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人教A版高中数学必修四 2.4.1《平面向量数量积的物理背景及其含义》导学案


2.4.1《平面向量的数量积的物理背景及其含义》导学案 【学习目标】 1 说出平面向量的数量积及其几何 意义; 2.学会用平面向量数量积的重要性质及运算律; 3.了解用平面向量的数量积可以处 理有关长度、角度和垂直的问题; 【重点难点】。平面向量的数量积及其几何意义 【学法指导】 预习平面向量的数量积及其几何意义;平面向量数量 积的重要性质及运算律; 【知识链接】: 1. 平面向量数量积(内积)的定义: 2.两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 3.“投影”的概念:作图 4.向量的数量积的几何意义: 5.两个向量的数量积的性质: 设 a 、 b 为两个非零向量,e 是与 b 同向的单位向量. 1? 2? e? b = b e = a ?b ?a ? b = 设 a 、 b 为两个非零向量,e 是 a 与同向的单位向量. e ? a = a ?e = 3? 4? 5? 当 a 与 b 同向时, a ? b = 当 a 与 b 反向时, a ? b = 特别的 a ? a = | a | 2 或 | a |? a?a cos ? = | a ? b | ≤ | a || b | 三、提出疑惑: 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容 [ 【学习过程】 创设问题情景,引出新课 1、提出问题 1:请同学们回顾一下,我们已经研究了向量的哪些运算?这些运算的结果是什么? 2、提出问题 2:请同学们继续回忆,我们是怎么引入向量的加法运算的?我们又是按照怎样的顺 序研究了这种运算的? 3、新课引入:本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算:平面向量数量积的 物理背景及其含义 探究一: 数量积的概念 1、给出有关材料并提出问题 3: F (1)如图所示,一物体在力 F 的作用下产生位移 S, 那么力 F 所做的功:W= (2)这个公式的有什么特点?请完成下列填空: ①W(功)是 量, α ②F(力)是 量, S ③S(位移)是 量, ④α 是 。 (3)你能用文字语言表述“功的计算公式”吗? 2、明晰数量积的定义 (1)数量积的定义: 已知两个非零向量 a 与 b ,它们的夹角为 ? ,我们把数量 ︱ a ︱·︱ b ︱cos ? 叫做 a 与 b 的数 量积(或内积),记作: a · b ,即: a · b = ︱ a ︱·︱ b ︱cos ? (2)定义说明: ①记法“ a · b ”中间的“· ”不可以省略,也不可以用“ ? ”代替。 ② “规定”:零向量与任何向量的数量积为零。 (3)提出问题 4:向量的数量积运算与线 性运算的结果有什么不同?影响数量积大小的因素有哪 些? (4)学生讨论,并完成下表: ? 的范围 0°≤ ? <90° ? =90° 0°< ? ≤180° a · b 的符号 例 1 :已知| a |=3,| b |=6,当① a ∥ b ,② a ⊥ b ,③ a 与 b 的夹角是 60°时,分别 求a ·b . 解: 变式:对于两个非零向量 a 、 b ,求使| a +t b |最小时的 t 值,并求此时 b 与 a +t b 的夹角. 探究二:研究数量积的意义 1.给出向量投影的概念: 如图,我们把│ b │cos ? (│ a │cos ? ) 叫做向量 b 在 a 方向上( a 在 b 方向上)的投影, 记做:OB1=︱│ b │︱cos ? 2.提出问题 5:数量积的几何意义是什么? 3. 研究数量积的物理意义 请同 学们

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