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高2014级周末检测(8)教师版


高 2014 级周末检测(8)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个备选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1 如果命题“ p ? q ”是真命题,则正确的是( ) A.p、q 均为真命题 B.p、q 中至少有一个为真命题 C.p、q 均为假命题 D.p、q 中至多有一个为真命题 【答案】C 2 函数 y ?
3 ,1) 4 【答案】A
?

?

?

1 的定义域为( log 0.5 (4 x ? 3)
B(
3 ,∞) 4

) D. (
3 ,1)∪(1,+∞) 4

A.(

C(1,+∞)

3 若曲线 y ? x2 ? ax ? b 在点 (0, b) 处的切线方程是 x ? y ? 1 ? 0 ,则( (A) a ? 1, b ? 1 (B) a ? ?1, b ? 1 (C) a ? 1, b ? ?1

) (D) a ? ?1, b ? ?1

【答案】A:本题考查了导数的几何意思即求曲线上一点处的切线方程 ∵

y? ? 2x ? a

x?0

?a

,∴ a ? 1 , (0, b) 在切线 x ? y ? 1 ? 0 ,∴ b ? 1 )

4 已知点 A ?1,3? , B ? 4, ?1? , 则与向量 AB同方向的单位向量为 (
4? ?3 A. ? ,- ? 5? ?5 3? ?4 B. ? ,- ? 5? ?5 ? 3 4? C. ? ? , ? ? 5 5?

? 4 3? D. ? ? , ? ? 5 5?

【答案】A 5 等比数列 ?an ?的前 n 项和为 S n ,已知 S3 ? a2 ? 10a1 , a5 ? 9 ,则 a1 ?

1 3 【答案】C
(A)

(B) ?

1 3

(C)

1 9

(D) ?

1 9


6 已知点 P 在曲线 y ? (A) [0,

? ) 4

4 上,? 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角, 则 ? 的取值范围是 ( e ?1 ? ? ? 3? 3? (B) [ , ) (C) ( , ] (D) [ , ? ) 4 2 2 4 4
x

【答案】D. y? ? ?

4e x 4 1 , ex ? x ? 2,??1 ? y? ? 0 , ?? 1 e2 x ? 2e x ? 1 e ex ? 2 ? x e 3? 即 ?1 ? tan ? ? 0 ,?? ?[ , ? ) 4

7 已知 ? ? R, sin ? ? 2 cos? ?

10 , 2

则 tan 2? ?

1

4 3 【答案】C

A.

B.

3 4

C. ?

3 4

D. ?

4 3

? g ( x) ? x ? 4,x ? g ( x) 8 设函数 g ( x) ? x2 ? 2( x ? R) , f ( x) ? ? 则 f ( x) 的值域是 g ( x ) ? x , x ? g ( x ) ?
? 9 ? (A) ? ? , 0 ? ? (1, ??) ? 4 ?
9 ? 9 ? (B) [0, ??) (C) [? , ??) (D) ?? ,0? ? (2, ??) 4 ? 4 ?

【答案】D
2 2 2 ? ? ? x ? 2 ? ( x ? 4), x ? x ? 2 ? x ? 2, x ? ?1或x ? 2 依题意知 f ( x) ? 2 , f ( x) ? 2 2 ? ? ? x ? 2 ? x, x ? x ? 2 ? x ? 2 ? x, ?1 ? x ? 2

9 用 min?a, b? 表示 a, b 两数中的最小值。 若函数 f ( x) ? min?x , x ? t ?的图像关于直线 x= ? 对称,则 t 的值为 A.-2 B.2 C.-1 D.1

1 2

10 如右图,在四边形 ABCD 中,| AB | ? | BD | ? | DC |? 4 ,

D

C

| AB | ? | BD | ? | BD | ? | DC |? 4 , AB ? BD ? BD ? DC ? 0 ,则 ( AB ? DC) ? AC 的值为(
A、2 【答案】 :C
2

) C、4 D、 4 2

A

B

B、 2 2

【分析】 : ( AB? DC ) ? AC ? ( AB? DC ) ? ( AB ? BD ? DC ) ? (| AB | ? | DC |) 2 .
? ? ? ? ?| AB | ? | BD | ? | DC |? 4, ?| AB | ? | DC |? 2. ? ? ? ? ? ?| BD |(| AB | ? | DC |) ? 4,

?

?

?

?

?

? ( AB ? DC ) ? AC ? 4.

?

?

?

二、填空题:本大题共 6 小题,考生作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填写在答 题卡相应位置上. 11 已知全集 U =?0,1,2,3,4,5,6,7,8,9? ,集合 A=?0,1,3,5,8? ,集合 B= ?2,4,5,6,8? , 则 ?CU A?

?CU B? =

【答案】 ?7,9? 【答案】 :5

12 在四边形 ABCD 中, AC ? (1, 2) , BD ? (?4, 2) ,则四边形的面积为

13 设△ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 b cos C ? c cos B ? a sin A , 则△ABC 的形状为 【答案】 :直角三角形 【答案】 :5

14 函数 f ( x) ? x 2 cos x 在区间 ?? 5,5? 上的零点个数为 15.数列 {an } 的通项公式 a n ? n cos

n? ? 1 ,前 n 项和为 Sn ,则 S 2012 ? ___________。 【3018】 2 考点:数列和三角函数的周期性。 难度:中。 分析:本题考查的知识点为三角函数的周期性和数列求和,所以先要找出周期,然后分组计 算和。 ( 4n ? 1)? ? ? 1 ? ( 4n ? 1) ? cos ? 1 ? 0 ? 1 , 解答: a4 n ?1 ? ( 4n ? 1) ? cos 2 2 ( 4n ? 2)? a4 n ?2 ? ( 4n ? 2) ? cos ? 1 ? ( 4n ? 2) ? cos ? ? 1 ? ?( 4n ? 2) ? 1 , 2 ( 4n ? 3)? 3? a 4 n ?3 ? ( 4n ? 3) ? cos ? 1 ? ( 4n ? 3) ? cos ? 1 ? 0 ? 1, 2 2 ( 4n ? 4)? a 4 n ?4 ? ( 4n ? 4) ? cos ? 1 ? ( 4n ? 4) ? cos 2? ? 1 ? 4n ? 4 ? 1 , 2

所以 a4 n?1 ? a4 n?2 ? a4 n?3 ? a4 n?4 ? 6 。
2012 ? 6 ? 3018 。 4 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 13 分) 已知 p:方程 x2+mx+1=0 有两个不等的负实根,q:方程 4x2+4(m-2)x+1=0 无实根。 若 p 或 q 为真,p 且 q 为假。求实数 m 的取值范围。 解:由题意 p,q 中有且仅有一为真,一为假, ?? ? 0 ? p 真 ? ? x1 ? x2 ? ? m ? 0 ? m>2,q 真 ? ? <0 ? 1<m<3, ?x x ? 1 ? 0 ? 1 2

即 S 2012 ?

3

?m ? 2 ?m ? 2 若 p 假 q 真,则 ? ? 1<m≤2;若 p 真 q 假,则 ? ? m≥3; ?1 ? m ? 3 ?m ? 1a或m ? 3 综上所述:m∈(1,2]∪[3,+∞). 17(本小题满分 13 分)
如图,函数 y=2cos(ωx+θ) (x∈R,0≤θ≤

? )的图象 2

与 y 轴交于点(0, 3 ) ,且在该点处切线的斜率为一 2。 (1)求θ和ω的值; (2)已知点 A(

? ,0) ,点 P 是该函数图象上一点,点 Q(x0,y0) 2 ? 3 ,x0∈[ ,π]时,求 x0 的值。 2 2
? ? 3 ,因为 0 ≤ ? ≤ ,所以 ? ? 2 6 2

是 PA 的中点,当 y0=

解: (1)将 x=0, y ? 3 代入函数 y ? 2cos(? x ? ? ) 得 cos ? ?

又因为 y? ? ?2? sin(? x ? ? ) , y?

x?0

? ?2 , ? ?

? ?? ? ,所以 ? ? 2 ,因此 y ? 2cos ? 2 x ? ? 6 6? ?

3 ? ?? ? ? ? (2)因为点 A ? , ,所以点 P 的坐标为 ? 2 x0 ? ,3 ? 0 ? , Q( x0,y0 ) 是 PA 的中点, y0 ? 2 2 ?2 ? ? ?
?? 5? ? 3 ? ? 又因为点 P 在 y ? 2cos ? 2 x ? ? 的图象上,所以 cos ? 4 x0 ? ? ? 6? 6 ? 2 ? ?
? 7? 5? 19? 因为 ≤ x0 ≤ ? ,所以 ≤ 4 x0 ? ≤ , 2 6 6 6

从而得 4 x0 ? 即 x0 ?

5? 11? 5? 13? ? ? 或 4 x0 ? 6 6 6 6

2? 3? 或 x0 ? 3 4 18 (本小题满分 13 分) 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S4=4S2,a2n=2an+1.

(1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足
b1 b2 ? ? a1 a2 ? bn 1 ? 1 ? n ,n∈N*,求{bn}的前 n 项和 Tn. an 2

解:(1)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d, 由 S4=4S2,a2n=2an+1 得:

4

?4a1 ? 6d ? 8a1 ? 4d , 解得 a1=1,d=2.因此 an=2n-1,n∈N*. ? ?a1 ? ? 2n ? 1?d ? 2a1 ? 2? n ? 1?d ? 1, b b b 1 (2)由已知 1 ? 2 ? ? n ? 1 ? n ,n∈N*, a1 a2 an 2 b b 1 1 ? 1 ? 1 当 n=1 时, 1 ? ;当 n≥2 时, n ? 1 ? n ? ?1 ? n?1 ? ? n . a1 2 an 2 ? 2 ? 2 2n ? 1 b 1 所以 n ? n ,n∈N*. 由(1)知 an=2n-1,n∈N*, 所以 bn= n ,n∈N*. 2 an 2 1 3 5 2n ? 1 又 Tn= ? 2 ? 3 ? ? n , 2 2 2 2 1 1 3 2n ? 3 2n ? 1 Tn ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 , 2 2 2 2n 2 两式相减得 1 1 ? 2 2 2 ? 2n ? 1 Tn ? ? ? 2 ? 3 ? ? n ? ? n?1 2 2 ?2 2 2 ? 2 3 1 2n ? 1 2n ? 3 ? ? n ?1 ? n ?1 , 所以 Tn= 3 ? n . 2 2 2 2
19(本小题满分 12 分) 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度) .设该蓄水池的底面半径为 r 米,高 为 h 米,体积为 V 立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面积的建造成本为 100 元/ 平方米,底面的建造成本为 160 元/平方米,该蓄水池的总建造成本为 12000 ? 元( ? 为 圆周率) . (Ⅰ)将 V 表示成 r 的函数 V (r ) ,并求该函数的定义域; (Ⅱ)讨论函数 V (r ) 的单调性,并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大.

5

20. (本小题满分 12 分) 设 f ? x ? = ln ? x+1? + x+1+ax+b ? a,b ? R,a,b为常数? ,曲线 y=f ? x ? 与直线 y = (1)求 a ,b 的值;
9x x +6 【解析】 (1)由 y=f ? x ? 的图像过 ? 0,0 ? 点,代入得 b =-1 3 x 在 ? 0,0 ? 点相切. 2

(2)证明:当 0<x <2 时, f ? x ? <

3 1 3 ? 1 ? ,又 y' x =0 = ? + +a ? = +a ,得 a =0 ?3 分 2 ? x+1 2 x+1 ? x =0 2 x (2)由均值不等式,当 x >0 时, 2 ? x +1? 1<x +1+1=x +2 ,故 x +1< +1 2 9x 1 1 54 2+ x +1 54 x +6 54 + = < 记 h ? x ? =f ? x ? ,则 h' ? x ? = 2 2 x +6 x +1 2 x +1 ? x +6 ? 2 ? x +1? ? x +6 ? 4 ? x +1? ? x +6 ?2

由 y=f ? x ? 在 ? 0,0 ? 处的切线斜率为

? x+6 ? -216 ? x+1? ,令 g x = x+6 3 -216 x+1 ,则当 0<x <2 时, = ? ? ? ? ? ? 2 4 ? x +1?? x +6 ? 2 g' ? x ? =3 ? x +6 ? -216<0 (lby lfx) 因此 g ? x ? 在 ? 0,2 ? 内是减函数,又由 g ? 0? =0 ,得 g ? x ? <0 ,所以 h' ? x ? <0 因此 h ? x ? 在 ? 0,2 ? 内是减函数,又由 h ? 0? =0 ,得 h ? x ? <0 ,
3

于是当 0<x <2 时, f ? x ? <

9x x +6

21 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,满足 2Sn ? an?1 ? 2n?1 ?1(n ? N * ) ,且 a1 , a2 ? 5, a3 成等差数列。 (1)求 a1 的值; (2)求数列 {an } 的通项公式。
6

(3)证明:对一切正整数 n ,有

1 1 ? ? a1 a2

?

1 3 ? an 2

【解析】 (1) 2Sn ? an?1 ? 2n?1 ? 1, 2Sn?1 ? an?2 ? 2n?2 ? 1 相减得: an?2 ? 3an?1 ? 2n?1

2S1 ? a2 ? 3 ? a2 ? 2a1 ? 3, a3 ? 3a2 ? 4 ? 6a1 ? 13 a1 , a2 ? 5, a3 成等差数列 ? a1 ? a3 ? 2(a2 ? 5) ? a1 ? 1
(2) a1 ? 1, a2 ? 5 得 an?1 ? 3an ? 2n 对 ?n ? N * 均成立

an?1 ? 3an ? 2n ? an?1 ? 2n?1 ? 3(an ? 2n )
得: an ? 2n ? 3(an?1 ? 2n?1 ) ? 32 (an?2 ? 2n?2 ) ? ? 3n?1 (a1 ? 2) ? an ? 3n ? 2n 1 3 (3)当 n ? 1 时, ? 1 ? a1 2 3 3 1 1 当 n ? 2 时, ( )n ? ( )2 ? 2 ? 3 n ? 2 ? 2n ? an ? 2n ? ? n 2 2 an 2 1 1 1 1 1 1 1 1 3 ? ? ? ? 1? 2 ? 3 ? ? n ? 1? ? n ? a1 a2 an 2 2 2 2 2 2 1 1 1 3 由上式得:对一切正整数 n ,有 ? ? ? ? a1 a2 an 2

7


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