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高中数学第二讲直线与圆的位置关系三圆的切线的性质及判定定理达标训练新人教A版选修4


三 圆的切线的性质及判定定理 更上一层楼 基础·巩固 1 如图 2-3-6,已知直线 AB 经过⊙O 上的一点 C,并且 OA=OB,CA=CB,求证:直线 AB 是⊙O 的切线. 图 2-3-6 思路分析:如图,由于直线 AB 经过⊙O 上一点 C,所以连结 OC,只要证明 OC⊥AB 即可. 证明:如图,连结 OC, ∵OA=OB,CA=CB, ∴OC 是等腰△OAB 底边 AB 上的中线. ∴AB⊥OC. 又∵点 C 在⊙O 上,∴AB 是⊙O 的切线. 2 已知 l1、l2 分别切⊙O 于点 A、B,且 l1∥l2,连结 AB,如图 2-3-7 所示. 图 2-3-7 求证:AB 是⊙O 的直径. 思路分析:过 A、O 作直线 OA,再证 OA 过点 B.不能先连结 AB,因为没有相关的定理可运用. 证明:过 O、A 两点作直线 OA. 1 ∵l1 切⊙O 于点 A,∴OA⊥l1. ∵l1∥l2,∴OA⊥l2. ∵l2 切⊙O 于点 B, ∴OA 过切点 B(经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点). ∴AB 为⊙O 的直径. 3 已知 AB 是⊙O 的直径,BC 是⊙O 的切线,切点为 B,OC 平行于弦 AD. 图 2-3-8 求证:DC 是⊙O 的切线. 思路分析:要证 DC 是⊙O 的切线,因为 D 是圆上的点,所以应想到连结 OD,再证明 OD 与 DC 垂直即可.题目中已经有∠OBC 是直角,根据图形,考虑证明三角形全等. 证明:连结 OD.∵OA=OD, ∴∠1=∠2. ∵AD∥OC,∴∠1=∠3,∠2=∠4. ∴∠3=∠4. 在△OBC 和△ODC 中,OB=OD,∠3=∠4,OC=OC, ∴△OBC≌△ODC. ∴∠OBC=∠ODC. ∵BC 是⊙O 的切线,∴∠OBC=90°. ∴∠ODC=90°. ∴DC 是⊙O 的切线. 综合·应用 4 如图 2-3-9 所示, D 是⊙O 的直径 AB 延长线上的一点, PD 是⊙O 的切线, P 是切点, ∠D=30°. 图 2-3-9 求证:PA=PD. 2 思路分析:欲证 PA=PD,只要证明∠A=∠D=30°即可. 证明:连结 OP,∵PD 是⊙O 的切线,P 为切点, ∴PO⊥PD.又∵∠D=30°,∴∠POD=60°. ∴∠A=30°.∴∠A=∠D.∴PA=PD. 5 某海域直径为 30 海里的暗礁区中心有一哨所,值班人员发现有一轮船从哨所正西方向 45 海里的 B 处向哨所驶来,哨所及时向轮船发出危险信号,但轮船没有收到信号,又继续前进 了 15 海里到达 C 处,才收到此哨所第二次发出的紧急危险信号. (1)若轮船收到第一次危险信号后,为避免触礁,航向改变角度至少应为东偏北多少度? (2)当轮船收到第二次危险信号时,为避免触礁,轮船航向改变的角度至少应为东偏南多少 度(精确到度)? 思路分析:轮船是否有触礁危险, 在于轮船航行所在的直线与以 A 点为圆心、 以 15 海里为半 径的圆的位置关系,此题应从直线与圆相切这一特殊位置关系入手.触礁问题是传统的三角 应用题,本题增设了第一次没有收到信号,二是两次分别指定了方位角,综合了解直角三角 形、直线与圆的位置关系、切线的性质与判定等知识.解此类题时要注意切线的作用. 解:(1)过 B 作⊙A 的切线,D 为切点,连结 DA,则∠ADB=90°. 在 Rt△ABD 中,sinα = AD 15 1 ? ? ,∴α ≈20°. AB 45 3 AE 15 1 ? = ,∠ACE=30°. A

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