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四川省绵阳市普明中学2016届高三上学期12月月考数学试卷【解析版】(文科)


2015-2016 学年四川省绵阳市普明中学高三(上)12 月月考数学 试卷(文科)
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.设集合 A={x|﹣1<x<2},集合 B={x|1<x<3},则 A∪B=( ) A.{x|﹣1<x<3} B.{x|﹣1<x<1} C.{x|1<x<2} D.{x|2<x<3} 2.命题“?x0∈(0,+∞) ) ,lnx0=x0﹣1”的否定是( A.?x0∈(0,+∞) ,lnx0≠x0﹣1 B.?x0?(0,+∞) ,lnx0=x0﹣1 C.?x∈(0,+∞) ,lnx≠x﹣1 D.?x?(0,+∞) ,lnx=x﹣1 3.某校老年、中年和青年教师的人数见下表,采用分层插样的方法调查教师的身体状况, ) 在抽取的样本中,青年教师有 320 人,则该样本的老年教师人数为( 类别 老年教师 中年教师 青年教师 合计 A.90 B.100 C.180 D.300 4.设 =(1,2) , =(1,1) , = +k ,若 A.﹣ B.﹣ C. D. 人数 900 1800 1600 4300

,则实数 k 的值等于(

)

5.执行如图所示的程序框图,如果输入 n=3,则输出的 S=(

)

A.

B.

C.

D.

6.若变量 x,y 满足约束条件

,则 z=2x﹣y 的最小值为(

)

A.﹣1 B.0

C.1

D.2

7.设△ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 a=2, c=2 c,则 b=( ) A.3 B.2

,cosA=

.且 b<

C.2

D. )

8.函数 f(x)=cos(ωx+?)的部分图象如图所示,则 f(x)的单调 递减区间为(

A. (kπ﹣ ,kπ+ , ) ,k∈z B. (2kπ﹣ ,2kπ+ ) ,k∈z C. (k﹣ ,k+ ) ,k∈z D. ( ,2k+ ) ,k∈z

9.设双曲线

=1(a>0,b>0)的右焦点是 F,左、右顶点分别是 A1,A2,过 F 做 )

A1A2 的垂线与双曲线交于 B, C 两点, 若 A1B⊥A2C, 则该双曲线的渐近线的斜率为( A.± B.± C.±1 D.±

10.函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 的图象如图所示,则下列结论成立的是(

)

A.a>0,b<0,c>0,d>0 C.a<0,b<0,c<0,d>0

B.a>0,b<0,c<0,d>0 D.a>0,b>0,c>0,d<0

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分)

11.lg0.01+log216 的值是__________. 12.已知复数 z 满足(z﹣1)i=1+i,则 z=__________. 13.过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点, 若|AF|=5,则|BF|=__________. 14.若函数 f(x)=2|x﹣a|(a∈R)满足 f(1+x)=f(1﹣x) ,且 f(x)在[m,+∞)上单调递 增,则实数 m 的最小值等于__________.

15. x2﹣ 已知 F 是双曲线 C:

=1 的右焦点, P 是 C 的左支上一点, A(0, 6

) . 当△ APF

周长最小时,该三角形的面积为__________.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.等差数列{an}中,a2=4,a4+a7=15. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn=2 +n,求 b1+b2+b3+…+b10 的值.

17.已知函数 f(x)=sinx﹣2



(I)求 f(x)的最小正周期及单调递增区间; (Ⅱ)求 f(x)在区间 上的最值.

18.已知过点 A(1,0)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C: (x﹣2)2+(y﹣3)2=1 交于 M,N 两 点. (I)求 k 的取值范围: =12,其中 O 为坐标原点,求|MN|. (Ⅱ) 19. B、 C 为△ ABC 的内角, tanA, tanB 是关于方程 x2+ (13 分) 已知 A、 两个实根. (Ⅰ)求 C 的大小 (Ⅱ)若 AB=3,AC= ,求 p 的值. px﹣p+1=0 (p∈R)

20. (13 分)如图,椭圆 E:

+

=1(a>b>0)经过点 A(0,﹣1) ,且离心率为



(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)经过点(1,1) ,且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 P,Q(均异于点 A) , 证明:直线 AP 与 AQ 斜率之和为 2.

21. (13 分)已知函数 f(x)=lnx﹣



(Ⅰ)求函数 f(x)的单调增区间; (Ⅱ)证明;当 x>1 时, f(x)<x﹣1; (Ⅲ)确定实数 k 的所有可能取值,使得存在 x0>1,当 x∈(1,x0)时,恒有 f(x)>k (x﹣1) .

2015-2016 学年四川省绵阳市普明中学高三 12 月月 (上) 考数学试卷(文科)
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.设集合 A={x|﹣1<x<2},集合 B={x|1<x<3},则 A∪B=( ) A.{x|﹣1<x<3} B.{x|﹣1<x<1} C.{x|1<x<2} D.{x|2<x<3} 【考点】并集及其运算. 【专题】集合. 【分析】直接利用并集求解法则求解即可. 【解答】解:集合 A={x|﹣1<x<2},集合 B={x|1<x<3}, 则 A∪B={x|﹣1<x<3}. 故选:A.[来源:学#科#网] 【点评】本题考查并集的求法,基本知识的考查. 2.命题“?x0∈(0,+∞) ) ,lnx0=x0﹣1”的否定是( A.?x0∈(0,+∞) lnx x 1 B x 0 + lnx , 0≠ 0﹣ .? 0?( , ∞) , 0=x0﹣1 C.?x∈(0,+∞) ,lnx≠x﹣1 D.?x?(0,+∞) ,lnx=x﹣1 【考点】命题的否定. 【专题】简易逻辑. 【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论. 【解答】解:命题的否定是:?x∈(0,+∞) ,lnx≠x﹣1, 故选:C 【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础. 3.某校老年、中年和青年教师的人数见下表,采用分层插样的方法调查教师的身体状况, ) 在抽取的样本中,青年教师有 320 人,则该样本的老年教师人数为( 类别 老年教师 中年教师 青年教师 合计 A.90 B.100 C.180 D.300 人数 900 1800[来源:学_科_网] 1600 4300

【考点】分层抽样方法. 【专题】计算题;概率与统计. 【分析】由题意,老年和青年教师的人数比为 900:1600=9:16,即可得出结论. 【解答】解:由题意,老年和青年教师的人数比为 900:1600=9:16, 因为青年教师有 320 人,所以老年教师有 180 人, 故选:C. 【点评】本题考查分层抽样,考查学生的计算能力,比较基础.

4.设 =(1,2) , =(1,1) , = +k ,若 A.﹣ B.﹣ C. D.

,则实数 k 的值等于(

)

【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系. 【专题】平面向量及应用. 【分析】由题意可得 的坐标,进而由垂直关系可得 k 的方程,解方程可得. 【解答】解:∵ =(1,2) , =(1,1) , ∴ = +k =(1+k,2+k) ∵ ,∴ ? =0, ∴1+k+2+k=0,解得 k=﹣ 故选:A 【点评】本题考查数量积和向量的垂直关系,属基础题. 5.执行如图所示的程序框图,如果输入 n=3,则输出的 S=( )

A.

B.

C.

D.

【考点】程序框图. 【分析】列出循环过程中 S 与 i 的数值,满足判断框的条件即可结束循环. 【解答】解:判断前 i=1,n=3,s=0, 第 1 次循环,S= 第 2 次循环,S= 第 3 次循环,S= ,i=2, ,i=3, ,i=4,

此时,i>n,满足判断框的条件,结束循环,输出结果: S= = =

故选:B 【点评】本题考查循环框图的应用,注意判断框的条件的应用,考查计算能力

6.若变量 x,y 满足约束条件

,则 z=2x﹣y 的最小值为(

)

A .﹣1 B.0

C.1

D.2

【考点】简单线性规划. 【专题】不等式的解法及应用. 【分析】由约束条件作出可行域,由图得到最优解,求出最优解的坐标,数形结合得答案.

【解答】解:由约束条件

作出可行域如图,

由图可知,最优解为 A, 联立 ,解得 A(0,1) .

∴z=2x﹣y 的最小值为 2×0﹣1=﹣1. 故选:A.

【点评】本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.

7.设△ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 a=2,c=2 则 b=( A.3 ) B.2 C.2 D.

,cosA=

.且 b<c,

【考点】正弦定理. 【专题】计算题;解三角形. 【分析】运用余弦定理:a2=b2+c2﹣2bccosA,解关于 b 的方程,结合 b<c,即可得到 b=2. 【解答】解:a=2,c=2 由余弦定理可得, ,cosA= .且 b<c,

a2=b2+c2﹣2bccosA, 即有 4=b2+12﹣4 × b,

解得 b=2 或 4, 由 b<c,可得 b=2. 故选:C. 【点评】本题考查三角形的余弦定理及应用,主要考查运算能力,属于中档题和易错题. 8.函数 f(x)=cos(ωx+?)的部分图象如图所示,则 f(x)的单调递减区间为( )

A. (kπ﹣ ,kπ+ , ) ,k∈z B. (2kπ﹣ ,2kπ+ ) ,k∈z C. (k﹣ ,k+ ) ,k∈z D. ( ,2k + ) , k∈ z

【考点】余弦函数的单调性. 【专题】三角函数的图像与性质. 【分析】由周期求出 ω,由五点法作图求出 φ,可得 f(x)的解析式,再根据余弦函数的单 调性,求得 f(x)的减区间. 【解答】解:由函数 f(x)=cos(ωx+?)的部分图象,可得函数的周期为 =2,∴ω=π,f(x)=cos(πx+?) . 再根据函数的图象以及五点法作图,可得 由 2kπ≤πx+ k∈z, 故选:D. 【点评】本题主要考查由函数 y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式,由周期求出 ω,由五 点法作图求出 φ 的值;还考查了余弦函数的单调性,属于基础题. +?= ,k∈z,即 ?= ,f(x)=cos(πx+ ) . =2( ﹣ )

≤2kπ+π, 求得 2k﹣ ≤x≤2k+ , 故f (x) 的单调递减区间为 (

2k+ ) , ,

9.设双曲线

=1(a>0,b>0)的右焦点是 F,左、右顶点分别是 A1,A2,过 F 做 )

A1A2 的垂线与双曲线交于 B, C 两点, 若 A1B⊥A2C, 则该双曲线的渐近线的斜率为( A.± B.± C.±1 D.±

【考点】双曲线的简单性质. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】求得 A1(﹣a,0) ,A2(a,0) ,B(c, 可得 ,求出 a=b,即可得出

) ,C(c,﹣

) ,利用 A1B⊥A2C,

双曲线的渐近线的斜率. 【解答】解:由题意,A1(﹣a,0) ,A2(a,0) ,B(c, ∵A1B⊥A2C, ∴ , ) ,C(c,﹣ ) ,

∴a=b, ∴双曲线的渐近线的斜率为±1.[来源:Zxxk.Com] 故选:C. 【点评】本题考查双曲线的性质,考查斜率的计算,考查学生分析解决问题的能力,比较基 础. 10.函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 的图象如图所示,则下列结论成立的是( )

A.a>0,b<0,c>0,d>0 C.a<0,b<0,c<0,d>0

B.a>0,b<0,c<0,d>0 D.a>0,b>0,c>0,d<0

【考点】函数的图象. 【专题】开放型;函数的性质及应用. 【分析】根据函数的图象和性质,利用排除法进行判断即可. 【解答】解:f(0)=d>0,排除 D, 当 x→+∞时,y→+∞,∴a>0,排除 C, 函数的导数 f′(x)=3ax2+2bx+c, 则 f′(x)=0 有两个不同的正实根, 则 x1+x2=﹣ >0 且 x1x2= >0, (a>0) ,

∴b<0,c>0, 方法 2:f′(x)=3ax2+2bx+c, 由图象知当当 x<x1 时函数递增,当 x1<x2 时函数递减,则 f′(x)对应的图象开口向上, 则 a>0,且 x1+x2=﹣ ∴b<0,c>0, 故选:A >0 且 x1x2= >0, (a>0) ,

【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断,根据函数图象的信息,结合函数的极值及 f (0)的符号是解决本题的关键. 二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11.lg0.01+log216 的值是 2. 【考点】对数的运算性质. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】直接利用对数的运算法则化简求解即可. 【解答】解:lg0.01+log216=﹣2+4=2. 故答案为:2. 【点评】本题考查对数的运算法则的应用,考查计算能力. 12.已知复数 z 满足(z﹣1)i=1+i,则 z=2﹣i. 【考点】复数代数形式的乘除运算. 【专题】转化思想;综合法;数系的扩充和复数. 【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法,虚数单位 i 的幂运算性质,求得 z 的值.
[来源:学_科_网]

【解答】解:∵复数 z 满足(z﹣1)i=1+i,则 z=

=2﹣i,

故答案为:2﹣i. 【点评】 本题主要考查两个复数代数形式的乘除法, 虚数单位 i 的幂运算性质, 属于基础题. 13.过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点,若|AF|=5,则|BF|= . 【考点】抛物线的简单性质. 【专题】计算题;转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】根据抛物线的定义,结合|AF|=5,求出 A 的坐标,然后求出 AF 的方程求出 B 点的 横坐标即可得到结论. 【解答】解:抛物线的焦点 F(1,0) ,准线方程为 x=﹣1, 设 A(x,y) , |AF|=x+1=5 则 ,故 x=4,此时 y=4,即 A(4,4) , 则直线 AF 的方程为 代入 y2=4x 得 4x2﹣17x+4=0, 解得 x=4(舍)或 x= , 则|BF|= +1= , 故答案为: . ,即 y= (x﹣1) ,

【点评】本题主要考查抛物线的弦长的计算,根据抛物线的定义是解决本题的关键. 14.若函数 f(x)=2|x﹣a|(a∈R)满足 f(1+x)=f(1﹣x) ,且 f(x)在[m,+∞)上单调递 增,则实数 m 的最小值等于 1. 【考点】指数函数单调性的应用. 【专题 】开放型;函数的性质及应用. 【分析】根据式子 f(1+x)=f(1﹣x) ,对称 f(x)关于 x=1 对称,利用指数函数的性质得 出:函数 f(x)=2|x﹣a|(a∈R) ,x=a 为对称轴,在[1,+∞)上单调递增,即可判断 m 的最 小值. 【解答】解:∵f(1+x)=f(1﹣x) , ∴f(x)关于 x=1 对称, ∵函数 f(x)=2|x﹣a|(a∈R) x=a 为对称轴, ∴a=1, ∴f(x)在[1,+∞)上单调递增, ∵f(x)在[m,+∞)上单调递增, ∴m 的最小值为 1. 故答案为:1. 【点评】本题考查了指数型函数的单调性,对称性,根据函数式子对称函数的性质是本题解 决的关键,难度不大,属于中档题.

15. x2﹣ 已知 F 是双曲线 C:

=1 的右焦点, P 是 C 的左支上一点, A(0, 6

) . 当△ APF

周长最小时,该三角形的面积为 12 . 【考点】双曲线的简单性质. 【专题】计算题;开放型;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】利用双曲线的定义,确定△ APF 周长最小时,P 的坐标,即可求出△ APF 周长最小 时,该三角形的面积. 【解答】解:由题意,设 F′是左焦点,则△ APF 周长=|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+|PF′|+2 ≥|AF|+|AF′|+2(A,P,F′三点共线时,取等号) ,

直线 AF′的方程为 ∴P 的纵坐标为 2 ,

与 x2﹣

=1 联立可得 y2+6

y﹣96=0,

∴△APF 周长最小时,该三角形的面积为



=12



故答案为:12 . 【点评】本题考查双曲线的定义,考查三角形面积的计算,确定 P 的坐标是关键. 三 、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.等差数列{an}中,a2=4,a4+a7=15. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn=2 +n,求 b1+b2+b3+…+b10 的值.[来源:学|科|网]

【考点】等差数列的性质. 【专题】计算题;等差数列与等比数列. 【分析】 (Ⅰ)建立方程组求出首项与公差,即可求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)bn=2 +n=2n+n,利用分组求和求 b1+b2+b3+…+b10 的值.

【解答】解: (Ⅰ)设公差为 d,则



解得



所以 an=3+(n﹣1)=n+2; (Ⅱ)bn=2 +n=2n+n,

所以 b1+b2+b3+…+b10=(2+1)+(22+2)+…+(210+10) =(2+22+…+210)+(1+2+…+10) = + =2101.

【点评】本题考查等差数列的通项,考查数列的求和,求出数列的通项是关键.[来源:学, 科,网 Z,X,X,K]

17.已知函数 f(x)=sinx﹣2



(I)求 f(x)的最小正周期及单调递增区间; (Ⅱ)求 f(x)在区间 上的最值.

【考点】三角函数的最值;三角函数的周期性及其 求法;正弦函数的单调性. 【专题】函数思想;综合法;三角函数的图像与性质.

【分析】 (1)由三角函数公式化简可得 f(x)=2sin(x+ 可得 f(x)的递增区间; (2)由 x 的范围可得

)﹣

,可得周期,解

,结合解析式可得其最值.

【解答】解: (1)由三角函数公式化简可得 f(x)=sinx﹣2 =sinx﹣2 ? =sinx+ cosx﹣ =2sin(x+ )﹣

∴f(x)的最小正周期 T=2π, 由 ∴f(x)的递增区间为 (2)∵ 当 即 ,∴ 时,f(x)在区间 . 上取得最小值, ; 上取得最大值, . 可得 (k∈Z) ; ,

∴代入计算可得 f(x)的最小值为 当 即 时,f(x)在区间

∴代入计算可得 f(x)的最大值为

【点评】本题考查三角函数的最值,涉及三角函数的周期性和单调性,属基础题. 18.已知过点 A(1,0)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C: (x﹣2)2+(y﹣3)2=1 交于 M,N 两 点. (I)求 k 的取值范围: =12,其中 O 为坐标原点,求|MN|. (Ⅱ) 【考点】直线与圆的位置关系. 【专题】综合题;转化思想;向量法;直线与圆. 【分析】 (Ⅰ)用点斜式求得直线 l 的方程,根据圆心到直线的距离等于半径求得 k 的值, 可得满足条件的 k 的范围. (Ⅱ)由题意可得,经过点 M、N、A 的直线方程为 y=k(x﹣1) ,联立直线方程和圆的方 程,化为关于 x 的一元二次方程,利用根与系数的关系求出 M,N 横纵坐标的积,结合 =12 求出直线的斜率,得到直线方程,再由直线过圆心直接得答案. 【解答】解: (Ⅰ)设过点 A(1,0)的直线方程:y=k(x﹣1) ,即:kx﹣y﹣k=0. C C 2 3 R=1 由已知可得圆 的圆心 的坐标( , ) ,半径 . 故由 =1,解得:k= .

故当 k> 时,过点 A(1,0)的直线与圆 C: (x﹣2)2+(y﹣3)2=1 相交于 M,N 两点; (Ⅱ)设 M(x1,y1) ;N(x2,y2) , 由题意可得,经过点 M、N、A 的直线方程为 y=k(x﹣1) ,代入圆 C 的方程(x﹣2)2+(y ﹣3)2=1, 可得(1+k2)x2﹣2(k2+3k+2)x+k 2+6k+12=0, ∴x1+x2= ,x1?x2= ,

∴y1?y2=k(x1﹣1)?k(x2﹣1)=k2[x1x2﹣(x1+x2)+1] = 由 =12, ,解得:k=0(舍)或 k=3, = .

得 x1?x2+y1?y2=

故直线 l 的方程为 y=3x﹣3. ∵圆心 C 在直线 l 上,MN 长即为圆的直径, ∴|MN|=2. 【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用,以及直线和圆相交的弦长公式的计算, 考查学生的计算能力,是中档题. 19. B、 C 为△ ABC 的内角, tanA, tanB 是关于方程 x2+ (13 分) 已知 A、 两个实根. (Ⅰ)求 C 的大小 (Ⅱ)若 AB=3,AC= ,求 p 的值. 【考点】正弦定理的应用;两角和与差的正切函数. 【专题】函数的性质及应用;解三角形. px﹣p+1=0 (p∈R)

【分析】 (Ⅰ)由判别式△ =3p2+4p﹣4≥0,可得 p≤﹣2,或 p≥ ,由韦达定理,有 tanA+tanB= ﹣ p,tanAtanB=1﹣p,由两角和的正切函数公式可求 tanC=﹣tan(A+B)= 的范围即可求 C 的值. (Ⅱ)由正弦定理可求 sinB= tanA=tan75°,从而可求 p=﹣ = ,结合 C

,解得 B,A,由两角和的正切函数公式可求

(tanA+tanB)的值. px﹣p+1=0 的判别式:△ =( p)2﹣4(﹣p+1)

【解答】解: (Ⅰ)由已知,方程 x2+ 2 =3p +4p﹣4≥0, 所以 p≤﹣2,或 p≥ .

由韦达定理,有 tanA+tanB=﹣ p,tanAtanB=1﹣p. 所以,1﹣tanAtanB=1﹣(1﹣p)=p≠0,

从而 tan(A+B)= 所以 tanC=﹣tan(A+B)= 所以 C=60°. ,

=﹣

=﹣



(Ⅱ)由正弦定理,可得 sinB= 解得 B=45°,或 B=135°(舍去) . 于是,A=180°﹣B﹣C=75°.

=

=



则 tanA=tan75°=tan(45°+30°)=

=

=2+



所以 p=﹣

(tanA+tanB)=﹣

(2+

)=﹣1﹣



【点评】 本题主要考查了和角公式、 诱导公式、 正弦定理等基础知识, 考查了运算求解能力, 考查了函数与方程、化归与转化等数学思想的应用,属于中档题.

20. (13 分)如图,椭圆 E:

+

=1(a>b>0)经过点 A(0,﹣1) ,且离心率为

.[来

源:学*科*网][来源:Zxxk.Com] (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)经过点(1,1) ,且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 P,Q(均异于点 A) , 证明:直线 AP 与 AQ 斜率之和为 2.

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题. 【专题】开放型;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (Ⅰ)运用离心率公式和 a,b,c 的关系,解方程可得 a,进而得到椭圆方程; (Ⅱ)由题意设直线 PQ 的方程为 y=k(x﹣1)+1(k≠0) ,代入椭圆方程 达定理和直线的斜率公式,化简计算即可得到结论. 【解答】解: (Ⅰ)由题设知, = 结合 a2=b2+c2,解得 a= 所以 +y2=1; , ,b=1, +y2=1,运用韦

(Ⅱ)证明:由题意设直线 PQ 的方程为 y=k(x﹣1)+1(k≠0) , 代入椭圆方程 +y2=1,

可得(1+2k2)x2﹣4k(k﹣1)x+2k(k﹣2)=0, 由已知得(1,1)在椭圆外, 设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,x1x2≠0, 则 x1+x2= ,x1x2= ,

且△ =16k2(k﹣1)2﹣8k(k﹣2) (1+2k2)>0,解得 k>0 或 k<﹣2. 则有直线 AP,AQ 的斜率之和为 kAP+kAQ= +

=

+

=2k+(2﹣k) (

+

)=2k+(2﹣k)?

=2k+(2﹣k)?

=2k﹣2(k﹣1)=2.

即有直线 AP 与 AQ 斜率之和为 2. 【点评】 本题考查椭圆的方程和性质, 主要考查椭圆的离心率和方程的运用, 联立直线方程, 运用韦达定理,考查直线的斜率公式,属于中档题.

21. (13 分)已知函数 f(x)=lnx﹣



(Ⅰ)求函数 f(x)的单调增区间; (Ⅱ)证明;当 x>1 时,f(x)<x﹣1; (Ⅲ)确定实数 k 的所有可能取值,使得存在 x0>1,当 x∈(1,x0)时,恒有 f(x)>k (x﹣1) . 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性. 【专题】综合题;开放型;导数的综合应用. 【分析】 (Ⅰ)求导数,利用导数大于 0,可求函数 f(x)的单调增区间; (Ⅱ)令 F(x)=f(x)﹣(x﹣1) ,证明 F(x)在[1,+∞)上单调递减,可得结论; (Ⅲ)分类讨论,令 G(x)=f(x)﹣k(x﹣1) (x>0) ,利用函数的单调性,可得实数 k 的所有可能取值. 【解答】解: (Ⅰ)∵f(x)=lnx﹣ ,

∴f′(x)=

>0(x>0) ,

∴0<x<

, ) ;

∴函数 f(x)的单调增区间是(0,

(Ⅱ)令 F(x)=f(x)﹣(x﹣1) ,则 F′(x)=

当 x>1 时,F′(x)<0, ∴F(x)在[1,+∞)上单调递减, ∴x>1 时,F(x)<F(1)=0, 即当 x>1 时,f(x)<x﹣1; (Ⅲ)由(Ⅱ)知,k=1 时,不存在 x0>1 满足题意; 当 k>1 时,对于 x>1,有 f(x)<x﹣1<k(x﹣1) ,则 f(x)<k(x﹣1) , 从而不存在 x0>1 满足题意;当 k<1 时,令 G(x)=f(x)﹣k(x﹣1) (x>0) ,则 G′(x)= =0,可得 x1= <0,

x2=

>1,

当 x∈(1,x2)时,G′(x)>0,故 G(x)在(1,x2)上单调递增, 从而 x∈(1,x2)时,G(x)>G(1)=0,即 f(x)>k(x﹣1) , 综上,k 的取值范围为(﹣∞,1 ) . 【点评】本题考查导数知识的综合运用,考查函数的单调性,考查不等式的证明,正确构造 函数是关键.


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