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2007年普通高等学校招生全国统一考试宁夏卷数学理科含答案.


2007 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(宁夏) 理科数学(宁夏)
选择题) 非选择题)两部分. 题为选考题, 本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.第 II 卷第 22 题为选考题,其他题为必考 考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 题.考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项: 注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的准考证号、姓名, .答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的准考证号、姓名, 并将条形码粘贴在指定位置上. 并将条形码粘贴在指定位置上. 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;非选择题答案 笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号; . 使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或炭素笔书写,字体工整,笔迹清楚. 毫米的黑色中性(签字)笔或炭素笔书写,字体工整,笔迹清楚. 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效. .请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效. 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损. .保持卡面清洁,不折叠,不破损. 5.作选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. .作选考题时,考生按照题目要求作答, 参考公式: 参考公式: 样本数据 x1 , x2 , L , xn 的标准差 锥体体积公式

s=

1 [( x1 ? x) 2 + ( x2 ? x)2 + L + ( xn ? x) 2 ] n

1 V = Sh 3
为底面面积、 其中 S 为底面面积、 h 为高 球的表面积、 球的表面积、体积公式

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式

V = Sh
为底面面积, 其中 S 为底面面积, h 为高

S = 4πR 2 , V =
其中 R 为球的半径

4 3 πR 3

第I卷
小题, 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 目要求的. 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 选择题: 1.已知命题 p : ?x ∈ R , sin x ≤ 1 ,则( A. ?p : ?x ∈ R , sin x ≥ 1 C. ?p : ?x ∈ R , sin x > 1 )

B. ?p : ?x ∈ R , sin x ≥ 1 D. ?p : ?x ∈ R , sin x > 1

2.已知平面向量 a = (11) b = (1 ? 1) ,则向量 ,, , A. ( ?2, 1) ? C. (?1 0) , B. (?2, 1) D. ( ?1 2) ,

1 3 a? b=( 2 2



3.函数 y = sin ? 2 x ?

? ?

π? ? π ? ? 在区间 ? ? ,π ? 的简图是( 3? ? 2 ?



共 11 页 第 1 页

y
? π 3

y
1
π 6
π

1

π ? 2

O
?1

x

?

π ?π O 3 2

?1

π 6

π x

A.

B.

y
1
π ? 2 π O ? 6
π 3

y
π

?

x

?

?1

π 2

π 6

1
π 3

O
?1
D.

π x

C.

开始

4.已知 {an } 是等差数列, a10 = 10 ,其前 10 项和 S10 = 70 ,则 其公差 d = ( A. ? ) B. ?

k =1 S =0

5.如果执行右面的程序框图,那么输出的 S = ( A.2450 B.2500 C.2550 D.2652 6.已知抛物线 y = 2 px ( p > 0) 的焦点为 F ,
2

2 3

1 3

C.

1 3

D.

2 3


k ≤ 50?




S = S + 2k

输出 S 结束

点 P ( x1,y1 ),P2 ( x2,y2 ) , P3 ( x3,y3 ) 在抛物线上, 1 且 2 x2 = x1 + x3 , 则有( A. FP + FP2 = FP3 1 C. 2 FP2 = FP + FP3 1 ) B. FP + FP2 1
2 2

k = k +1

= FP3

2

D. FP2

2

= FP·FP3 1
( a + b) 2 的最小值是 ( cd


7. 已知 x > 0 ,y > 0 ,x,a,b,y 成等差数列,x,c,d,y 成等比数列, 则 A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 20

8.已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出 寸 (单位: , cm) 可得这个几何体的体积是 ( )

20 正视图

20 侧视图

的 尺

4000 3 cm 3 8000 3 cm B. 3
A.
共 11 页 第 2 页

10

10

20 俯视图

C. 2000cm D. 4000cm

3

3

9.若

cos 2α 2 =? ,则 cos α + sin α 的值为( π? 2 ? sin ? α ? ? 4? ?
7 2
B. ?



A. ?

1 2

C.

1 2
1 x

D.

7 2


10.曲线 y = e 2 在点 (4,e 2 ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( A.

9 2 e 2
甲的成绩

B. 4e

2

C. 2e

2

D. e

2

11.甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭 20 次,三人的测试成绩如下表 环数 频数 7 5 8 5 9 5 10 5 环数 三名运动员这次 频数 差,则有( ) B. s2 > s1 > s3 D. s2 > s3 > s1

s1,s2,s3 分 别

乙的成绩 7 6 8 4 9 4 10 6

表示甲、乙、丙 测试成绩的标准

丙的成绩 环数 频数 7 4 8 6 9 6 10 4

A. s3 > s1 > s2 C. s1 > s2 > s3

12.一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱,这个四棱锥的底面为正方形,且底面边长与各 侧棱长相等, 这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等. 设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为 h1 ,h2 ,

h ,则 h1 : h2 : h = (
A. 3 :1:1

) C. 3 : 2 : 2 D. 3 : 2 : 3

B. 3 : 2 : 2

第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分, 题为必考题,每个试题考生都必须做答, 本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题-第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答,第 22 题 为选考题,考生根据要求做答. 为选考题,考生根据要求做答. 填空题: 小题, 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. . 13. 已知双曲线的顶点到渐近线的距离为 2, 焦点到渐近线的距离为 6, 则该双曲线的离心率为

( x + 1)( x + a ) 为奇函数,则 a = . x ?5 + 10i 15. i 是虚数单位, = . (用 a + bi 的形式表示, a,b ∈ R ) 3 + 4i
14.设函数 f ( x ) = 16.某校安排 5 个班到 4 个工厂进行社会实践,每个班去一个工厂,每个工厂至少安排一个班,不同的安 种. (用数字作答) 排方法共有
共 11 页 第 3 页

解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 如 图 , 测 量 河 对 岸 的 塔 高 AB 时 , 可 以 选 与 塔 底 B 在 同 一 水 平 面 内 的 两 个 测 点 C 与 D . 现 测 得

∠BCD = α,∠BDC = β,CD = s ,并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 θ ,求塔高 AB .

S

O B A

C

18. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱锥 S ? ABC 中,侧面 SAB 与侧面 SAC 均为等边三角形, ∠BAC = 90° O 为 BC 中点. , (Ⅰ)证明: SO ⊥ 平面 ABC ; (Ⅱ)求二面角 A ? SC ? B 的余弦值. 19. (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,经过点 (0,2) 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆

x2 + y 2 = 1 有两个不同的交点 P 和 2

Q.
(I)求 k 的取值范围; (II) 设椭圆与 x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为 A,B , 是否存在常数 k , 使得向量 OP + OQ 与 AB 共线?如果存在,求 k 值;如果不存在,请说明理由. 20. (本小题满分 12 分) 如图,面积为 S 的正方形 ABCD 中有一个不规则的图形 M ,可按
共 11 页 第 4 页

uuu uuur r C

uuu r

D

下 面 方

M

A

B

法估计 M 的面积:在正方形 ABCD 中随机投掷 n 个点,若 n 个点中有 m 个点落入 M 中,则 M 的面积的

m S ,假设正方形 ABCD 的边长为 2, M 的面积为 1,并向正方形 ABCD 中随机投掷 10000 个 n 点,以 X 表示落入 M 中的点的数目. (I)求 X 的均值 EX ;
估计值为 (II)求用以上方法估计 M 的面积时, M 的面积的估计值与实际值之差在区间 ( ?0.03, ) 内的概率. 0.03 附表: P ( k ) =

∑C
t =0

k

t 10000

× 0.25t × 0.7510000?t
2424 2425 0.0423 2574 0.9570 2575 0.9590

k
P(k )

0.0403

21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) = ln( x + a ) + x 2 (I)若当 x = ?1 时, f ( x) 取得极值,求 a 的值,并讨论 f ( x) 的单调性; (II)若 f ( x) 存在极值,求 a 的取值范围,并证明所有极值之和大于 ln

e . 2

22.请考生在 A,B,C 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时,用 2B 铅笔 请考生在 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时, 在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 22.A(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 P 如图,已知 AP 是 O 的切线, P 为切点, AC 是 O 的割 线,与 O 交于 B,C 两点,圆心 O 在 ∠PAC 的内部, 点

M 是 BC 的中点. (Ⅰ)证明 A P,O,M 四点共圆; ,
(Ⅱ)求 ∠OAM + ∠APM 的大小.

A B M

O

C
22.B(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

O1 和 O2 的极坐标方程分别为 ρ = 4 cos θ,ρ = ?4 sin θ .
(Ⅰ)把

O1 和 O2 的极坐标方程化为直角坐标方程; O1 , O2 交点的直线的直角坐标方程.

(Ⅱ)求经过

22.C(本小题满分 10 分)选修 4 ? 5 ;不等式选讲 设函数 f ( x) = 2 x + 1 ? x ? 4 . (I)解不等式 f ( x) > 2 ; (II)求函数 y = f ( x) 的最小值.
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2007 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题参考答案(宁夏) 理科数学试题参考答案(宁夏)
一、选择题 1.C 2.D 7.D 8.B 二、填空题 14. ?1 13. 3 三、解答题

3.A 9.C 15. 1 + 2i

4.D 10.D 16.240

5.C 11.B

6.C 12.B

17.解:在 △BCD 中, ∠CBD = π ? α ? β . 由正弦定理得 所以 BC =

BC CD = . sin ∠BDC sin ∠CBD

CD sin ∠BDC s sin β · = . sin ∠CBD sin(α + β ) s tan θ sin β · . sin(α + β )
S
为等腰

在 Rt△ ABC 中, AB = BC tan ∠ACB =

18.证明: (Ⅰ) 由题设 AB= AC = SB= SC = SA , 连结 OA ,△ ABC 直 角 三 角 形 , 所 以 OA = OB = OC =

2 SA , 且 2
O B

M C A

AO ⊥ BC ,又 △SBC 为等腰三角形,故 SO ⊥ BC ,且 SO = 2 SA ,从而 OA2 + SO 2 ? SA2 . 2

所以 △SOA 为直角三角形, SO ⊥ AO . 又 AO I BO = O . 所以 SO ⊥ 平面 ABC . (Ⅱ)解法一: 取 SC 中点 M ,连结 AM,OM ,由(Ⅰ)知 SO = OC,SA = AC ,得 OM ⊥ SC,AM ⊥ SC .

∴ ∠OMA 为二面角 A ? SC ? B 的平面角. 由 AO ⊥ BC,AO ⊥ SO,SO I BC = O 得 AO ⊥ 平面 SBC .
所以 AO ⊥ OM ,又 AM =

3 SA , 2

故 sin ∠AMO =

AO 2 6 = = . AM 3 3

所以二面角 A ? SC ? B 的余弦值为

3 . 3
共 11 页 第 7 页

解法二: 以 O 为坐标原点,射线 OB,OA 分别为 x 轴、 y 轴的正半轴,建立如图的空间直角坐标系 O ? xyz .

, 0) , 0) 1 ,, 0, 设 B (1 0, ,则 C ( ?1 0,,A(0,0) S (0,1) .

r r 1 ? uuur ? 1 1 ? uuu ? 1 1 ? uuuu ? 1 SC 的中点 M ? ? , ? , MO = ? , ? ?, = ? , ? ?, = (?1 0, 1) . MA SC 0, 0, 1 , ,? 2? 2? ? 2 2? ?2 ?2

uuuu uuu r r uuur uuu r ∴ MO SC = 0, · = 0 . · MA SC
uuuu uuur r 故 MO ⊥ SC,MA ⊥ SC,< MO, MA > 等 于 二 面 角 A ? SC ? B 的平面角. uuuu uuur r uuuu uuur r MO MA · 3 cos < MO, >= uuuu uuur = MA , r 3 MO·MA
所以二面角 A ? SC ? B 的余弦值为

z

S

M C A
y

O

3 . 3

x

B

19.解: (Ⅰ)由已知条件,直线 l 的方程为 y = kx + 2 ,

x2 代入椭圆方程得 + (kx + 2) 2 = 1 . 2
整理得 ?

?1 ? + k 2 ? x 2 + 2 2kx + 1 = 0 ?2 ?



直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于 ? = 8k 2 ? 4 ?

?1 ? + k 2 ? = 4k 2 ? 2 > 0 , ?2 ?

解得 k < ?

? ? 2 2 2? ? 2 或k > .即 k 的取值范围为 ? ?∞, ? , ∞? . + ? ?U? ? ? ? 2 2 2 ? ? 2 ? ? uuu uuur r (Ⅱ)设 P ( x1,y1 ),Q ( x2,y2 ) ,则 OP + OQ = ( x1 + x2,y1 + y2 ) , 4 2k . 1 + 2k 2


由方程①, x1 + x2 = ?

又 y1 + y2 = k ( x1 + x2 ) + 2 2 . 而 A( 2,,B (0,, = ( ? 2, . 0) 1) AB 1)



uuu r

所以 OP + OQ 与 AB 共线等价于 x1 + x2 = ? 2( y1 + y2 ) ,

uuu uuur r

uuu r

共 11 页 第 8 页

将②③代入上式,解得 k =

2 . 2

由(Ⅰ)知 k < ?

2 2 或k > ,故没有符合题意的常数 k . 2 2

20.解: 每个点落入 M 中的概率均为 p = 依题意知 X ~ B ? 10000, ? . (Ⅰ) EX = 10000 ×

1 . 4

? ?

1? 4?

1 = 2500 . 4

(Ⅱ)依题意所求概率为 P ? ?0.03 <

? ?

X ? × 4 ? 1 < 0.03 ? , 10000 ?

X ? ? P ? ?0.03 < × 4 ? 1 < 0.03 ? = P (2425 < X < 2575) 10000 ? ? =
2574

t = 2426 2574 t = 2426

∑C ∑

t 10000

× 0.25t × 0.7510000 ?t
2425 t =0

=

t t C10000 × 0.25t × 0.7510000 ?t ? ∑ C10000 × 0.25t × 0.7510000 ?1

= 0.9570 ? 0.0423 = 0.9147 .
21.解: (Ⅰ) f ′( x ) =

1 + 2x , x+a

依题意有 f ′( ?1) = 0 ,故 a = 从而 f ′( x) =

3 . 2

2 x 2 + 3 x + 1 (2 x + 1)( x + 1) = . 3 3 x+ x+ 2 2

3 ? 3 ? f ( x) 的定义域为 ? ? , ∞ ? ,当 ? < x < ?1 时, f ′( x) > 0 ; + 2 ? 2 ?
当 ?1 < x < ? 当x>?

1 时, f ′( x) < 0 ; 2

1 时, f ′( x) > 0 . 2

共 11 页 第 9 页

从而, f ( x ) 分别在区间 ? ? , 1 ?,? , ∞ ? 单调增加,在区间 ? ?1 ? ? ? + ,

? 3 ? 2

? ? 1 ? ? 2

? ?

? ?

1? ? 单调减少. 2?

(Ⅱ) f ( x ) 的定义域为 (? a, ∞) , f ′( x) = +
2 2

2 x 2 + 2ax + 1 . x+a

方程 2 x + 2ax + 1 = 0 的判别式 ? = 4a ? 8 . (ⅰ)若 ? < 0 ,即 ? 2 < a <

2 ,在 f ( x) 的定义域内 f ′( x) > 0 ,故 f ( x) 的极值.

(ⅱ)若 ? = 0 ,则 a ? 2 或 a = ? 2 . 若a =

2 , x ∈ (? 2, ∞) , f ′( x) = +

( 2 x ? 1)2 . x+ 2

当x=?

? ? 2 2? ? 2 时, f ′( x ) = 0 ,当 x ∈ ? ? 2, ? , ∞ ? 时, f ′( x) > 0 ,所以 f ( x) 无极值. + ? ?U?? ? ? ? 2 2 ? ? 2 ? ?

( 2 x ? 1)2 若 a = ? 2 , x ∈ ( 2, ∞) , f ′( x ) = + > 0 , f ( x) 也无极值. x? 2
(ⅲ)若 ? > 0 ,即 a >

2 或 a < ? 2 ,则 2 x 2 + 2ax + 1 = 0 有两个不同的实根 x1 =

?a ? a 2 ? 2 , 2

x2 =

?a + a 2 ? 2 . 2

当 a < ? 2 时, x1 < ? a,x2 < ? a ,从而 f ′( x ) 有 f ( x ) 的定义域内没有零点,故 f ( x ) 无极值. 当a >

2 时,x1 > ? a ,x2 > ? a , f ′( x) 在 f ( x) 的定义域内有两个不同的零点, 由根值判别方法知 f ( x )

在 x = x1,x = x2 取得极值. 综上, f ( x ) 存在极值时, a 的取值范围为 ( 2, ∞) . +

f ( x) 的极值之和为
1 e f ( x1 ) + f ( x2 ) = ln( x1 + a ) + x12 + ln( x2 + a ) + x2 2 = ln + a 2 ? 1 > 1 ? ln 2 = ln . 2 2

共 11 页 第 10 页

P
22.A (Ⅰ)证明:连结 OP,OM . 因为 AP 与 O 相切于点 P ,所以 OP ⊥ AP . 因为 M 是 O 的弦 BC 的中点,所以 OM ⊥ BC .

A B

O M C


于是 ∠OPA + ∠OMA = 180° . 由圆心 O 在 ∠PAC 的内部, 可知四边形 APOM 的对角 补,所以 A P,O,M 四点共圆. , (Ⅱ)解:由(Ⅰ)得 A P,O,M 四点共圆,所以 ∠OAM = ∠OPM . ,

由(Ⅰ)得 OP ⊥ AP . 由圆心 O 在 ∠PAC 的内部,可知 ∠OPM + ∠APM = 90° . 所以 ∠OAM + ∠APM = 90° . 22.B 解:以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴,建立平面直角坐标系,两坐标系中取相同的长度单位. (Ⅰ) x = ρ cos θ , y = ρ sin θ ,由 ρ = 4 cos θ 得 ρ 2 = 4 ρ cos θ . 所以 x 2 + y 2 = 4 x .
2 2 即 x + y ? 4x = 0 为

O1 的直角坐标方程. O2 的直角坐标方程.

同理 x 2 + y 2 + 4 y = 0 为 (Ⅱ)由

2 ? 2 ? ? x + y ? 4 x = 0, ? x1 = 0, x2 = 2 解得 ? . ? ? 2 2 ?x + y + 4 y = 0 ? y1 = 0, y2 = ?2 ? ?



O1 , O2 交于点 (0, 和 (2, 2) .过交点的直线的直角坐标方程为 y = ? x . 0) ?
y

22.C解: (Ⅰ)令 y = 2 x + 1 ? x ? 4 ,则

1 ? x≤? , ?? x ? 5, 2 ? 1 ? y = ?3 x ? 3, ? < x < 4,........3 分 ....... 2 ? ? x + 5, x ≥ 4. ? ?

y=2 O 1 ? 2
4

x

作出函数 y = 2 x + 1 ? x ? 4 的图象,它与直线 y = 2 的交点为 (?7, 和 ? ,? . 2) 2

?5 ?3

? ?

所以 2 x + 1 ? x ? 4 > 2 的解集为 ( ? x, 7) U ? , x ? . ? + (Ⅱ)由函数 y = 2 x + 1 ? x ? 4 的图像可知,当 x = ?

?5 ?3

? ?

1 9 时, y = 2 x + 1 ? x ? 4 取得最小值 ? . 2 2

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