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2012年高考真题——数学(江苏卷)word版有答案

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2012 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷) 数学Ⅰ参考答案
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上. ........ 1.已知集合 A ? {1 ,2 ,4} , B ? {2 ,4 ,6} ,则 A ? B ? ▲ .1. {1, 2 , 4 , 6 } ;

2.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 3 : 3 : 4 ,现用分层抽样的方法从该校高中三个 年级的学生中抽取容量为 50 的样本,则应从高二年级抽取 ▲ 名学生.2. 15 ; 3.设 a ,b ? R , a ? b i ?
11 ? 7i 1 ? 2i

(i 为虚数单位) ,则 a ? b 的值

开始 k←1 N

为 ▲ .3. 8 ; 4.右图是一个算法流程图,则输出的 k 的值是 ▲ .4. 5 ; 5.函数 f ( x ) ? 1 ? 2 lo g 6 x 的定义域为 ▲ .5. ( 0 , 6 ] ; 6.现有 10 个数,它们能构成一个以 1 为首项, ? 3 为公比的 等比数列,若从这 10 个数中随机抽取一个数,则它小于 8 的概率是 ▲ . 7.如图,在长方体 A B C D

k2-5k+4>0 Y 输出 k 结束

k←k +1

6.

3 5

;
, A A1 ? 2 cm , (第 4 题)
D1 C1
B1

? A1 B1 C 1 D 1 中, A B ? A D ? 3cm

则四棱锥 A ? B B1 D 1 D 的体积为 ▲ 8.在平面直角坐标系 x O y 中,若双曲线 为 5 ,则 m 的值为 ▲ . 9.如图,在矩形 ABCD 中, A B ? 在边 CD 上,若 A B ? A F ?
??? ? ???? 2

cm .7. 6 ;
3

A1

x

2

?

y
2

2

m

m ? 4

? 1 的离心率

D A (第 7 题) B D F

C

8.

2

;

2 ,B C ? 2 , 点 E

为 BC 的中点,点 F
2

C

,则 A E ? B F 的值是 ▲ .9.

??? ?

??? ?

;
E

1] 10.设 f ( x ) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间 [ ? 1 , 上,

? a x ? 1 ,? 1 ≤ x ? 0 , ? f ( x) ? ? bx ? 2 其中 a ,b ? R ,0 ≤ x ≤ 1 , ? ? x ?1

.若 f ?

?1? ?3? ? ? f ? ?, ?2? ?2?

A (第 9 题)

B

则 a ? 3 b 的值为 ▲ .10. 5 ; 11.设 ? 为锐角,若 c o s ? ? ?
? ? ?? 4 ?? 6 ? 5

,则 sin( 2 ? ?

?
12

) 的值为

▲ . 11.

24 25

;

12.在平面直角坐标系 x O y 中,圆 C 的方程为 x 2 ? y 2 ? 8 x ? 1 5 ? 0 ,若直线 y ? k x ? 2 上至少存

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在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是 ▲ 12.
4 3
b 13.已知函数 f ( x ) ? x 2 ? a x ? b ( a , ? R ) 的值域为 [0 ,? ? ) ,若关于 x 的不等式 f ( x ) ? c 的

;

解集为 ( m ,m ? 6 ) ,则实数 c 的值为 ▲ .13. 9 ; 14.已知正数 a ,b ,c 满足: 5 c ? 3 a ≤ b ≤ ▲ .14. [ e , 7 ] . 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说 ....... 明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分)在 ? A B C 中,已知 A B ? A C ? 3 B A ? B C . (1)求证: tan B ? 3 tan A ; (2)若 c o s C ?
5 5 ,求
??? ? ???? ??? ???? ?
4 c ? a ,c ln b ≥ a ? c ln c , 则

b a

的取值范围是

A 的值.

15.(1)证:设 ? A B C 三边分别为 a , b , c ,则 cb cos A ? 3 ca cos B ,
? sin B cos A ? 3 sin A cos B ,? tan B ? 3 tan A ;

(2) 由(1) b cos A ? 3 a cos B 得 2 a ? c ? 2 b ,由 c o s C ?
2 2 2

5 5

,得

a

2

?b

2

?c

2

?

2 5

ab ,从而 3 a 1 ? cos 1 ? cos
2 2

2

? b

2

?

2 5

ab , 3 ?

b a

2 2

?

2 b 5 a

,解得
b a 3 5

b a

?

3 5



?

sin B sin A

?

3 5

,?

B A

?

9 5

,结合 b cos A ? 3 a cos B 与
?
2

?



cos B ?

b 3a

cos A , ? cos A ?

2 2

,又由(1)知 A , B ? ( 0 ,

) ,? A ?

?
4



16. (本小题满分 14 分)如图,在直三棱柱 A B C ? A1 B1 C 1 中,
A1 B 1 ? A1 C 1 , D ,E

分别是棱 B C ,C C 1 上的点(点 D 不同于点 C) ,

A1

C1

F
B1

且 A D ? D E ,F 为 B1 C 1 的中点. 求证: (1)平面 A D E ? 平面 B C C 1 B1 ; (2)直线 A1 F / / 平面 ADE. 证: (1)在直三棱柱 A B C ? A1 B1 C 1 中,CC 1 ? 平面 ABC ,
AD ? 平面 ABC

E

,? CC 1

? AD

,又 AD

? DE



A D B (第 16 题)

C

? AD ? 平面 BCC 1 B 1 ,? AD ? 平面 ADE



∴平面 A D E ? 平面 B C C 1 B1 (2)∵ A1 B1 ? A1 C 1 ,? AB ? AC ,由(1) AD ? BC ,
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?D

为 BC 的中点,又 F 为 B1 C 1 的中点,连 DF ,则 DF // BB 1 // AA 1 ,且 DF ? BB 1 ? AA 1 ,

? 四边形 DFA 1 A 为平行四边形,? AD // A 1 F

,?

A1 F

不在平面 ADE 内, AD ? 平面 ADE,

∴直线 A1 F / / 平面 ADE. 17. (本小题满分 14 分) 如图, 建立平面直角坐标系 xOy, 轴在地平面上, 轴垂直于地平面, x y 单位长度为 1 千米. 某 炮位于坐标原点. 已知炮弹发射后的轨迹在方程 y ? k x ?
1 20 (1 ? k ) x ( k ? 0 )
2 2

表示的曲线上,

其中 k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小) ,其飞行高度为 3.2 千米,试问它的横坐标 a 不 超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由. 17.(1)令 y ? k x ?
y ? 0得x ?
20 k 1? k
2

1 20

(1 ? k ) x ( k ? 0 )
2 2


? 10 , ( k ? 0 )

y(千米)

, (k ? 0)

,? x ?

20 1 k ? k

当且仅当 k ? 1 时取等号,? x max ? 10 ; 答:炮的最大射程为 10 km (2) 由 题 y ? k x ?
k ? 4 3
1 20 (1 ? k ) x ( k ? 0 )
2 2

O

(第 17 题)

x(千米)

对称轴为 x ?

10 k 1? k
2

, (k ? 0)

, 由 y m a x ? 3 .2 解 得

, 此时 x ?

20 1 k ? k

关于 k ?

4 3

递减, ? x ? 9 . 6 . 答: 它的横坐标 a 不超过 9 . 6 km 时,

炮弹可以击中它. 18. (本小题满分 16 分) 已知 a,b 是实数,1 和 ? 1 是函数 f ( x ) ? x 3 ? a x 2 ? b x 的两个极值点. (1)求 a 和 b 的值; (2)设函数 g ( x ) 的导函数 g ? ( x ) ? f ( x ) ? 2 ,求 g ( x ) 的极值点; (3)设 h ( x ) ? f ( f ( x )) ? c ,其中 c ? [ ? 2 ,2 ] ,求函数 y ? h ( x ) 的零点个数.

18. (1) 由题得
? 3x
2

f '(x) ? 3x

2

? 2 ax ? b 零点为 1 和 ? 1 ,

? 2 ax ? b ? 0 的根为 1 和 ? 1 ,由韦达定理求得 a ? 0 , b ? ? 3 .
3 2

(2) 由题 g ' ( x ) ? x ? 3 x ? 2 ? ( x ? 1) ( x ? 2 ) 其变号零点仅是 ? 2 ,从而 g ( x ) 的极值 点为 ? 2 .
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(3) 令 t ? f ( x ) ,则 h ( x ) ? ? ( t ) ? t ? 3 t ? c ,由 f ' ( x ) ? 3 x ? 3 ? 3 ( x ? 1)( x ? 1) 知
3 2

f ( x ) 的示意图,且极大值极小值分别为 2 , ? 2 ,? c ? 2 时, t ? ? 1, 2 ,同理可作出 h ( x )
? 图(实为同一图), t ? ? 1 时对应 h ( x ) 零点 3 个, t ? 2 时对应 h ( x ) 零点 2 个, c ? 2 当 当

时,h ( x ) 零点有 5 个, 同理 c ? ? 2 时,h ( x ) 也有零点 5 个, ? 2 ? c ? 2 时 t ? ( ? 2 , 2 ) , 当 此时 ? (t ) 零点有 3 个,对应 h ( x ) 零点有 9 个.综上当 c ? ? 2 时各有 5 个零点,当
? 2 ? c ? 2 时有 9 个零点.

19. (本小题满分 16 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆
F 2 ( c ,0 ) .已知 (1 ,e )

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的左、右焦点分别为 F1 ( ? c ,0 )



和? e , ?
?

?

3 ? ? 2 ? ?

都在椭圆上,其中 e 为椭圆的离心率. y A P
F1

(1)求椭圆的离心率; (2)设 A,B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点,且直线 A F1 与直线 B F 2 平行, A F 2 与 B F1 交于点 P. (i)若 A F1 ? B F 2 ?
6 2

B
F2

O

x

,求直线 A F1 的斜率; (第 19 题)
x1 2
2

(ii)求证: P F1 ? P F 2 是定值.

19. (1)
y1 x1 ? 1

x

2

? y

2

?1

;(2)设

2

A ( x1 , y1 )

, B(x2 , y2 ) 则

? y1 ? 1
2



x2 2

2

? y2 ? 1
2



k ?

?

y2 x2 ? 1



AF 1 ? e ( x 1 ? 2 )



BF 2 ? e ( 2 ? x 2 )



? AF 1 ? BF

2

?

6 2



? e ( x1 ? x 2 ) ?

6 2
2k



? e ?

2 2

,?

x1 ? x 2 ?

3

,x 2

? x1 ?

4k

2 2

1 ? 2k

,?

y1 ? y 2 ?

3k

,y1

? y2 ?

1 ? 2k

2

20. (本小题满分 16 分) 已知各项均为正数的两个数列 { a n } 和 { b n } 满足: a n ? 1 ?
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a n ? bn a n ? bn
2 2

,n ? N

?



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(1)设 b n ? 1
?? b ? ? ? n ? ?1? , n ? N ,求证:数列 ? ? ? ? an ?? an ? ? ? ?
2

bn

?

是等差数列;

(2)设 b n ? 1 ?

2?

bn an

,n ? N

?

,且 { a n } 是等比数列,求 a 1 和 b1 的值.

20. (1)公差为 1 , (2)略

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