)<0

)

且 f(-x)=f(x),从而函数 f(x)是偶函数且在[0,+∞)上是增函数. 又 0<|x1|<|x2|, ∴f(x2)>f(x1),即 f(x1)-f(x2)<0. 1 2.函数 y= 的图象与函数 y=2sinπx (-2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于 1-x ( A.2B.4C.6D.8 答案 D 解析 令 1-x=t,则 x=1-t. 由-2≤x≤4,知-2≤1-t≤4,所以-3≤t≤3. 又 y=2sinπx=2sinπ(1-t)=2sinπt. 1 在同一坐标系下作出 y= 和 y=2sinπt 的图象. t )

由图可知两函数图象在[-3,3]上共有 8 个交点,且这 8 个交点两两关于原点对称. 因此这 8 个交点的横坐标的和为 0,即 t1+t2+?+t8=0. 也就是 1-x1+1-x2+?+1-x8=0, 因此 x1+x2+?+x8=8. 全力以赴赢在环雅

11

中国教育培训领军品牌 ?2-m?x 3.若函数 f(x)= 2 的图象如图,则 m 的取值范围是________. x +m 答案 1<m<2 解析 ∵函数的定义域为 R,∴x2+m 恒不等于零, ∴m>0. 由图象知,当 x>0 时,f(x)>0,∴2-m>0?m<2. 2-m 又∵在(0,+∞)上函数 f(x)在 x=x0(x0>1)处取得最大值,而 f(x)= , m x+ x ∴x0= m>1?m>1.综上,1<m<2. 4.已知函数 y=f(x)的定义域为 R,并对一切实数 x,都满足 f(2+x)=f(2-x). (1)证明:函数 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称; (2)若 f(x)是偶函数,且 x∈[0,2]时,f(x)=2x-1, 求 x∈[-4,0]时 f(x)的表达式. (1)证明 设 P(x0,y0)是函数 y=f(x)图象上任一点, 则 y0=f(x0),点 P 关于直线 x=2 的对称点为 P′(4-x0,y0). 因为 f(4-x0)=f[2+(2-x0)] =f[2-(2-x0)]=f(x0)=y0, 所以 P′也在 y=f(x)的图象上, 所以函数 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称. (2)解 当 x∈[-2,0]时,-x∈[0,2], 所以 f(-x)=-2x-1.又因为 f(x)为偶函数, 所以 f(x)=f(-x)=-2x-1,x∈[-2,0]. 当 x∈[-4,-2]时,4+x∈[0,2], 所以 f(4+x)=2(4+x)-1=2x+7, 而 f(4+x)=f(-x)=f(x), 所以 f(x)=2x+7,x∈[-4,-2].
?2x+7,x∈[-4,-2], ? 所以 f(x)=? ?-2x-1,x∈[-2,0]. ?

5.已知函数 f(x)=|x2-4x+3|. (1)求函数 f(x)的单调区间,并指出其增减性; (2)求集合 M={m|使方程 f(x)=m 有四个不相等的实根}. 解
2 ? ??x-2? -1, x∈?-∞,1]∪[3,+∞? ? f(x)= 2 ?-?x-2? +1,x∈?1,3? ?

作出函数图象如图. 全力以赴赢在环雅

12

中国教育培训领军品牌 (1)函数的增区间为[1,2],[3,+∞); 函数的减区间为(-∞,1],[2,3]. (2)在同一坐标系中作出 y=f(x)和 y=m 的图象,使两函数图象有四个不同的交点(如图). 由图知 0<m<1,∴M={m|0<m<1}.

归纳总结
方法与技巧 1.列表描点法是作函数图象的辅助手段,要作函数图象首先要明确函数图象的位置和形状:(1)可通过研究函数的性质 如定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性等等;(2)可通过函数图象的变换如平移变换、对称变换、伸缩变换等; (3)可通过方程的同解变形,如作函数 y= 1-x2的图象. 2.合理处理识图题与用图题 (1)识图 对于给定函数的图象,要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单 调性、奇偶性、周期性,注意图象与函数解析式中参数的关系. (2)用图 函数图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关系问题提供了“形”的直观性,它是探求解题途径,获得问题 结果的重要工具.要重视数形结合解题的思想方法.常用函数图象研究含参数的方程或不等式解集的情况. 失误与防范 1.解题时要注意运用“以形助数”或“以数辅形”; 2.要注意一个函数的图象自身对称和两个不同的函数图象对称的区别.

全力以赴赢在环雅

13


赞助商链接
相关文章:
【步步高】高考数学一轮复习_2.7函数的图象(师)
【步步高】高考数学一轮复习_2.7函数的图象(师)_数学_高中教育_教育专区。文档...x+1?-x ( ) 6 考点分析 本题考查识图能力,考查对函数性质的灵活应用. ...
【全程复习方略】全国高考数学(理)一轮复习练习:2.7函数的图象(含...
【全程复习方略】全国高考数学(理)一轮复习练习:2.7函数的图象(含答案解析) - 课时提升作业 十 函数的图象 (25 分钟 45 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 ...
17版: §2.7 函数的图象(步步高)
17版: §2.7 函数的图象(步步高) - 1.描点法作图 方法步骤:(1)确定函数的定义域;(2)化简函数的解析式;(3)讨论函数的性质即奇偶性、周 期性、单调性、最...
高考数学(理)一轮复习分层演练:2.7函数的图象(含答案)
高考数学(理)一轮复习分层演练:2.7函数的图象(含答案) - 第7讲 函数的图象 [学生用书 P35] 1.利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线. 首先:...
...高三数学(文)一轮复习活页作业:2.7函数图象(含答案...
【创新大课堂】高三数学(文)一轮复习活页作业:2.7函数图象(含答案解析) - 课时活页作业(十) [基础训练组] 1.为了得到函数 y=2x 3-1 的图象,只需把函数 y...
...)(全国通用版)一轮复习课时分层作业: 十 2.7函数的图象
网页 新闻 贴吧 知道 音乐 图片 视频 地图 文库 | 搜试试 5 悬赏文档 全部...2019版高考数学(理)(全国通用版)一轮复习课时分层作业: 十 2.7函数的图象_...
...高三数学(浙江版)一轮复习训练:2.7函数的图象(含答案解析)_...
【三年高考两年模拟】高三数学(浙江版)一轮复习训练:2.7函数的图象(含答案解析) - §2.7 函数的图象 A组 基础题组 1.(2015 北京东城模拟)在同一坐标系中画...
【高考一轮】2018课标版文科数学一轮复习 2.7函数的图象 夯基提能...
【高考一轮】2018课标版文科数学一轮复习 2.7函数的图象 夯基提能作业本(含答案) - 第七节 函数的图象 A 组 基础题组 1.函数 y= 的图象可能是( ) 2....
...高考数学(理)大一轮复习活页作业:2.7函数图象(含答...
【创新大课堂】高考数学(理)大一轮复习活页作业:2.7函数图象(含答案解析) - 课时活页作业(十) [基础训练组] 1.为了得到函数 y=2x 3-1 的图象,只需把函数 ...
文科一轮学案2.7函数的图象
文科一轮学案2.7函数的图象_数学_高中教育_教育专区。第二章 函数概念与基本...的图形运动一周,O,P 两点连线的距离 y 与点 P 走过的路程 x 的函数关系...
更多相关标签: