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高一数学必修1


§2.1.2指数函数及其性质

(1)

复习
学习函数的一般模式(方法):

解析式(定义)
图象 性质 应用
①定义域 ②值域 ③单调性

数形结合 分类讨论

④奇偶性
⑤其它

问题 引入
问题1、某种细胞分裂时,由1个分裂成 2个,2个分裂成4个,1个这样的细胞分 裂x次后,得到的细胞个数y与x的函数 关系式是什么?

研究
分裂 次数 1次 2次 3次 4次 x次

……

y?2

x

细胞 总数

2个 21

4个 22

8个 23

16个 24

2

x

问题 引入
问题2、《庄子· 天下篇》中写道:“一尺 之棰,日取其半,万世不竭。”请你写出 截取x次后,木棰剩余量y关于x的函数关 系式?

研究
截取 次数
1次

2次

3次

4次

x次

1 x y?( ) 2

木棰 剩余

1 尺 2

1 尺 4

1 尺 8

1 尺 16

1 ( )x 尺 2

提炼

1 x y?2 y ?( ) 2 设问1:以上两个函数有何共同特征 ?
x

(1)均为幂的形式; (2)底数是一个正的常数; (3) 自变量x在指数位置.

定义 :
一般地,函数y ? a x (a ? 0, a ? 1)叫做指数 函数,其中x是自变量,函数的定义域是 R。

例题
(口答)判断下列函数是不是指 数函数,为什么?



y?x

2

√⑤

x

y ??

x

√②

y ?8

x

y ?5

2 x 2 ?1

√ ③ y ? (2a ? 1)


1 ( a ? 且 a ?1 ) 2


y ? (?4)

x

y?x

x
x



y ? ?10

例题
已知指数函数f ? x ? ? a ? a ? 0, a ? 1? 的图象经过点? 2,9? , 求 f ? 0?、f ?1?、f ? ?3? 的值.
x

分析:指数函数的图象经过点 ? 2,9 ? , 有 f ? 2? ? 9 , 2 即 a ? 9 ,解得 a ? ?3 ? a ? 0且 a ? 1 x 于是有 f ? x ? ? 3
所以:
0 1

想一 想

思考:确定一个指数函数 需要什么条件?
?3

1 f ? 0 ? ? 3 ? 1, f ?1? ? 3 ? 3, f ? ?3? ? 3 ? . 27

y ? (a2 ? 3a ? 3)ax是指数函 变式练习:1、函数
数,则有a的取值范围是? 解:
? y ? (a 2 ? 3a ? 3)a x 是指数函数

? a 2 ? 3a ? 3 ? 1 ? a ? 1或a ? 2
又? a ? 0且a ? 1

?a ? 2

设问2:得到函数的图象一般用什么方法?

列表、描点、连线作图 在同一直角坐标系画出 y ? 2 的图象, 并思考:两个函数的图象有什么关系?
x

?1? y , ??2? ? ?

x

x
-2 -1 0

y
4 2 1

的图象 x 能否直接画出 f ( x) ? ? 1 ? 的图象 ? ?
8

f ( x) ? a x 问:如果已知

?a?

7

f?x? =

x 2
x
-2 -1 0 1

6

1
2

0.5
0.25

两个函数图象关于y轴对称
5 4

y
0.25 0.5 1 2 4

g?x? = 0.5x
P1点

3

2

P点
2

1

-6

-4

-2

2

4

6

认识

归纳

指数函数在底数 0 ? a ? 1 及 情况下的图象和性质:

a ? 1 这两种 a ?1
y y=ax
(a>1)

0 ? a ?1
y

y=ax
(0<a<1)

图 象
0

(0,1)

y=1 y=1

(0,1)

x

0

x

(1)定义域:R 性 质 (2)值域:(0,+∞) (3)过点(0,1)即x=0时,y=1

(4)在R上是减函数

(4)在R上是增函数

应用
1、比较a的大小:

分析:x=1时y=a谁在上谁就大。

课 堂 提 升

判断 a, b, c, d 大小 解:

c ? d ?1? a ? b ? 0

应用
2、比较下列各题中两个值的大小:
3

2.5 3 ?0.1 ?0.2 1?0.8?0.1 , 0.8?0.2 ;? 0.8?0.1 , 0.8?0.2 ; 1.7 2.5 ,1.73 ; ? 2 7 ; ?? ? 2

3

1.6

3 1.7 ? 4 ?1.8

1.6 0.3 1.6

, 2.3 , 0.9

1.6 3.1 1.6

? ; 4 ?1.7

0.3 0.3

, 0.9

3.1 3.1

;

2? 0.7 ??2 ? 0.7 , ? ,1.3 1.3 ? 5 1.5 ,? ? ? ? ?3? ?3? 分析: (1)(2)利用指数函数的单调性.
0.7

1 3?0.2 ?0.2

1 1 3 3

(3) 找中间量是关键.

应用
(1)1.7 2.5 <

1.7

3

解: ∵函数 y ? 1.7 x在R上是增函数, 而指数2.5<3. ∴

1.7 2.5< 1.7 3
5 4.5 4 3.5

f?x? = 1.7x
2.5 2 1.5 1

3

0.5

-2

-1

1

2

3

4

5

6

-0.5

应用
(2) .8?0.1 < 0.8?0.2 0
解: ∵函数 y ? 0.8x在R上是减函数, 而指数-0.1>-0.2 ∴

0.8

?0.1

? 0.8

?0.2
1.8

f?x? = 0.8x

1.6

1.4

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

应用
(3)1.7 0.3

0.9

3.1

解:根据指数函数的性质,得:

1.70.3 ? 1.70 ? 1 且 0.93.1 ? 0.90 ? 1
从而有
3.2
3.2

1.7

0.3

? 0.9

3.1

3
3

2.8
2.8

2.6
2.6

2.4
2.4

2.2
2.2

2
2

1.8

f?x? = 1.7x

1.8

f?x? = 0.9x

1.6
1.6

1.4
1.4

1.2
1.2

1
1

0.8

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

-2

-1.5

-1

-0.5 -0.2

0.5

1

1.5

2

2.5

-0.5 -0.2

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

-0.4

-0.4

应用
比较下列各题中两个值的大小:
3

2.5 3 ?0.1 ?0.2 1?0.8?0.1 , 0.8?0.2 ;? 0.8?0.1 , 0.8?0.2 ; 1.7 2.5 ,1.73 ; ? 2 7 ; ?? ? 2

3

1.6

3 1.7 ? 4 ?1.8

1.6 0.3 1.6

, 2.3 , 0.9

1.6 3.1 1.6

? ; 4 ?1.7

0.3 0.3

, 0.9

3.1 3.1

;

2? 方法总结: 0.7 ??2 ? 0.7 , ? ,1.3 1.3 ? 5 1.5 ,? ? ? ? ?3? ?3? 对同底数幂大小的比较用的是指数函数的
0.7

1 3?0.2 ?0.2

1 1 3 3

单调性,必须要明确所给的两个值是哪个指数 函数的两个函数值;对不同底数幂的大小的比 较可以与中间值进行比较.

练习
1.下列函数中一定是指数函数的是( )

A. y ? 2 x?1
1 x C. y ? ( ) 2

B. y ? x 3
D. y ? 3 ? 2 x

a ? 0.80.7 , b ? 0.80.9 , c ? 1.20.8 , 2.已知
则 a , b, c 的大小关系是____________________.

点滴收获: 1. 本节课学习了那些知识? 指数函数的定义 指数函数的图象及性质

2.如何记忆函数的性质?

数形结合的方法记忆 y
y ? 2x
2

3.记住两个基本图形:

1 x y?( ) 2

1

y=1
2

-2

-1

o1

x


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