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复变函数全课件-北京交通大学-闻国光老师


复变函数与积分变换(B)
教材
《复变函数》(四版)

西安交通大学高等数学教研室 编

2013-2014学年第一学期
1

联系方式
? 闻国光 ? 理学院数学系 ? 电子邮件: guoguang.wen@bjtu.edu.cn

2

2013年9月3日

第一章 复数与复变函数

3



象 复变函数(自变量为复数的函数)

主要任务 研究复变数之间的相互依赖关系,
具体地就是复数域上的微积分

主要内容 复数与复变函数、解析函数、
复变函数的积分、级数、留数、
共形映射、傅立叶变换和拉普

拉斯变换等
4

学习方法 复变函数中许多概念、理论、和
方法是实变函数在复数域内的推 广和发展,它们之间有许多相似 之处. 但又有不同之处,在学习 中要善于比较、区别、特别要注 意复数域上特有的性质与结果

5





?十六世纪,在解代数方程时引进复数 ?为使负数开方有意义,需要扩大数系,使实数域扩 大到复数域 ?在十八世纪以前,对复数的概念及性质了解得不清 楚,用它们进行计算又得到一些矛盾.在历史上长时 期人们把复数看作不能接受的“虚数” ?直到十八世纪,J.D’Alembert(1717-1783)与 L.Euler(1707-1783)等人逐步阐明了复数的几何意 义和物理意义,澄清了复数的概念 ?应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些 问题.复数被广泛承认接受,复变函数论顺利建立和 发展.
6

?十九世纪奠定复变函数的理论基础 ?三位代表人物: ? A.L.Cauchy (1789-1866) ?K.Weierstrass(1815-1897)分别应用积分和级数研 究复变函数 ?G.F.B.Riemann (1826-1866)研究复变函数的映照 性质 ?通过他们的努力,复变函数形成了非常系统的理论, 且渗透到了数学的许多分支,同时,它在热力学, 流体力学和电学等方面也得到了很多的应用.

7

§1复数及其代数运算
?

1. 复数的概念 2. 代数运算
3. 共轭复数
8

?

?

1. 复数的概念
定义 对任意两实数x、y ,称 z=x+iy或z=x+yi 为复数.
?复数z 的实部 Re(z) = x ; 虚部 Im(z) = y . (real part) (imaginary part) | z |? x 2 ? y 2 ? 0 ? 复数的模 ? 判断复数相等

z1 ? z2 ? x1 ? x2 , y1 ? y2 , 其中z1 ? x1 ? iy1 , z2 ? x2 ? iy2 z ? 0 ? Re(z ) ? Im( z ) ? 0

? 一般, 任意两个复数不能比较大小.
9

2. 代数运算
?四则运算

定义

z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为:
z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2) z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)
z1 x1 x2 ? y1 y2 x2 y1 ? x1 y2 z? ? ?i 2 2 z2 | z2 | | z2 | ( z2 ? 0)

10

?运算规律 复数的运算满足交换律、结合律、分配律. (与实数相同)即, z1+z2=z2+z1;

z1z2=z2z1;
(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3);

z1(z2z3)=(z1z2)z3;
z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .
11

3.共轭复数
定义 若z=x+iy , 称?z=x-iy 为z 的共轭复数. ?共轭复数的性质
(1) ( z1 ? z2 ) ? z1 ? z2
( z1 z2 ) ? z1 z2
(conjugate)

( 2) z ? z
(4) z ? z ? 2 Re (z ) z ? z ? 2i Im (z )

1 z ( 3) z z ? Re(z ) ? Im( z ) ? x ? y ? ? 2 z |z|
2 2 2 2
12

z1 z1 ( )? z2 z2

例1 : 设z1 ? 5 ? 5i , z2 ? ?3 ? 4i , z1 z1 求 , ( )及 它 们 的 实 部, 虚 部 . z2 z2

z1 5 ? 5i 7?i 解: ? ? z2 ? 3 ? 4i ?5
? 1? i ? 例2 : 求 ? ? ? 1? i ?
4

1? i ?i 1? i
13

§2 复数的表示方法
?
? ? ?

1. 点的表示
2. 向量表示法 3. 三角表示法

4. 指数表示法

14

1. 点的表示
易见, ? x ? iy ? 一对有序实数x, y ), z (
在 平 面 上 取 定 直 角 坐系 , 则 标 任 意 点 ( x , y ) ? 一 对 有 序 实 数x , y ) P ( ? z ? x ? iy ? 平 面 上 的 点 ( x , y ) P

? 复数z ? x ? iy可用平面上坐标为 ,y )的点P表示. (x
x 此时,轴 — 实 轴 y轴 — 虚 轴 平 面 — 复 平 面 或平 面 z
点的表示:z ? x ? iy ? 复平面上的点 ( x,y ) P

?

数z与点z同义.

15

2. 向量表示法

? z ? x ? iy ? 点P ( x,y ) ? OP ? { x , y }
称向量的长度为复数z=x+iy的模或绝对值; 以正实轴 为始边, 以 向量OP为终边的角的 弧度数 称为复数z=x+iy的辐角.(z≠0时)
y (z)
模 :z |?| OP |? r ? | 辐 角 : ? ? Argz
记作

? 可用向量OP表示z ? x ? iy .

x2 ? y2 ,

y

P(x,y)

z ?r
?

? ? z ? 0 ? OP ? 0

o

x

x
16

z ? 0时, Argz ) ? y / x tan(
辐角无穷多:Arg z=θ=θ0+2kπ, k∈Z,

把其中满足 ? ? ? ? 0 ? ?的θ0称为辐角Argz的主值, 记作θ0=argz. ? z=0时,辐角不确定. y ? x ? 0, y ? R ? arctan x ? ? 计算 ? ? ? x ? 0, y 0 ? arg z ? ? argz(z≠0) 2 ? ? ? y 的公式 ?arctan ? ? x ? 0, y 0 x ? ? ? ? x ? 0, y ? 0 ?
17

?

当z落于一,四象限时,不变.

?
?

?. 当z落于第三象限时,减 ? .
当z落于第二象限时,加

y ? ? ? arctan ? 2 x 2

?

18

19

20

21

由向量表示法知

z2 ? z1 — 点z1与z2之间的距离
由 此 得: z 2 ? z1 ? z 2 ? z1 z 2 ? z1 ? z 2 ? z1

y

(z)

z1

(三 角 不 等 式 )
o

z2

x

3. 三角表示法
? x ? r cos? 由? 得 ? y ? r sin?

4. 指数表示法
再 由Euler公 式: e i? ? cos? ? i sin?得

z ? r (cos ? ? i sin? )

z ? re i?
22

23

引进复数的几何表示,可将平面图形用复数方程 (或不等式)表示;反之,也可由给定的复数方 程(或不等式)来确定它所表示的平面图形. y (z) 例1 用复数方程表示: (1)过两点 zj=xj+iyj
L z1 z

z2

(j=1,2)的直线;
(2)中心在点(0, -1),
半径为2的圆. o x 解 (1) z=z1+t (z2-z1) (-∞<t <+∞)
24

(2)

z ? (?i ) ? 2
y

例2 方程 Re(i z ) ? 3 表示 什么图形? 解 设 z ? x ? iy

(z)
Re (iz ) ? 3

? i z ? i ( x ? iy ) ? y ? ix ? Re (i z ) ? y ? y?3

O 2

x
(0, -1)

故 Re (i z ) ? 3图 形 为 平行于实轴的直线
25

26

注意. 复数的各种表示法可以相互转化,以适应 不同问题的需要.

例3. 求 (1) 1 ? i (2) i (3) ? 3 (4) ? 1 ? 3i 的模, 辐角及辐角主值 .

2

例4. 求 (1) e (2) 3e 的模, 辐角 .
2i

?i

例5. 将z ? sin ? i cos 化 为 三 角 形 式 与 指 数 式. 形 5 5

?

?

27

2013年9月4日

28

29

30

31

§3 复数的乘幂与方根
?
? ?

1. 复数的乘积与商
2. 复数的乘幂 3.复数的方根

32

1. 乘积与商
定理1 证明 两个复数乘积的模等于它们的模相乘, 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加. 设 z1=r1(cosθ1+isinθ1)=r1eiθ1 z2=r2(cosθ2+isinθ2)=r2eiθ2 则 z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)( cosθ2+isinθ2) = r1r2[cos (θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)] =r1r2e i(θ1+θ2) 因此 |z1z2|=r1r2,Arg(z1z2)=Argz1+Argz2
33

几何意义 将复数z1按逆时针方向旋转一个角度 Argz2,再将其伸缩到|z2|倍. y

(z)
z1 z 2
?2

z2

z1
x

o

?2

?1

?

定理1可推广到n 个复数的乘积.
34

注意: Arg(z1z2)=Argz1+Argz2
由于辅角的多值性,因此,该等式两端都是无穷多个 数构成的两个数集,等式两端可能取的值的全体是相同 的, 也就是说,对于左端的任一值,右端必有一值和它 相等,并且反过来也一样。

35

例1.设z1 ? ?1, z2 ? i , 则 z1 z2 ? ?i
Argz1 ? ? ? 2m? m ? 0, ? 1, ? 2,?

Argz 2 ?

?
2

? 2n?

n ? 0, ? 1, ? 2,?

? Arg ( z1 z2 ) ? ? ? 2k? k ? 0, ? 1, ? 2,? 2 3? ? 代入上式 ? 2?m ? n?? ? ? ? 2k? 2 2

要使上式成立,必须且只需 k=m+n+1.

36

定理2

两个复数的商的模等于它们的模的商, 两个复数的商的辐角等于被除数与除 数的辐角之差. 由复数除法的定义 z=z2 /z1,即 z1z = z2 ∵|z||z1|=|z2| 及Argz1+Argz=Arg z2( z1≠0)

证明设 z1 ? rei?1 , z2 ? r2ei?2,z1 ? 0, 1

? Argz=Argz2-Argz1

z2 r2 i (?2 ??1 ) 即 z? ? e z1 r1
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2.复数的乘幂
定义 n个相同的复数z 的乘积,称为z 的n次幂, 记作z n,即z n=z?z???z(共n个).

设z=re iθ,由复数的乘法定理和数学归纳法可证 明 zn=rn(cos nθ+isin nθ)=rn einθ. 特别:当|z|=1时,即:zn=cosnθ+isin nθ,则有 (cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ 定义 棣模佛(De Moivre)公式. 1 ?n z ? n . 由定义得 z ? n ? r ? ne ? in? z
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3.复数的方根(开方)——乘方的逆运算
问题 给定复数z=re i ?,求所有的满足ωn=z 的 复数ω. 当z≠0时,有n个不同的ω值与 n z 相对应,每一

个这样的ω值都称为z 的n次方根,记? ? n z

设 ? ? ?e i? , 由? n ? z, 有 ? ne in? ? re i? ? ? n ? r , n? ? ? ? 2k? (k ? Z )

? ? ? n z ? n re n ? ? 2k? n
? r (cos n

i

? ? 2 k?

(k ? 0,1,2,?, n ? 1)
? i sin

? ? 2k?
n

)
39

?

当k=0,1,…,n-1时,可得n个不同的根, 而k取其它整数时,这些根又会重复出现. y 几何上,n z 的n个值是 ?1 1? i n r 为半 以原点为中心, 径的圆周上n个等分点, 28 ?0 2 即它们是内接于该圆周 x o 的正n边形的n个顶点. ?
2

如 ?k ? 4 1 ? i

?3 ? ? ? 2k? ? 2k? ? 8 2 (cos 4 ? i sin 4 ) ( k ? 0,1,2,3( 见 图 ) ) 4 4
40

例2 : 求

3

1

解 : ?1 ? ?cos0 ? i sin0?
3

0 ? 2k? 0 ? 2k? 1 ? cos ? i sin , ( k ? 0,1,2). 3 3

1 3 1 3 即?0 ? 1, ?1 ? ? ? i , ?2 ? ? ? i. 2 2 2 2

41

§4
? ? ?





1. 区域的概念 2. 简单曲线(或Jordan曲线) 3. 单连通域与多连通域

42

1. 区域的概念
?邻域 复平面上以 z 0为中心,任意δ> 0为半径的 圆 | z -z 0|<δ(或 0 <| z –z 0|<δ) 内部的点

的集合称为点 z 0 的δ(去心)邻域 .
记为U(z0 ,δ) (U ? ( z0 , ? ))即, U ( z0 , ? ) ? {z z ? z0 ? ? }

?

?

z0

(U ? ( z0 , ? ) ? { z 0 ? z ? z0 ? ? }) 设G是一平面上点集 内点 对任意z0属于G,若存在U(z 0 ,δ), 使该邻 域内的所有点都属于G,则称z 0是G的内点.
43

开集 若G内的每一点都是 内点,则称G是开集.

外点

z1
?

z2
z0 内点

?区域

设 D是一个开集, 且D是连通的,称 D是一个区域.

P

D-区域

属于 . 连通是指 D中任意两点均可用完全 D的折线连接

边界与边界点 已知点P不属于D,若点P的任何 邻域中都包含D中的点及不属于D的点,则称P是 D的边界点; D的所有边界点组成D的边界.
44

?闭区域

区域D与它的边界一起构成闭区域, 记为D.

有界区域与无界区域

若存在 R > 0, 对任意 z ∈D, 均有
z∈G={z | |z|<R},则D是有界区域;否则无界.

z ? z0 ? r 表 示 以z0 为 圆 点以 r 为 半 径 的 圆 内 所 有 的.点 ,

45

Re z ? ? , Im z ? ?表示分别平行于 y轴和x轴的直线 .

Re z ? 0表 示 右 半 复 平 面 , Im z ? 0表 示 下 半 复 平 面 .
r1 ? z ? z0 ? r2 表示一个圆环 且是有界的 ,而 .

它 的 边 界 由 两 个 圆 周 z0 ? r2 , z ? z0 ? r1组 成, z? 如 果 在 其 中 去 掉 一 个几 个 点它 仍 然 是 区 域 或 , , 只 是 边 界 增 加 了 一 个几 个 点 或 .
46

2. 简单曲线(或Jardan曲线)
平 面 上 一 条 连 续 曲 线表 示 为 : 可 ? x ? x( t ) ? (a ? t ? b),实 变 函 数 ( t )、y( t ) ? C[a , b] x ? ? y ? y( t ) ?

令z(t)=x(t)+iy(t)

a≤t≤b ;

则曲线方程可记为:z=z(t), a≤t≤b
若x' (t )、y' ( t ) ? C[a, b]且[ x' (t )]2 ? [ y' ( t )]2 ? 0 则称该曲线为光滑的 . 有限条光滑曲线相连接构成一条分段光滑曲线.
47

重点 设连续曲线C:z=z(t),a≤t≤b, 对于t1∈(a,b), t2 ∈[a, b],当t1≠t2时,若z(t1)=z(t2), 称z(t1)为曲线C的重点. 定义 称没有重点的连续曲线C为简单曲线或 Jardan曲线;若简单曲线C 满足z(a)=z(b)时,则称 此曲线C是简单闭曲线或Jordan闭曲线 .
z(a)=z(b)

z(t1)=z(t2) 不是简单闭曲线
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简单闭曲线

简单闭曲线的性质
任一条简单闭曲线 C:z=z(t), t∈[a,b],把复 平面唯一地分成三个互不相交的部分:一个是有 界区域,称为C的内部;一个是无界区域,称为 C的外部;还有一个是它们的公共边界.

3. 单连通域与多连通域
定义 复平面上的一个区域 B , 内部 如果B内的任何简单闭曲线的 C 内部总在B内,就称 B为单连通 z(a)=z(b) 域;非单连通域称为多连通域.

外部 边界

49

单连通域 例如

多连通域

|z|<R(R>0)是单连通的; 0≤r<|z|≤R是多连通的.

单连通域

多连通域
50

作业
P31 1(2)(4), 2, 8(3)(4)(5), 14(2)(4), 21(4)(8)(9) 22(3)(4)(6)

51

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53

54

55

§5 复变函数
? ? ?

1. 复变函数的定义 2. 映射的概念 3. 反函数或逆映射

1. 复变函数的定义—与实变函数定义相类似
定义 设G是 一 个 复 数 ? x ? iy的 非 空 集 合存 在 法 则 z , f , 使 得 ?z ? G , 就 有 一 个 或 几 个 ? u ? iv与 之 对 应 w , 则 称 复 变 数 是 复 变 数的 函 数 ( 简 称 复 变 函 ) w z 数 记 作 w ? f ( z ).

?若z ? 一个w值,称f ( z )是单值函数;
z ? 多个w值,称f ( z )是多值函数.
今后无特别声明,所讨 论的函数均为单值函数 。

G—f ( z)的定义集合,常常是平面区域(定义域)
G ? {w w ? f ( z ) , z ? G} — 函数值集合
*

? z ? x ? iy ? ( x , y ); w ? u ? iv ? ( u, v ) ? w ? f ( z ) ? f ( x ? iy ) ? u( x , y ) ? iv ( x , y )

故 u ? u( x, y ) v ? v( x, y )

w ? f ( z ) ? u ? iv ? u ? u( x , y ) v ? v( x, y )

例1 w ? z

2

令z ? x ? iy

w ? u ? iv

则 w ? ( u ? iv ) ? ( x ? iy ) 2 ? x 2 ? y 2 ? 2 xyi

?w ? z ? u ? x ? y
2 2

2

v ? 2 xy

? ? ? ? 1 1 ? ? iy? 1 ? 2 ? 例2 若已知 f ( z ) ? x ? 1 ? 2 2 ? 2 ? ? ? x ?y ? x ?y ? ? ? 将 f ( z )表示成z 的函数 .

1 1 设z ? x ? iy , 则x ? ( z ? z ), y ? ( z ? z ) 2 2i 1 f (z) ? z ? z

2. 映射的概念

——复变函数的几何意义

在几何上, w=f(z)可以看作:
z ? G ( z平面) ?w? f?? w ? G* (w平面)的映射 ? (z) (变换).

定义域 y

函数值集合

称w为z的象点映象),而z称为w的原象。 (
(z)
w=f(z) v

(w)
G*

z
o

G

w=f(z)
w

x

o

u

?复变函数的几何意义是一个映射(变换)

?

在复变函数中用两个复平面上点集之间的
对应关系来表达两对变量 u,v 与 x,y

之间的对应关系,以便在研究和理解复变
函数问题时,可借助于几何直观.

? 以下不再区分函数与映射(变换).

. 例3 研究w ? z 所构成的映射 解 设z ? r (cos? ? i sin? ) ? re i?
? z ? re ? i? —关于实轴对称的一个映射

?见图1-1~1-2 例4 研究w ? e i? z (?实常数)所构成的映射 . 解 设z ? re i? ? w ? e i? z ? e i? re i? ? re i (? ?? ) w ? u ? iv ? (cos? ? i sin? )( x ? iy )

? ( x cos? ? y sin? ) ? i ( x sin? ? y sin? ) 即 ,
?u ? x cos? ? y sin? —旋转变换(映射) ?见图2 ? ? v ? x sin? ? y sin?

y

(z)

v
o

(w)

o y、v

x
图1-1 (z)、(w) y、v

u

(z)、(w)

?
o
x、 u o x、 u

图1-2

图2

例5 y

研究w ? z 2 所构成的映射 .

(z)
?
w ? z2

v

(w)
2?

o y

x

o

u

(z)
w ? z2
? 6

v
w ? z2

(w)
? 3

o

x

x2 ? y2 ? 4

w ? z2

o

u

3. 反函数或逆映射
例 设 z=w2 则称 w ? z 为z=w2的反函数或逆映射

定义

设 w =f (z) 的定义集合为G,函数值集合为G*
(z) z ? G ?w ? f?? w ? G * ?

一个(或几个)z ? G ???)? w ? G * z ?? ( w 则称z=?(w)为w=f(z)的反函数(逆映射).
显 然 有 w ? f [? ( w )] ?w ? G * 当 反 函 数 单 值 时 ? ? [ f ( z )] ?z ? G (一般z ? ? [ f ( z )]) z

当 函 数 映 射)w ? f ( z )和 其 反 函 数逆 映 射 ( ( ) z ? ? ( w )都 是 单 值 的 , 则 称 函 (映 射)w ? f ( z ) 数 是 一 一 的 。 也 称 集 合 集 合 ?是 一 一 对 应 的 。 G与 G

例 已知映射w=

z3

? 在平面w上的象. ,求区域 0<argz< 3

1 例 已知映射 w ? , 判断: z平面上的曲线x 2 ? y 2 ? 1被 z 映射成 w平面上怎样的曲线 ?

2008.10.8 (第三次课)

§6 复变函数的极限与连续性
? ? ?

1. 函数的极限 2. 运算性质 3.函数的连续性

1. 函数的极限
定义 设 w ? f ( z ), z ? U ? ( z , ?), 若 存 在 数 ,?? ? 0, A 0
? ?(?) 当 0 ? z ? z0 ? ? 时, 有 f ( z ) ? A ? ?, ,
(0? ? ? ? )

则 称A为 f ( z )当z ? z0时 的 极 限 , 记 作 lim f ( z ) ? A
z ? z0

或 当z ? z0时 ,f ( z ) ? A

y

(z)
w ? f (z )
?

v

(w)
?
A

z0

o

x

o

u

几何意义: 当变点z一旦进 入z0 的充分小去 心邻域时,它的象 点f(z)就落入A的 一个预先给定的 ε邻域中

?

(1) 意义中 z

? z0 的方式是任意的. 与一元实变函数相比较要求更高. (2) A是复数.
(3) 若f(z)在 z0 处有极限,其极限是唯一的.

2. 运算性质
复变函数极限与其实部和虚部极限的关系:
定理1

设f ( z ) ? u( x, y ) ? iv( x, y )


z ? x ? iy z0 ? x0 ? iy0
lim u( x , y ) ? u0

lim f ( z ) ? A ? u0 ? iv0 ? ( x , y )?( x0 , y0 ) z ? z0 lim v ( x , y ) ? v0
( x , y )? ( x0 , y0 )

定理2
若 l i m f (z) ? A
z ? z0 z ? z0 z ? z0

l i m g( z ) ? B, 则
z ? z0 z ? z0 z ? z0

l i m ? f ( z ) ? g ( z )? ? l i m f ( z ) ? l i m g ( z ) ? A ? B l i m f ( z ) g ( z ) ? l i m f ( z ) l i m g ( z ) ? AB
z ? z0 z ? z0

i f ( z ) l?m f ( z ) A z z0 lim ? ( l i m g ( z ) ? 0) ? z ? z0 g ( z ) l i m g ( z ) z ? z0 B
z ? z0

?

以上定理用极限定义证!

例1 证明w ? x 2 ? y ? i ( x ? y 2 )在平面上处处有极限 .

? x 2 ? y, x ? y 2在平面上处处有极限
求f ( z ) ? z ? z 在z ? 0时的极限. 例2 z z

2( x ? y ) ? f (z) ? 在(0,0)处 极 限 不 存 在 . 2 2 x ?y
2 2

例3 证明 f ( z ) ? Re z

z

在z ? 0时的极限不存在.

3.函数的连续性
i f ; 定义 若 l?m f ( z ) ? f ( z0 ), 则 称 ( z )在z0处 连 续 z z
0

若 在 区 域 内 处 处 连 续 , 则 称 z )在D内 连 续 D f( ; 若z、z0 ? C , 且 l i m f ( z ) ? f ( z0 ), 则 称 ( z ) f
z ? z0

在 曲 线 上 点z0处 连 续 C .

定理3

设f ( z ) ? u( x , y ) ? iv( x , y ) 在 z0 ? x0 ? iy0处连续 ? ( x , y )? ( x0 , y0 ) . lim v ( x , y ) ? v ( x0 , y0 )
( x , y )? ( x 0 , y0 )

lim

u( x , y ) ? u( x0 , y0 )

例4 证明f (z)=argz在原点及负实轴上不连续. 证明 (1) ? f ( z ) ? arg z在 原 点 没 有 定 义 ,

故不连续。

( 2)在 负 实 轴 上 ?P ( x ,0)( x ? 0) ? l i m arg z ? ? ?
y?0 y?0

y z o

(z)

l i m arg z ? ?? ?

?P ( x ,0)

x

? arg z在 负 实 轴 上不连续。

z

定理4 连续函数的和、差、积、商 (分母不为0) 仍为连续函数; 连续函数的复合函数仍为连续函数.
由以上讨论 ? P ( z ) ? a0 ? a1 z ? ? ? a n z n在 整 个 复 平 面 内 是 连 的 ; 续 P(z) R( z ) ? 在 复 平 面 内 除 分 母 0点 外 处 处 连 续 为 . Q( z )

有界性:
设 曲 线 为 闭 曲 线 或 端 点 包 括内 的 曲 线 段 C 在 若f ( z )在C上 连 续? ?M ? 0, 在 曲 线 上 恒 有 ( z ) ? M f

第二章 解析函数
?

第一节

解析函数的概念

?
?

第二节 函数解析的充要条件
第三节 初等函数

§2.1 解析函数的概念
?

1. 复变函数的导数定义

?

2. 解析函数的概念

一. 复变函数的导数
(1)导数定义
定义 设函数w=f (z) z∈D, 且z0、 z0 +Δz∈D,
f ( z0 ? ?z ) ? f ( z0 ) lim 如果极限 ?z ?0 存在,则称函数 ?z

f (z)在点z0处可导.称此极限值为f (z)在z0的导数,
dw 记作 f ' ( z0 ) ? dz
z ? z0

f ( z 0 ? ?z ) ? f ( z 0 ) ? lim ?z ? 0 ?z

如果w=f(z)在区域D内处处可导,则称 f (z)在区域D内可导.

?
?

(1) Δz→0是在平面区域上以任意方式趋于零.
(2) z=x+iy,Δz=Δx+iΔy, Δf=f(z+Δz)-f(z)

例1 证明: f ( z ) ? Re z在平面上的任何点都不 . 可导
?f Re (z ? ?z ) ? Re (z ) 证 明: ? ?z ?z

x ? ?x ? x ? ?x ? i?y

?x ? ?x ? i?y

当?z取 实 数 趋 于时, ?f ?z ? 1; 0

? ? ? l i m ?f 不 存 在 . ? ?z ? 0 ? z 当?z取 纯 虚 数 趋 于时, ?f ?z ? 0;? 0 ?

(2)求导公式与法则
----实函数中求导法则的推广 ① 常数的导数 c?=(a+ib)?=0.

② (zn)?=nzn-1 (n是自然数).
证明 对于复平面上任意一点z0,有 n z n ? z0 ??
?z ? lim
z ? z0

lim
z ? z0

z ? z0

n ( z ? z0 )(z n?1 ? z n? 2 z0 ? ? ? z0 ?1 ) n ? lim ? nz0 ?1 z ? z0 z ? z0



设函数f (z),g (z) 均可导,则
[f (z)±g (z)]? =f? (z)±g?(z), [f (z)g(z)]? = f? (z)g(z) + f (z)g?(z)
? f ( z ) ? ' f ' ( z ) g( z ) ? f ( z ) g' ( z ) , ( g( z ) ? 0) ? g( z ) ? ? 2 g (z) ? ?

由以上讨论 ? P ( z ) ? a0 ? a1 z ? ? ? a n z n在 整 个 复 平 面 上 处 处 导 ; 可 P(z) R( z ) ? 在 复 平 面 上 ( 除 分 母0点 外 ) 处 为 Q( z ) 处可导 .

④复合函数的导数 ( f [g(z)])? =f? (w)g?(z), 其中w=g(z).

1 ⑤ 反函数的导数 f ' ( z ) ? ,其中: w=f (z) ? '(w)

与z=?(w)互为单值的反函数,且??(w)?0.

例2 解

1 已 知 f ( z ) ? ( z ? 5z ) ? , 求f ' ( z ) z ?1 1 2 f ?( z ) ? 2( z ? 5 z )(2 z ? 5) ? ( z ? 1)2
2 2

例3 问:函数f (z)=x+2yi是否可导? 解

f ( z ? ?z ) ? f ( z ) ? lim ?z ? 0 ?z x ? ?x ? 2( y ? ?y )i ? ( x ? 2 yi ) ? lim ?z ? 0 ? x ? i? y

?x ? 2?yi ?1 当?y ? 0, ?x ? 0时 ? lim ?? ? 不存在 ! ?z ?0 ?x ? ?yi ?2 当?x ? 0, ?y ? 0时 故函数f ( z ) ? x ? 2 yi处处不可导.

例4 证明 f (z)=zRez只在z=0处才可导.
( z ? ?z ) Re (z ? ?z ) ? z Re z 证明 l i m ?z ? 0 ?z ?z Re (z ? ?z ) ? z Re ?z ? lim ?z ? 0 ?z ?z Re ?z ? l m ?0 z ? 0时 ? ?zi?0 ? ?z ?? ?x ? l i m(Re (z ? ?z ) ? z )不 存 在! z ? 0时 ? ?z ? 0 ? x ? i? y ?

?

(1) 复变函数在一点处可导,要比实函数 在一点处可导要求高得多,也复杂得 多,这是因为Δz→0是在平面区域上 以任意方式趋于零的原故. (2) 在高等数学中要举出一个处处连续, 但处处不可导的例题是很困难的, 但在复变函数中,却轻而易举.

(3)可导与连续 若 w=f (z) 在点 z0 处可导 ? (z) 点 z0 处连续. ?w=f ?
证 明: 若f ( z )在z0可 导, 则?? ? 0, ?? ? 0, f ( z 0 ? ?z ) ? f ( z 0 ) 使 得 当 ? ?z ? ? , 时, 有 0 ? f ?( z 0 ) ? ? , ?z f ( z 0 ? ?z ) ? f ( z 0 ) 令? ??z ? ? ? f ?( z0 ), 则 lim ? ??z ? ? 0, ?z ? 0 ?z 由 此 可 得 ( z0 ? ?z ) ? f ( z0 ) ? f ?( z0 )?z ? ? ??z ??z , f
?z ? 0

lim f ( z0 ? ?z ) ? f ( z0 ), 所 以f ( z )在z0连 续

2.4 解析函数 1. 解析函数的概念
定义 如果函数w=f (z)在z0及z0的某个邻域内处处 可导,则称f (z)在z0解析; 如果f (z)在区域D内每一点都解析,则称 f (z)在D内解析,或称f (z)是D内的解析函数 (全纯函数或正则函数). 如果f (z)在点z0不解析,就称z0是f (z)的奇点.

?

(1) w=f (z) 在 D 内解析 ? 在D内可导. (2) 函数f (z)在 z0 点可导,未必在z0解析.

例如 (1) w=z2 在整个复平面处处可导,故是整个复平面 上的解析函数; (2) w=1/z,除去z=0点外,是整个复平面上的解析 函数; (3) w=zRez 在整个复平面上处处不解析(见例4).
定理1 设w=f (z)及w=g(z)是区域D内的解析函数,

则 f (z)±g(z),f (z)g(z) 及 f (z) ? g(z) (g (z)≠0时)
均是D内的解析函数.

由以上讨论 ? P ( z ) ? a0 ? a1 z ? ? ? an z n是 整 个 复 平 面 上 的 解 函 数 ; 析 P( z) R( z ) ? 是 复 平 面 上除 分 母 为点 外)的 解 析 函 数 ( 0 . Q( z )

定理 2 设 w=f (h) 在 h 平面上的区域 G 内解析, h=g(z) 在 z 平面上的区域 D 内解析, h=g(z)的函数值 集合 ? G,则复合函数w=f [g(z)]在D内处处解析.

调和函数

§7 解析函数与调和函数的关系
内 容 简 介
在§6我们证明了在D内的解析函数,其导数

仍为解析函数,所以解析函数有任意阶导数.本节
利用这一重要结论研究解析函数与调和函数之间

的关系.

? 定义 若 二 元 实 变 函 数( x , y )在D内 具 有 二 阶 连
续偏导数且满足 Laplace 程 : 方 ? 2? ? 2? ? 2 ?0 2 ?x ?y 即 (?? ? 0)

则 称? ( x , y )为D内 的 调 和 函 数 .
定理 若f ( z ) ? u( x , y ) ? iv( x , y )在区域D内解析

? u ? u( x , y ),v ? v ( x , y )是D内的调和函数。

证明:设f (z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域D内解析,则

?u 由C ? R方 程 ? ?x 2 2 ? u ? v 从而有 ? 2 ?x ?y?x

?v ?u ?v ?? ?y ?y ?x 2 2 ? u ? v ?? 2 ?y ?x?y

由 解 析 函 数 高 阶 导 数 理 ? u( x , y ), v ( x , y ) 定 ? 2v ? 2v 具 有 任 意 阶 的 连 续 导. ? 数 ? ?x?y ?y?x
? 2u ? 2u ? 2v ? 2v 故在D内有 ? 2 ? 0, 同 理有 ? 2 ?0 2 2 ?x ?y ?x ?y

即u及v 在D内满足拉普拉斯(Laplace)方程:

?u ? 0, ?v ? 0

?2 ?2 其 中? ? 2 ? 2 ?x ?y

? u ? u( x, y),v ? v( x, y)是D内的调和函数。
,称 定义 设u( x , y )为D内 的 调 和 函 数 使 得u ? iv 在D内 构 成 解 析 函 数 的 调 函 数v( x , y )为u( x , y ) 和 的共轭调和函数 .

上面定理说明: D内解析函数的虚部是实 部的共轭调和函数 . 即, f ( z ) ? u( x, y ) ? iv( x, y )在D内解析?

在D内v( x, y )必为u ? u( x, y )的共轭调和函数 . 由解析的概念得:

在D内满足 ? R方程: ux ? v y , u y ? ?v x的两个 C 调和函数 , v , v必为u的共轭调和函数 u . 现在研究反过来的问题: u, v是 任 意 选 取 的 在 若
区 域D内 的 两 个 调 和 函 数 u ? iv在D内 就 不 ,则 一定解析 .



v ? x ? y不是u ? x ? y的共轭调和函数 .
u y ? 1 ? ?v x )

(? f ( z ) ? u ? iv ? ( x ? y ) ? i ( x ? y )在z平面上 处处不解析 x ? 1 ? v y u
要 想 使 ? iv在D内 解 析 u及v还 必 须 满 足 ? R u , C 方 程 , 即必 须 是 的 共 轭 调 和 函 数 此 , v u .由

已 知 一 个 解 析 函 数 的 部u( x , y ), 利 用C ? R方 实 (虚部v( x, y )) 程 可 求 得 它 的 虚 部 x , y ),从 而 构 成 解 析 函 数 v( u ? iv .
(实部u( x, y ))

设D一 单 连 通 区 域 ( x , y )是 区 域 内 的 调 和 ,u D ? 2u ? 2u 函 数, 则 2 ? 2 ? 0 ?x ?y ?u ?u 即, ? 、 在D内 有 连 续 一 阶 偏 导 数 ?y ?x
且 ? ?u ? ?u (? )? ( ) ?y ?y ?x ? x

?v ?v ?v ?u ?u dx ? dy ? ? dx ? dy ? dv( x , y ) ?x ?y ?y ?x

?u ?u v( x, y ) ? ? ? dx ? dy ? c ( x0 , y0 ) ?y ?x
( x, y)

(?)

?v ?u ? ?? ?x ?y

?v ?u ? 满 足C ? R方 程. ?y ?x

? u ? iv在D内 解 析 .

定理 设u( x , y )在单连通D内调和函数,

则(?)式所确定的v ( x , y ), 使得 f ( z ) ? u ? iv在D内解析.

?

公式不用强记!可如下推出:

已 知 : ( x , y ),求 其 共 轭 调 和 函 数 x , y ) : u v( ?v ?v C ? R方 程 由dv ? dx ? dy ? ? u y dx ? u x dy ?x ?y 然后两端积分。
?v ?v C ? R方 程 ?v ?v 由du ? dx ? dy ? dx ? dy ?x ?y ?y ?x
类似地, 然后两端积分得,

u( x , y ) ? ?

( x, y)

( x 0 , y0 )

v y dx ? v x dy ? c

(? ?)

?

调和函数在流体力学和电磁场理论等实际

问题中都有重要应用.本节介绍了调和函数与解 析函数的关系.

例1 由下列条件求解析函数z ) ? u ? iv f(

u ? x 2 ? xy ? y 2
解?

f (i ) ? ?1 ? i
?v ?u ? ? ? ?2 y ? x ?x ?y

?v ?u ? ? 2x ? y ?y ?x

?v ?v ? dv ? dx ? dy ?( 2 y ? x )dx ? ( 2 x ? y )dy ?x ?y ( x, y) v( x, y ) ? ? ( 2 y ? x )dx ? ( 2 x ? y )dy ? c
( 0,0 ) x

?

?

o

? xdx ? ? ( 2 x ? y )dy ? c
y 0

x2 y2 ?? ? 2 xy ? ?c 2 2

曲线积分法

1 2 1 2 故 f ( z ) ? ( x ? y ? xy) ? i ( ? x ? 2 xy ? y ? c ) 2 2 i 1 2 2 2 ? ( x ? iy ) ? ( x ? iy ) ? ic ? (1 ? i ) z ? ic 2 2 i 2 ? f ( i ) ? ?1 ? i 代 入 上 式 得(, )i ? ic ? ?1 ? i 1? 2 1 i 2 i ?c ? f ( z ) ? (1 ? ) z ? 2 2 2
2 2

?

1 x ? ( z ? z ), 2

1 y ? (z ? z) 2i

又解

?v ?v ? dv ? dx ? dy ?x ?y ?( 2 y ? x )dx ? ( 2 x ? y )dy






? 2 ydx ? 2 xdy ? xdx ? ydy x y ? 2dxy ? d ( ? ? ) 2 2 2 2 x y v( x, y ) ? ? ? 2 xy ? ?c 2 2
2 2

2

2




1 2 1 2 f ( z ) ? ( x ? y ? xy) ? i ( ? x ? 2 xy ? y ? c ) 2 2

?v y2 ? 2 x ? y ? v ? 2 xy ? ? ? ( x) 又解 ? ?y 2
?v ? ? 2 y ? ? '( x) ? 2 y ? x ?x x2 ?c ? '( x) ? ? x ? ( x) ? ? 2
?v ? ?x







y x ? v ( x , y ) ? 2 xy ? ? ?c 2 2
2 2

2

2

1 2 1 2 f ( z ) ? ( x ? y ? xy) ? i ( ? x ? 2 xy ? y ? c ) 2 2

又解 f ' ( z ) ? ux ? iv x ? ux ? iu y

? (2 x ? y ) ? i ( x ? 2 y )
? 2( x ? iy ) ? i ( x ? iy ) ? ( 2 ? i )( x ? iy )
? ?2 ? i ?z
2?i 2 ? f (z) ? z ? ic 2
2 2

不 定 积




1 2 1 2 f ( z ) ? ( x ? y ? xy) ? i ( ? x ? 2 xy ? y ? c ) 2 2

§2 函数解析的充要条件
?

1. 解析函数的充要条件

?

2. 举例

如果复变函数 w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在定义域 D内处处可导,则函数 w = f (z) 在 D内解析. 问题 如何判断函数的解析性呢?

本节从函数 u (x , y) 及 v (x , y) 的可导性,探求 函数w=f (z) 的可导性,从而给出判别函数解析的 一个充分必要条件,并给出解析函数的求导方法.

一. 解析函数的充要条件
设函数w ? f ( z ) ? u( x , y ) ? iv ( x , y )在点 z ? x ? iy可导, 则
f ( z ? ?z ) ? f ( z ) ? ?z

[u( x ? ?x, y ? ?y ) ? iv( x ? ?x, y ? ?y )] ? [u( x, y ) ? iv( x, y )] ? ?x ? i?y

若沿平行于实轴的方式 ?z ? z(?y ? 0) z?
f ( z ? ?z ) ? f ( z ) f ?( z ) ? lim ?z ? 0 ?z [u( x ? ?x , y ) ? iv( x ? ?x , y )] ? [u( x , y ) ? iv( x , y )] ? lim ?x ? 0 ?x u( x ? ?x , y ) ? u( x , y ) v ( x ? ?x , y ) ? v ( x , y ) ? lim ? i lim ?x ? 0 ?x ? 0 ?x ?x

?u ?v ? ?i ?x ?x

若沿平行于虚轴的方式 ?z ? z(?x ? 0) z?
f ( z ? ?z ) ? f ( z ) f ?( z ) ? lim ?z ? 0 ?z [u( x , y ? ?y ) ? iv ( x , y ? ?y )] ? [u( x , y ) ? iv ( x , y )] ? lim ?y ? 0 i? y u( x , y ? ?y ) ? u( x , y ) v ( x , y ? ?y ) ? v ( x , y ) ? lim ? i lim ?y ? 0 ?y ? 0 i? y i? y
1 ?u ?v ?v ?u ? ? ? ?i i ?y ?y ?y ?y

? f ' ( z )存 在 ?u ?v ? ?i ? ?x ?x ?u ?v ? ? ?x ?y
定义 方程

?v ?u ?i ?y ?y ?v ?u ?? ?x ?y

?
?u ?x ?v ?x

记忆

?u ? ?y ?v ?y

?u ?v ? ?x ?y

?v ?u ?? ?x ?y

称为Cauchy-Riemann方程(简称C-R方程).

2008.10.15 第四次课

定理1 设 f (z) = u (x, y) + iv(x, y)在 D 内有定义, 则 f (z)在点 z=x+iy ∈D处可导的充要条件是

u(x, y) 和 v(x, y) 在点 (x, y ) 可微,且满足
Cauchy-Riemann方程

?u ?v ? ?x ?y
上述条件满足时,有

?v ?u ?? ?x ?y

f ' ( z ) ? ux ? iv x ? ux ? iuy ? v y ? iuy ? v y ? iv x

证明 " ? " (由f (z)的可导 ? C-R方程满足上面已证!只须证 f (z)的可导 ? 函数 u(x, y)、v(x, y)可微). ∵函数 w =f (z)点 z可导,即
f ( z ? ?z ) ? f ( z ) f ' ( z ) ? lim ?z ?0 ?z f ( z ? ?z ) ? f ( z ) 设 ? ( ?z ) ? ? f '(z) ?z 则 f (z+ Δz)-f(z)=f ?(z)Δz+?(Δz)Δz (1), 且
?z ? 0

lim ? ( ?z ) ? 0

令:f (z+Δz) ? f (z)=Δu+iΔv,f ?(z)= a+ib, ?(Δz)=?1+i?2 故(1)式可写为 Δu+iΔv = (a+ib)(Δx+iΔy)+(?1+i?2)(Δx+iΔy) =(aΔx-bΔy+?1Δx??2Δy)
+i(bΔx+aΔy+?2Δx+?1Δy) 因此 Δu=aΔx?bΔy+?1Δx??2Δy , Δv=bΔx+aΔy+?2Δx??1Δy
lim lim ? lim ? ( ?z ) ? 0 ? ?x ? 0 ? 1 ? ?x ? 0 ? 2 ? 0
?z ? 0
?y ? 0 ?y ? 0

? 1 ?x ? ? 2 ?y ? 2 ?x ? ? 1 ?y ? lim ? 0 lim ?0 ?x ? 0 ?x ? 0 ?z ?z ?y ? 0 ?y ? 0

所以u(x, y),v(x, y)在点(x, y)处可微.

"?"(由函数u(x,y) ,v (x,y)在点(x,y)处可微及满足
C-R方程
?(z)在点z=x+iy处可导) f

∵u(x,y),v(x,y)在(x,y)点可微,即: ?u ?u ?u ? ?x ? ?y ? ? 1?x ? ? 2 ?y ?x ?y ?v ?v ?v ? ?x ? ?y ? ? 3 ?x ? ? 4 ?y ?x ?y

其中 lim ? k ? 0, ( k ? 1,,3,4) 2
?x ? 0 ?y ? 0

? f ( z ? ?z ) ? f ( z ) ? ?u ? i?v ?u ?v ?u ?v ? ( ? i )?x ? ( ? i )?y ? (? 1 ? i? 3 )?x ? (? 2 ? i? 4 )?y ?x ?x ?y ?y
由C ? R方 程

?

?u ?v ( ? i )?z ? (? 1 ? i? 3 )?x ? (? 2 ? i? 4 )?y ?x ?x

?x ? | |? 1, ?z

?y ?x | |? 1 ? (? 1 ? i? 3 ) ? 0 ?z ?z f ( z ? ?z ) ? f ( z ) ?u ?v ? f ?( z ) ? l i m ? ?i ?z ? 0 ?z ?x ?x

定理2 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D内解析充要 条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微,且 满足Cauchy-Riemann方程
?u ?v ? ?x ?y ?v ?u ?? ?x ?y

?

由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切 的联系.当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可 以求出导数来.

? 利用该定理可以判断那些函数是不可导的.

使用时: i) 判别 u(x, y),v (x, y) 偏导数的连续性, ii) 验证C-R条件. iii) 求导数:

?u ?v 1 ? u ?v f '(z) ? ?i ? ? ?x ? x i ?y ?y

?

前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼 成的, 但是求复变函数的导数时要注意, 并不是两 个实函数分别关于x,y求导简单拼凑成的.

二. 举例
例1 判定下列函数在何处可导,在何处解析:
(1)w ? z; (2) f ( z ) ? e (cos y ? i sin y ); 3)w ? z (
x 2

解 (1) 设z=x+iy w=x-iy u=x, v= -y 则
?u ?1 ?x ?v ?0 ?x ?u ?0 ?u ?v ?y ? ? ?v ?x ?y ? ?1 ?y

故 w ? z在 全 平 面 不 可 导 , 不 析 。 解

解(2)∵ f (z)=ex(cosy +isiny) 则 u=excosy, v= exsiny
?u ? e x cos y ?x ?v ? e x si n y ?x ?u ? ? e x si n y ?y ? ?v ? e x cos y ?y ?u ?v ? ?x ?y ?v ?u ?? ?x ?y

故 f ( z ) ? e x (cos y ? i si n y )在 全 平 面 可 导 , 解 析 。
?u ?v f '(z) ? ?i ? e x cos y ? ie x sin y ? f ( z ) ?x ?x

解 (3) 设z=x+iy w=x2+y2 u= x2+y2 , v=0 则
?u ? 2x ?x ?u ? 2y ?y ?v ?0 ?x ?v ? 0? ?y

仅在点z = 0处满足C-R条件,故

w ? z 仅在z ? 0处可导,但处处不解析。

2

x y w ? u( x , y ) ? iv ( x , y ) ? 2 ?i 2 2 x ?y x ? y2 dw 在z ? x ? iy ? 0处 解 析 , 并 求 . dz
证明 由于在z≠0处,u(x,y)及v(x,y)都是可微函数, 且满足C-R条件:
?u ?v y2 ? x2 ?u ?v ? 2 xy ? ? 2 , ?? ? 2 2 2 ?x ?y ( x ? y ) ?y ?x ( x ? y 2 )2

例2 求证函数

故函数w=f (z)在z≠0处解析,其导数为

?w ?u ?v y ?x 2 xy ? ?i ? 2 ?i 2 2 2 ?z ?x ?x ( x ? y ) ( x ? y 2 )2
2 2

( x ? iy ) 2 1 ?? 2 ?? 2 2 2 (x ? y ) z
例3 若f ' ( z ) ? 0 , z ? D ? f ( z ) ? C , z ? D

1 证明 ? f ' ( z ) ? ux ? iv x ? u y ? v y ? 0 i ? ux ? v x ? u y ? v y ? 0 ? u ? C1 v ? C 2 f ( z ) ? C1 ? iC 2 ? C (复 常 数 )

例4

如果f (z)=u(x, y)+i v(x, y)是一解析函数, 且f ?(z)≠0,那么曲线族u(x, y)=C1, v(x, y)=C2必互相正交,这里C1 、 C2常数.

?u ?v 1 ?u ?v 0 ? ? 0 ? 与 不全为 解 ? f '(z) ? ?y ?y i ?y ?y

那么在曲线的交点处,i)uy、 vy 均不为零时, 由隐函数求导法则知曲线族 u(x, y)=C1, v(x, y)=C2中任一条曲线的斜率分别为

k1 ? ?ux / uy

k2 ? ?v x / v y

利用C-R方程 ux=vy, uy=-vx 有 k1k2=(-ux/uy)(-vx/vy)= -1,即:两族曲线互相正交.

ii) uy,vy中有一为零时,不妨设uy=0,则k1=∞, k2=0(由C-R方程)

即:两族曲线在交点处的切线一条是水平的,另
一条是铅直的, 它们仍互相正交. 练习:
若 f ( z ) ? x 2 ? axy ? by2 ? i (cx 2 ? dxy ? y 2 ) 问 常 数a , b, c , d 取 何 值 时 f ( z )在 复 平 面 内 处 处 解 析 , ?

a=2 , b=-1 , c=-1 , d=2

§3
? ? ? ? ?

初等函数
1. 指数函数
2. 三角函数和双曲函数 3. 对数函数 4. 乘幂与幂函数 5. 反三角函数与反双曲函数

内 容 简 介
本节将实变函数的一些常用的初等函数 推广到复变函数情形,研究这些初等函数的性质, 并说明它们的解析性.

一. 指数函数
定义 对z ? x ? iy定 义 复 变 数z的 指 数 函 数e xpz如 下 :
f ( z ) ? e xpz ? e (cos y ? i sin y ) (1)
x

? e xpz ? e x ? ?? ? Arg(e xpz ) ? y ? 2k? k ? 0, ? 1, ? 2,? ?

它与实变指数函数有类似的性质:
(1)?z e xpz ? 0 (事实上, exp z ? e x ? 0)

(2)当z为实数 时, f ( z ) ? expz ? e x (? y ? 0) x
(3) f ( z ) ? expz在复平面上处处解析,(expz )? ? expz . 且

(见§ 的例1(2)) 2

(4)加法定理 expz1 expz2 ? exp(z1 ? z2 ) :
事 实 上 设z j ? x j ? iy j , 左 边 ? e xpz1 ? e xpz2 ? e (cos y1 ? i sin y1 ) ? e (cos y2 ? i sin y2 )
x1 x2

( j ? 1,2)

? e x1 ? x2 [cos y1 cos y2 ? sin y1 sin y2 ? i (sin y1 cos y2 ? cos y1 sin y2 )] ?e
x1 ? x2

[cos(y1 ? y2 ) ? i sin(y1 ? y2 )]

? e xp(z1 ? z2 ) ? 右边

为了方便,我们用以后 代替expz . e

z

由加法定理可推得 z ) ? e z的周期性 f( :
f ( z ? T ) ? f ( z ), T ? 2k?i , k ? Z

事 实 上 f ( z ? 2k?i ) ? e ,
z

z ? 2 k?i

?e e

z 2 k?i z

? e (cos2k? ? i si n2k? ) ? e ? f ( z ) ? T ? 2k?i k为 任 意 整 数 .
0

?
?e
?z

这个性质是实变指数函数所没有的.
z ?z

又?e e

?e

x? x

(cos(y ? y ) ? i sin(y ? y )) ? e ? 1 ? 1

1 ? z e

e z1 ? z 2 ? e z1 ? z 2 e

(1)e z 仅仅是个符号它的定义为 , ? e x (cos y ? i sin y ) , 没有幂的意义. ?

( 2)特别当z的实部x ? 0时, 就得到 Euler 公式 : e
例1 求 Im(e zi )
例2 求 e
1 ?1? i? ? 4

iy

? cos y ? i sin y

e ? y sin x
2 4 e ?1 ? i ? 2
1

二. 三角函数和双曲函数
由指数函数的定义 : 当x ? 0时,
iy

e iy ? cos y ? i sin y e
? iy

? cos y ? i sin y
? iy iy

, 从 而 得 到:
? iy

e ?e e ?e sin y ? cos y ? ?y ? R ( 2 ) 2i 2 推广到复变数情形 e zi ? e ? zi e zi ? e ? zi 定义 sinz ? cos z ? ( 3) 2i 2 ? ? 称 为z的 正 弦 与 余 弦 函 数

?正弦与余弦函数的性质
1) sinz及 cos z是T ? 2? 周期函数

[cos( z ? 2? ) ?

e

i ( z ? 2? )

?e 2

? i ( z ? 2? )

?

e e

iz 2?i

?e e 2

? iz ?2?i

e iz ? e ? iz ? ? cos z ] 2 2) 在 复 平 面 上 处 处 解 析 ,且 (sinz )' ? cos z (cosz )' ? ? sinz
1 iz 1 iz ? iz (sin z )' ? (e ? e )' ? (e ? e ? iz ) ? cos z 2i 2

3) sinz是奇函数cos z是偶函数 , .

e ? iz ? e iz sin( ? z ) ? ? ? sin z; 同理 cos(? z ) ? cos z 2i 4) 由( 3)式, Eule r 式 对 一 切成 立 公 z
e iz ? cos z ? i sinz

思考题:

5) 由正弦和余弦函数定义及指数函数 的加法定理可推知一些三角公式
?cos(z1 ? z 2 ) ? cos z1 cos z 2 ? si nz1 si nz 2 ? z ?si n ( 1 ? z 2 ) ? si nz1 cos z 2 ? cos z1 si nz 2 ? 2 2 ?si n z ? cos z ? 1
cos(x ? iy ) ? cos x cos iy ? sin x siniy sin(x ? iy ) ? sin x cos iy ? cos x siniy

由正弦和余弦函数的定义得

? e? y ? e y ? chy ?cos iy ? ? 2 ( 4) ? ?y y ?si niy ? e ? e ? ishy ? 2i ? ?cos(x ? iy) ? cos xchy ? i sinxshy ?? ?sin(x ? iy ) ? sinxchy ? i cos xshy
其它三角函数的定义(详见P51) sinz cos z 1 1 tan z ? cot z ? secz ? csc z ? cos z sinz cos z sinz

6) sinz的零点即方程 z ? 0的根为 ? k? (k ? Z ) , sin z

cos z的 零 点 为 ? z

?
2

? k?

k?Z

定义

ez ? e?z shz ? 2

ez ? e?z chz ? 2

—称为双曲正弦和双曲余弦函数 shz 1 ( thz ? cthz ? ) chz thz

?双曲正弦和双曲余弦函数的性质
1)shz、chz都是以 ?i为周期的函数 2
2)chz ? ?偶函数 shz ? ?奇函数 ,

3) (chz)' ? shz ( shz )' ? chz shz和chz在 整 个 复 平 面 内 处 处 析 解

4) 由 定 义shiy ? i sin y chiy ? cos y ch( x ? iy ) ? chx cos y ? ishx sin y

三 角 函 数双 曲 函 数 均 是 由 复 指 函 数 , 数 定 义 的且 是 周 期 函 数 , 故 它反 函 数 , 的 一定是多值函数 .

三. 对数函数
(1) 对数的定义
定义 指数函数的反函数称为对数函数.即,

把满足 w ? z( z ? 0)的函数 ? f ( z ) e w 称为对数函数 , 记作w ? Lnz i? 令w ? u ? iv z ? re 那么

e

u ? iv

? re ? u ? ln r , v ? ? ? 2k? ( k ? Z )

i?

? w ? Lnz ? ln r ? i (? ? 2?k ) (k ? 0,?1,?)
或 Lnz ? ln z ? iArgz ? ln z ? i (argz ? 2k? ) (k ? 0,?1,?2,?)

这 说 明 一 个 复 数 z ? 0)的 对 数 仍 为 复 数 的 z( ,它 实 部 是 的 模 的 实 自 然 对 数 ; 的 虚 部 是的 幅 z 它 z 角 的 一 般 值即 虚 部 无 穷 多 任 意 两 个 相 异 值 , ,其 相 差2?的 一 个 整 数 倍 .

即, w ? Lnz是z的无穷多值函数
当k ? 0时, Lnz ? ln z ? i arg z ? ln z ( 2) 为Lnz的 一 单 值 函 数 为Lnz的 主 值 主 值 支 ,称 ( )
记作



Lnz ? ln z ? i 2k?

(k ? Z )

例 如 当z ? a ? 0

Lnz的 主 值ln z ? lna

Lnz ? lna ? 2?ik k ? Z 当z ? ?a(a ? 0) Lnz的主值ln z ? lna ? ?i Lnz ? lna ? (2k ? 1)?i 特别 a ? 1 l n ( 1) ? l n1 ? ?i ? ?i ?

Ln( ?1) ? ( 2k ? 1)?i

? 1)w ? Lnz不仅对正数有意义 对一切非零 ,
复数都有意义 .(负数也有对数)

2008.10.22 第五次课

2) 指数函数的周期性导致 了对数函数的 多值性,这与实函数不同 .

(2) 对数函数的性质
z1 1) Ln( z1 z2 ) ? Lnz1 ? Lnz2 , Ln ? Lnz1 ? Lnz2 z2 2)连续性: ln z在除去原点与负实轴外 处处连续 .

主值: ln z ? ln z ? i arg z,
其中 ln z 除原点外在其它点均连; 续
见§1-6例1

而 arg z在原点与负实轴上都不 . 连续
?除原点及负实轴外 z在复平面内处处连续 , ln .

3)解析性: ln z在除去原点与负实轴的 平面内解析 .
d? 1 1 1 ? (ln z )' ? ? ? ? ? z ? e (e )'? e ? 0 ? dz dz e z 1 d? 即 (l nz )' ? z
? ? ?

?? ? ln z除原点及负实轴外是解 . 析的

Lnz的 每 个 分 支 除 了 原 点 负 实 轴 外 均 是 解 析 的 , 和 1 且( Lnz)' ? z

例4 设e z ? 2i , 求 z.

z ? ln 2 ?

?
2

i ? 2k?i

k ? 0,?1,?

四. 乘幂
? 乘幂a

a
b

b

与幂函数 z

b

定义 设a, b为复数 且a ? 0, 定义乘幂 b ? e bLna . , a

?

实变数情形 a ? 0, b为实数. ,
—多值

? Lna ? ln a ? i 2k?

? a b ? e bLna ? e b(lna ? i 2k? ) —一般为多值

① 当b为 整 数

a ?e
b

bLna

?e

b (ln a ? i 2 k? )

?e

b ln a bi 2 k?

e

? e b lna (cos2k?b ? i sin2k?b) ? e b lna
? b为整数时,它是单值函数 . p ② 当b ? ( p, q为 互 质 的 整 数 q ? 0) ,且 q

a ?e
b

p (ln a q

? i arg a ? 2k?i )

?e

p ln a q

e

p i (arg a ? 2k? ) q

?e

p ln a q

p p [cos (arga ? 2k? ) ? i sin (arga ? 2k? )] q q

(k ? 0,1,2,3?, q ? 1)

—q支

③一般而论 a 具有 , 无穷多支.
b

?

(1)当b=n(正整数)时,乘幂ab与a 的n次幂 意义一致.

a n ? e nLna ? e Lna ? Lna ??? Lna

? e Lna e Lna ?e Lna ? a ??? a? a ?a ?? ?
(2)当b=1/n(n正整数)时,乘幂ab与a 的 n次根意义一致.
n个

a ?e ?e
?n
1 n

1 n

1 n

Lna

?e

1 (ln n

a ? i arg a ? 2 k?i )

ln a

e

? i arg an 2 k?

(k ? 0,1,2?n ? 1)

arga ? 2k? arga ? 2k? ? n a a (cos ? i sin ) n n

例5 求1 、i 和i 的值 .
2 i

2 3



1

2

? cos(2k? 2 ? i sin( k? 2 ) 2 ( k ? 0,?1,?2?)
iLni

?e

2Ln1

?e

2 (ln 1 ? 2k?i )

?e

2k? 2i

i ?e
i

( k ? 0,?1,?2,?)

?e

i (ln i ? i ? ? 2 k?i ) 2

?e

? ( 2 k? ? ? ) 2

i ?e

2 3

2 Lni 3

?e

2 (ln 3

i ? i ? ? 2 k?i ) 2

?e

i 2 ( ? ? 2 k? ) 3 2

4 4 ? cos(? ? 3 k? ) ? i sin(? ? 3 k? )

( k ? 0,1,2)

? 幂函数zb 定义 在乘幂 b中,取 为复变数得w ? z b , a z ,

称为幂函数。
①当b = n (正整数) w=z n 在整个复平面上是单值解析函数 1 ② b ? ( n为 正 整 数 ) n

z ?e
n

1 n

1 Lnz n

arg z ? 2k? arg z ? 2k? ? z (cos ? i sin ) n n n z ? w n的反函数 ? z (k ? 0,1,2?n ? 1)

?e

1 (ln n

z ? i arg z ? 2 k?i )

?e

1 ln n

z

e

i

a rgz ? 2 k? n

由于Lnz的解析性?除原点与负实轴外处处 解析.

b ③一般而论 w ? z除去b为正整数外,多值函数, ,

当b为无理数或复数时,无穷多值.

w ? z b除原点与负实轴外处处 解析, 且 ( z )' ? bz
b b ?1

(?单值分支)

5. 反三角函数与反双曲函数
详见P52

?

重点:指数函数、对数函数、乘幂.

作 业
P67 2, 8, 15, 18

第三章 复变函数的积分

§1 复变函数积分的概念
? ?

1. 有向曲线
2. 积分的定义

?
?

3. 积分存在的条件及其计算法
4. 积分性质

1. 有向曲线
? x ? x( t ) 设 C :? (? ? t ? ? ) ? y ? y( t ) x' ( t )、y' ( t ) ? C[? , ? ], 且[ x' ( t )]2 ? [ y' ( t )]2 ? 0

C : z(t ) ? x(t ) ? iy(t ) (? ? t ? ? ) (1)
z' (t )连续且 ' (t ) ? 0 z

C ? ? z平面上的一条光滑曲线 .
(因而可求长 ). 约定: C ? 光滑或分段光滑曲线

C的方向规定 :
开 曲 线: 指 定 起 点 , 终 点b, 若a ? b为 正, a 则b ? a为 负, 记 作 C ? ;

闭 曲 线: 正 方 向? ?观 察 者 顺 此 方 向 沿前 进 C 一 周, C的 内 部 一 直 在 观 察 者 左 边 。 的

B(终点)
C

A(起点)

C

C

2. 积分的定义
定义 设(1)w ? f ( z ) z ? D

y
z k ?1

( 2)C为 区 域 内 点A ? 点B D 的一条光滑有向曲线 . ⌒ z1 ( 3)将 AB 任 意 分 划 成 个 ? 1 n 小 弧 段: A ? z0 , z1 ,? , zn ? B o ⌒ (4)?? k ? zk ?1 zk 作 乘 积 (? k )?zk f
(5)作 和 式 n ? ? f (? k )?z k S
k ?1 n

?k

zk
?zk

z n ?1

B

A

D x

?z k ? z k ? z k ?1 , 记?S k 为 z k ?1 z k 的 长 度 ? ? m ax ?S k } , {
1? k ? n





( n ? ? ) k ?1

lim ? ?0

? f (?

n

k

)?zk ?I

?

( 2) 则 称?为f ( z )沿 曲 线

无论如何分割 , ? i 如何取 C

C从( A ? B )的 积 分 , 记 作? f ( z )dz
C

i .e .,

?

C

f ( z )dz ? l i m? f (? k )?z k ? ?( 3)
n? ? k ?1

n

分割? 取乘积? 求和? 取极限

? (1)若闭曲线C

记作? f ( z )dz
C
b C a

(2)C : t ? [a, b], f ( z ) ? u(t ), 则? f ( z )dz ? ? u(t )dt

( 3)如果? f ( z )dz存在,一般不能写成? f ( z )dz.
b C a

因为? f ( z )dz不仅与a , b有关, 与曲线C的形状 还
C

和方向有关。
特 例 :) 若C表 示 连 接 点 , b的 任 一 曲 线则 (1 a ,

? dz ? b ? a
C

b2 ? a 2 ?Czdz ? 2

( 2) 若C表 示 闭 曲 线则 ,

? dz ? 0, ? zdz ? 0
C C

3. 积分存在的条件及其计算法
定理 当f ( z ) ? u( x , y ) ? iv( x , y )在光滑曲线 C

上连续时, f ( z )必沿C可积,即? f ( z )dz存在.
C



?

C

f ( z )dz ? ? udx ? vdy ? i ? vdx ? udy (4)
C C

记忆

?

?C (u ? iv)(dx ? idy)
C

?

这个定理表明 ? f ( z )dz可通过二个二元 实变函数的 第二型曲线 积分来计算 .

证明 令zk ? xk ? iyk ?xk ? xk ? xk ?1 ?yk ? yk ? yk ?1 ? k ? ? k ? i?k u(? k ,?k ) ? uk v(? k ,?k ) ? vk
Sn ? ? f (? k )?zk ? ? ( uk ? ivk )(?xk ? i?yk )
k ?1 k ?1 n n

? ? u(? k ,? k )?xk ? ? v (? k ,? k )?yk
k ?1 k ?1 n n

n

n

当? ? 0时 , 均 是 实函数的曲线积分 .

? i[? v (? k ,? k )?xk ? ? u(? k ,? k )?yk ] (5)
k ?1
n

? limS n ? lim? f (? k )?z k ? ( ? u( x , y )dx ? ? v ( x , y )dy)
n? ? n? ? k ?1 C C

k ?1

? i ( ? v ( x , y )dx ? ? u( x , y )dy) ? ? f ( z )dz
C C C

? ? u( x , y )dx ? v( x , y )dy ? i[v( x , y )dy ? u( x , y )dy]
C

?

? f ( z )在C上连续,? u( x , y ), v ( x , y ) 在C上连续 故? u( x , y )dx、 v ( x , y )dy、 ?
C C

? v( x , y )dx、 u( x , y )dy都存在! ?
C C

推论1:当f ( z )是连续函数, C是光滑曲线时,

? f ( z )dz一定存在。 推论2: f ( z )dz可以通过两个二元实函 数的 ?c
c

线积分来计算。

设光滑曲线 : z ? z(t ) ? x(t ) ? iy(t ) C

t :? ? ?

由曲线积分的计算法得

?

C

f ( z )dz ? ?

? (终 )

? i?
? ?

? (起) ? (终 ) ? (起)

{u( x(t ), y( t ))x' ( t ) ? v( x( t ), y(t )) y' ( t )}dt {v( x(t ), y( t ))x' ( t ) ? u( x(t ) y( t )) y' (t )}dt

? ? {u[ x(t ), y(t )] ? i[v[ x(t ), y(t )]]}(x' (t ) ? iy' (t ))dt

? ? f [ z( t )]z' ( t )dt
?

?

? ? f ( z )dz ?
C

??

?

f [ z ( t )]z' ( t )dt ? ?(6)

4. 积分性质
C C

由积分定义得:

1)? f ( z )dz ? ? ? ? f ( z )dz

2)? kf ( z )dz ? k ? f ( z )dz
C C

3)? [ f ( z ) ? g( z )]dz ? ? f ( z )dz ? ? g( z )dz
C C C

4) C ? C 1 ? C 2 ? ? ? C n ( 分 段 光 滑 曲 线 )

?
?

C

f ( z )dz ? ? ? ? ? ? ? ?
C1 C2

Cn

f ( z )dz

5)设C的 长 度 为 , 函 数f ( z )在C上 满 足 f ( z ) ? M L

?C

f ( z )dz ?

?C

f ( z ) ds ? ML ? ?估 值 定 理 .

? x ? 3t (0 ? t ? 1) 例1 计算?Czdz OA : ? ? y ? 4t 1 解 zdz ? (3 ? 4i )t ? (3 ? 4i )dt y

?

C

1 ? ( 3 ? 4i ) ? tdt ? (3 ? 4i )2 0 2
2 1
C

?

0

A

又解

? zdz ? ?
C

( x ? iy )(dx ? idy)

? ? xdx ? ydy ?i ? ydx ? xdy
C C

o

x

容易验证右边两个积分都与路径 , , 无关
? ?连 接OA的 曲 线 , 其 上 积 分 ? C :
C

1 f ( z )dz ? ( 3 ? 4i ) 2 2

dz 例2 计 算? 这 里C表 示 以 0为 中 心 z , n?1 C (z ? z ) 0 r为 半 径 的 正 向 圆 周 为 整 数 ,n .

解 C : z ? z0 ? re i?

0 ? ? ? 2?

y

z ? z0 ? re i?
?

i? 2? dz ire ?? d? n ?1 ? ?0 n ?1 i ( n ?1)? C (z ? z ) r e 0

z
o
z0

r

C
x

??

2?

0

i r n e in?

? i 2? d? ? 2?i n?0 ?0 ? d? ? ? i 2? ? n ?0 (cosn? ? i sinn? )d? ? 0 n ? 0 ?r

? 2?i dz dz ?? ?? ?? n?1 n ?1 ? z0 ? r C (z ? z ) z ( z ? z0 ) ?0 0

n?0 n?0

?

这个结果与半径 及z0无关, 这个结果 r 以后经常用到, 应记住.

第六次课 10月29日

例3 计 算? zdz 值 的
C

y

z0 ? 1 ? i
C1

1)C ? C1 ? Oz0 2)C ? C 2 ? C 3 (见 图)

C3
C2

解 1)C1 : z ? (1 ? i )t
1 C 0

0? t ?1
1 0

o

x

? zdz ? ? (t ? it )(1 ? i )dt ? ?
C C2 1 C3 1
0

2tdt ? 1

2)C2 : z ? t 0 ? t ? 1 C3 : z ? 1 ? it 0 ? t ? 1

? zdz ? ? zdz ? ? zdz 1 1 ? ? tdt ? ? (1 ? it )idt ? ? ( ? i ) ? 1 ? i 2 2
0

计 算? zdz, ? zdz的 值, 其 中
C1 C2

例4

C1是 单 位 圆 ? 1的 上 半 圆 周 顺 时 针 方 向 z , ; C 2 是 单 位 圆 ? 1的 下 半 圆 周 , 逆 时 针 向. z 方

解:1)C1 : z ? e i? ,0 ? ? ? ? .

? zdz ? ?? e
0 C1

? i?

ie d? ? i ? dt ? ??i
i? 0

?

2)C2 : z ? e i? ,?? ? ? ? 0.

? zdz ? ? ?e
0 C2 ?

? i?

ie d? ? i ? dt ? ?i
i? 0 ??

§2 Cauchy-Goursat基本定理
分析§1的积分例子:

例1中f ( z ) ? z在 全 平 面 解 析 , 它 沿 连 接 起 点 及 终 点 任 意C的 积 分 值 相 同 , 的 即 , f ( z )dz与 路 径 无 关 , 即 f ( z )dz ? f ( z )dz = ? ?
C C A B

例2中

z ? z0 ? r

?

1 dz ? 2?i ? 0 z ? z0

? z ? z 0为 奇 点 即 不 解 析 的 点 , , 但 在 除 去 ? z0的 非 单 连 通 区 域 内 处 解 析 。 z 处

例3中f ( z ) ? z在 复 平 面 上 处 处 不 解 , 析 C ? zdz的 值 与 积 分 路 径有 关.
C

猜想:积分的值与路径无关或沿闭路的
积分值=0的条件可能与被积函数的解析性及解

析区域的单连通有关.
先将条件加强些,作初步的探讨

"设f ( z ) ? u ? iv在单连通D内处处解析, 且 f ' ( z )在D内连续"

? f ' ( z) ? ux ? iv x ? v y ? iuy

? u和v以 及 它 们 的 偏 导 数 , u y , v x , v y 在D内 ux 都 是 连 续 的并 满 足 ? R方 程u x ? v y , C
又 , ?C ? D,

v x ? ?uy

?c f ( z )dz ? ?C udx ? vdy ?i ?C vdx ? udy
由Green公 式

? udx ? vdy ? ?? (?v
c D

x

? u y )dxdy ? 0

? vdx ? udy ? ?? (u
c D

x

? v y )dxdy ? 0

? ? f ( z )dz ? 0
c

1825 Cauchy给 出 了 单 连 通 区 域 内 年 " D 处 处 解 析 的 ( z )在D内 沿 任 一 条 闭 曲 线 f C的 积 分 f ( z )dz ? 0" —Cauchy 定理 ?
c

当时解析的定义为 ' ( z )存在, 且在D内连续. f
1851 Riemann给 出 了 年 Cauchy定 理 的 上 述 简单证明 .
1900 Goursat给出了 年 Cauchy定理的新证明 ,且 将" f ' ( z )连续"这一条件去掉了 .
这就产生了著名的 Cauchy? Goursat定理, 从此解析函数的定义修 :" f ' ( z )在D内存在 改为 "

Cauchy-Goursat基本定理: —也称Cauchy定理

设f ( z )在z平 面 上 单 连 通 区 域内 解 析 B , C为B内 任 一 条 闭 曲 线 ? f ( z )dz ? 0. ?
C

?

(1)若C为B的边界, f ( z )在B ? C ? B上 解析, 定理仍成立.

B C

( 2)若C为B的边界, f ( z )在B内解析, f ( z )在B ? C ? B上连续, 定理仍成立.

(3)定理中曲线C不必是简单的!如下图.
B C1 C1 C C2 B

z0

z1
C2

z1 推论

C

z0

设f (z)在单连通区域B内解析,则对任意

两点z0, z1∈B, 积分?c f (z)dz不依赖于连接起点 z0与终点z1的曲线,即积分与路径无关.
见上图

?

C1

f ( z )dz ? ? f ( z )dz ? ? f ( z )dz
z1 C2 z0

§3 基本定理推广—复合闭路定理
复合闭路定理:

设①B是由? ? C ? C ? C ? ? ? C 所围成的 有界多连通区域且B ? D, ②f ( z )在D内解析, 则 .

? 1

? 2

? n

?


?

f ( z )dz ? 0 (1)
n ci

其 中: 闭C ? D, C1 , C 2 , ? C n是 在C的 内 部 的 简 单 闭 曲 线 互 不 包 含 也 不 相 交每 一 条 曲 线 及C i ( ), C 是 逆 时 针C i? ? 顺 时 针 , .

? f ( z )dz ? ? ?
c i ?1

f ( z )dz ( 2)

? ? 证明 设? ? C ? C1 ? C2

? ? f ( z )dz ? ?
?

? ? c ? c1 ? c2 ? L1 ? L? ? L2 ? L? 1 2

f ( z )dz

H

F’

D ?? f ( z )dz AGF ' FE ' EA ' A C
B
??
AA ' EE ' FF ' HA

L3
F E’

f ( z )dz

c2

?0

A

LA’ 1

c1

L E 2 G

如 : 对 任 意 包 含z0 在 C 内的正向简单闭曲线 1 有: ?C z ? z0 dz ? 2?i

说明

(1) ?, C , C k 三 者 之 间 的 关 系 : ? ? ? ? C ? C1? ? C 2 ? ? ? C k ( 2) C , C k的 特 点 与 曲 线 的 正 向 : C按 逆 时 针 方 向 k 按 顺 时 针 方 向 ,C .
?
? ? ? c ? c1 ? c2 ??? ck

( 3) 0 ? ? f ( z )dz ? ?
c c1

f ( z )dz
ck

? ? f ( z )dz ? ? ? f ( z )dz ? ? ? ? ? f ( z )dz
?

? f ( z )dz ? ?
c

c1

f ( z )dz ? ? ? ? f ( z )dz
ck

?
此式说明一个解析函

? f ( z )dz ? ?
c

c1

f ( z )dz

数沿闭曲线的积分,
不因闭曲线在区域内 作连续变形而改变它 的积分值,只要在变 形过程中曲线不经过 f(z)的不解析点. —闭路变形原理
CC1 1
C1

D

C

2z ? 1 例 计算 ? 2 dz ? : 包含圆周z ? 1在内的 ? z ? z 任意正向简单闭曲线 .

1 1 解 原 式? ( ?? z ? 1 ? z )dz 1 1 ?? dz ? ? dz C1 ? C 2 z ? 1 C1 ? C 2 z

y
?

1 1 ?? dz ? ? dz C2 z ? 1 C1 z ? 2?i ? 2?i ? 4?i
(? ?
C1

C1 o 1

C2
x

1 1 dz ? 0, ? dz ? 0) C2 z z ?1

1 练习 计算 ? 2 dz ? : 包含圆周z ? 1在内的 ? z ? z 任意正向简单闭曲线 .

解 原 式 ? ( 1 ? 1 )dz ?? z ? 1 z 1 1 ?? dz ? ? dz C1 ? C 2 z ? 1 C1 ? C 2 z

y
?

1 1 ?? dz ? ? dz C2 z ? 1 C1 z ? 2?i ? 2?i ? 0
(? ?
C1

C1 o 1

C2
x

1 1 dz ? 0, ? dz ? 0) C2 z z ?1

§4 原函数与不定积分
? ?

1. 原函数与不定积分的概念

2. 积分计算公式

1. 原函数与不定积分的概念
由§2基本定理的推论知:设f (z)在单连通区 域B内解析,则对B中任意曲线C, 积分?c fdz与路 径无关,只与起点和终点有关. 当起点固定在z0, 终点z在B内变动,?c f (z)dz 在B内就定义了一个变上限的单值函数,记作

F ( z ) ? ? f (? )d?
z z0

(1)

定理 设f (z)在单连通区域B内解析,则F(z)在 B内解析,且 F ' ( z ) ? f ( z )

定义 若函数? (z) 在区域B内的导数等于f (z) ,即
? ' ( z ) ? f ( z,称? (z)为f (z)在B内的原函数. )

? 上面定理表明 F ( z ) ? ? f (? )d是f (z)的一个 z0 原函数.
z

设H (z)与G(z)是f (z)的任何两个原函数,
?[G( z ) ? H ( z )]'? G' ( z ) ? H ' ( z ) ? f ( z ) ? f ( z ) ? 0 ? G( z ) ? H ( z ) ? c, (c为 任 意 常 数 )

(见第二章§2例3) 这表明:f (z)的任何两个原函数相差一个常数.

定义 设F(z)是f (z)的一个原函数,称F(z)+c(c为 任意常数)为f (z)的不定积分,记作

? f ( z )dz ? F ( z ) ? c
2. 积分计算公式
定理 设f (z)在单连通区域B内解析, F(z)是f (z) 的一个原函数,则

?
? ?

z1

z0

f ( z )dz ? F ( z1 ) ? F ( z0 ) (?z0 , z1 ? B)

此公式类似于微积分学中的牛顿-莱布尼兹公式. 但是要求函数是解析的,比以前的连续条件要强

例1 计算下列积分: 1 1) ? 2 dz C z 其中C为半圆周: ? 3, Re z ? 0, z

起点为? 3i , 终点为3i; 1 ? 2 在 Re z ? 0,z ? 0上 解 析 , 解1) z 1 1 2i ? 2 ?1 3 i 故 ? 2 dz ? z |? 3 i ? C z ? 2?1 3

1 3ie 1 2 i 2i 2 解2: ? 2 dz ? ? ? 2i? d? ? ? ? i? d? ? C z ? 9e 3 ?2 e 3 2

?

i?

?

1 2) ? dz C z 其中C为单连通区域 : ? ? arg z ? ?内 D ? 起点为 , 终点为z的任意曲线 1 .
解)

1 1 ? 在D内 解 析 又 ln z是 的 一 个 原 函 数 , , z z 1 故 ? dz ? ln z ? ln1 ? ln z ( z ? D ). C z

例3 计算下列积分:

?

?i

?i
?

z i 2i z dz ? |? i ? ? 3 3
2
n

3

??

1 1 n?1 ? n?1 n?1 z dz ? z |? ? ? ?? n?1 n?1
i 0

?

?

?

i

0

z sinzdz ? ?sinz ? z cos z ? | ? sini ? i cos i

小结
c n? ?

求积分的方法
n k ?1

(1) ? f ( z )dz ? lim? f (? k )?xk
( 2)

?

c

f ( z )dz ?

? udx ? vdy ? i ? vdx ? udy
? ?

(3) ? f ( z )dz ? ? f [ z(t )]z?(t )dt
c

(4)若f ( z )解 析, B单 连 通 C ? B, 则? f ( z )dz ? 0 ,
c

(5)若f ( z )在B内解析 B单连通 则 , ,

?

z1

z0

f ( z )dz ? F ( z ) z , F ' ( z ) ? f ( z )
0

z1

第七次课 11月5日

§5 Cauchy积分公式
利用Cauchy-Goursat基本定理在多连通域上的推 广,即复合闭路定理,导出一个用边界值表示解析函

数内部值的积分公式,该公式不仅给出了解析函数
的一个积分表达式,从而成为研究解析函数的有

力工具,而且提供了计算某些复变函数沿闭路积
分的方法.

分析

设D ? 单 连 通 f ( z )在D内 解 析 , , z0 ? B, C是D内 围 绕 0的 一 条 闭 曲 线 z ,则 f (z) f (z) 一般 在z0不 解 析 ? ? . dz ? 0 C z?z z ? z0 0

由复合闭路定理得 , 任 意 包 含 0在 内 部 的 z 曲 线C1 ? C的 内 部
f (z) f (z) ?C z ? z0 dz ? ?C1 z ? z0 dz
C D

z0
C1

特别取

C1 ? { z z ? z0 ? ? (? ? 0可充分小)}

? f ( z )的连 续性在C上的 函数值 ( z ) , f 当? ? 0时, f ( z ) ? f ( z0 )
C

∴猜想积分

D z0 C1

?

C

f (z) f ( z ) ? ?0 dz ? ? dz ? C1 z ? z z ? z0 0

1 ? f ( z0 )? dz ? 2?if ( z0 ) C1 z ? z 0 这个猜想是对的 ,这就是下面的定理 .

定理(Cauchy 积分公式) 1)设f ( z )在D内 处 处 解 析 ,

2)C是D内 任 意 一 条 正 向 简 单 曲 线, 闭 它 的 内 部 完 全 含 于, D
1 3) z0为C内 任 意 一 点 f ( z0 ) ? ? 2?i

?

C

f (z) dz z ? z0

证明 设?K ? { z z ? z0 ? R} ? C的 内 部 .
??
C

f (z) f (z) dz ? ? dz与K的 半 径 无 关, R K z? z z ? z0 0
R?0 K

? 只 须 证 明 l i m? :

f (z) dz ? 2?if ( z0 ). z ? z0

即 要 证: ?? ? 0, ?? ? 0 , ? z ? z0 ? R ? ?

?

K

f (z) dz ? 2?if ( z0 ) ? ? z ? z0

f (z) ?? dz ? 2?if ( z0 ) ? k z?z 0
?

f (z) 1 ?k z ? z0 dz ? f ( z0 )?k z ? z0 dz

?

k

f ( z ) ? f ( z0 ) f ( z ) ? f ( z0 ) ? dz ? ? ds ? ? ds ? 2?? K z ? z0 z ? z0 R K

? lim f ( z ) ? f ( z0 ) ?
z ? z0

?? ? 0, ?? ? 0 ? z ? z0 ? R ? ?

f ( z ) ? f ( z0 ) ? ?

? l i m?
R ?0

K

f (z) 1 f (z) dz ? 2?if ( z0 ) ? f ( z0 ) ? ?C z ? z0 dz z ? z0 2?i

? (1)若定理条件改为 ( z )在C所围区域B f
内解析, 及在C ? B ? B上连续, Cauchy 积分公式仍成立.

(2) Cauchy积分公式表明函数在C内部任一点 的值可以用它在边界的 值来表示. 即若f(z) 在区域边界上的值一经 确定, 则它在区域 内部任一处的值也就确 定了.

( 3)若C : z ? z0 ? Rei? 则 ? 1 f ( z0 ) ? 2?i

?

C

f (z) dz z ? z0

1 ? 2?i

?
0

2?

0

f ( z0 ? Rei? ) Riei? d? i? Re

1 ? 2?

?

2?

f ( z0 ? Re )d?

i?

一个解析函数在圆心处的值等于它在 圆周上的平均值.

例1

1 求:) 1 2?i

sin z 1 2 ??4 z dz 2) z??( z ? 1 ? z ? 3 )dz z 4

1 解 1) 2?i

si nz ? 4 z dz ? si nz z ?0 ? 0 z?
dz ??4 z ? 1 ? z 2 ??4 z ? 3 dz z

1 2 2) ? ( ? )dz ? z ?1 z ? 3 z ?4
f ( z ) ?1 及 2

?

2?i ? 1 ? 2?i ? 2 ? 6?i

2z ? 1 dz 例2 求 ?C 2 z ?z C为包含 z ? 1在内的任意简单正向曲 . 线



2z ? 1 2z ? 1 2z ? 1 ?C z 2 ? z dz ? ?C1 z 2 ? z dz ? ?C2 z 2 ? z dz 2z ? 1 2z ? 1 y z ? 1 dz ? z dz C ?? ?C 2 z ? 1 C1 z C
1

C2 x 1

由C积分 公式

?

2z ? 1 2z ? 1 2?i ? 2?i z ? 1 z ?0 z z ?1

o

? 4?i

§6 解析函数的高阶导数
本节研究解析函数的无穷次可导性,并导出高 阶导数计算公式. 研究表明:一个解析函数不仅 有一阶导数,而且有各阶导数,它的值也可用 函数在边界上的值通过积分来表示. 这一点与实

变函数有本质区别.

形式上, 1 对 积 分 公 式 ( z0 ) ? f 2?i

?

C

f (z) dz( z0 ? D) z ? z0

两 边 在 积 分 号 下 对求 导 得 z0 1 f (z) f ' ( z0 ) ? ?C ( z ? z0 )2 dz 2?i 2! f (z) f " ( z0 ) ? ?C ( z ? z0 )3 dz ?? 2?i

f

( n)

n! f (z) ( z0 ) ? ?C ( z ? z ) n?1 dz (n ? 1,2,?) 2?i 0

以下将对这些公式的正确性加以证明.

定理 解析函数f ( z )的导数仍为解析函数 ,

它的n阶导数为 f
( n)

n! ( z0 ) ? 2?i

?C ( z ? z

f (z)
0)
n?1

dz

( n ? 1,2,?)

其中C为在f ( z )的解析区域D内围绕z0的 任意正向简单闭曲线而且它的内部? D. ,
证明 用数学归纳法和导数定义. 先 证n ? 1的 情 形 .

?z0 ? D

f ( z 0 ? ?z ) ? f ( z 0 ) f ' ( z0 ) ? l i m ?z ? 0 ?z

1 由 柯 西 积 分 公 式 ( z0 ) ? f 2?i

?

C

f (z) dz z ? z0

1 f (z) f ( z0 ? ?z ) ? ?C z ? z0 ? ?z dz 2?i
f ( z0 ? ?z ) ? f ( z0 ) 1 ? f (z) f (z) ? ? dz ? ? dz? ? ?C C z ? z ?z 2?i?z ? z ? z0 ? ?z 0 ? 1 f (z) ? ?C ( z ? z0 ? ?z )(z ? z0 ) dz 2?i 令为I 1 f (z) 1 ?zf ( z ) ? ?C ( z ? z0 )2 dz ? 2?i ?C ( z ? z0 ? ?z )(z ? z0 )2 dz 2?i

1 I ? 2?

?zf ( z ) ?C ( z ? z0 ? ?z )(z ? z0 )2 dz 1 ? 2?

?

?z f ( z ) z ? z 0 ? ?z z ? z 0
2

C

ds

? f ( z )在C上 解 析 , f ( z )在C上 连 续 ? 则?M , ? f ( z ) ? M , d ? minz ? z0
z?C

1 取 ?z ? d , 则 有 2

1 1 z ? z0 ? d , ? z ? z0 d d z ? z 0 ? ?z ? z ? z 0 ? ?z ? , 2 2 ? z ? z 0 ? ?z d 1

ML ? I ? ?z ( L — C的 长 度 ) 3 ?d 显 然 , m I ? 0, 从 而 有 li
?z ? 0

f ( z0 ? ?z ) ? f ( z0 ) 1 f (z) f ' ( z0 ) ? lim ? ?C ( z ? z0 )2 dz (*) ?z ?0 ?z 2?i

再利用?)式及推导?)的方法可证 ? 2的情形 ( ( n .
f ' ( z 0 ? ?z ) ? f ' ( z 0 ) f ' ' ( z0 ) ? l i m ?z ? 0 ?z 2! f (z) ? ?C ( z ? z0 )3 dz依次类推,用数学归纳法可得 2?i

f

( n)

n! f (z) ( z0 ) ? ?C ( z ? z0 )n?1 dz 2?i

定 理 表 明 ( z )在z平 面 上 内 解 析? f ( z )在D内 f D 具 有 各 阶 导 数 在D内 解 析? ?无 穷 次 可 导 ,即 .
一个解析函数的导数仍为解析函数.

f (z) 2?i ( n ) 用 途 : 可计算积分 ? dz ? f ( z0 ) n ?1 C (z ? z ) n! 0

例1 求 下 列 积 分 值 C : z ? r ? 1

cos?z 1)? dz 5 C ( z ? 1)


ez 2) ? dz 2 2 C (1 ? z )

1) ? cos?z在 全 平 面 处 处 解 析 cos?z 2?i (4) ?C ( z ? 1)5 dz ?(5 ? 1)(cos?z ) ! 2?i ?5 ? ( ?? 4 ) ? ? i 4! 12
z ?1

e 2) ? 2 在z ? ? i处 不 解 析取C1 : z ? i ? ? 1 . 2 (z ? i) C 2 : z ? i ? ? 2 C 1 , C 2不 相 交 且 在 的 内 部 C
ez ez ez ?? dz ? ? dz ? ? dz 2 2 2 2 2 2 C (1 ? z ) C1 ( i ? z ) C2 (i ? z )

z

??

C1

ez ez ( z ? i )2 ( z ? i )2 dz ? ? dz 2 2 C2 ( z ? i ) (z ? i)
z

? ? 2?i ? e ? ? ? 2? ( 2 ? 1)! ? ( z ? i ) ? ?

z?i

? ? 2?i ? e ? ? ? 2? ( 2 ? 1)! ? ( z ? i ) ? ?
z

z?? i

? ?

?
2

(1 ? i )(e ? ie )
i

?i

?
2

(1 ? i ) (cos1 ? si n1) ? ?i 2 si n ( ? 1
2

?
4

)

ez 3)求 下 列 积 分 值 : z ? r ? 1, ? n dz ,C C z 2?i n ? 1, 原 式 ? 2?i; n ? 1, 原 式 ? ( n ? 1)!

作业
? P100 7(3)(5)(7)(9) 8(1)(2) 9(3)(5)

解析函数与调和函数的关系

§7 解析函数与调和函数的关系
内 容 简 介
在§6我们证明了在D内的解析函数,其导数

仍为解析函数,所以解析函数有任意阶导数.本节
利用这一重要结论研究解析函数与调和函数之间

的关系.

? 定义 若 二 元 实 变 函 数( x , y )在D内 具 有 二 阶 连
续偏导数且满足 Laplace 程 : 方 ? 2? ? 2? ? 2 ?0 2 ?x ?y 即 (?? ? 0)

则 称? ( x , y )为D内 的 调 和 函 数 .
定理 若f ( z ) ? u( x , y ) ? iv( x , y )在区域D内解析

? u ? u( x , y ),v ? v ( x , y )是D内的调和函数。

证明:设f (z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域D内解析,则

?u 由C ? R方 程 ? ?x 2 2 ? u ? v 从而有 ? 2 ?x ?y?x

?v ?u ?v ?? ?y ?y ?x 2 2 ? u ? v ?? 2 ?y ?x?y

由 解 析 函 数 高 阶 导 数 理 ? u( x , y ), v ( x , y ) 定 ? 2v ? 2v 具 有 任 意 阶 的 连 续 导. ? 数 ? ?x?y ?y?x
? 2u ? 2u ? 2v ? 2v 故在D内有 ? 2 ? 0, 同 理有 ? 2 ?0 2 2 ?x ?y ?x ?y

即u及v 在D内满足拉普拉斯(Laplace)方程:

?u ? 0, ?v ? 0

?2 ?2 其 中? ? 2 ? 2 ?x ?y

? u ? u( x, y),v ? v( x, y)是D内的调和函数。
定义 设u( x , y )为D内 的 调 和 函 数 使 得u ? iv ,称

在D内 构 成 解 析 函 数 的 调 函 数v( x , y )为u( x , y ) 和 的共轭调和函数 .

上面定理说明: D内解析函数的虚部是实 部的共轭调和函数 . 即, f ( z ) ? u( x, y ) ? iv( x, y )在D内解析?

在D内v( x, y )必为u ? u( x, y )的共轭调和函数 . 由解析的概念得:

在D内满足 ? R方程: ux ? v y , u y ? ?v x的两个 C 调和函数 , v , v必为u的共轭调和函数 u . 现在研究反过来的问题: u, v是 任 意 选 取 的 在 若
区 域D内 的 两 个 调 和 函 数 u ? iv在D内 就 不 ,则 一定解析 .



v ? x ? y不是u ? x ? y的共轭调和函数 .
u y ? 1 ? ?v x )

(? f ( z ) ? u ? iv ? ( x ? y ) ? i ( x ? y )在z平面上 处处不解析 x ? 1 ? v y u
要 想 使 ? iv在D内 解 析 u及v还 必 须 满 足 ? R u , C 方 程 , 即必 须 是 的 共 轭 调 和 函 数 此 , v u .由

已 知 一 个 解 析 函 数 的 部u( x , y ), 利 用C ? R方 实 (虚部v( x, y )) 程 可 求 得 它 的 虚 部 x , y ),从 而 构 成 解 析 函 数 v( u ? iv .
(实部u( x, y ))

设D一 单 连 通 区 域 ( x , y )是 区 域 内 的 调 和 ,u D ? 2u ? 2u 函 数, 则 2 ? 2 ? 0 ?x ?y ?u ?u 即, ? 、 在D内 有 连 续 一 阶 偏 导 数 ?y ?x
且 ? ?u ? ?u (? )? ( ) ?y ?y ?x ? x

?v ?v ?v ?u ?u dx ? dy ? ? dx ? dy ? dv( x , y ) ?x ?y ?y ?x

?u ?u v( x, y ) ? ? ? dx ? dy ? c ( x0 , y0 ) ?y ?x
( x, y)

(?)

?v ?u ? ?? ?x ?y

?v ?u ? 满 足C ? R方 程. ?y ?x

? u ? iv在D内 解 析 .

定理 设u( x , y )在单连通D内调和函数,

则(?)式所确定的v ( x , y ), 使得 f ( z ) ? u ? iv在D内解析.

?

公式不用强记!可如下推出:

已 知 : ( x , y ),求 其 共 轭 调 和 函 数 x , y ) : u v( ?v ?v C ? R方 程 由dv ? dx ? dy ? ? u y dx ? u x dy ?x ?y 然后两端积分。
?v ?v C ? R方 程 ?v ?v 由du ? dx ? dy ? dx ? dy ?x ?y ?y ?x
类似地, 然后两端积分得,

u( x , y ) ? ?

( x, y)

( x 0 , y0 )

v y dx ? v x dy ? c

(? ?)

?

调和函数在流体力学和电磁场理论等实际

问题中都有重要应用.本节介绍了调和函数与解 析函数的关系.

例1 由下列条件求解析函数z ) ? u ? iv f(

u ? x 2 ? xy ? y 2
解? ?v ? ?u ? 2 x ? y ?y ?x

f (i ) ? ?1 ? i
?v ?u ? ? ? ?2 y ? x ?x ?y

?v ?v ? dv ? dx ? dy ?( 2 y ? x )dx ? ( 2 x ? y )dy ?x ?y ( x, y) v( x, y ) ? ? ( 2 y ? x )dx ? ( 2 x ? y )dy ? c
( 0,0 ) x

?

?

o

? xdx ? ? ( 2 x ? y )dy ? c
y 0

x2 y2 ?? ? 2 xy ? ?c 2 2

曲线积分法

1 2 1 2 故 f ( z ) ? ( x ? y ? xy) ? i ( ? x ? 2 xy ? y ? c ) 2 2 i 1 2 2 2 ? ( x ? iy ) ? ( x ? iy ) ? ic ? (1 ? i ) z ? ic 2 2 i 2 ? f ( i ) ? ?1 ? i 代 入 上 式 得(, )i ? ic ? ?1 ? i 1? 2 1 i 2 i ?c ? f ( z ) ? (1 ? ) z ? 2 2 2
2 2

?

1 x ? ( z ? z ), 2

1 y ? (z ? z) 2i

又解

?v ?v ? dv ? dx ? dy ?x ?y ?( 2 y ? x )dx ? ( 2 x ? y )dy






? 2 ydx ? 2 xdy ? xdx ? ydy x y ? 2dxy ? d ( ? ? ) 2 2 2 2 x y v( x, y ) ? ? ? 2 xy ? ?c 2 2
2 2

2

2




1 2 1 2 f ( z ) ? ( x ? y ? xy) ? i ( ? x ? 2 xy ? y ? c ) 2 2

?v y2 又解 ? ? 2 x ? y ? v ? 2 xy ? ? ? ( x) ?y 2
?v ? ? 2 y ? ? '( x) ? 2 y ? x ?x x2 ?c ? '( x) ? ? x ? ( x) ? ? 2
?v ? ?x







y x ? v ( x , y ) ? 2 xy ? ? ?c 2 2
2 2

2

2

1 2 1 2 f ( z ) ? ( x ? y ? xy) ? i ( ? x ? 2 xy ? y ? c ) 2 2

又解 f ' ( z ) ? ux ? iv x ? ux ? iu y

? (2 x ? y ) ? i ( x ? 2 y )
? 2( x ? iy ) ? i ( x ? iy ) ? ( 2 ? i )( x ? iy )
? ?2 ? i ?z
2?i 2 ? f (z) ? z ? ic 2
2 2

不 定 积




1 2 1 2 f ( z ) ? ( x ? y ? xy) ? i ( ? x ? 2 xy ? y ? c ) 2 2

第八次课 11月12日

第 四 章 §1 复数项级数
? ?

级 数

1. 复数列的极限 2. 级数的概念

1. 复数列的极限
定义 设复数列: }( n ? 1,2,?),其中? n=an ? ibn , {? n 又设复常数: ? a ? ib, ?

若 ?? ? 0, ?N ? 0, ? n ? N , 恒 有? n ? ? ? ?, 那 么?称 为 复 数 列 n }当n ? ?时 的 极 限 , {? 记 作lim? n ? ? , 或 当n ? ?时 ,? n ? ? ,
n? ?

此 时 , 也 称 复 数 列 n }收 敛 于 . {? ?
定理1 lim ? n ? ? ? lim a n ? a , lim bn ? b. n? ? n? ? n? ? 证明 “?” 已 知lim? n ? ? 即 ,
n? ?

?? ? 0, ?N ? 0, ? n ? N , 恒 有? n ? ? ? ?

又 ? n ? ? ? (a n ? a ) ? i (bn ? b ) ? (a n ? a ) 2 ? (bn ? b ) 2 ? an ? a ? ? n ? ? ? ? 故   a n ? a ,   bn ? b. lim lim
n? ? n? ?

bn ? b ? ? n ? ? ? ?

“?” 已 知 ma n ? a ,  mbn ? b 即 , li li
n? ? n? ?

? ? ? 0, ? N ? 0, ? n ? N , 恒 有 a n ? a ? , n ? b ? b 2 2 又 ? n ? ? ? (a n ? a ) ? i (bn ? b )         a n ? a ? bn ? b ? ? ? 故 l i m? n ? ? .
n? ?

?

?

2. 级数概念
定义 ?设复数列: {? n } ? {an ? ibn }(n ? 1,2,?, ),

??
n ?1

?

n

? ? 1 ? ? 2 ? ? ? ? n ? ? ---无穷级数
n

?级数的前n项的和

sn ? ? 1 ? ? 2 ? ? ? ? n ? ? ? i ---级数的部分和

?收 敛- 级 数 ? n称 为 收 敛 ? n ?1 ? ? lim sn ? s称为级数的和 ?若 部 分 和 数 列 } { sn ? n? ? ? ? 不收敛 - 级 数 ? n称 为 发 散 ? ? ? n ?1

i ?1

?

3i 例1 判别? n的敛散性。 n ?1 2 n 3i 1 解 ? sn ? ? j ? 3i (1 ? n ), 又 lim sn ? 3i n? ? 2 j ?1 2 ?级数收敛且和为3i . ,
定理2 级 数? ? n收 敛 ? ? an和? bn都 收 敛 。
? ? ? n ?1 n n ?1 n ?1

?

证明 ? s ? ? ? (a ? ib ) ? a ? i b ? ? ? i? ? k ? k k ? k ?k n n n
k ?1 k ?1 k ?1 k ?1

n

n

n

由定理1, sn ? a ? ib ? lim ? n ? a , lim ? n ? b lim
n? ? ? n? ? n? ?

? ? a n和? bn都收敛。
n ?1 n ?1

?

?

由定理2,复数项级数的收敛问题可归之为 两个实数项级数的收敛问题.
? n ?1

: lim 性质 级 数? ? n收 敛 的 必 要 条 件 ? n ? 0. n? ?
定理3 若? ? n 收敛 ? ?? n收敛,且 ? n ? ? ? n . ?
n ?1 n ?1 n ?1 n ?1
2 2 证明 ? ? n ? an ? ibn ? an ? bn 2 2 ? an ? an ? bn , 2 2 bn ? an ? bn
n n ?

?

?

?

?

由比较判定法
? ? n ?1 n n ?1 n

? a 和? b 均 绝 对 收 敛 ,
由 定 理 得? ? n收 敛 。 2
?

?

? ?? k ? ? ? k ,??? n ? ? ? n
k ?1 k ?1 n?1 n ?1

n ?1

2 2 an ? bn ? an ? bn 有 : 由定理3的证明过程,及不等式

定理4 级 数? ? n 收 敛 ? ? an 和? bn 都 收 敛 。
n ?1 n ?1 n ?1

?

?

?

?

若?
n ?1
?

?

? ? 收敛 ?
n

?
?

( ?1)n i ? n 收敛.(例 如: ? ) n n ?1 n ?1
?

?

定义 若? ? n 收 敛 , 则 称 ? n为 绝 对 收 敛 ; ?
n ?1 ? n ?1

?

若? ? n 发 散 , 而 ? n收 敛 , 则 称 ? n为 ? ?
n ?1 n ?1 n ?1

?

条件收敛 .

否绝对收敛? 例2:P108 下列级数是否收敛?是
? 1 i (8i )n (1)? (1 ? ) (2)? n n ?1 n n ? 0 n!
?

?

(?1)n i (3)? ( ? n) n 2 n ?1
?

? ? 1 1 1 i 解 (1) ? ? 发 散 , 2 收 敛 , ? (1 ? )发 散. ? ?n n n ?1 n n ?1 n ?1 n

? ? 8i 8n ( 8i ) n ( 2) ? ? ? ? 收敛, ? ? 绝对收敛。 n ? 0 n! n ? 0 n! n ? 0 n! ? ? ? (?1)n 1 (?1)n i (3) ? ? 收敛, n 收敛, ? ( ? ? n )收敛. ?2 n n 2 n ?1 n ?1 n ?1 ? ( ?1)n 又? ? 条 件 敛, 原 级数 非 绝对 收 敛 收 ? . n n ?1

?

n

zn 例3 讨论? 的敛散性。 n ?0 n! n ? ? z rn 解 令 z ? r, ? ?? ? er n ? 0 n! n ? 0 n!
zn ? ? 在复平面上处处绝对收 敛。 n ? 0 n!
?

?

1 ? in ? 练习(P108,例1): 讨论? ? 1 ? ? e 的敛散性。 n? n? 0 ?

?

?

en ? e?n cos in 讨论? n 的敛散性。 cos in ? 2 2 n ?0
?

§2 幂级数
? ?

1. 幂级数概念
2. 收敛定理

?
? ?

3. 收敛圆与收敛半径
4. 收敛半径的求法 5. 幂级数的运算和性质

1. 幂级数的概念
定义 ?设复变函数列: f n ( z )} z ? D, n ? 1,2,? {

?f
n ?1

?

n

( z ) ? f1 ( z ) ? f 2 ( z ) ? ? ? f n ( z ) ? ? (1)

称为复变函数项级数

?级数的最前面n项的和

sn ( z ) ? f 1 ( z ) ? f 2 ( z ) ? ? ? f n ( z ) ? ? f k ( z )
k ?1

n

级数的部分和 ? ?若?z0 ? D lim sn ( z0 ) ? s( z0 ), 称 级数 1)在z0收 敛, (
n? ?

其 和为 ( z0 ),   sn ( z0 )不 存在 , 称 级数 )发 散, s lim (1
n? ?

若级数(1)在D内处处收敛,其和为z的函数
s( z ) ? f1 ( z ) ? f 2 ( z ) ? ?? f n ( z )+? ---级数(1)的和函数

特殊情况,在级数(1)中 f n ( z) ? cn ( z ? z0 )n 得
c n ( z ? z 0 ) n ( 2) ?
n? 0 ??

当z0 ? 0 ? ? cn z n
n?0

??

( 3)

称为幂级数

? 在( 2)中 令z ? z0 ? ?

( 2) ? ? cn? k
k ?0

??

? 研 究 级 数3)并 不 失 一 般 性 。 (

2. 收敛定理
同实变函数一样,复变幂级数也有所谓的收敛定理: 定理1 阿贝尔(Able)定理
??

⑴ 若 级 数 cn z 在z ? z0 ( ? 0)收 敛, 则 对 满 足 ?
n n? 0

   ? z0 的z , 级 数 必 绝 对 收 敛 z .

⑵若级数在 ? z0发散, 则对满足z ? z0 的z , z  级数必发散  .

讨论P142:5

n n 证明 (1) ? ? cn z0 收 敛, 则 limcn z0 ? 0, 即 n? 0 n??
n ?? ? 0,?N ? 0, n ? N,恒有 c n z0 ? ? ?
2 N 取M ? max ? , c0 , c1 z0 , c2 z0 ,?, c N z0

??

?

?

n 故 cn z0 ? M , n ? 0,1,2,? n z n 若 z ? z0 , 则 ? q ? 1 cn z n ? cn z0 z ? Mqn , z0 z0

由 于? Mqn收 敛, 由 比 较 判 别 法 得 cn z n 收 敛, ?
n? 0

??

??

? ? cn z n绝对收敛。
n? 0

??

n?0

n 设 (2)用反证法, ?z1 , ? z1 ? z0 , 有? cn z1 收 敛 ,

??

由(1)知? c z 收 敛 与 假 设 矛 盾 , 得 ! 证
n ?0 n n 0

??

n? 0

3. 收敛圆与收敛半径
由Able定理,幂级数的收敛范围不外乎下述 三种情况:
(i) 若对所有正实数都收敛,级数(3)在复平面上 处处收敛. (ii )除z=0外,对所有的正实数都是发散的,这时, 级数(3)在复平面上除z=0外处处发散.

( iii )?? ? 0, 使 得? cn? n收 敛,

??

小,在c?外部都是蓝色, n? 0 红、蓝色不会交错.故 ??   ?? ? 0, 使 得? cn ? n发 散. 一定? c R: ? R , 为红、 z n? 0 由Able定 理 , 在 圆 周? : 蓝两色的分界线。 c z ? ?内 , 级 数3)收 敛 ; ( ? 在 圆 周 ? : z ? ?外 , 级 c 数( 3)发 散. 显然,?< ?
否则,级数(3)将在?处发散. 将收敛部分染成红色,发散 部分染成蓝色,?逐渐变大, 在c?内部都是红色,?逐渐变
?

播放

R

cR

定义 红蓝两色的分界圆周cR叫做幂级数的 收敛圆;圆的半径R叫做幂级数的收敛半径.

?

(i)幂级数在收敛圆内部收敛,在收敛圆外 部发散,在圆周上可能收敛可能发散,具体问题 要具体分析. (ii)幂级数(3)的收敛范围是以0为中心,半径为R 的圆域;幂级数(2)的收敛范围是以z0为中心,半径 为R的圆域.

4. 收敛半径的求法
?1 / ? 0 ? ? ? ?? cn?1 定理2 ? 若 lim ? ?,则 R ? ? ? ? ? ?0 (比值法) n?? cn ?0 ? ? ?? ? cn ? 1 z n ? 1 cn ?1 证明 ( i )? ? 0,? lim ? lim z ??z n n? ? n? ? c cn z n ? 1 当? z ? 1时,即 z ? 时, ? cn z n绝 对 收 敛 ;
关 于 幂 级 数 cn z n ?
n? 0 ?

( 3)的 收 敛 半 径 求 法 , 有

?

n? 0

当? z ? 1时 , 即z ?

1

?

时, ? c n z n 发 散 ,
n? 0

?

以 下 证: 当 z ?

1

?

时 , cn z n也 发 散 . ?
n? 0

??

? n? 0 1 再 取 一 点 1 , 满 足 ? z1 ? z0 , 由Able定 理 得: z ? ?? ?? n n ? cn z1 收 敛, 矛 盾! ? ? cn z0 发 散,即
n? 0

用 反 证 法设 在 z ? ,

1

n 外 有 一 点 0, cn z0 收, z ?

??

当z ?
??

1

? ? ?? n? 0 n ( ii )若? ? 0时 , 对 z都 有? cn z 收 敛 ?
n? 0
n? 0

时 , cn z 发 散, 故R ? ?
n

??

n? 0

1

.

? ? cn z n在 复 平 面 上 处 处 收 敛 故R ? ??; ,

( iii )当? ? ? ?时 , 除 ? 0外 , 对 一 切, 有 z z cn z n 发 散 , 从 而? cn z n也 发 散 , . ?
n? 0 n? 0 ?? ??

否 则 , 如 果 有 一 点 ? 0 , ? ? cn z0 收 敛, 则 z0
n n? 0

??

?z1 , 满 足 z0 ? z1 ? 0, cn z1 收 敛 , 矛 盾 故R ? 0. ! ?
n n? 0

??

?1 / ? cn?1 定理2 ? 若 lim ? ?,则 R ? ? ? ? (比值法) n?? cn ?0 ?

0 ? ? ? ?? ? ?0 ? ? ??

定理3 若 lim n n?? (根值法)

?1 / ? ? cn ? ?,则 R ? ?? ? ?0 ?

0 ? ? ? ?? ? ?0

? ? ??

第九次课 11月19日

例1:P111 求幂级数? z n ? 1 ? z ? z 2 ? ? ? z n ? ?
n? 0

?

的收敛范围及和函数。
cn?1 解 ? lim ?1 ?R ?1 n? ? c n

1 ? zn 又sn ? 1 ? z ? z 2 ? ?? z n?1 ? 1? z 1 n ?当 z ? 1时 , z ? 0,? limsn ? lim . n? ? n? ? 1? z n ?当 z ? 1时, z ? 0,? 级数发散. lim
n? ?
?

1 ? 收敛, 且和函数为 当 z ? 1时; n? 综上 ? z ? 1? z n? 0 ?发散         z ? 1时. 当 ?

例2 求下列幂级数的收敛半径并讨论收敛圆周上的情形:
? ? i z n zn n ) . (1) ? p ( p ? 0); ( 2) ? (ch )( z ? 1) ; ( 3) ? ( n n ?1 n ?1 ln in n ?1 n
?

n p ? lim( ) ? 1 ?R ? 1 n? ? n ? 1 ? p=1 当z ? 1时, 级 数 为 1 , 该级数发散 ?n n ?1 ? ( ?1)n 该级数收敛 当z ? ?1时, 级 数 为 ? n , n ?1 ? ? zn 1 p=2 在圆周 ? 1上, ? ? 2 ? ? 2 是 收 敛 的 z , n ?1 n n ?1 n

cn?1 解 (1) ? ? ? lim n? ? c n

?该级数在收敛圆上是处处收敛的.

i 1 ( 2) ? cn ? ch ? (e ? e ) n 2 1? 1 1 1 1? 1 ? ?cos ? i sin ? cos ? i sin ? ? cos 2? n n n n? n

i n

i ? n

i ( 2) ? (ch )( z ? 1) n ; n n ?1

?

1 1 cn?1 ? limcos cos ? 1 ? R ? 1 ? ? ? lim n?? n? ? c n?1 n n
?

? i 1 in? n 在圆周z ? 1 ? 1上, ? (ch )(z ? 1) ? ? (cos )e n n n ?1 n ?1 ? 1 in? i ? lim (cos )e ? 0,? ? (ch )(z ? 1)n 发 散 。 n? ? n n n ?1

该级数收敛, 综上 当 z ? 1 ? 1时, 该级数发散. 当 z ? 1 ? 1时,

( 3) ? l n (in) ? l n in ? i arg(in) ? l n n ?   其 中 : in ? ln
? 1 ? ? cn ? ?? n ln in ? ?

?
2

i
?

ln n ? ? ? ?2?
2

?? ?
n ?2

2

z n ( 3) ? ( ) . n ?1 ln in

1

? ? 2? 2 ln n ? ( ) ? 2 ?

? R ? ??

? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 n c 故 l i m n ? l i mn ? ? lim ?0 n? ? n? ? ? 2 ? n? ? ? 2 ? 2? ? ln n ? ( ) ? ? l n2 n ? ( ) ? 2 ? ? 2 ? ?

n 2

1 2

故该级数在复平面上是处处收敛的.

5. 幂级数的运算和性质
?
?

代数运算
n?0 ?

设? an z n ? f ( z )
? n? 0 n? 0

R ? r1
?

bn z n ? g( z ) ?
n?0

?

R ? r2
z?R

? ? an z n ? ? bn z n ? ? (an ? bn ) z n ? f ( z ) ? g( z )
n? 0

---幂级数的加、减运算
(? an z n ) ? (? bn z n ) ? ? (a0bn ? a1bn?1 ? a2bn? 2 ? ? ? an b0 ) z n
n? 0 n? 0 n? 0 ? ? ?

? f ( z ) g( z ), z ? R

其中: ? min(1 , r2 ) R r

---幂级数的乘法运算

设f ( z ) ? ? an z n
n?0
?

?

z ? r,

g( z )在 z ? R内 解 析 , 且 ( z ) ? r g
? f [ g( z )] ? ? an [ g( z )]n
n ?0

?

z ?R

---幂级数的代换(复合)运算 ? 1 n 表 成 形 如 cn ( z ? a ) 的 幂 级 数 , 例3:P116 把 ? z?b n? 0 这 里 , 复 常 数 ? a. b
1 1 1 解 ? ?? z ? b ( z ? a ) ? (b ? a ) b?a
1 1 ? 1 ? ? ?? ? z ? a 1 ? g( z ) ? b ? a ? 1? 代换 b?a

幂级 数的代换运 算在函数展 成幂级数中 很有用.

1 1 1 解 z ? b ? ( z ? a ) ? (b ? a ) ? ? b ? a
展开

1 1 1 ? ? ? ?? ? z ? a 1 ? g( z ) ? b ? a ? 1? 代换 b?a

1 ? ? 1 ? g( z ) ? [ g( z )]2 ? ? ? [ g( z )]n ? ? , g( z ) ? 1 1 ? g( z ) z?a ?z?a? ?z?a? ? 1? ?? ? ??? ?b ? a ? ?? , z ? a ? b ? a ? R b ? a ?b ? a ? ? ?
2 n

还原

1 1 1 1 1 ? ?? ?? ? (z ? a) 2 z?b b ? a 1 ? g( z ) b ? a (b ? a ) 1 1 2 ? (z ? a) ? ? ( z ? a )n ? ? (b ? a ) 3 (b ? a ) n ?1 z?a ? R

? 分析运算
定理4 设? cn z n ? f ( z )
?

z ?R
?

? (i )
( ii )

f ( z )在 z ? R内解析.
f ' ( z ) ? (? cn z n )' ? ? (cn z n )' ? ? ncn z n?1
n? 0 n? 0 n ?1 ? ?

n?0

z?R

---幂级数的逐项求导运算

( iii)

?

c

f ( z )dz ? ? ? cn z n dz ? ? cn ? z n d z
c n? 0 ? n? 0 c

?

?

cn z n ?1 z ? R, C ? z ? a ? R 或 ? f (? )d? ? ? 0 n? 0 n ? 1 ---幂级数的逐项积分运算
z

作业
? P103 30(1)(2),31 ? P141 1(2)(4),3(3)(4),6(2)(3)(4),11(1)(3)

§3 泰勒(Taylor)级数
? ? ?

1. 泰勒展开定理

2. 展开式的唯一性
3. 简单初等函数的泰勒展开式

1. 泰勒(Taylor)展开定理
由§2幂级数的性质知:一个幂级数的和函数在 它的收敛圆内部是一个解析函数. 现在研究与此相反的问题: 一个解析函数能否用幂级数表达? (或者说,一个解析函数能否展开成幂级数? 解析函 数在解析点能否用幂级数表示?) 以下定理给出了肯定回答: 任何解析函数都一定能用幂级数表示.

定理(泰勒展开定理) 设f ( z )在 区 域 内 解 析 z 0 ? D , R为z0到D的 边 界 D ,
上 各 点 的 最 短 距 离 当 z ? z 0 ? R时 , ? f ( z ) ? ? cn ( z ? z0 ) n
n? 0 ?

(1)

f ( z )在z0处 的Taylor级数

1 ( n) 其 中: c n ? f ( z0 ) n!

n ? 0,1,2, ?
D

1 (n) 1 f (? ) c 分析: n ? f ( z0 ) ? ?k ?? ? z0 ?n?1 d? n! 2?i k : ? ? z0 ? r

?
z0
k

代入(1)得

cn ( z ? z0 ) n ? ? ?
n?0 n?0 ?

?

??

f ( n ) ( z0 ) ( z ? z0 ) n n!
D

? 1 ? f (? ) ? ?? d? ?( z ? z0 )n ? 2?i ?k (? ? z )n?1 ? n?0 ? 0 ? 1 ? ? f (? ) n? ? ?k ? ? (? ? z0 )n?1 ( z ? z0 ) ?d? ? 2?i ? n?0 ? ? 1)

?
z0
z k

1 f (? ) 又f ( z ) ? ?k ? ? z d? 2?i

2)

? f (? ) f (? ) 比 较1),2)有 , ?? ( z ? z0 )n (*) n ?1 ? ? z n? 0 (? ? z0 )

z ? z0 ? ? q ? 1, ? ? z0
1 1 1 注意到 ? ? ? ? z ? ? z0 ? ( z ? z0 ) ? ? z0 1 , z ? z0 1? ? ? z0

? z ? z0 n 1 1 ? z ? z0 z ? z0 2 ? ? ?( ) ? ?? ( ) ? ??(2) ?1 ? ? ? z ? ? z0 ? ? ? z0 ? ? z0 ? ? z0 ?
? f (? ) f (? ) ( z ? z0 )n 故 ?? ? ? z n?0 ? ? z0 (? ? z0 )n

f (? ) ?? ( z ? z0 )n ---(*)得证! (? ? z0 )n?1 n? 0
?

证明 设k : ? ? z0 ? r , {? ? ? z0 ? r } ? D , (不讲)

z为k内 任 一 点由Cauchy积 分 公 式: , z ? z0 1 f (? ) f (z) ? ?k ? ? z d? ? ? ? z0 ? q ? 1, 2?i
1 z ? z0 1? ? ? z0

1 1 1 ? ? ? ? ? z ? ? z0 ? ( z ? z0 ) ? ? z0

z ? z0 z ? z0 2 1 ? [1 ? ?( ) ?? ? ? z0 ? ? z0 ? ? z0 z ? z0 n ?( ) ? ?] ( 3) ? ? z0

(不讲) 两 端 乘 以f (? ) , 沿 着k逐 项 积 分 得 , 2?i 1 f (? ) 1 f (? ) f (z) ? ?k ? ? z d? ? 2?i ?k ? ? z0 d? 2?i

z ? z0 ? 2?i

f (? ) ?k (? ? z0 )2 d? ? ? f (? ) ?k (? ? z0 )n?1 d? ? ?

( z ? z0 ) n ? 2?i

f ( n ) ( z0 ) ? f ( z0 ) ? f ' ( z0 ) ? ? ? ( z ? z 0 ) n ? ? ( 4) n! ? ?函 数f ( z )在z0处 的Talor级 数

级 数(4)的 收 敛 范 围 是 以为 中 心 , 为 半 径 z0 r 的 圆 域? ? z0 ? r ,圆k的 半 径 可 以 任 意 增 大 r , 只 要 圆 及 其 内 部 包 含 在内 即 可? f ( z )在 k D , 解 析 点 0处 的Taylor 数 收 敛 半 径 至 少 等 于 z 级 从z0到D的 边 界 上 各 点 的 最 短 离.证 毕! 距
证明 (不讲)

?(1)

若f ( z )有奇点, 那么f ( z )在解析点

z0的Talor展开式的收敛半径 等于从z0到 R f ( z )的最近的一个奇点 之间的距离, , ? 即 R ? z0 ? ?

( 2) ?在收敛圆上, 这是因为f ( z )在收敛 圆内解析, 所以奇点?不可能在收敛圆内. 又 ? 奇点?不可能在收敛圆外, 不然的话, 收敛半径还可以扩 因此, 大, 奇点?只能在 收敛圆周上.

2. 展开式的唯一性
利用泰勒级数可把解析函数展开成幂级数,这样 的展开式是否唯一? 结论 解析函数展开成幂级数是唯一的,就是它 的Taylor级数. 事实上,设f (z)用另外的方法展开为幂级数:
f ( z ) ? a0 ? a1 ( z ? z0 ) ? a2 ( z ? z0 )2 ? ?? an ( z ? z0 )n ? ?

则 f ( z0 ) ? a0,再由幂级数的逐项求 导性质得,
f ' ( z) ? a1 ? 2a2 ( z ? z0 ) ? ?? nan ( z ? z0 )n?1 ? ? ? f ' ( z0 ) ? a1 1 ( n) ? , 依 此 类 推 得 ,n ? a f ( z0 ) n ? 0,1,2, ? n!

由此可见,任何解析函数展开成幂级数就是Talor 级数,因而是唯一的.

当z0 ? 0时, Taylor 级数为: f ' ' ( 0) 2 f ( n ) ( 0) n f ( z ) ? f ( 0) ? f ' ( 0) z ? z ?? z ?? 2! n!
函数展开成Taylor级数的方法: ? ? 代公式 ---直接法 由展开式的唯一性,运用级数的代数运算、分 析运算和 已知函数的展开式来展开 ---间接法

3. 简单初等函数的泰勒展开式
例1 求f ( z ) ? e z , sinz , cos z在z ? 0的Talor

展 开 式 (P120) .
解 ? ( e z )( n )
z ?0

? ez

z ?0

? 1 ( n ? 0,1,2, ?)

z2 z3 zn z ?e ? 1? z ? ? ? ?? ?? 2! 3! n! ? e z在 复 平 面 上 解 析 ? 该 级 数 的 收 敛 半 径 ? ? ?. R

e zi ? e ? zi 1 ? ?? ( zi )n ?? ( ? zi )n ? ? sinz ? ? ?? ?? ? 2i 2i ? n? 0 n! n! ? n? 0
1 ?? 2i 2 k ?1 z 2 k ?1 ?? (?1)k ?1 z 2 k ?1 ? ? ?? 2i k ?1 (2k ? 1)!! k ?1 (2k ? 1)!! z z z (?1) z ? sinz ? z ? ? ? ? ? ? ? 3! 5! 7! k ?1 ( 2k ? 1)!!
3 5 7 ?? k ?1 2 k ?1

又 cos z ? (si nz )' z z n z ? 1? ? ? ? ? ( ?1) ?? 2! 4! ( 2n)!
?sinz, cos z在全平面上解析, ?它们的半径 ? ? R
2 4 2n

?

上述求sinz, cosz展开式的方法即为间接法.

例2 把下列函数展开成 z 的幂级数:

1 1 (1) f ( z ) ? ( 2) f ( z ) ? ( 3) f ( z ) ? ln( 1 ? z ) 2 1? z (1 ? z )

1 2 n 解 (1) ? ? 1 ? z ? z ? ?? z ? ? 1? z
1 1 n n ? ? ? 1 ? z ? ? ? (?1) z ? ? 1 ? z 1 ? (? z )

z ?1
z ?1

(2)由幂级数逐项求导性质得:

1 d ? 1 ? d ? ?? ? ? 1 ? z ? z 2 ? ? ? ( ?1)n?1 z n ? ? (1 ? z ) 2 dz ? 1 ? z ? dz ? ? 1 ? 2 z ? 3 z 2 ? ? ? ( ?1)n?1 nz n?1 ? ? z ? 1

?

?

( 3)在 收 敛 圆 ? 1内 任 意 取 一 条 从? z( z ? 1) z 0 的 路 径 , 将(1)的 展 开 式 两 边 沿 项 积 分 得 c c逐 :
z z z dz n n ?0 1 ? z ? ?0 dz ? ?0 zdz ? ? ? ?0 (?1) z dz ? ? z2 1 3 z n?1 ln( ? z ) ? z ? ? z ? ? ? ( ?1)n 1 ?? z ? 1 2 3 n?1 z

?

(1)另一方面,因ln(1+z)在从z=-1向左沿负 实轴剪开的平面内解析, ln(1+z)离原点最近的一 个奇点是-1,?它的展开式的收敛范围为?z?<1.

( 2)在实数域中 1 ? 1 ? x 2 ? x 4 ? ? ? ( ?1) n x 2 n ? ? 2 1? x 为什么它的收敛半径 ? 1, 在实数域中的不容易 R 1 看清楚, 在复数域中容易看出 ? 有两个奇点 2 1? z z ? ? i ,? R ? 1

定理
(1) 函 数f ( z )在 点z0 解 析 ? f ( z )在z0的 某 一 邻 域 内 可 展 成 幂 数? cn ( z ? z0 ) . 级
n n? 0 ?

( 2) 函 数f ( z )在 区 域 内 解 析? f ( z )在 D D内 可 展 成幂 级 数 .

小结:f ( z )在点z0 解析
(1) f ( z )在 点z0的 某 一 邻 域 内 可 导 。 ( 2) f ( z )的 实 部 和 虚 部 在 点的 某 一 邻 域 内 有 连 续导 数 z0 偏 且 满 足 ? R方 程 。 C ( 3) f ( z )在 点z0的 某 一 邻 域 内 连 续 且 邻 域 内 的 任 一 条 沿 正 向 封 闭 路 线 的 积 分 0。 为 (4) f ( z )在 点z0的 某 一 邻 域 内 可 展 成 级 数 。 幂

第十次课 11月26日

R

cR

?

§4 罗朗(Laurent)级数
? ? ?

1. 预备知识 2. 双边幂级数 3. 函数展开成双边幂级数

?

4. 展开式的唯一性

由§3 知, f (z) 在 z0 解析,则 f (z)总可以在z0 的某一个圆域 ?z - z0?<R 内展开成 z - z0 的幂级数. 若 f (z) 在 z0 点不解析,在 z0的邻域中就不可能展开成 z - z0 的幂级数,但如果在圆环域 R1<?z - z0?<R2 内解析, 那么,f (z)能否用级数表示呢? 1 在z ? 0, z ? 1都不解析但在 , 例如,P127 f ( z ) ? z(1 ? z )
圆环域: 0 ? z ? 1及0 ? z ? 1 ? 1内处处解析 . 当0 ? z ? 1时, 1 1 1 ?z ? 1 1 f (z) ? ? ? ? ? 1 ? z ? z2 ? ?? zn ? ? z(1 ? z ) z 1 ? z z

当0 ? z ? 1 ? 1时, ? 1 1 ? 1 f (z) ? ? z (1 ? z ) 1 ? z ? 1 ? (1 ? z ) ? ? ?
? z ?1 ?1

1 ? 1 ? (1 ? z ) ? (1 ? z ) 2 ? ? ? (1 ? z ) n ? ? 1? z 1 ? ? 1 ? (1 ? z ) ? ? ? (1 ? z ) n ?1 ? ? 1? z

?

?

由此推想,若f (z) 在R 1<?z - z0?<R2 内解析, f (z) 可 以展开成级数,只是这个级数含有负幂次项,即

f ( z ) ? ? ? c ? n ( z ? z 0 ) ? n ? ? ? c ? 1 ( z ? z 0 ) ?1 ? c 0 ? c1 ( z ? z0 ) ? ? ? cn ( z ? z0 ) n ? ?

本节将讨论在以z 0为中心的圆环域内解析
的函数的级数表示法.它是后面将要研究的解 析函数在孤立奇点邻域内的性质以及定义留数 和计算留数的基础.

1. 预备知识
Cauchy 积分公式的推广到复连通域

---见第三章第18题P101
设f ( z )在D : R1 ? z ? z0 ? R2内 解 析 .作 圆 周 : 1 : z ? z0 ? r , k k 2 : z ? z 0 ? R, 且r ? R, k1、k 2 ? D , D1:r ? z ? z0 ? R,
对?z ? D1有,
1 f (z) ? 2?i f (? ) 1 ?k2 ? ? z d? ? 2?i f (? ) ?k1 ? ? z d?
R2 R r D

R1
z0 k1

z

D1

k2

2. 双边幂级数
定义 形如
n? ? ? ??

---含有正负幂项的级数

c n ( z ? z 0 ) n ? ? ? c ? n ( z ? z 0 ) ? n ? ? ? c ?1 ( z ? z 0 ) ?1 ?

           0 ? c1 ( z ? z0 ) ? ? ? cn ( z ? z0 ) n ? ?(1) ?c
?

其中z0及cn (n ? 0,?1,?2,?)都是常数 ---双边幂级数 正幂项(包括常数项)部分:

? c (z ? z )
n? 0 n 0
?

n

? c0 ? c1 ( z ? z0 ) ? ? ? cn ( z ? z0 ) ? ?(2)
n

负幂项部分:
c? n ( z ? z0 )? n ? c?1 ( z ? z0 )?1 ? ? ? c? n ( z ? z0 )? n ? ?(3) ?
n ?1

级数(2)是一幂级数,设收敛半径为R2 , 则级数在 ?z - z0?=R2 内收敛,且和为s(z)+; 在?z - z0?=R 2外发散.
1 对 于 级 数3), 若 令? ? ( ,则 z ? z0 ? ? c? n ( z ? z0 )? n ? ? c? n? n ? c?1? ? c? 2? 2 ? ? ? c? n? n ? ?(4) ?
n ?1 n ?1

对 变 数 级 数(4)为 幂 级 数设 其 收 敛 半 径 为, ? , R 则 当? ? R级 数 收 敛 ? ? R级 数 发 散 。 ,
令 1 1 1 将? ? 代回得 , ? R? , 则 级 数 4) ( z ? z0 z ? z0 R1

当 z ? z0 ? R1收敛, 且和为 ( z)-;当 z ? z0 ? R1发散. s

当 且 仅 当 1 ? R2时 , 级 数2)及( 3)有 公 共 收 敛 R ( 区 域 即 圆 环 域 :1 ? z ? z0 ? R2, 此 时 , R 称 ? cn ( z ? z0 ) n收 敛, 且 和s( z ) ? s( z ) ? ? s( z ) ?。
n ? ?? ??

R2

R1

R1 z0

R2 z0

R1 ? R2 有公共收敛域

R1 ? R2 无公共收敛域

?
??

(1)当R1 ? R2时,称 ? cn ( z ? z0 )n 处处发散。
n ? ??

??

(2)在圆环域的边界?z - z0?=R1, ?z - z0?=R2上,
n ? ??

cn ( z ? z0 )n 可能有些点收敛,有些点发散 。 ?
可以

( 3) R1 ? 0
?

R2 ? ?,此时,
n

可以

收敛域为: ? z ? z0 ? ? 0
(4)级数 ? cn ( z ? z0 ) 在R1 ? z ? z0 ? R2内的
n ? ??

和函数是解析的而且可 以逐项求积和逐项求导 .

3. 函数展开成双边幂级数
定理
设f ( z )在D : R1 ? z ? z0 ? R2内解析, 则 f (z) ?
n ? ??

cn ( z ? z0 ) n ?

??

( 5)

称为 ( z)在D : R1 ? z ? z0 ? R2内的 f Laurent级数 称为f ( z)在D : R1 ? z ? z0 ? R2内的Laurent展开式 1 f (z) 其中 : cn ? ?c ( z ? z0 )n?1 dz(n ? 0,?1,?2,?) (5' ) 2?i

c是D内绕z0的任何一条简单闭曲线 .

证明 由复连通域上的Cauchy 积分公式: 1 f (? ) 1 f (? ) f (z) ? ?k ? ? z d? ? 2?i ?k ? ? z d? (*) 2?i
2 1

R2
R r R1

D

z

z0
k1

记为I1

记为I2

z ? z0 ?当? ? k 2时 , ? 1, ? ? z0

D1

k2

重复§3的推导得:
? 1 f (? ) I1 ? ? ( d? )(z ? z0 )n ? ? cn ( z ? z0 )n (*1) 2?i ?k2 (? ? z0 )n?1 n? 0 n? 0 ?

?当? ? k1时 , ? q ? 1, z ? z0

? ? z0

记为

1 1 1 ? ? z ?? z ? z0 ? (? ? z0 ) z ? z0

1 1?

? ? z0

f (? ) 两边乘以 , 并 沿k1逐 项 积 分 得 : 2?i

z ? z0 ? ? z0 (? ? z0 )n?1 1 ? ? ? ?? ?? 2 n z ? z0 ( z ? z0 ) ( z ? z0 )

( z ? z 0 ) ?1 1 f (? ) ? I2 ? ? ?k1 ? ? z d? ? 2?i ?k1 f (? )d? 2?i ( z ? z0 ) ? 2 ? 2?i ( z ? z0 ) ? n f (? ) ?k1 (? ? z0 )?1 d? ? ? ? 2?i f (? ) ?k1 (? ? z0 )? n?1 d? (*2)

? ? ? c ?1 ( z ? z 0 ) ?1 ? c ? 2 ( z ? z 0 ) ? 2 ? ? ? c ? n ( z ? z 0 ) ? n ? ?

式(*1),(*2)中系数cn的积分分别是在k2, k1上进 行的,在D内取绕z0的简单闭曲线c,由复合闭路 定理可将cn写成统一式子:

1 f (? ) cn ? ?k (? ? z0 )n?1 d? (n ? 0,?1,?2,?) 2?i
f (z) ?
n ? ??

cn ( z ? z0 ) n ?

??

证毕!

级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为 洛朗级数的解析部分和主要部分.

?

(1)当n ? 0时, 系数cn 形式上与高阶导数公式 f ( n ) ( z0 ) 相同, 但cn ? ,? f ( z )在c内不是处处 n! 解析的.
(2)在许多实际应用中,经常遇到f (z)在奇点 z0的邻域内解析,需要把f (z)展成级数,那么 就利用洛朗( Laurent )级数来展开.

4. 展开式的唯一性
结论 一个在某一圆环域内解析的函数展开为含 有正、负幂项的级数是唯一的,这个级数就是f (z) 的洛朗级数. 事实上, f ( z )在D : R1 ? z ? z0 ? R2内 解 析 , 设
可 表 示 为 ??

f (z)

?

n ? ??

?a

n

( z ? z0 )

R2
n

( 6)
R1 z0

D

设c为D内任何一条绕 z0 的简单闭曲线,? ? c ?
f (? ) ?
n ? ??

an (? ? z0 )n ?

??

c

f (? ) ?

1 将上式两边乘以 (? ? z0 ) P ?1 ( P为 任 一 整 数 ),

n ? ??

?a

??

n

(? ? z0 )

n

R2

D

R1

z0

c

并 沿c的 正 向 积 分 得 : ? f (? ) 1 ?c (? ? z0 ) p?1 d? ? n? an ?c (? ? z0 ) p?1? n d? ? 2?ia p ? ?? 1 f (? ) 解得: p ? a ?c (? ? z0 ) p?1 d? 2?i 由 此 可 知在 圆 环 域 内 解 析 的 函 展 开 成 级 数 , 数

就 是Laurent级 数.

?

由唯一性,将函数展开成Laurent级数,可 用间接法.在大多数情况,均采用这一简便的方 法求函数在指定圆环域内的Laurent展开式,只有 在个别情况下,才直接采用公式(5')求Laurent系 数的方法.

sin z 在0 ? z ? +?展开成洛朗级数。 例1 求 z si nz 1 ? ( ?1)n z 2 n?1 解 0 ? z ? ?? ? ? z z n? 0 ( 2n ? 1)!

? 1? z3 z5 z2 z4   ?z? ? ? ? ? ?? ? 1 ? ? ?? ? z? 3! 5! 3! 5! ?

ez 例2 将 3 在0 ? z ? +?内展开成Laurent级数. z ez 1 ? zn 1 z2 zn 解 ? 3 ? ? 3 (1 ? z ? ? ? ? ? ?) 3 z z n?0 n! z 2! n! 1 1 1 1 z zn   3? 2? ? ? ? ? ?? ? ? z z 2! z 3! 4! n!
例3 将e 在0 ? z ? ??内展成Laurent级数. 1 2 1 n t 解 ?在 复 平 面 上 , ? 1 ? t ? t ? ?? t ? ? e 2! n! 1 1 1 1 1 z 令t ? , e ? 1 ? ? ? ?? ?? 2 n z z 2! z n! z (0 ? z ? ??)
1 z

P132
1 在以下圆环域 例4 将f ( z ) ? ( z ? 1)( z ? 2) (i ) 0 ? z ? 1; ( ii ) 1 ? z ? 2; ( iii) 2 ? z ? ?? 内展开成z0 ? 0的Laurent级数。

y

y

y

o

1

2

x

o

1

2

x

o

1

2

x

(i ) 0 ? z ? 1

(ii ) 1 ? z ? 2

(iii ) 2 ? z ? ??

1 1 ? 解: f ( z ) ? 1? z 2? z

z (i ) 0 ? z ? 1 ? z ? 1 ? ? 1 2 1 1 1 故 f (z) ? ? z 1? z 2 1? 2 2 1 z z 2 n ? (1 ? z ? z ? ? z ? ?) ? (1 ? ? ? ?) 2 2 4
?? 1 3 7 2 1 n ? ? z ? z ? ? ? ? (1 ? n?1 )z 2 4 8 2 n? 0

没 有 奇 点

1 z (ii )1 ? z ? 2 ? z ? 1 ? ? 1 又 ? z ? 2 ? ? 1 z 2
1 1 1 f (z) ? ? ?? 1? z 2? z z 1 1 ? 1 2 z 1? 1? z 2 1

1 1 1 1 z ? ? (1 ? ? 2 ? ?) ? (1 ? ? z z z 2 2 1 1 1 1 z ? ? ? n ? n ?1 ? ? ? ? ? ? z z z 2 4 ? ? 1 zn ? ? ? n ? ? n?1 n ?1 z n? 0 2

z2 ? ?) 4 z2 ?? 8

2 ( iii )2 ? z ? ? ? ?? z ? 2 ? ? 1 z 1 1 1 1 1 1 f (z) ? ? ?? ? 1? z 2? z z 1 z 2 1? 1? z z 1? 1 1 ? 1? 2 4 ? ? ? ? 1 ? ? 2 ? ? ? ? ? 1 ? ? 2 ? ?? z? z z ? z? z z ?

1 3 7 ? 2 ? 3 ? 4 ?? z z z
? n ? n

注意首项

? 1 ? 1? 1 ? 2? 2 n ?1 ? 1 ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? n z n? 0 ? z ? z n? 0 ? z ? z n? 2

小结:把f (z)展成洛朗( Laurent )级数的方法:
(1)对于无理函数及其他初 等函数的洛朗 展开式,可以利用已知 基本初等函数的 泰勒展开式,经过代换 、逐次求导、逐 次积分等计算来获得。

(2)对于有理函数的洛朗展开式,首先把有理 函数分解成多项式与若干个最简分式之和, 然后利用已知的几何级数,经计算展成需要的

形式.

例5

1 将f ( z ) ? ( z ? 1)( z ? 2)
o

y
x

在以点z ? 1, z ? 2的去心邻 域内展开成Laurent级数。

1

2

解 (1) 在(最大的)去心邻域 0 ? z ? 1 ? 1 1 1 1 1 f (z) ? ? ?? ? 1? z 2? z z ? 1 1 ? ( z ? 1) ? 1 ?? ? ? ( z ? 1) n z ? 1 n? 0 1 ?? ? 1 ? ( z ? 1) ? ( z ? 2) 2 ? ? z ?1

(2) 在(最大的)去心邻域

0? z?2 ?1 1 1 1 1 f (z) ? ? ? ? 1 ? z 2 ? z z ? 2 1 ? ( z ? 2) o ? 1 ? ? ? ( ?1) n ( z ? 2) n z ? 2 n? 0 1 ? ? 1 ? ( z ? 2) ? ( z ? 2) 2 ? ? z?2

1

2

x

1 z 练习: f ( z ) ? 将 e 在 区 域 (1) z ? 1, 1? z ( 2) 0 ? z ? 1 ? ? ?内 展 开 成 幂 级 数 。

( 数由许多种不同的 ?1)由此可以看出同一个函 这与唯一性并不矛盾。

级数展式,这是因为在 不同的区域上的展式,

(2)根据区域判别级数方式:
在圆域内需要把 f (z) 展成泰勒(Taylor)级数, 在环域内需要把f (z)展成洛朗( Laurent )级数.

?
(3) Laurent级数与Taylor 级数的不同点:

?
?

Taylor级数先展开求R, 找出收敛域.
Laurent级数先求 f(z) 的奇点,然后以 z0

为中心,奇点为分隔点,找出z0到无穷远
点的所有使 f(z) 解析的环,在环域上展成 级数.

计算沿封闭路线积分中的应用P135

作业
? P143 12(1)(3),16(2)(3)

第五章 留数

第十一次课 12月3日

§1 孤立奇点
? ? ?

1. 定义

2. 分类
3. 性质

?

4. 零点与极点的关系

1. 定义
, 定义 若f ( z )在z0 处 不 解 析但 在z0的 某 个 去 心 邻 域 0 ? z ? z0 ? ?内 解 析 则 称z0为f ( z )的 孤 立 奇 点 , . ~~~~~~~~~

例如 f ( z ) ? e

1 z

----z=0为孤立奇点

1 f (z) ? ----z=1为孤立奇点 z ?1
f (z) ? 1 1 sin z

----z=0及z=1/n? (n = ?1 , ?2 ,…)都是它的奇点

1 但 ? li m ? 0, ? 在z ? 0不 论 多 么 小 的 去 心 y n?? n? 邻 域 内 总 有f ( z )的 奇 点 存 在 , ,

1 si n z 的孤立奇点。
除此之外,其它奇点 不是孤立的 这说明奇点未

故z ? 0不 是

1

o

x

必是孤立的.

2. 分类
以下将f (z)在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数,根 据展开式的不同情况,将孤立点进行分类. 考察: 2 4 2n
sinz z z z n (1) ? 1 ? ? ? ? ? ( ?1) ?? z 3! 5! ( 2n ? 1)!

特点:没有负幂次项 e z 1 ?? z n ?? z n?1 1 z z n ?1 ( 2) ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ?? ?? z z n? 0 n! n?0 n! z 2! n! 特点:只有有限多个负幂次项 1 1 ?2 1 ?n ?1 z ( 3)e ? 1 ? z ? z ? ? ? z ? ? 2! n! 特点:有无穷多个负幂次项

定义

设z0是f (z)的一个孤立奇点,在z0 的去心邻域内,

若f (z)的洛朗级数

( i ) f ( z ) ? ? cn ( z ? z0 ) n
n? 0

?

没有负幂次项,称z=z0为可去奇点; ~~~~~~~~

( ii ) f ( z ) ?

n? ? m ?

cn ( z ? z0 )n (c? m ? 0, m ? 1) ? cn ( z ? z0 ) n ?

?

只有有限多个负幂次项,称z=z0为m 级(阶)极点; ~~~~~~~~

( iii ) f ( z ) ?

n ? ??

有无穷多个负幂次项,称z=z0为本性奇点. ~~~~~~~~

3. 性质
? 若z0为f (z)的可去奇点

? f ( z ) ? ? c n ( z ? z 0 ) ? l i m f ( z ) ? c0
n n? 0 z ? z0

??

补充定义:( z0 ) ? c0 f
?

f ( z )在z0解析.

若z0为f (z)的m (m ? 1) 级极点

? f (z) ?

n? ? m

? c (z ? z )
n 0

??

n

( c? m ? 0, m ? 1 )

1 ? lim f ( z ) ? ? ? f ( z ) ? g( z ) m z ? z0 ( z ? z0 )

其 中: g( z ) ? c? m ? c? m ?1 ( z ? z0 ) ? c? m ? 2 ( z ? z0 )2 ? ? , g( z )在 z ? z0 ? ?内 是 解 析 函 数 且( z0 ) ? 0. g
z 2 ? 3z ? 2 例如: f ( z ) ? 2 ( z ? 1)( z ? 1)4
z=1为f (z)的一个三级极点, z=?i为f (z)的一级极点.
? 若z0为f (z)的本性奇点

? f ( z )的 洛 朗 级 数 有 无 穷 多 负 幂 次 项 项 ? l i m f ( z )不 存 在 , 也 不 为 ?
n? ?

4. 零点与极点的关系
定义 不恒等于0的解析函数f (z)如果能表示成
f ( z ) ? ( z ? z0 )m ? ( z )

其中: ( z0 ) ? 0, ? ( z )在z0点解析 m ? N ? ,
则称z=z0为f (z) 的m 级零点. 例如: z ? 0与z ? 1分别是 ( z ) ? z( z ? 1)3的一级 f
与三级零点。

定理

f ( z ) ? ( z ? z0 ) m ? ( z )

(? ( z0 ) ? 0, ? ( z )在z0点解析 m ? N ) , ? f ( n ) ( z0 ) ? 0( n ? 0,1,2,? , m ? 1) f ( m ) ( z0 ) ? 0.
事实上,?? ( z ) ? ? cn ( z ? z0 )n
n? 0 ??

c0 ? ? ( z 0 ) ? 0
??

? f ( z ) ? ? cn ( z ? z0 ) n ? m
n? 0

由Taylor 数 的 系 数 公 式 有 级 : f ( n ) ( z0 ) ? 0 ( n ? 0,1,2,? , m ? 1), f ( m ) ( z0 ) 而 ? c0 ? 0 必要性得证! 充分性略! m!

例如

z ? 0与z ? 1均为f ( z ) ? z( z ? 1) 的零点。
3

又f ' ( z ) ? ( z ? 1) ? 3z( z ? 1)
3

2

f "( z ) ? 6( z ? 1)2 ? 6z( z ? 1)
f ' ' ' ( z ) ? 12( z ? 1) ? 6( z ? 1) ? 6z

? f ' (0) ? ( ?1) ? 0
3

? z ? 0为 一 级 零 点

? f ' (1) ? 0

f ' ' (1) ? 0

f ' ' ' (1) ? 6 ? 0

? z ? 1为三级零点

1 定理: 若z0是f ( z )的m级极点? z0是 的m级零点. f (z)
证明 “?” 若z0为f (z)的m 级极点 1 ? f (z) ? g( z ) ? g( z )在z0解析, 且g( z0 ) ? 0 ? m ( z ? z0 )
1 1 m ? ? ( z ? z0 ) ? ( z ? z0 )m h( z ) f (z) g( z ) ( z ? z0 )

? h( z)在z0解析, 且 h( z0 ) ? 0 ?.
1 1 1 ? lim ? 0,? 令 ? 0,则z0是 的m级 零 点 . z ? z0 f ( z ) f ( z0 ) f (z)

1 “?” 若z0是 的m级 零 点则 , f (z)
1 ? ( z ? z0 ) m ? ( z ) f (z)

? ? ( z) 在z0解析, 且 ? ( z0 ) ? 0 ?.

1 1 1 当z ? z0时,f ( z ) ? ? ? (z) m m ( z ? z0 ) ? ( z ) ( z ? z0 )

? ? ( z)在 z0 解析, 且? ( z0 ) ? 0 ?.
? z0是f ( z )的m级极点.

z 的奇点, 例 求f ( z ) ? 2 ?z (1 ? z )(1 ? e ) 如果是极点指出它的级 。
解 显然,z=?i 是(1+z2)的一级零点

? e ? 1 ? 0, 即 e

?z

?z

? ?1 k ? 0,?1,?2,?

? ?z ? Ln( ?1) ? i (? ? 2k? ) ? ( 2k ? 1)?i 故 奇 点 为 :k ? ( 2k ? 1)i z
? (1 ? e?z )'
z ? i ( 2 k ? 1)

? ? e ?z

z ? i ( 2 k ?1)

? ? [cos? ( 2k ? 1) ? i sin? ( 2k ? 1)] ? ?? ? 0

? zk ? i(2k ? 1) (k ? 0,?1,?2,?)是1 ? e?z的一级零点

综合 z ? ? i为f ( z )的 二 级 极 点 ;

zk ? i ( 2k ? 1) ( k ? 1,?2,?)为f ( z )的 一级极点 .
练习:考察下列函数的 孤立奇点,奇点类型, 如果是极点,指出它的 级数。
1 (1) f ( z ) ? 2 z z (e ? 1)
l n ( ? z) 1 ( 2) f ( z ) ? z

(3) f ( z ) ?

z z ?1
2

?

1

?

2

si nz ( 4) f ( z ) ? 3 z 1 ( 6) f ( z ) ? z ? sinz

1 ( 5) f ( z ) ? 3 z ? z2 ? z ? 1
(7) f ( z ) ? e
1 z ?1

( z ? 1)2 ( z ? 2)2 (8) f ( z ) ? ?sin?z ?3

§2

留数(Residue)
? ? ?

1. 留数的定义

2. 留数定理
3. 留数的计算规则

1. 留数的定义
f ( z )在c所 围 成 的 区 域 内 解 析 ?0 ?c f ( z )dz ? ?未 必 为 c所 围 成 的 区 域 内 含 有z )的 奇 点 0 f( ?
设f ( z ) ?
n ? ??

? c (z ? z )
n 0

??

n

,0 ? z ? z0 ? r

( z0是f ( z )的孤立奇点 c包含z0在其内部) ,
对 上 式 两 边 沿 简 单 闭 线c逐 项 积 分 得 : 曲 dz ?c f ( z )dz ? c?1 ?c z ? z0 ? 2?ic?1

定义

设 z0 为 f (z) 的孤立奇点, f (z) 在 z0 邻域内

的洛朗级数中负幂次项 (z- z0)–1 的系数 c–1 称为f (z)
在 z0 的留数,记作 Res [f (z), z0] 或 Res f (z0).

由留数定义,

Res [f (z), z0]= c–1

(1)

1 故 Re s[ f ( z ), z0 ] ? c?1 ? ?c f ( z )dz 2?i

( 2)

2. 留数定理
定理 设c是一条简单闭曲线 函数f ( z )在c内有 ,

有限个孤立奇点 1 , z 2 , ? , z n , 除此以外, f ( z ) z 在c内及c上解析, 则

? f ( z )dz ? 2?i ? Re s[ f ( z ), z
c k ?1

n

k

]

( 3)

证明

用互不包含互不相交的正向简单闭 ck , 曲线 (k ? 1,2,?n)将c内孤立奇点k围绕, z

由复合闭路定理得:

? f ( z )dz ? ?
c

c1

f ( z )dz ? ? f ( z )dz ? ? ? ? f ( z )dz
c2 cn

用2?i 除上式两边得: n 1 1 ?c f ( z )dz ? ? 2?i ?ck f ( z )dz 2?i k ?1

D

? ? Re s[ f ( z ), zk ]
k ?1

n

c
z3 zn

z1 z2

故? f ( z )dz ? 2?i ? Re s[ f ( z ), zk ]
c k ?1

n

得证!

?

求沿闭曲线c的积分,归之为求在c中各孤立 奇点的留数.

3. 留数的计算规则
一般求 Res [f (z), z0] 是采用将 f (z) 在 z0 邻域内

展开成洛朗级数求系数 c–1 的方法, 但如果能先知道
奇点的类型,对求留数更为有利.

以下就三类孤立奇点进行讨论:
(i )若z ? z0为可去奇点 c?1 ? 0 ? Re s[ f ( z ), z0 ] ? 0 ?

( ii )若z ? z0为 本 性 奇 点 f ( z ) ? ?

展 开 ?? ??

cn ( z ? z0 ) n ?

? Re s[ f ( z ), z0 ] ? c?1 (iii )若z ? z0为极点时,求 s[ f ( z ), z0 ]有以下几条 Re
规则

规则I

若z0是f ( z )的 一 级 极 点? , Re s[ f ( z ), z0 ] ? lim( z ? z0 ) f ( z )
z ? z0

( 4)

规则II 若z0是f ( z )的m级极点 ?
1 d m ?1 Re s[ f ( z ), z0 ] ? lim m ?1 ( z ? z0 )m f ( z ) (m ? 1)! z ? z0 dz

?

?

(5)

事实上,由条件 f ( z ) ? c? m ( z ? z0 )? m ? ? ? c? 2 ( z ? z0 )?2 ? c?1 ( z ? z0 )?1

? c0 ? c1 ( z ? z0 ) ? ?, (c? m ? 0) 以( z ? z0 )m 乘上式两边 (可以乘比m阶大的因式) ,得

( z ? z 0 ) f ( z ) ? c ? m ? c ? m ? 1 ( z ? z 0 ) ? ? ? c ?1 ( z ? z 0 )
m

m ?1

? c0 ( z ? z 0 ) m ? ?

两 边 求 ? 1阶 导 数 得 m d m ?1 {( z ? z0 )m f ( z )} ? ( m ? 1)!c?1 ? m! ( z ? z0 ) ? ? dzm ?1 m ?1
d lim m ?1 ( z ? z0 )m f ( z ) ? ( m ? 1)!c?1 , 移 项 得 5)式. ( z ? z0 dz

?

?

?

当m=1时,式(5)即为式(4).

P(z) P ( z ), Q( z )在z0 处解析, 规则III 设f ( z ) ? Q( z ) P ( z0 ) ? 0, Q( z0 ) ? 0, Q' ( z0 ) ? 0 ? P ( z0 ) z0 是f ( z )的一级极点 且 Re s[ f ( z ), z0 ] ? , ( 6) Q' ( z 0 ) 事实上, Q( z 0 ) ? 0及Q' ( z 0 ) ? 0 ?

1 ? z 0为Q( z )的 一 级 零 点从 而z 0为 , 的一级极点 , Q( z )
1 1 因 此, ? ? (z) Q( z ) z ? z0

?? ( z )在z0处 解 析 且 ( z0 ) ? 0? ?

1 故f ( z ) ? g( z ) ( g( z ) ? ? ( z ) P ( z )在z0 解 析, z ? z0 且g( z0 ) ? 0),
则z0为f ( z )的 ? 级极点由规则 , ?
z ? z0

Re s[ f ( z ), z0 ] ? li m( z ? z0 ) f ( z ) P ( z0 ) P(z) ? li m ? z ? z0 Q ( z ) ? Q ( z 0 ) Q' ( z 0 ) z ? z0

?Q' ( z0 ) ? 0?

得证!

5z ? 2 例1 计算 : ? z ? 2 dz 2 z ( z ? 1) 5z ? 2 在 z ? 2的内部有一个一级 解 f (z) ? 2 z( z ? 1)

极 点z ? 0 和 一 个 二 级 极 点 ? 1 z
5z ? 2 Re s[ f ( z ),0] ? limzf ( z ) ? lim ? ?2 2 z ?0 z ?0 ( z ? 1)
由规则 ?

1 d 2 5z ? 2 Re s[ f ( z ),1] ? lim {( z ? 1) } 2 z ?1 ( 2 ? 1)! dz z( z ? 1)

由规则 II

??

z ?2

5z ? 2 2 ? lim ( )' ? lim 2 ? 2 z ?1 z ?1 z z f ( z )dz ? 2?i Re s[ f ( z ),0] ? 2?i Re s[ f ( z ),1] ? 0

z dz c : 正向 z ? 2 例2 计算?c 4 z ?1

解 ? f ( z )有4个一级极点 ?1,? i都在圆周 内, : c
由规则 ??? P( z) z 1 ? 3 ? 2 Q' ( z ) 4 z 4z

z 故 ? 4 dz cz ?1 ? 2?i{Re s[ f ( z ),?1] ? Re s[ f ( z ),1] ? Re s[ f ( z ), i ] ? Re s[ f ( z ),? i ]} ?1 1 1 1? ? 2?i ? ? ? ? ? ? 0 ?4 4 4 4?

cos z 例3 计算? dz 3 z ?1 z
cos z 解 f ( z ) ? 3 有 一 个z ? 0 的 三 级 极 点 z 由规则 ??
1 d2 3 Re s[ f ( z ),0] ? l i m [ z f ( z )] 2 z ? 0 ( 3 ? 1)! dz 1 1    ? lim (cosz )'' ? ? 2 z ?0 2

cos z 1 ?? dz ? 2?i Re s[ f ( z ),0] ? 2?i ( ? ) ? ??i 3 z ?1 z 2

例4

计算?

z ?n

tan ?zdz ( n ? N )

si n?z 解 tan?z ? cos?z

令 cos?z ? 0

1 解 得?z ? k? ? 即, z ? k ? ( k ? 0,?1,?2, ?) 2 2 ? (cot?z )' z ? k ? 1 ? ? ? csc2 ?z ?0 1
2

?

z?k ? 2

1 ?z ? k ? 为一级极点 规则 得 ,由 III 2 1? sin?z 1 ? Re s ?tan?z , k ? ? ? ?? (k ? 0,?1,?) 2 ? (cos?z )' z ? k ? ? ?
1 2



由留数定理得:
1 2

? 2n ? Re ? z ? n tan ?zdz ? 2?i k ?? n s?tan ?z , k ? ? ? 2?i ? ? ? ? ? ?4ni ? ? ?1 2

?


(1)要灵活运用规则及洛朗级数展开来求留 数,不要死套规则.
P ( z ) z ? sinz f (z) ? ? Q( z ) z6

由 于p(0) ? 0

p' (0) ? (1 ? cos z ) z ? 0 ? 0 p'" (0) ? cos z z ? 0 ? 1 ? 0

p" (0) ? sinz z ? 0 ? 0

? z ? 0是p( z )的 三 级 零 点 是f (z)的三级极点. ,

1 ? z ? sinz ? ? z ? sinz ? 由规则 Re s ? ?? ,0? ? lim? 6 3 ?" ? z ? (3 ? 1)! z ?0 ? z ?
若将f ( z )作Laurent级数展开 :

z ? sinz 1 1 3 1 5 ? 6 [ z ? ( z ? z ? z ? ?)] 6 z z 3! 5! 1 1 11 ? ? ?? 3 3! z 5! z
1 ? z ? sinz ? ? Re s ? ,0? ? ? 6 5! ? z ?
---该方法较规则II更简单!

?


(2) 由规则II 的推导过程知,在使用规则II 时,可将 m 取得比实际级数高,这可使计算更 简单.

1 d5 ? z ? sinz ? Re s ? ,0? ? lim 5 6 ? z ? (6 ? 1)! z ?0 dz
5

? 6 ? z ? sinz ? ? ? z ? z 6 ?? ?? ? ?

1 d 1 1 ? lim 5 ( z ? sinz ) ? lim ? cos z ) ? ? ( 5! z ?0 dz 5! z ?0 5!

第十二次课 12月10日

3.在无穷远点的留数 设函数 f (z)在圆环域 R<|z|<?内解析, C为圆环域内绕原点的任何一条简单闭曲线, 则积分

1 2π i

C?

? f ( z) d z

的值与C无关, 称其为f (z)在?点的留数, 记作
1 Res[ f ( z ), ?] ? ? f ( z)d z ? 2? i C ? C ?理解为圆环域内绕 ?的任何一条简单闭曲线.
f f (z)在圆环域 R<|z|<?内解析:? z ? ?
n ???

cn z n ? ?

??

1 1 Res[ f ( z ), ?] ? ? f ( z)d z ? ? 2? i ? f ( z)d z ? ?C?1 ? ? 2? i C ? C

这就是说, f (z)在?点的留数等于它在?点的去心邻域 R<|z|<+?内洛朗展开式中 z?1 的系数变号.

注:当?为可去奇点时, f ( z ), ?]不一定为零 . Res[ 1 例如 f ( z ) ? , ?为可去奇点。 1? z f ( z )在1< z <+? 内展开为Lauren级数:
1 1 1? 1 1 1 1 ? ?? ? ? ?1 ? ? 2 ? ?? ? ? ? 2 ? ? 1? z z? z z z z ? 1? ? z?1 ? ? ? z?

? Re s[ f ( z), ?] ? ?C?1 ? 1

1 再如 f ( z ) ? , ?为可去奇点, ? Res[ f ( z ), ?] ? ?C?1 ? ?1 z

定理二 如果 f (z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点, 那末 f (z)在所有各奇点(包括?点)的留数总和必等于零. 证:除?点外, 设f (z)的有限个奇点为zk(k=1,2,...,n). 且C为 一条绕原点的并将zk(k=1,2,...,n)包含在它内部的正向简单 闭曲线, 则根据留数定理与在无穷远点的留数定义, 有

Res[ f ( z ), ?] ? ? Res[ f ( z ), zk ]
k ?1

n

1 1 ? ?? f ( z ) d z ? 2π i C f ( z ) d z ? 0. ? 2π i C

? 规则 4 Res[ f ( z ), ?] ? ? Res ? f ?

?1? 1 ? ? ?? 2 ,0 ? ?z? z ?
1
, 并设 z= ?e ,
i?

事实上, 在无穷远点的留数定义中, 取正向简单闭曲线 C 为半径足够大的正向圆周: |z|=?. 令 z ?
i?

?

1 ?=re , 那末 ? ? , ? ? ?? , d? ? ? d? ,于是有 r 1 Res[ f ( z ), ?] ? ?1 f ( z )dz 2? i C? ?

1 ?2? ? f ( ? ei? ) ? iei? d? 2? i ?0

1 2? ?? 2? i ?0 1 2? ?? 2? i ?0
1 ?? 2? i

? 1 f ? i? ? re ? 1 f ? i? ? re

? i ? i? d? ? re ? 1 i? ? i? 2 d (re ) ? (re )

? ?
|? | ?

1

?

?1? 1 ? ? 1 f ? ? 2 d? ? | ? |? 为正向? . ? ?? ?? ? ?

? ?1? 1 ? ? ? Res ? f ? ?? 2 ,0 ? ? ?z? z ? ? 1 ? 在 0 ?| ? |? 1 (由于 f(z)在?<|z|<+?内解析, 从而 f ?? ? ? ? ? 内解析.) 所以规则4 成立.

定理二与规则IV为我们提供了计算函数沿闭曲线积分 的又一种方法, 在很多情况下, 它比利用上一段中的方 法更简便.

z 15 dz 例 6 计算 ? ? ? z ?4 4 3 2 2 ( z ? 2) ( z ? 1)
4 z ? 4内有6个极点: i(二阶), 2e ? i

? ?2 k?
4

(k ? 0,1,2,3)(三阶)

1 1 ? ? 2? iRes[ f ( ) 2 ,] 0 z z 1 ? 2? iRes[ ,] ? 2? i 0 4 3 2 2 z (1 ? 2 z ) (1 ? z )

z 例:计算积分 ? 4 ? z ? 1 dz , C 为正向圆周:|z|=2. C
z [解] 4 在|z|=2 的外部除?外无奇点,因此 z ?1

1 1 1 z z z f ( ) ? 2 ? ?4 ? ?4 ? 2 4 z z z z ?1 z ?1 1? z
于是

?1

?3

? z ? ? ? z 4 ? 1 d z ? ?2 π i Res ? f ? z ? , ? ? ? 2 π i Res ? f ? ? C ? z ? ? 2 π i Res ? ,0 ? ? 0 4 ?1 ? z ?

?1? 1 ? ? ? 2 ,0 ? ?z?z ?

作 业
P147 1(1)(4)(7) 8(2)(4)(6)(8) 9(1)(2)(5)

§3 留数在定积分计算上的应用
留数定理是复变函数的定理,若要在实变函数定积分中应用,必须将实变函数变 为复变函数.这就要利用解析延拓的概念.留数定理又是应用到回路积分的,要应用到 定积分,就必须将定积分变为回路积分中的一部分.

l2

如图,对于实积分 ,变量 ( x ) dx f x 定义在闭区间 [a,b] a (线段 ),此区间应是回路 的一部分.实积分 要变 为回路积分,则实函数必须解析延拓到复平面上包含回路 1 的一个区域中,而实积分 成为回路积分的一部分:

?

b

l

l ? l1 ? l2

a

0

l1

b
b

?

l

f ( z )dz ? ? f ( x)dx ? ? f ( z )dz
a l2

1. 形如

cos?与sin? 的有理函数.

?



0

R(cos? ,sin ? )d? 的积分, 其中R(cos?,sin? )为
令 z = ei? , 则 dz = iei? d? , 而

1 i? ?i? z2 ?1 1 i? ?i? z2 ?1 sin ? ? (e ? e ) ? ,cos ? ? (e ? e ) ? . 2i 2iz 2 2z
i

0

2?

?

?1

0
?i

1

从而积分化为沿正向单位圆周的积分

?

2?

0

R(cos? ,sin ? )d ? ?

? z 2 ? 1 z 2 ? 1? d z ? ? R? ??1 ? 2 z , 2iz ? iz ? |z?1 f ( z )d z ?? ? | z| |

其中f (z)是z的有理函数, 且在单位圆周|z|=1上分母不为零, 根据留数定理有

| z| ?1

? f ( z ) d z ? 2π i? Res[ f ( z ), z ]
k ?1 k

n

其中zk (k=1,2,...,n)为单位圆 |z|=1内的 f (z)的孤立奇点. 2? cos 2? d ? (0 ? p ? 1) 的值. 例1 计算 I ? ?0 2 1 ? 2 p cos? ? p [解] 由于0<p<1, 被积函数的分母在0?? ? 2?内不为零, 因 而积分是有意义的.
由于cos2? = (e2i? + e?2i? ) /2= (z2 + z?2) /2, 因此

z 2 ? z ?2 I? ? ? 2 | z| ?1

1 dz ? ?1 iz z?z 2 1? 2 p ? ?p 2 4 1? z ? ? d z ? ? f ( z) d z 2 2iz (1 ? pz )( z ? p) | z| ?1 | z| ?1

z 2 ? z ?2 1 1 { ? ? ? ?1 z?z 2 2 iz 1 ? 2 p? ?p 2 z4 ?1 1 z4 ?1 1 ? ? ? ? 2 2 2 2 2iz z ? pz ? p ? p z 2iz z (1 ? pz ) ? p (1 ? pz ) z4 ?1 1 ? ? } 2 2iz ( z ? p )(1 ? pz )

在被积函数的三个极点z=0, p, 1/p中只有前两个在圆周 |z|=1内, 其中z=0为二级极点, z=p为一级极点.
? d ? 2 1? z4 Res[ f ( z ),0] ? lim ? z ? 2iz 2 (1 ? pz )( z ? p ) ? ? z ?0 d z ? ? ( z ? pz 2 ? p ? p 2 z )4 z 3 ? (1 ? z 4 )(1 ? 2 pz ? p 2 ) 1 ? p2 lim ?? , 2 2 2 2 z ?0 2i ( z ? pz ? p ? p z ) 2ip
? ? 1? z4 1 ? p4 Res[ f ( z ), p] ? lim ?( z ? p) ? 2 ? ? 2ip 2 (1 ? p 2 ) , z? p 2iz (1 ? pz )( z ? p ) ? ?

? 1 ? p2 1 ? p4 ? 2 π p2 I ? 2 π i ?? ? ? 2 2 2 ? 2 2ip (1 ? p ) ? 1 ? p ? 2ip

dx , 例2 计算 I ? ? 1 ? ? cos 2 x 0
解:令

?

0 ? ? ? 1的值.

? ? 2 x , d? ? 2dx ; x :0 ? ? , ? :0 ? 2?
1 2? d? 1 I? ? ? 2 0 1 ? ? cos ? 2 dz / iz 1 dz ?1 z ? z ?1 ? i z?1 ? z 2 ? 2 z ? ? ?? ?? z 1? ? 2

1 i? ? I? ? i 1? ? 2 1? ? 2

例3

计算? ? ?

?

1 2?? ? ? ? 5 ? 3 sin ? ? ? ?
2? 0
2

0

d?

解:

? 令? ? ??? ? 2?
2? 令z ? e ? ? ? ? i?
i?

2??

? ?5 ? 3 sin ? ?

1

2

d?

z ? z ?1 (3z ? i) 2 ( z ? 3i) 2 dz

i 被积函数在 z ? 1 内只有一个二阶极点: z ? 3
i ? 2? ?? 5 ? 5 ? ? 2? iRes[ f ( z ), ] ? 2? i? ? ?? ? ?? ? 3 ? i? ?? 256? 64

2. 形如 ? R( x)d x 的积分 当被积函数 R(x)是 x 的有理函 ?? 数, 而分母的次数至少比分子的次数高二次, 并且 R(x) 在实轴上没有孤立奇点时, 积分是存在的.
不失一般性, 设

??

y

z n ? a1 z n ?1 ? ? ? an R( z ) ? m ,m ? n ? 2 m ?1 z ? b1 z ? ? ? bm
为一已约分式.

CR
z2 z3 z1

?R

O

R

x

取积分路线如图所示, 其中CR是以原点为中心, R为半径
的在上半平面的半圆周. 取R适当大, 使R(z)所有的在上 半平面内的极点zk都包在这积分路线内.

?

R

?R

R( x)d x ? ? R( z )dz ? 2 π i ? Res[ R ( z ), zk ]
CR

此等式不因CR的半径R不断增大而有所改变.

|1 ? a1 z ? ? ? an z | 1 | R( z ) |? m?n ? |z| |1 ? b1 z ?1 ? ? ? bm z ? m | 1? | a1 z ? ? ? an z | 1 ? m?n ? |z| 1? | b1 z ?1 ? ? ? bm z ? m | 1 M ? m?n ? M ? 2 (当 | z | 足够大时) |z| |z|
M ?CR R( z ) d z ? ?CR | R( z ) | d s ? R 2 π R Mπ ? ??? 0 ? R ?? R
?1 ?n

?1

?n

因此

?

??

??

R( x) d x ? 2 π i ? Res[ R( z ), zk ].

如果R( x)为偶函数, ?? 1 ?? ?0 R( x) d x ? 2 ??? R( x) d x ? π i ? Res[ R( z ), zk ].
x2 例4 计算? ? ? 4 dx 2 ?? x ? x ? 1 z 4 ? z 2 ? 1 ? ( z 2 ? 1) 2 ? z 2 ? ( z 2 ? z ? 1)(z 2 ? z ? 1) ? 0
??

z2 ? f ( z) ? 4 的四个一阶极点为: 2 z ? z ?1 1 3 1 3 z1, 2 ? ? ? i, z 3, 4 ? ? ? i, 其中z1 , z 2 在上半平面 2 2 2 2

? ? 2? i?Res[ f ( z ), z1 ] ? Res[ f ( z ), z 2 ]? ? 1 ? 3i 1 ? 3i ? ? ?? ? 2? i? ? ? 4 3i 4 3i ? 3 ? ?
例5

1 计算 ? ? ? dx 0 ( x 2 ? 1) n ?1 1 ?? 1 解: I? ? dx 2 n ?1 2 ?? ( x ? 1) 1 f ( z) ? 2 在上半平面只有一个 ? 1阶极点z ? i, n n ?1 ( z ? 1)
n n ?1

??

1 d ? 1 ? ? ? ? iRes[ f ( z ), i ] ? ? i ? ? n ! dz n ? z ? i ?

z ?i

(?1) n (n ? 1)(n ? 2)? 2n ?? i n! (2i ) 2 n?1

(n ? 1)(n ? 2)? 2n ? (2n ? 1)!! ? ?? ? 2 n ?1 n! 2 2 (2n)!!

第十三次课 12月17日

M ? ? aR ? ? ?? e aR
2

?
2

0

M ? ? aR M? ?? e ? 1? ? (1 ? e ? aR ) ??? 0, ? ? R ?? aR aR

因此得
也可写为

?

?

??

R( x)e aix d x ? 2 π i ? Res[ R ( z )e aiz , zk ] .

例6 计算

? 2 π i ? Res[ R ( z )e aiz , zk ]. ?? x sin x 的值. I ?? dx(a ? 0) 2 2 0 x ?a
z R( z ) ? 2 z ? a2

?

?

??

R ( x)cos ax d x ? i ? R ( x)sin ax d x
??

?

[解] 这里m=2,n=1,m?n=1.R(z)在实轴上无孤立奇点,因而所求的积分是存在的. 在上半平面内有一级极点ai,

x eix d x ? 2 π i Res[ R( z )eiz , ai ] ??? x2 ? a 2 zeiz e? a ?a ? 2? i lim ? 2πi ? ? π ie . z ?ia z ? ia 2
因此 ?
?? 0

??

x sin x 1 ?? x 1 ?a ix d x ? Im( ? e dx) ? ? e . 2 2 2 2 x ?a 2 ?? x ? a 2

例4 计算积分
[解] 因为

?

??

0

sin x dx 的值. x

sin x 是偶函数, 所以 x

?

??

0

sin x 1 ?? sin x dx ? ? dx x 2 ?? x

e iz f ( z) ? 在实轴上有奇点 ? 0 z z

2i ?

R

r

sin x e e dx ? ? ? dz ? ? dz . CR z Cr z x
iz iz

iz

iz

因此, 要算出所求积分的值, 只需求出极限

e e lim ? dz与 lim ? dz R ?? CR z r ?0 Cr z eiz eiz 下面将证明 lim ? dz ? 0, lim ? dz ? ?? i R ?? CR z r ?0 Cr z iz iz ? e |e | 1 由于 ?y dz ? ? ds ? ? e ds ? ? e ? R sin ? d? ?CR z CR | z | 0 R CR

? 2? e
2 0

?

? R sin ?

d? ? 2 ? e
2 0

?

? R (2? / ? )

d? ?

?
R

(1 ? e ? R ).

所以

e lim ? dz ? 0 . R ?? CR z

iz

e 1 z i z 1 ? ? i ? ??? ? ? ? ? ? ( z) z z 2! n! z

iz

n n ?1

? (z)在z=0处解析, 且? (0)=i, 当|z|充分小时可使|? (z)|?2,
由于



eiz dz ?Cr z dz ? ?Cr z ? ?Cr ? ( z )dz i? 0 ire dz ?Cr z ? ?? rei? d? ? ?i?

在r充分小时,

?

Cr

? ( z )dz ? ? | ? ( z ) | ds ? 2 ? ds ? 2? r
Cr Cr iz

e dz ? ?? i ? lim ? ? ( z )dz ? 0 ? lim ?C r ?0 r ?0 Cr r z ?? sin x ?? sin x ? ? 2i ? dx ? ? i ? ? dx ? . 0 0 x x 2

第六章 共形映射

§1 共形映射的概念
?

1. 曲线的切线

?
?

2. 导数的几何意义
3. 共形映射的概念

1. 曲线的切线
设连续曲线 C : z ? z(t )

t ? [? , ? ]

它的正向取 t增大时点移动的方向 z .

若z' (t0 ) ? 0, t0 ? (? , ? ), 取P0 , P ? C , P0 , P对应 的参数分别为 , t, t0
y

割 线p0 p对 应 于 参 数 大 的 t增 方向。
则 割 线 的 方 向 向 量0 p与 向 量 p z ( t 0 ? ?t ) ? z ( t 0 ) 方向相同 . ?t
o

(z) C : z ? z(t )
P

P0
?

x

割线方向 0 p 的极限位置: p
z ( t 0 ? ?t ) ? z ( t 0 ) z' ( t 0 ) ? l i m ?t ? 0 ?t

—曲线C在p0处的切向量且方向与 C正向一致 .
? 若z' ( t 0 ) ? 0, t 0 ? (? , ? ), 则 曲 线 在z 0有 切 线 z' ( t 0 ) C , 就 是 切 向 量它 的 倾 角 ,
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~
?

y

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

(z) C : z ? z(t )
P
T

? ? arg z' ( t 0 ).

P0
?

o

x

定义 切线随切点的移动而连续转动的有向曲线 称为有向光滑曲线.

?

(1) Argz' ( t 0 ) ? ?曲线C在点z0处切线的 正向与x轴正方向之间的夹角 .
(z) C1 : z ? z1 ( t )
z0
C2 :

~~~~~~~~~~

( 2)若曲线C1与曲线 C 2 相交于点z0 , 在交点处 两曲线正向之间的夹角 就是它们的两条切线 正 向之间的夹角.
o

y

z ? z2 ( t )

?

x

2. 解析函数导数的几何意义(辐角和模)
设w ? f ( z )在区域 内解析 z0 ? D, 且f ' ( z0 ) ? 0, D ,

在D内过z0引一条有向光滑曲线 :      : z ? z(t ) t ? [? , ? ] C
取t0 ? (? , ? ) z0 ? z(t0 )
w? f ( z )

z' (t0 ) ? 0



z平面上 : z ? z(t ) ? w平面上 : w ? f [ z(t )] C ?
~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~

? — 过点w0 ? f ( z0 ),正向取增大方向的曲线 t .

? w' (t0 ) ? f ' ( z0 )z' (t0 ) ? 0

? Argw ' (t 0 ) ? Argf ' ( z0 )? Argz ' (t 0 )


即 即 y

?   ?   ? Argf ' ( z0 ) ? Argw' (t 0 ) ? Argz' (t 0 )

? ? ? ??
(z)
C:

(1)

z ? z(t )
T

v
w? f (z)

?:

w ? f [ z( t )] T'
?

(w)

z0

?

?

w0

o

x

o

u

若 视x轴 与u轴 和y轴 与v轴 的 正 向 相 同 , 称 曲 线 的 切 线 正 向 与 映 射 后 线? 正 向 之 C 曲 间 的 夹 角 为 曲 线 经 映 射 ? f ( z ))在 点 (原 C w z0的 转 动 角记 作? . ,
~~~~~~~

z0 w0
?

?
?

T'

T

u

x

? ? ? ? ? 即Argf ' ( z0 ) ? Argw ' (t0 ) ? Argz ' (t0 )

(1)导数幅角 Argf'(z) 的几何意义
①Argf ' ( z0 )( f ' ( z0 ) ? 0)是曲线C经过w ? f ( z ) 映射后在点z0的转动角 .
~~~~~~~~~

由(1)式?仅与映射 ? f ( z )及点z0有关, 则 w

② 转动角?的大小及方向与曲线 的形状 C 与方向无关, 这种性质称为映射具有 转  动角的不变性 .
~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~

设C i ( i ? 1,2)在 点z0的 夹 角 为 , C i ( i ? 1,2) ? 在 变 换 ? f ( z )下 映 射 为 相 交 于 点0 ? f ( z0 ) w w 的 曲 线 i ( i ? 1,2), ?1 , ?2的 夹 角 为 . ? ? y (z) v (w) C
2

?2

? ? ?2 ? ?1

C1

z0
?2

? ? ? 2 ? ?1

w? f (z)

w0
?1

o

?1

x

?

o

?1

?2

u

由 式(1)有 ,? ? ? i ? ? i ? ? 2 ? ?1 ? ? 2 ? ? 1

( i ? 1,2) ? ? ? ? ——保角性

由上述讨论我们有
过z0的C1 , C2 ? 过w0的?1 , ?2 ? (C1 , C2 ) ? (?1 , ?2 ),
w? f ( z )

这 种 映 射 具 有 保 持 两线 间 夹 角 的 大 小 与 方 向 曲 不 变 的 性 质 ? 保角性 ?

(2)模 f'(z) 的几何意义
设?z ? z ? z0 ? re i? , ? w ? w ? w 0 ? ? e i? 且 用?s表 示C上 的 点 0与z之 间 的 一 段 弧 长 z ; ??表 示?上 的 对 应 点 0与w之 间 的 弧 长 w .

y

(z)
z
z0

C

v
w? f (z)

(w)
w ?w w ??
0

?z ?s

?

?

o

x

o

u

?z ?w ? lim ? 1 lim ?1 ?z ? 0 ?s ?? ? 0 ?? ?w ?? ?s ?? ? f ' ( z0 ) ? lim ? lim ?z ? 0 ?? ?s ?z ?z ? 0 ?s

( 3)

f ' ( z0 ) ? ?称之为曲线 在z0的伸缩率. C

易 见, f ' ( z0 ) 与 映 射 ? f ( z )及z0有 关, 而 与 曲 线 w 的 形 状 方 向 无 关 任 何 曲 线 作 映 射 ,在 同 一 ,沿 f时

. 点z0处A ? f ' ( z0 ) 均 不 变? ? 伸缩率不变性

3. 共形映射的概念
定义 设w ? f ( z )在 z0的 邻 域 内 有 定 义 , 且 在 z0

具 有 保 角 性 和 伸 缩 率 变 性, 则 称 映 射 ? f ( z ) 不 w 在z0为 共 形 的 , 或 称 ? f ( z )在z0是 共 形 映 射 w .
~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~

若w ? f ( z )在D内每一点都是共形的, 则称 w ? f ( z )在区域 内是共形映射 D .
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

由定义及以上分析有 :
定理 若w ? f ( z )在z0点 解 析 且 ' ( z0 ) ? 0, f

? w ? f ( z )是 共 形 保 角)映 射 , ( 且? ? Argf ' ( z0 )为 转 动 角 f ' ( z0 ) 为 伸 缩 率 。 ,
~~~~~~~~~~~~~~~~

?

若上述共形映射定义中,仅保持角度绝对 值不变,而旋转方向相反,此时称第二类共形映 ~~~~~~~~~~~~ 射。从而,定义中的共形映射称为第一类共形映 ~~ ~~~~~~~~~~~~ 射。
~~

?

设w ? f ( z ) z ? D z0 ? D w0 ? f ( z0 ) f ' ( z0 ) ? 0
f ( z ) ? f ( z0 ) z ? z0 ?w 又? ? ? ? f ' ( z0 ) ?z z ? z0 ? ?w ? f ' ( z 0 ) ?z (忽略高阶无穷小)
w? f ( z)

那么圆: z ? z0 ? ? ? w ? w0 ? f ' ( z0 ) ? (忽略高阶无穷小)

这就是为什么称共形映 射的原因.

定理一的几何意义.

y

(z) C2 z0 ? C1

v (w)

?2

w0

O

在D内作以z0为其一个顶点的小三角形, 在映射下,

x

O

?1

u

得到一个以w0为其一个顶点的小曲边三角形, 这
两个三角形对应边长之比近似为|f '(z0)|, 有一

个角相等, 则这两个三角形近似相似.

y

(z)
C2 z0

v

(w)

?2

?
C1 w0

?1

O

x

O

u

| w ? w0 | 伸缩率 | f ?( z ) |? 由此看出映射w ? f ( z ) | z ? z0 | 也将很小的圆 | z ? z0 |? ?近似地映射成圆 | w ? w0 |?| f ?( z0 ) | ? .

若 视x轴 与u轴 和y轴 与v轴 的 正 向 相 同 , 称 曲 线 的 切 线 正 向 与 映 射 后 线? 正 向 之 C 曲 间 的 夹 角 为 曲 线 经 映 射 ? f ( z ))在 点 (原 C w z0的 转 动 角记 作? . ,
~~~~~~~

z0 w0
?

?
?

T'

T

u

x

? ? ? ? ? 即Argf ' ( z0 ) ? Argw ' (t0 ) ? Argz ' (t0 )

(1)导数幅角 Argf'(z) 的几何意义
①Argf ' ( z0 )( f ' ( z0 ) ? 0)是曲线C经过w ? f ( z ) 映射后在点z0的转动角 .
~~~~~~~~~

由(1)式?仅与映射 ? f ( z )及点z0有关, 则 w

② 转动角?的大小及方向与曲线 的形状 C 与方向无关, 这种性质称为映射具有 转  动角的不变性 .
~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~

y

(z)
z
z0

C

v
w? f (z)

(w)
w ?w w ??
0

?z ?s

?

?

o

x

o

u

?z ?w ? lim ? 1 lim ?1 ?z ? 0 ?s ?? ? 0 ?? ?w ?? ?s ?? ? f ' ( z0 ) ? lim ? lim ?z ? 0 ?? ?s ?z ?z ? 0 ?s

( 3)

f ' ( z0 ) ? ?称之为曲线 在z0的伸缩率. C

易 见, f ' ( z0 ) 与 映 射 ? f ( z )及z0有 关, 而 与 曲 线 w 的 形 状 方 向 无 关 任 何 曲 线 作 映 射 ,在 同 一 ,沿 f时

. 点z0处A ? f ' ( z0 ) 均 不 变? ? 伸缩率不变性

3. 共形映射的概念
定义 设w ? f ( z )在 z0的 邻 域 内 有 定 义 , 且 在 z0

具 有 保 角 性 和 伸 缩 率 变 性, 则 称 映 射 ? f ( z ) 不 w 在z0为 共 形 的 , 或 称 ? f ( z )在z0是 共 形 映 射 w .
~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~

若w ? f ( z )在D内每一点都是共形的, 则称 w ? f ( z )在区域 内是共形映射 D .
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

由定义及以上分析有 :
定理 若w ? f ( z )在z0点 解 析 且 ' ( z0 ) ? 0, f

? w ? f ( z )是 共 形 保 角)映 射 , ( 且? ? Argf ' ( z0 )为 转 动 角 f ' ( z0 ) 为 伸 缩 率 。 ,
~~~~~~~~~~~~~~~~

?

若上述共形映射定义中,仅保持角度绝对 值不变,而旋转方向相反,此时称第二类共形映 ~~~~~~~~~~~~ 射。从而,定义中的共形映射称为第一类共形映 ~~ ~~~~~~~~~~~~ 射。
~~

§2

分式线性映射
?

1. 分式线性映射的定义

?

2. 分式线性映射的性质

1. 分式线性映射的定义
az ? b 定义 映 射w ? cz ? d (ad ? bc ? 0) ? (1)

称为分式线性映射 , 其中a, b, c, d是复常数 . ~~~~~~~~~~~~~ ad ? bc ? (1) ? w' ? (cz ? d )2 ? ad ? bc ? 0是必要的。 否则w' ? 0 ? w ? c(复常数).

( 2)补充定义使分式线性函 数在整个扩充平面 z ? ?d / c 上有定义: 当c ? 0时,w ? ?? ?a / c z?? ? 当c ? 0时,在z ? ?时,定义w ? ?.

az ? b ? dw ? b ( 3) w ? ?z? ( ? d )( ? a ) ? bc ? 0 cz ? d cw ? a 则, 逆映射仍为分式线性的 , az ? b 故又称w ? 为双线性映射. ~~~~~~~~~~ cz ? d
分式线性映射(1)总可以分解成下述三种特殊 映射的复合:

1 ( i ) w ? z ? b ( ii ) w ? az(a ? 0) ( iii )w ? z
称为: 平移 整线性 反演

( A, B复常数) az ? b a b 当c ? 0时,w ? ? w ? z ? ? Az ? B cz ? d d d d ad a( z ? ) ? b ? c c ? a ? bc ? ad 1 当c ? 0时,w ? d c c cz ? d c( z ? ) c 1 bc ? ad a ?A ? B (A ? B? ) cz ? d c c
az ? b 1 ?w ? 由? 1 ? cz ? d , ? 2 ? 和w ? A? 2 ? B cz ? d ?1 复合而成 .

事实上,

( i )w ? z ? b
设w ? u ? iv z ? x ? iy b ? b1 ? ib2
?u ? x ? b1 故 ? ? w ? z ? b是 一 个 平 移 映 射 . ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ?v ? y ? b2

( ii )w ? az
设z ? re i? a ? ?e i? , 则w ? r?e i (? ?? )
? 把z先转一个角度再将 z 伸长(或缩短 a ? ? ? ) 倍后就得 ,? w ? az是旋转和伸缩合成的映. w 射
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

名词介绍 关于圆的对称点 : (见图)
定义 若 在 半 直 线 上 有 两 点 p' p,

y

r
o

P

满 足op ? op' ? r , 则 称p与p' 关
2

P'

x

于 圆 周z ? r对 称.

~~~~~~~~

?

~~~~~~~~~~~~~~~~~

规定无穷远点的对称点为圆心o

如何由p找到关于圆周z ? r的对称点p'呢 ?
设p在 圆 外 从p作 圆 周 的 , 切 线pT , 连 接op,由T作op 的 垂 线 ' , 与op交 于p' , Tp 那 么p与p'即 互 为 对 称 点 .
o P
P'

T

1 1 令 w1 ? , w ? w1 ( iii)w ? z z i? 设z ? re ? r (cos ? ? i sin ? )
z ? re ? i? ? r (cos ? ? i sin ? ) 1 1 i? 1 ? i? w1 ? ? e ? w ? w1 ? e r z r
o

y,v 1 w 1 z x,u

w

1 w ? 的几何作图 z 1 ? z w1 ? r ? ? 1, z与w1在 同 一 射 线 上 ; r

? z, w1关于z ? 1对称.

1)作出点z关于圆周z ? 1的对称点w1 . 2)作出点w1关于实轴对称的点即得 (见图). w

2. 分式线性映射的性质
先 讨 论 以 上 三 种 特 殊 射 的 性 质从而得 映 , 出 一 般 分 式 线 性 映 射 性质. 的

(1)保角性

? z ? 1? w ?1

1 对 于( iii )w ? 的 情 况 z

z ?1? w ? 1

z ? 1 ? w ? 1;

若 arg z ? ? , ? arg w ? ?? 1 因此映射 ? 通常称为反演变换 w z w? f ( z ) w? f ( z ) z ? 0 ? w ? ?; z ? ? ? w ? 0(见 第 一 章 2) §

?1 又 ? w' ? 2 z

( z ? 0)

1 ? 适 当 规 定 处 夹 角 的 定 义 后 射w ? ? ,映 z 在 扩 充 复 平 面 上 处 处 形 的,即 为 一 共 形 映 射 共 .
~~~~~~~~~

(详见P195)

对(i ), (ii )的复合映射 ? az ? b(a ? 0) w ? w' ? (az ? b)' ? a ? 0 ?是共形映射 .
由 于 分 式 线 性 映 射 是三 种 特 殊 映 射 复 合 由 而成的 以下结论 ,有 :

平面上是一一 定理1 分式线性映射在扩充复 对应的,且具有保角性 .

(2)保圆性
? w ? az ? b是 平 移 旋 转, 伸 缩 的 合 成 映 射 , . ? z平 面 上 的 圆 周 ? w平 面 上 的 圆 周 C ? z平 面 上 的 直 线 ? w平 面 上 的 直 线 l L
w ? az ? b w ? az ? b

若 把 直 线 看 作 是 半 径 穷 大 的 圆 周那 么 无 , w ? az ? b在 扩 充 复 平 面 上 把 圆 映 射 成 周 圆周即具有保圆性 , . ~~~~~~~

1 对 于( iii )w ? , z z ? 0 ?? ? ?, z ? ? ?? ? 0 ? ? 1 令z ? x ? iy w ? ? u ? iv , z 1 将z ? x ? iy代 入w ? 得 z x ?y u? 2 v? 2 2 x ?y x ? y2 u ?v 或 x? 2 y? 2 2 u ?v u ? v2
w ?1 / z w ?1 / z

? C : a( x 2 ? y 2 ) ? bx ? cy ? d ? 0 ??? ? : d ( u ? v ) ? bu ? cv ? a ? 0 ?
2 2 w? 1 z

a, d ? 0 a ? 0, d ? 0 a ? 0, d ? 0 a ? 0, d ? 0

圆 周C ? 圆 周? 圆 周C ? 直 线? 直 线C ? 圆 周? 直 线C ? 直 线?

把 直 线 看 成 是 半 径 为 圆, 那 么 反 演 变 换 就 ?的 具有保圆性 .

z 定理2 分式线性映射将扩充平面上圆周映射 成扩充w平面上的圆周 ,即具有保圆性 .

(3)保对称性 定理3 设点z1 , z 2是关于z平面上圆周C的一
对对称点? 在分式线性映射下它们的象 , 点w1与w 2是关于象圆?的一对对称点 .

?

在分式线性映射下,圆周或直线上没有点 趋于无穷点,则它映射成半径为有限的圆周;若 有一点映射成无穷远点,它映射成直线。

作业
? P245 1,7,8(1)(5) ? P246 15(1)(2),16(1)(2)

§3 唯一决定分式线性映射的条 件
? ?

1. 分式线性映射的存在唯一性 2. 举例

1. 分式线性映射的存在唯一性
az ? b 虽 然w ? 含 有a , b, c , d四 个 常 数实 际 只 , cz ? d 有三个是独立的 .

所 以, 只 需 给 定 三 个 条 件 能 决 定 一 个 分 式 ,就 线 性 映 射我 们 有: , 定理 在z平面上任意给定三个相 异的点z1 , z 2 , z 3 ,
在w平面上也任意给定三个 相异的点w1 , w 2 , w 3 ? 存在唯一的分式线性映 f ( z ) : 射 f : z k ? f w k ( k ? 1,2,3) ??

az ? b (ad ? bc ? 0), 将z k ( k ? 1,2,3)依 次 证明 设w ? cz ? d azk ? b ? w k ( k ? 1,2,3), 即w k ? ( k ? 1,2,3) czk ? d
( z ? zk )(ad ? bc) 因 而 有 w ? wk ? , (k ? 1,2) (cz ? d )(czk ? d )

( z3 ? zk )(ad ? bc) w3 ? wk ? , ( k ? 1,2) (cz3 ? d )(czk ? d )

w ? w1 ( z ? z1 )(ad ? bc) (cz ? d )(cz2 ? d ) z ? z1 (cz2 ? d ) ? ? w ? w2 (cz ? d )(cz1 ? d ) ( z ? z2 )(ad ? bc) z ? z2 (cz1 ? d )

w3 ? w1 z3 ? z1 (cz2 ? d ) 同理 ? w3 ? w2 z3 ? z2 (cz1 ? d )

所求分式线性映射



w ? w1 w3 ? w2 z ? z1 z3 ? z2 ? ? ?(1) w ? w2 w3 ? w1 z ? z2 z3 ? z1
式(1)是三对点所确定的唯一的一个映射。
由( 1 )

?①

② 点 z1 , z2 , z3 ?? ? 点w1,w2,w3 ? 且等式两边依次同时变为, ?,1. 0

③ 式(1)左端的式子通常称为四 个点 w , w1 , w 2 , w 3的交比(cross ? ratio).
因此,式(1)说明分式线性映射具有保交比不变性。
~~~~~~~~~~~~

由分式线性映射的存在唯一性定理知:

在已知圆周 和C ' 上分别取定三个不同 C 点以后, 必存在分式线性映射 将C ? F ?? C '.
F

以下讨论这个映射会把C的内部映射成什么?

? C将z平 面 划 分 为 两 个 区 域 部 为 1 , 外 部 为 2, :内 d d 它 的 象 ' 把w平 面 分 为 内 部 1 , 外 部D2 , 则 可 以 断 C D 定d 1的 象F (d 1 )必 然 是 1 , D2中 的 一 个而d 2的 象 D , F (d 2 )是D1和D2中 的 另 一 个(不可能把d1的部分映
入D1,d1的另一部分映入D2).

事实上,

设z1 , z 2 ? d1 , 若 线 段z1 z 2 ?圆 弧w1 w2 (或 直 线 段 1 , w2 ), w 且w1 ? D2 , w2 ? D1 ? 弧 w1 w2 必 与C ' 交 于 一 点 ? C ' , Q


F



它 一 定 是 上 某 点 的 象 假 设 又 是z1 z2上 某 一 点 的 C ,由 Q 象,? 就 有 两 个 不 同 的 点 个 在 圆 周 上, 另 一 在 线 段 (一 C

z1 z2上)被映射为同一点 .
z2
z1
d1

C
d2

?

F

C'

Q
w1

w2

D1
D2

这与分式线性映射的一 一对应性相矛盾 !

由以上讨论给出确定对应区域的两个方法:

(1) ?z0 ? d1 , 若w0 ? F ( z0 ) ? D1 ? d1 ? D1 ; 否 则, 若w0 ? F ( z0 ) ? D2 ? d1 ? D2 .
F

F

(2)?z1 , z2 , z3 ? C , 则 w1 ? F ( z1 ), w2 ? F ( z2 ), w3 ? F ( z 3 ) ? C '
若C依z1 ? z 2 ? z 3的 绕 向 与 '依w1 ? w 2 ? w 3的 C 绕 向 相 同 时那 么d 1 ?F D1 , 反 之d 1 ?F D2 , ?? ?? (沿 曲 线 方 向 绕 行 时 观 察 者 左 方 的 区 域 ,在 )

事实上 过z1作C的一段法线1 z ? z1 z ? d1 , 于是, z
顺 着z1 ? z2 ? z3看, z1 z在 观 察 者 的 左 方 F ( z1 z ) ,象 是 过w1 , 并 与C ' 正 交 的 一 段 圆 弧 者 直 线 段 (或 )

由 于 在 1的 保 角 性顺 着w1 , w 2 , w 3看, F ( z1 z )也 z , 应 在 观 察 者 的 左 方 d 1 ?F D1 ; 反之d1 ?F D2 ,? ?? ??

z3

C

z2 d1 d2
z

z1

?

F

C'

w3

D1

w 2 D2 w1

w

由上一节和本节的讨论,还有以下结论:
( )当 二 圆 周 上 没 有 点 映 成 无 穷 远 点 时 二 Ⅰ 射 ,这 圆 周 的 弧 所 围 成 的 区 域F 二 圆 弧 所 围 成 的 ? ?? 区 域;

(Ⅱ)当 二 圆 周 上 有 一 个 点 射 成?点 时, 这 二 映 圆周的弧所围成的区域 ? ?? 一 圆 弧 与 一
F

直线所围成的区域 ;
(Ⅲ)当二圆周交点中的一个 F ?点时, 这二 ? ?? 圆周的弧所围成区域 F 角形区域 ? ?? .

?
分 式 线 性 映 射 具 有 保 性 与~~~~~~~~~ 性 处 理 保对称 ,在 ~~~~~ 圆 边 界,由 圆 周圆 弧, 直 线, 直 线 段 所 组 成 的 区 域 , 的 共 形 映 射 问 题 时 式 线 性 映 射 起 着 十重 ,分 分 要的作用 .

2. 举例
. 例1 求将Im(z ) ? 0 ? Im(w) ? 0的分式线性映射 az ? b 解 设w ? ?zk ? R, ( k ? 1,2,3),即 实 轴 上 的 点 , cz ? d azk ? b 当a , b, c, d均 为 实 数 时wk ? , 也为实数 , czk ? d
故, w必 将 实 轴? 实 轴. ad ? bc 又w' ? ? 0(当z为 实 数 且 ? bc ? 0时) ad 2 (cz ? d )

即, 实 轴 变 成 实 轴 是 同 向 ,的
因此, 上半z平面 ? 上半w平面.

即,当a , b, c , d均为实数时, 且ad ? bc ? 0, 线性 az ? b 分式映射w ? 将 Im( z ) ? 0 ? Im( w ) ? 0 cz ? d y (z ) v (w )

z1

z2

z3

x

w1

w2

w3

u

①具有这一形式的映射 也将Im(z ) ? 0 ? Im(z ) ? 0

相异的对应点 : z1 ? z 2 ? z 3 , w1 ? w 2 ? w 3 代 入 w ? w1 w 3 ? w 2 ? w ? w 2 w 3 ? w1 z ? z1 z 3 ? z 2 ? ? z ? z 2 z 3 ? z1 即 得.

az ? b ②w ? , 其 中a , b, c , d cz ? d 为 实 数 ad ? bc ? 0 , 将 Im (z ) ? 0 ? Im (w ) ? 0
上 半z平 面 下 半w平 面

③ 求Im(z ) ? 0 ? Im(w ) ? 0 的映 射 可在 实轴 上取三 对 ,

第十五次课 12月31日

例2 求将上半z平面 Im( z ) ? 0映射成单位圆

w ? 1的分式线性映射 且满足条件 , w ( 2i ) ? 0 , arg( w' ( 2i )) ? 0的分式线性映射 .


若我们把上半平面看是半径为 的圆域 成 ? ,

那么实轴就相当于圆的边界圆周 分式线性 域 ,? 映射具有保圆性 它必将上半平面 单位圆 ,? ? w ? 1. ? z ? ? ? w ? 1的 圆 心 , 即 ? 0 w

实 轴R ? w ? 1, 又 ? z ? ?与z ? ?关 于 实 轴 对 称,由 保 对 称 性 ? w ? ? ?

z?? ? w ? k( ) z?? ( k为常数)

y

(z )

v
?
o

(w)

u

o

? ?z ? R ? w ? { w w ? 1}

x ?

z?? ? 1, 又 ? w ? 1,? k ? 1 z??

z?? w?e ( ) z?? (Im (? ) ? 0) ? ?( 2)
i?

设k ? e i?

?为任意实数

反 之, 形 如( 2) 式的分式线性 映射必将 Im (z ) ? 0 ? w ? 1

因 此, 所 求 分 式 线 性 映 射 一般形式为 :

进 一 步由 条 件 ( 2i ) ? 0 , w ? 在( 2)式 中 取 ? 2i ? ? z ? 2i ? i? ? z ? 2i ? 即w ? e ? ??e ? ? ? z ? 2i ? ? z ? 2i ? 4i i i? i? ? w' ? e , w' ( 2i ) ? ? e 2 ( z ? 2i ) 4
i?

i ? arg w' ( 2i ) ? arg e ? arg(? ) 4
i?

? z ? 2i ? ? ? ? ( ? ) ? 0 ? ? ? , 从而有w ? i ? ? 2 2 ? z ? 2i ?

?

?

?
(1)本 题 可 在 轴 上 任 意 取 定 三 点 w ? 1 x ,在 上依次取三点 交比形式可求得分式 ,由 线 性 映 射见P203 解 法 二 ( ).

( 2)由 于?的 任 意 性Im(z ) ? 0 ? w ? 1的 , 映 射 不 唯 一且 无 穷 多 , .

例3 求将 z ? 1 ? w ? 1的分式线性映射 . 设? ? { z z ? 1} ? w ? 1的中心w ? 0 1 解 由 保 对 称 性 关 于 z ? 1的 对 称 点 ? w ? ? ? ? ( w ? 0与w ? ?是关于w ? 1的对称点 )
1
y (z)

?

v

(w)

?
1 x 1 u

? z ?? ? ? ? ? k? ? z ? ? ? ? k ' ? z ? ? ? ?w ? k ? ? ? ? 1 ? ? z? ? ?z ? 1 ? ? 1??z ? ? ? ?

(其中 k ' ? ? k? )

? z ? 1 ? w ? 1 ? z ? 1, w ? 1 1?? 将z ? 1代 入 上 式 得 ' k ? w ?1 1??
又? 1 ?? ? 1 ?? 取k ' ? e i? ? k ' ? 1,

?实 常 数 故 ,

? z ? 1 ? w ? 1的线性分式映射为

? z ?? ? w?e ? ? ( ? ? 1) ? ?( 3) ? 1 ? ?z ?
i?

例4 求将 Im( z ) ? 0 ? w ? w0 ? R的分式线性

变换使满足条件 ( i ) ? w0 , w' ( i ) ? 0 w y (z ) v w ? w0 解 令? ? ( 4) R
w ? w0 ? ? ? 0 将 w ? w0 ? R ? ? ? 1,
o

(w)

R

?

o

w0

u

x
(? )

再 将Im(z ) ? 0 ? ? ? 1 由 例2有 ,? ? e
i?

z ? i ?? ? 0

z?i ? ( 5) z?i

由(4)有w ? w0 ? R? ? ?(6) z?i 复 合(5)(6)有 w ? w0 ? Re ? ?(7) z?i
i?

再由w' (i ) ? 0先求得
dw i? z ? i ? z ? i ? Re dz z ? i ( z ? i )2
i? z?i

1 ? Re 2i
i?

1 R i (? ? ?2 ) 即 w' ( i ) ? Re ? e 2i 2

? ? i? ?? ? ? 0 ? ? e ?i 2 2

z?i 故w ? Ri ? w0 z?i

例5

中心分别在z ? 1与z ? ?1, 半径为 2的二 z?i 圆弧所围区域 在映射w ? , 下映成 z?i 什么区域?



两 圆弧 的交 点 为 i与i , 且 互相 正交交 点 ? ,

z ? i ? w ? 0 z ? ?i ? w ? ? ? ?映 射 后 的 区 域 是 以 原 为 顶 点 张 角 为 的 点 2 (第三象限的点 ) 角形区域 . (1 ? 2 ) ? i (1 ? 2 ) 取z ? 2 ? 1 ? C1 ? w ? 2? 2

' ? C1 ? C1 ? ?第三象限的分角线

由保角性 2 ? C ? ?第二象限的分角线 C
' 2

y

(z) i

z?i w? z?i

v
c2 '

(w )

o
-1 o

u

2 ?1 1

c2
-i

x

c1

c1 '

作业
? P246 15(1)(2),16(1)(2)

§4 几个初等函数所构成的映射
?

1. 幂函数

?

2. 指数函数

1.幂函数
幂函数: w ? z n ( n ? 2为自然数)

dw ? ? nz n?1 dz

dw ? 0 ( z ? 0) dz
n

? 在z平面内除去原点外 w ? z 所构成的映射 ,由 处处共形 .

令z ? re i?
n

w ? ?e i?
n in?

又w ? z ? r e

?? ?r

n

? ? n?

由此可见, 在w ? z 映射下,
n

z ?r? w ?r

n

特别 : z ? 1 ? w ? 1.

射线? ? ? 0 ? ? ? n? 0 特形: ? ? 0 ? ? ? 0(正实轴映射成正实轴 ) 2? 角 形 域 ? ? ? ? 0 (? 0 ) ? 角 形 域 ? ? ? n? 0 0 n y v (w)
(z)

w ? zn
?0
x

? ? n? 0
u

2? 特别: ?? ? 0 ? 0 ? ? ? 2? n v
y (z)

(w)

w ? zn
2? n
x

上岸 u 下岸

从 这 里 可 以 看 出 在 0处 角 形 域 的 张 角 经 过 z? 这 一 映 射 后 变 了 原 来 n倍,? n ? 2时, 映 射 的 w ? z n在z ? 0处 没 有 保 角 性 .

幂函数所构成的映射特点:把以原点为顶点的角
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

形域映射成以原点为顶点的角形域,但张角变成
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

了原来的n倍,因此,
~~~~~~~~~~~

如果要把角形域? 角形域常采用幂函数 .

例1 求将0 ? arg z ? 解:
y (z)

?
4

? w ? 1的一个映射 .
v (w)

z4 ? i w? 4 z ?i
? 4
x u

? ? z4
i

(? )

w?

? ?i ? ?i

c ? 例2 求将图中由圆弧 1与c2 所围成的交角为 的 月牙域 ? ? 0 ? arg w ? ? 0 ? ?的一个映射.
y i (z)
?

?
c2

w?e

i? 0 ?

z?i 2 ( ) z?i

v

(w)

c1
1 -i

?

?0

u

x

?
z?i ? ? i( ) z?i
w ? e i?0?
?
1

2. 指数函数
指数函数 w ? e :
? w' ? e z ? 0 ? w ? e z是全平面上的共形映射 .
设z ? x ? iy w ? ?e i? ? ? ? e x ? ? y ? ?(2)
由此 可知
z

直线: z ? 常数 ? c ? 圆: ? e c Re w

直线: Im z ? 常数 ? c1 ? 射线:? ? c1

0 ? Im z ? a(0 ? a ? 2? ) ? 0 ? arg w ? a
带形区域
y ia v (z)

角形区域
(w)

arg w ? a

w?e
x

z

a
arg w ? 0
u

特 形 : Im z ? 2? ? 0 ? arg w ? 2? 0? (沿 正 实 轴 剪 开 的平 面, 它 们 之 间 的 点 是 一 一 w 对 应 的)y (z) .
2? i
v (w)

w?e
x

z

上岸 u 下岸

由w ? e z 所 构 成 的 映 射 的 特 点 是 水 平 带 形 域 :把 0 ? Im (z ) ? a(a ? 2? ) ? 角 形 域 ? arg w ? a 0
用指数函数 . 因 此, 若 需 把带形域映射成角形域常

例3 求将0 ? Im( z ) ? ?映射成 w ? 1的一个映射 . 解
y (z)

i?

e ?i w? z e ?i
z

v

(w)

x

u

(? )

? ? ez

i

? ?i w? ? ?i

例4 求把带形域 ? Re z ? b映射成上半平面 z ) ? 0. a Im( v (w) 解 y (z)

w?e
a b x

i?

z ?a b?a

u

w ? e z2
( z1 )

z?a z1 ? b?a
1

z2 ? i?z1

i?

( z2 )

?? ? ? Re(z ) ? 0 例5 问:w ? e 将半带形域: ? 0 ? Im( z ) ? ? ? 映射成什么区域?
z

y E

(z)

v

(w)

i?
C

D

C'

w?e
A B x

z

u

D'

E ' A'

B'

解 直线: z ) ? 0 ? 圆: ? e 0 ? 1 Re( w

直线 : Im( z ) ? 0 ? 射线:? ? 0 直线 : Im( z ) ? ? ? 射线:? ? ?

ABCDE ? A' B' C ' D' E '

? ? ? ? Re (z ) ? 0 答: w ? e 将 半 带 形 域? : ? 0 ? Im (z ) ? ?
z

映 射 成 半 单 位 圆 ? 1(Im (z ) ? 0) w ?0 ? Re (z ) ? ? ? ?z 同 理 w ? ? e 将 半 带 形 域? : ? 0 ? Im (z ) ? ?
半 单 位 圆 映 射 成 ? 1(Im (z ) ? 0) w
y (z) v (w)

i?

u x

?0 ? Re(z ) ? ?? 例6 求将半带形域: ? 0 ? Im( z ) ? ? 映射成 ? v (w) 上半平面Im( z ) ? 0的映射。 y ? e?z ? 1 2 (z) w ? ( ?z ) e ?1 i?

u

x

( z2 )
z1 ? 1 z2 ? ? z1 ? 1

w ? z2

2

z1 ? ?e

?z

( z1 )

-1

1

? ? ?0 ? arg z ? 例7 求将扇形域: 2 映射成 ? ? 0? z ?1 ? 单位圆 w ? 1的映射。

解 见P244

( z ? 1) ? i ( z ? 1) w? 2 2 2 2 ( z ? 1) ? i ( z ? 1)
2 2 2 2

作业
? P246 19(1)(3)(8)(9)

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