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2015-2016学年高中数学 1.4生活中的优化问题举例练习 新人教A版选修2-2


2015-2016 学年高中数学 1.4 生活中的优化问题举例练习 新人教 A 版选修 2-2
一、选择题 1.要制做一个圆锥形的漏斗,其母线长为 20cm,要使其体积最大,则高为( A. 3 cm 3 16 3 cm 3 10 3 B. cm 3 20 3 D. cm 3 )

C.

[答案] D [解析] 设圆锥的高为 x,则底面半径为 20 -x , 1 2 其体积为 V= π x(400-x ) (0<x<20), 3
2 2

V′= π (400-3x2),令 V′=0,解得 x=

1 3

20 3 . 3

20 3 20 3 当 0<x< 时,V′>0;当 <x<20 时,V′<0, 3 3 20 3 所以当 x= 时,V 取最大值. 3 2.(2015·吉林市实验中学高二期中)如图是函数 f(x)=x +bx +cx+d 的大致图象, 则 x1+x2=( )
3 2

A. C.

2 3 8 9

10 B. 9 28 D. 9

[答案] A [分析] 由图象知 f(-1)=f(0)=f(2)=0,解出 b、c、d 的值,利用 x1 和 x2 是 f′(x) =0 的根,使用根与系数的关系得到 x1+x2. [解析] ∵f(x)=x +bx +cx+d,由图象知,f(-1)=f(0)=f(2)=0,∴-1+b-c
3 2

1

+d=0,d=0, 8+4b+2c+d=0,∴d=0,b=-1,c=-2, ∴f(x)=x -x -2x,∴f′(x)=3x -2x-2. 由题意有 x1 和 x2 是函数 f(x)的极值, 2 ∴x1 和 x2 是 f′(x)=0 的根,∴x1+x2= , 3 故选 A. 3. 用总长为 6m 的钢条制作一个长方体容器的框架, 如果所制作容器的底面的相邻两边 长之比为 3?4,那么容器容积最大时,高为( A.0.5m C.0.8m [答案] A 6-12x-16x ?3 ? [解析] 设容器底面相邻两边长分别为 3xm、4xm,则高为 =? -7x?(m), 4 ?2 ? 3? ?3 ? 2 3? 2 容积 V=3x·4x·? -7x?=18x -84x ?0<x< ?,V′=36x-252x , 2 14 ? ? ? ? 1 ? 1? ?1 3 ? 由 V′=0 得 x= 或 x=0(舍去).x∈?0, ?时,V′>0,x∈? , ?时,V′<0,所以 7 ? 7? ?7 14? 1 在 x= 处,V 有最大值,此时高为 0.5m. 7 4.内接于半径为 R 的球且体积最大的圆锥的高为( A.R 4 C. R 3 [答案] C [解析] 设圆锥高为 h,底面半径为 r,则 R =(h-R) +r ,∴r =2Rh-h , 1 π 2 π 3 2 2 2 ∴V= π r h= h(2Rh-h )= π Rh - h , 3 3 3 3
2 2 2 2 2 3 2 2

) B.1m D.1.5m

)

B.2R 3 D. R 4

V′= π Rh-π h2.令 V′=0 得 h= R.
4 4R 当 0<h< R 时,V′>0;当 <h<2R 时,V′<0. 3 3 4 因此当 h= R 时,圆锥体积最大.故应选 C. 3 5.设圆柱的体积为 V,那么其表面积最小时,底面半径为( 3 A. V B. 3 V π
2

4 3

4 3

)

3 C. 4V [答案] D

3 D.

V


[解析] 设底面圆半径为 r,高为 h,则 V=π r h,

2

V V 2V 2 2 2 ∴h= 2.∴S 表=2S 底+S 侧=2π r +2π r·h=2π r +2π r· 2=2π r + . πr πr r
3 2V ∴S 表′=4π r- 2 ,令 S 表′=0 得,r=

V


r

, 3 ,V)时,S 表′>0,∴当 r=

3 又当 x∈(0, 表面积最小.

V


3 )时,S 表′<0;当 x∈(

V


V


时,

6.福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第 x 小时时, 1 3 2 原油温度(单位:℃)为 f(x)= x -x +8(0≤x≤5),那么,原油温度的瞬时变化率的最小 3 值是( A.8 C.-1 [答案] C [解析] 瞬时变化率即为 f ′(x)=x -2x 为二次函数,且 f ′(x)=(x-1) -1,又 x ∈[0,5], 故 x=1 时,f ′(x)min=-1. 二、填空题 7.用长为 18m 的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为 2?1, 该长方体的最大体积是________________. [答案] 3m
3 2 2

) 20 B. 3 D.-8

9 3 ? 2?9 [解析] 设长方体的宽为 x, 则长为 2x, 高为 -3x (0<x< ), 故体积为 V=2x ? -3x? 2 2 ?2 ? =-6x +9x ,
3 2

V′=-18x2+18x,令 V′=0 得,x=0 或 1,
3 ∵0<x< ,∴x=1. 2 ∴该长方体的长、宽、高各为 2m、1m、1.5m 时,体积最大,最大体积 Vmax=3m . 2 3 8.某厂生产某种产品 x 件的总成本:C(x)=1 200+ x ,又产品单价的平方与产品件 75
3

3

数 x 成反比,生产 100 件这样的产品的单价为 50 元,总利润最大时,产量应定为 ________________件. [答案] 25 [解析] 设产品单价为 a 元,又产品单价的平方与产品件数 x 成反比,即 a x=k, 500 2 3 250 2 2 由题知 a= .总利润 y=500 x- x -1200(x>0),y′= - x , 75 x x 25 由 y′=0,得 x=25,x∈(0,25)时,y′>0,x∈(25,+∞)时,y′<0,所以 x=25 时,y 取最大值. 9.如图所示, 一窗户的上部是半圆, 下部是矩形, 如果窗户面积一定, 窗户周长最小时,x 与 h 的比为________________. [答案] 1?1 π 2 S π [解析] 设窗户面积为 S,周长为 L,则 S= x +2hx,h= - x, 2 2x 4 π S ∴窗户周长 L=π x+2x+2h= x+2x+ , 2 x π S ∴L′= +2- 2. 2 x 由 L′=0,得 x= 2S ? ,x∈?0, π +4 ? 2S ? ? ?时,L′<0,x∈? π +4? ?
2 2

2S ? ,+∞?时, π +4 ?

L′>0,∴当 x=
三、解答题

2S h 2S-π x 2S π π +4 π 时,L 取最小值,此时 = = 2- = - =1. 2 π +4 x 4x 4x 4 4 4

10. (2014~2015·福州市八县联考)永泰某景区为提高经济效益, 现对某一景点进行改 造升级, 从而扩大内需, 提高旅游增加值, 经过市场调查, 旅游增加值 y 万元与投入 x(x≥10) 101 x 2 万元之间满足:y=f(x)=ax + x-bln ,a,b 为常数.当 x=10 万元时,y=19.2 万 50 10 元;当 x=30 万元时,y=50.5 万元.(参考数据:ln2=0.7,ln3=1.1,ln5=1.6). (1)求 f(x)的解析式; (2)求该景点改造升级后旅游利润 T(x)的最大值.(利润=旅游增加值-投入). [解析] (1)由条件可得 101 ? ?a×10 + 50 ×10-bln1=19.2, ? 101 ? ?a×30 + 50 ×30-bln3=50.5,
2 2

解得 a=-

1 ,b=1, 100

4

x 101 x 则 f(x)=- + x-ln (x≥10). 100 50 10 x 51 x (2)T(x)=f(x)-x=- + x-ln (x≥10), 100 50 10
-x 51 1 ?x-1??x-50? 则 T′(x)= + - =- , 50 50 x 50x 令 T′(x)=0,则 x=1(舍)或 x=50, 当 x∈(10,50)时,T′(x)>0,因此 T(x)在(10,50)上是增函数; 当 x∈(50,+∞)时,T′(x)<0,因此 T(x)在(50,+∞)上是减函数, ∴当 x=50 时,T(x)取最大值. 50 51 50 T(50)=- + ×50-ln =24.4(万元). 100 50 10 即该景点改造升级后旅游利润 T(x)的最大值为 24.4 万元.
2 2

2

一、选择题 11.以长为 10 的线段 AB 为直径画半圆,则它的内接矩形面积的最大值为( A.10 C.25 [答案] C [解析] 如图,设∠NOB=θ ,则矩形面积 S=5sinθ ·2·5cosθ =50sinθ ·cosθ = 25sin2θ ,故 Smax=25. B.15 D.50 )

12.若一球的半径为 r,作内接于球的圆柱,则圆柱侧面积的最大值为( A.2π r C.4π r
2

)

B.π r

2

2

1 2 D. π r 2

[答案] A [解析] 设内接圆柱的底面半径为 r1,高为 t, 则 S=2π r1t=2π r12 r -r1=4π r1 r -r1. ∴S=4π
2 2 4 4 r2r2 1-r1. 2 2 2 2

令(r r1-r1)′=0 得 r1=

2 r. 2

5

此时 S=4π ·

2 r· 2

r2-?

2 2 ? 2 ?2 2 r? =4π · r· r=2π r . 2 2 ?2 ?

13.已知某生产厂家的年利润 y(单位:万元)与年产量 x(单位:万件)的函数关系式为

y=- x3+4x+ ,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为(
A.3 万件 C.2 万件 [答案] C [解析] 本题考查了导数的应用及求导运算. ∵x>0,y′=-x +4=(2-x)(2+x), 令 y′=0,解得 x=2,所以 x∈(0,2)时,y′>0,
2

1 3

71 3

)

B.1 万件 D.7 万件

x∈(2,+∞)时,y′<0,y 先增后减.
∴x=2 时函数取最大值,选 C. 二、填空题 14.某商品一件的成本为 30 元,在某段时间内若以每件 x 元出售,可卖出(200-x)件, 要使利润最大每件定价为________________元. [答案] 85 [解析] 设每件商品定价 x 元,依题意可得 利润为 L=x(200-x)-30x=-x +170x(0<x<200).
2

L′=-2x+170,令-2x+170=0,解得 x=

170 =85. 2

因为在(0,200)内 L 只有一个极值,所以以每件 85 元出售时利润最大. 三、解答题 15.某厂生产某种电子元件,如果生产出一件正品,可获利 200 元,如果生产出一件次 品,则损失 100 元.已知该厂制造电子元件过程中,次品率 p 与日产量 x 的函数关系是:p = 3x (x∈N+). 4x+32 (1)写出该厂的日盈利额 T(元)用日产量 x(件)表示的函数关系式; (2)为获最大日盈利,该厂的日产量应定为多少件? [解析] (1)由意可知次品率 p=日产次品数/日产量,每天生产 x 件,次品数为 xp,正 品数为 x(1-p). 因为次品率 p= 有 x· 3x ,当每天生产 x 件时, 4x+32

3x ? 3x ? 件次品,有 x?1- ?件正品. 4x+32 ? 4x+32?

6

3x ? 3x ? 所以 T=200x?1- -100x· ? 4x+32 ? 4x+32? 64x-x =25· (x∈N+). x+8 ?x+32?·?x-16? (2)T′=-25· ,由 T′=0 得 x=16 或 x=-32(舍去).当 2 ?x+8? 0<x≤16 时,T′≥0;当 x≥16 时,T′≤0;所以当 x=16 时,T 最大.即该厂的日产量定 为 16 件,能获得最大日盈利. 16.(2014~2015·三峡名校联盟联考)时下,网校教学越来越受到广大学生的喜爱,它 已经成为学生们课外学习的一种趋势,假设某网校的套题每日的销售量 y(单位:千套)与销 售价格 x(单位:元/套)满足的关系式 y=
2

m 2 +4(x-6) ,其中 2<x<6,m 为常数.已知销 x-2

售价格为 4 元/套时,每日可售出套题 21 千套. (1)求 m 的值; (2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题 2 元(只考虑销售出的套数), 试确定销售价格 x 的值,使网校每日销售套题所获得的利润最大.(保留 1 位小数) [解析] (1)因为 x=4 时,y=21, 代入关系式 y= 解得 m=10. (2)由(1)可知,套题每日的销售量 y= 所以每日销售套题所获得的利润 10 2 +4(x-6) , x-2 +4(x-6) ,得 +16=21, x-2 2

m

2

m

f(x) = (x - 2)[
278(2<x<6),

10

x-2

+ 4(x - 6) ] = 10 + 4(x - 6) (x - 2) = 4x - 56x + 240x -

2

2

3

2

从而 f ′(x)=12x -112x+240=4(3x-10)(x-6)(2<x<6). 10 10 10 令 f ′(x)=0,得 x= ,且在(0, )上,f ′(x)>0,函数 f(x)单调递增;在( , 3 3 3 6)上,f ′(x)<0,函数 f(x)单调递减, 10 所以 x= 是函数 f(x)在(2,6)内的极大值点,也是最大值点, 3 10 所以当 x= ≈3.3 时,函数 f(x)取得最大值. 3 故当销售价格为 3.3 元/套时,网校每日销售套题所获得的利润最大. 17. (2014~2015·山东省德州市期中)统计表明某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油

2

7

1 3 量 y(升)关于行驶速度 x(千米/小时)的函数为 y= x3- x+8(0<x<120). 128000 80 (1)当 x=64 千米/小时时,行驶 100 千米耗油量多少升? (2)若油箱有 22.5 升油,则该型号汽车最多行驶多少千米? 100 25 [解析] (1)当 x=64 千米/小时时,要行驶 100 千米需要 = 小时, 64 16 1 3 25 3 要耗油( ×64 - ×64+8)× =11.95(升). 128000 80 16 (2)设 22.5 升油能使该型号汽车行驶 a 千米,由题意得, ( 1 3 a x3- x+8)× =22.5, 128000 80 x , 1 8 3 2 x+ - 128000 x 80 22.5

∴a=

1 8 3 设 h(x)= x2+ - , 128000 x 80 则当 h(x)最小时,a 取最大值, 1 8 x -80 h′(x)= x- 2= 2, 64000 x 64000x 令 h′(x)=0? x=80, 当 x∈(0,80)时,h′(x)<0,当 x∈(80,120)时,h′(x)>0, 故当 x∈(0,80)时,函数 h(x)为减函数,当 x∈(80,120)时,函数 h(x)为增函数, ∴当 x=80 时,h(x)取得最小值,此时 a 取最大值为 ∴a= 22.5 =200. 1 8 3 2 ×80 + - 128000 80 80
3 3

答:若油箱有 22.5 升油,则该型号汽车最多行驶 200 千米. 18.某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为 200m 的三级污水处理池(平面图如图所 示).如果池四周围墙建造单价为 400 元/m ,中间两道隔墙建造单价为 248 元/m ,池底建造 单价为 80 元/m ,水池所有墙的厚度忽视不计. (1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价; (2)若由于地形限制,该地的长和宽都不能超过 16m,试设计污水处理池的长和宽,使 总造价最低,并求出最低总造价. 200 [解析] 设污水处理池的长为 xm,则宽为 m,
2 2 2 2

x

再设总造价为 y 元,则有

8

200 200 259200 (1)y=2x×400+ ×2×400+248×2× +80×200=800x+ +

x

x

x

16000≥2

259200 800x· +16000=2×14400+16000=44800,

x

259200 当且仅当 800x= ,即 x=18(m)时,y 取得最小值.

x

100 ∴当污水处理池的长为 18m,宽为 m 时总造价最低,为 44800 元. 9 200 (2)∵0<x≤16,0< ≤16,

x

∴12.5≤x≤16,x≠18, ∴不能用基本不等式.但我们可用函数单调性定义或导数证明上述目标函数在区间 [12.5,16]上是减函数,从而利用单调性求得最小值. 324 由(1)知,y=φ (x)=800(x+ )+16000(12.5≤x≤16).

x

方法 1:利用定义证明单调性. 对任意 x1,x2∈[12.5,16],设 x1<x2, 1 1 800?x1-x2??x1x2-324? 则 φ (x1)-φ (x2)=800[(x1-x2)+324·( - )]= >0.

x1 x2

x1x2

∴φ (x1)>φ (x2), 故 y=φ (x)在[12.5,16]上为减函数. 从而有 φ (x)≥φ (16)=45000. 方法 2:利用导数判断单调性.

y′=φ ′(x)=800(1-

324 2 ),当 12.5≤x≤16 时,

x

x2-324 y′=800· <0, ∴φ (x)在[12.5,16]上为减函数. 从而 φ (x)≥φ (16)=45000. x2
∴当长为 16m、宽为 12.5m 时,总造价最低,最低造价为 45000 元.

9


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