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高中数学必修3人教A3.3.2几何概型及均匀随机数的产生(教、学案)


3. 3.2 几何概型及均匀随机数的产生
一、教材分析 1.几何概型是不同于古典概型的又一个最基本、最常见的概率模型,其概率计算原理通俗、简 单,对应随机事件及试验结果的几何量可以是长度、面积或体积. 2.如果一个随机试验可能出现的结果有无限多个,并且每个结果发生的可能性相等,那么该试 验可以看作是几何概型.通过适当设置, 将随机事件转化为几何问题, 即可利用几何概型的概率公式 求事件发生的概率. 二、教学目标 (1)正确理解几何概型的概念; (2)掌握几何概型的概率公式; (3)会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概 型; (4)了解均匀随机数的概念; (5)掌握利用计算器(计算机)产生均匀随机数的方法; (6)会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题. 三、教学重点难点 1、几何概型的概念、公式及应用; 2、利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中. 四、学情分析 五、教学方法 1.自主探究,互动学习 2.学案导学:见后面的学案。 3.新授课教学基本环节:预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲 点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习 六、课前准备 1、通过对本节知识的探究与学习,感知用图形解决概率问题的方法,掌握数学思想与逻 辑推理的数学方法;2、教学用具:投灯片,计算机及多媒体教学.七、课时安排:1 课时 七、教学过程 1、创设情境:在概率论发展的早期,人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结 果的随机试验是不够的, 还必须考虑有无限多个试验结果的情况。 例如一个人到单位的时间 可能是 8:00 至 9:00 之间的任何一个时刻;往一个方格中投一个石子,石子可能落在方格 中的任何一点??这些试验可能出现的结果都是无限多个。 2、基本概念: (1)几何概率模型:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 (面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型; (2)几何概型的概率公式: P(A)=

构成事件A的区域长度(面积或体 积) ; 试验的全部结果所构成 的区域长度(面积或体 积)

(3)几何概型的特点:1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;2)每个 基本事件出现的可能性相等. 3、例题分析:

1

课本例题略 例 1 判下列试验中事件 A 发生的概度是古典概型,还是几何概型。 (1)抛掷两颗骰子,求出现两个“4 点”的概率; (2)如课本 P132 图 3.3-1 中的(2)所示,图中有一个转盘,甲乙两人玩转盘游戏,规 定当指针指向 B 区域时,甲获胜,否则乙获胜,求甲获胜的概率。 分析:本题考查的几何概型与古典概型的特点,古典概型具有有限性和等可能性。而几 何概型则是在试验中出现无限多个结果,且与事件的区域长度有关。 解: (1)抛掷两颗骰子,出现的可能结果有 6×6=36 种,且它们都是等可能的,因此 属于古典概型; (2)游戏中指针指向 B 区域时有无限多个结果,而且不难发现“指针落在阴影部分” , 概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量,即与区域长度有关,因此属于几何概型. 例 2 某人欲从某车站乘车出差,已知该站发往各站的客车均每小时一班,求此人等车 时间不多于 10 分钟的概率. 分析: 假设他在 0~60 分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,但在 0 到 60 分钟 之间有无穷多个时刻,不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过几何概型的 求概率公式得到事件发生的概率.因为客车每小时一班,他在 0 到 60 分钟之间任何一个时刻 到站等车是等可能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关,而与 该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件. 解:设 A={等待的时间不多于 10 分钟},我们所关心的事件 A 恰好是到站等车的时刻位于 [50,60]这一时间段内,因此由几何概型的概率公式,得 P(A)= 间不多于 10 分钟的概率为

60 ? 50 1 = ,即此人等车时 60 6

1 . 6

小结:在本例中,到站等车的时刻 X 是随机的,可以是 0 到 60 之间的任何一刻,并且 是等可能的,我们称 X 服从[0,60]上的均匀分布,X 为[0,60]上的均匀随机数. 练习:1.已知地铁列车每 10min 一班,在车站停 1min,求乘客到达站台立即乘上车的 概率。 2.两根相距 6m 的木杆上系一根绳子,并在绳子上挂一盏灯,求灯与两端距离都大于 2m 的概率. 解:1.由几何概型知,所求事件 A 的概率为 P(A)=

1 ; 11 2 1 2.记“灯与两端距离都大于 2m”为事件 A,则 P(A)= = . 6 3

例 3 在 1 万平方千米的海域中有 40 平方千米的大陆架储藏着石油,假设在海域中任意 一点钻探,钻到油层面的概率是多少? 分析:石油在 1 万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是随机的而 40 平方千米可看 作构成事件的区域面积,有几何概型公式可以求得概率。 解:记“钻到油层面”为事件 A,则 P(A)=

储藏石油的大陆架面积 40 = =0.004. 所有海域的大陆架面积 10000

答:钻到油层面的概率是 0.004. 例 4 在 1 升高产小麦种子中混入了一种带麦诱病的种子,从中随机取出 10 毫升,则取 出的种子中含有麦诱病的种子的概率是多少? 分析:病种子在这 1 升中的分布可以看作是随机的,取得的 10 毫克种子可视作构成事

2

件的区域,1 升种子可视作试验的所有结果构成的区域,可用“体积比”公式计算其概率。 解:取出 10 毫升种子,其中“含有病种子”这一事件记为 A,则 P(A)=

取出的种子体积 10 = =0.01. 所有种子的体积 1000

答:取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是 0.01. 例 5 取一根长度为 3m 的绳子, 拉直后在任意位置剪断, 那么剪得两段的长都不小于 1m 的概率有多大? 分析:在任意位置剪断绳子,则剪断位置到一端点的距离取遍[0,3]内的任意数,并且 每一个实数被取到都是等可能的。 因此在任意位置剪断绳子的所有结果 (基本事件) 对应[0, 3]上的均匀随机数,其中取得的[1,2]内的随机数就表示剪断位置与端点距离在[1,2]内, 也就是剪得两段长都不小于 1m。这样取得的[1,2]内的随机数个数与[0,3]内个数之比就 是事件 A 发生的概率。 解法 1: (1)利用计算器或计算机产生一组 0 到 1 区间的均匀随机数 a1=RAND. (2)经过伸缩变换,a=a1*3. (3)统计出[1,2]内随机数的个数 N1 和[0,3] 内随机数的个数 N. (4)计算频率 fn(A)=

N1 即为概率 P(A)的近似值. N

解法 2: 做一个带有指针的圆盘, 把圆周三等分, 标上刻度[0, (这里 3 和 0 重合) 转 3] . 动圆盘记下指针在[1,2](表示剪断绳子位置在[1,2]范围内)的次数 N1 及试验总次数 N, 则 fn(A)=

N1 即为概率 P(A)的近似值. N

小结:用随机数模拟的关键是把实际问题中事件 A 及基本事件总体对应的区域转化为 随机数的范围。解法 2 用转盘产生随机数,这种方法可以亲自动手操作,但费时费力,试验 次数不可能很大;解法 1 用计算机产生随机数,可以产生大量的随机数,又可以自动统计试 验的结果, 同时可以在短时间内多次重复试验, 可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻 的认识. 例 6 在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 M,并以线段 AM 为边作正方形,求这个正 方形的面积介于 36cm2 与 81cm2 之间的概率. 分析:正方形的面积只与边长有关,此题可以转化为在 12cm 长的线段 AB 上任取一点 M, 求使得 AM 的长度介于 6cm 与 9cm 之间的概率. 解: (1)用计算机产生一组[0,1]内均匀随机数 a1=RAND. (2)经过伸缩变换,a=a1*12 得到[0,12]内的均匀随机数. (3)统计试验总次数 N 和[6,9]内随机数个数 N1 (4)计算频率

N1 . N

记事件 A={面积介于 36cm2 与 81cm2 之间}={长度介于 6cm 与 9cm 之间},则 P(A)的 近似值为 fn(A)=

N1 . N

3

八、反思总结,当堂检测。 九、发导学案、布置预习。 完成本节的课后练习及课后延伸拓展作业。 设计意图:布置下节课的预习作业,并对本节课巩固提高。教师课后及时批阅本节的延 伸拓展训练。 十、板书设计

十一、教学反思 本课的设计采用了课前下发预习学案,学生预习本节内容,找出自己迷惑的地方。课 堂上师生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等, 最后进行当堂检测,课后进行延伸拓展,以达到提高课堂效率的目的。 1、几何概型是区别于古典概型的又一概率模型,使用几何概型的概率计算公式时,一定要注意 其适用条件:每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例; 2、均匀随机数在日常生活中,有着广泛的应用,我们可以利用计算器或计算机来产生均 匀随机数,从而来模拟随机试验,其具体方法是:建立一个概率模型,它与某些我们感兴趣的 量(如概率值、常数 )有关,然后设计适当的试验,并通过这个试验的结果来确定这些量。 在后面的教学过程中会继续研究本节课,争取设计的更科学,更有利于学生的学习,也 希望大家提出宝贵意见,共同完善,共同进步! 十二、学案设计(见下页)

4

3.3.2 几何概型及均匀随机数的产生
课前预习学案 一、预习目标 1. 了解几何概型的概念及基本特点; 2. 掌握几何概型中概率的计算公式; 3. 会进行简单的几何概率计算. 二、预习内容 1. 基本事件的概念: 一个事件如果 基本事件的两个特点: 10.任何两个基本事件是 的; 20.任何一个事件(除不可能事件)都可以

事件,就称作基本事件.

.

2. 古典概型的定义:古典概型有两个特征: 10.试验中所有可能出现的基本事件 ; 20.各基本事件的出现是 ,即它们发生的概率相同. 具有这两个特征的概率称为古典概率模型. 简称古典概型. 3. 古典概型的概率公式, 设一试验有 n 个等可能的基本事件,而事件 A 恰包含其中的 m 个基本事件,则事件 A 的概率 P(A)定义为:
P( A) ? ?



问题情境: 试验1.取一根长度为 3m 的绳子,拉直后在任意位置剪断. 试验2.射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环.从外向内为白色,黑色,蓝色,红色,靶心是 金色. 奥运会的比赛靶面直径为 122cm ,靶心直径为 12.2cm .运动员在 70m 外射箭.假设 射箭都能射中靶面内任何一点都是等可能的.

问题:对于试验1:剪得两段的长都不小于 1m 的概率有多大? 试验2:射中黄心的概率为多少? 新知生成: 1.几何概型的概念:

2.几何概型的基本特点:

3.几何概型的概率公式:

三、提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容

5

课内探究学案 一、学习目标 1. 了解几何概型的概念及基本特点; 2. 掌握几何概型中概率的计算公式; 3. 会进行简单的几何概率计算. 学习重难点: 重点:概率的正确理解 难点:用概率知识解决现实生活中的具体问题。 二、学习过程 例题学习: 例 1 判下列试验中事件 A 发生的概度是古典概型,还是几何概型。 (1)抛掷两颗骰子,求出现两个“4 点”的概率; (2)如课本 P135 图中的(2)所示,图中有一个转盘,甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向 B 区域时,甲获胜,否则乙获胜,求甲获胜的概率。

例 2 某人欲从某车站乘车出差,已知该站发往各站的客车均每小时一班, 求此人等车时间不多于 10 分钟的概率.

例 3 在 1 万平方千米的海域中有 40 平方千米的大陆架储藏着石油, 假设在海域中任意一点钻探,钻到油层面的概率是多少?

例 4 在 1 升高产小麦种子中混入了一种带麦诱病的种子,从中随机取出 10 毫升, 则取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是多少?

例题参考答案: 例 1 分析:本题考查的几何概型与古典概型的特点,古典概型具有有限性和等可能性。 而几何概型则是在试验中出现无限多个结果,且与事件的区域长度有关。 解: (1)抛掷两颗骰子,出现的可能结果有 6×6=36 种,且它们都是等可能的,因此
6

属于古典概型; (2)游戏中指针指向 B 区域时有无限多个结果,而且不难发现“指针落在阴影部分” , 概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量,即与区域长度有关,因此属于几何概型. 例 2 分析:假设他在 0~60 分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,但在 0 到 60 分钟之间有无穷多个时刻,不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过几何概 型的求概率公式得到事件发生的概率.因为客车每小时一班,他在 0 到 60 分钟之间任何一个 时刻到站等车是等可能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关, 而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件. 解:设 A={等待的时间不多于 10 分钟},我们所关心的事件 A 恰好是到站等车的时刻位于 [50,60]这一时间段内,因此由几何概型的概率公式,得 P(A)= 间不多于 10 分钟的概率为

60 ? 50 1 = ,即此人等车时 60 6

1 . 6

小结:在本例中,到站等车的时刻 X 是随机的,可以是 0 到 60 之间的任何一刻,并且 是等可能的,我们称 X 服从[0,60]上的均匀分布,X 为[0,60]上的均匀随机数. 例 3 分析:石油在 1 万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是随机的, 而 40 平方千 米可看作构成事件的区域面积,由几何概型公式可以求得概率。 解:记“钻到油层面”为事件 A,则 P(A)=

储藏石油的大陆架面积 40 = =0.004. 所有海域的大陆架面积 10000

答:钻到油层面的概率是 0.004. 例4 分析:病种子在这 1 升中的分布可以看作是随机的,取得的 10 毫克种子可视作构成事 件的区域,1 升种子可视作试验的所有结果构成的区域,可用“体积比”公式计算其概率。 解:取出 10 毫升种子,其中“含有病种子”这一事件记为 A,则 P(A)=

取出的种子体积 10 = =0.01. 所有种子的体积 1000

答:取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是 0.01.

(三)反思总结

(四)当堂检测 1.在 500ml 的水中有一个草履虫,现从中随机取出 2ml 水样放到显微镜下观察,则发 现草履虫的概率是( ) A.0.5 B.0.4 C.0.004 D.不能确定 2. 平面上画了一些彼此相距 2a 的平行线, 把一枚半径 r<a 的硬币任意掷在这个平面上, 求硬币不与任何一条平行线相碰的概率. 3.某班有 45 个,现要选出 1 人去检查其他班的卫生,若每个人被选到的机会均等,则 恰好选中学生甲主机会有多大? 4.如图 3-18 所示,曲线 y=-x2+1 与 x 轴、y 轴围成一个区域 A,直线 x=1、直线 y=1、

7

x 轴围成一个正方形,向正方形中随机地撒一把芝麻,利用计算机来模拟这个试验,并统计 出落在区域 A 内的芝麻数与落在正方形中的芝麻数。

参考答案: 1.C(提示:由于取水样的随机性,所求事件 A: “在取出 2ml 的水样中有草履虫”的 概率等于水样的体积与总体积之比

2 =0.004) 500

2.解:把“硬币不与任一条平行线相碰”的事件 记为事件 A,为了确定硬币的位置,由硬币中心 O 向 靠得最近的平行线引垂线 OM, 垂足为 M, 如图所示, 这样线段 OM 长度(记作 OM)的取值范围就是[o,a], 只有当 r<OM≤a 时硬币不与平行线相碰,所以所求 事件 A 的概率就是 P(A)=

M 2a r o

(r , a]的长度 a ? r = a [0, a]的长度

3.提示:本题应用计算器产生随机数进行模拟试验,请按照下面的步骤独立完成。 (1)用 1~45 的 45 个数来替代 45 个人; (2)用计算器产生 1~45 之间的随机数,并记录; (3)整理数据并填入下表

试 验 50 次数 1 出现 的频 数 1 出现 的频 率

100

150 200 250 300 350 400 450 500 600 650 700 750 800 850 900 1000

1050

(4)利用稳定后 1 出现的频率估计恰好选中学生甲的机会。 4.解:如下表,由计算机产生两例 0~1 之间的随机数,它们分别表示随机点(x,y)的 坐标。如果一个点(x,y)满足 y≤-x2+1,就表示这个点落在区域 A 内,在下表中最后一列 相应地就填上 1,否则填 0。

x 0.598895 0.512284 0.496841 0.112796 0.359600 0.101260

y 0.940794 0.118961 0.784417 0.690634 0.371441 0.650512

计数 0 1 0 1 1 1

8

? 0.947386 0.117618 0.516465 0.596393

? 0.902127 0.305673 0.222907 0.969695

? 0 1 1 0

课后练习与提高 1.已知地铁列车每 10min 一班,在车站停 1min,求乘客到达站台立即乘上车的概率 2.两根相距 6m 的木杆上系一根绳子,并在绳子上挂一盏灯,求灯与两端距离都大于 2m 的概率 。 3.在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油,假设在海域中任意一 点钻探,钻到油层面的概率是多少?

4.某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时 间不多于10分钟的概率。

5.取一根长为3米的 绳子 ,拉直后在任意位置 剪断 ,那么剪得两段的长 都不 少于1 米的概率有多大?

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