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直线与椭圆的位置关系


直线与椭圆的位置关系
一、选择题 1.点 P 为椭圆 + =1 上一点,以点 P 以及焦点 F1、F2 为顶点的三角形的面积为 1,则 5 4

x2 y2

P 点的坐标为(
A.(±

) B.( 15 ,±1) 2 C.( 15 ,1) 2 D.(± 15 ,±1) 2

15 ,1) 2

x2 y2 2.已知 m、n、m+n 成等差数列,m、n、mn 成等比数列,则椭圆 + =1 的离心率为 m n
A. 1 2 B. 3 3 C. 2 2 D. 3 2 )

3.在△ABC 中,BC=24,AB+AC=26,则△ABC 面积的最大值为( A.24 B.65 C.60 D.30

x2 y2 → ?PF → =0,tan∠PF F 4.已知 P 是以 F1、F2 为焦点的椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上一点,若PF 1 2 1 2 a b
1 = ,则椭圆的离心率为( 2 A. 1 2 B. ) 2 3 C. 1 3 D. 5 3

5.如图 F1、F2 分别是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的两个焦点,A 和 B 是以 O 为圆心,以|OF1| 为半径的圆与该左半椭圆的两个交点,且△F2AB 是等边三角形,则椭圆的离心率为( )

x2 y2 a b

A.

3 2

B.

1 2

C.

2 2

D. 3-1 ) D.4,2 3

6.过椭圆 + =1 的焦点的最长弦和最短弦的长分别为( 4 3 A.8,6 B.4,3 C.2, 3

x2 y2

7.(09?江西理)过椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P,F2 为 右焦点,若∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为(
1

x2 y2 a b

)

A.

2 2

B.

3 3 +

C.

1 2

D.

1 3

8.已知点 P 是椭圆

x2
45

y2
20

=1 在第三象限内一点,且它与两焦点连线互相垂直.若点 P )

到直线 4x-3y-2m+1=0 的距离不大于 3,则实数 m 的取值范围是( A.[-7,8] 9 21 B.[- , ] 2 2 C.[-2,2]

D.(-∞,-7]∪[8,+∞)

x2 y2 1 9.设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 e= ,右焦点为 F(c,0),方程 ax2+bx-c=0 的 a b 2
两个实根分别为 x1 和 x2,则点 P(x1,x2)( A.必在圆 x2+y2=2 上 C.必在圆 x2+y2=2 内 )

B.必在圆 x2+y2=2 外 D.以上三种情形都有可能

→ ?MF → =0 的点 M 总在椭圆内部,则椭圆离心 10.已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点,满足MF 1 2 率的取值范围是( A.(0,1) 二、填空题 ) 1 B.(0, ] 2 C.(0, 2 ) 2 D.[ 2 ,1) 2

x2 y2 11.在平面直角坐标系 xOy 中,设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的焦距为 2c.以点 O 为圆心,a a b
?a ? 为半径作圆 M.若过点 P? ,0?作圆 M 的两条切线互相垂直,则该椭圆的离心率为________. ?c ?
2

12 .若过椭圆 ______________.

x2
16

+ = 1 内一点 (2,1) 的弦被该点平分,则该弦所在直线的方程是 4

y2

x2 y2 3 13.设 F1、F2 分别为椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左右两个焦点,若椭圆 C 上的点 A(1, ) a b 2
到 F1,F2 两点的距离之和为 4,则椭圆 C 的方程是________,焦点坐标是________. 14.如图所示,某隧道设计为双向四车道,车道总宽 22 米,要求通行车辆限高 4.5 米, 隧道全长 2.5 千米,隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.

若最大拱高 h 为 6 米,则隧道设计的拱宽 l 约为________.(精确到 0.1 米)
2

三、解答题 15.(2010?北京文,19)已知椭圆 C 的左、右焦点坐标分别是(- 2,0),( 2,0),离 心率是 6 ,直线 y=t 与椭圆 C 交于不同的两点 M、N,以线段 MN 为直径作圆 P,圆心为 P. 3

(1)求椭圆 C 的方程;(2)若圆 P 与 x 轴相切,求圆心 P 的坐标.

16.中心在原点 O,焦点在坐标轴上的椭圆与直线 x+y=1 交于 A、B 两点,M 为 AB 的中 点,直线 OM 的斜率为 2 ,且 OA⊥OB,求椭圆的方程. 2

17.A、B 是两定点,且|AB|=2,动点 M 到 A 的距离为 4,线段 MB 的垂直平分线 l 交 MA 于 P.(1)求点 P 的轨迹方程;(2)若点 P 到 A、B 两点的距离之积为 m,当 m 取最大值时,求 P 的坐标.

18. 已知 A(4,0)、 B(2,2)是椭圆 的最大值和最小值.

x2
25

+ =1 内的两个点, M 是椭圆上的动点, 求|MA|+|MB| 9

y2

2.2 第 3 课时 一、选择题 1.[答案] D [解析]

直线与椭圆的位置关系 答案

设 P(x0,y0),∵a2=5,b2=4,∴c=1,

1 x2 y2 0 0 ∴S△PF1F2= |F1F2|?|y0|=|y0|=1,∴y0=±1,∵ + =1, 2 5 4 ∴x0=± 15 .故选 D. 2 C [解析] ?2n=m+m+n 由已知得:? 2 2 ?n =m n ,

2.[答案]

3

?m=2 解得? ?n=4 3.[答案]

,∴e= C [解析]

n-m 2 = ,故选 C. n 2
∵AB+AC>BC,∴A 点在以 BC 为焦点的椭圆上,因此当 A 为短轴

1 端点时,△ABC 面积取最大值 Smax= BC?5=60,∴选 C. 2 4.[答案] D [解析] → ?PF → =0 知∠F PF 为直角, 由PF 1 2 1 2

1 3 5 设|PF1|=x,由 tan∠PF1F2= 知,|PF2|=2x,∴a= x,由|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2 得 c= x, 2 2 2 ∴e= =

c a

5 . 3 D [解析] 连结 AF1,由圆的性质知,∠F1AF2=90°,

5.[答案]

又∵△F2AB 是等边三角形,∴∠AF2F1=30°,∴AF1=c,AF2= 3c, ∴e= =

c 2c 2c = = 3-1.故选 D. a 2a c+ 3c
B[解析] 椭圆过焦点的弦中最长的是长轴, 最短的为垂直于长轴的弦(通径) 2b2 3 =2? =3 故选 B. a 2

6. [答案] 是 2b2

a

.∴最长的弦为 2a=4,最短的弦为 B[解析] 3b2

7. [答案]

把 x=-c 代入椭圆方程可得 yc=± , ∴|PF1|= , ∴|PF2|= =2a,即 3b2=2a2 又∵a2=b2+c2,∴3(a2-c2)=2a2,

b2 a

b2 a

2b

2

a



故|PF1|+|PF2|=

a

c 1 3 ∴( )2= ,即 e= . a 3 3
8.[答案] A [解析] 椭圆

x2
45



y2
20

=1 的两焦点坐标分别为 F1(-5,0),F2(5,0),设

椭圆上点 P(x,y)(x<0,y<0),由题意得

y y ? ?x+5?x-5=-1 ?x y ? ?45+20=1
2 2

解得 P(-3,-4)由点到直线的距离公式可得

|4?(-3)-3?(-4)-2m+1| ≤3,解得-7≤m≤8,故选 A. 42+(-3)2 9.[答案] C [解析] 1 c 1 a e= ? = ? c= , 2 a 2 2
4

a2-b2 1 b2 3 b 3 3 3 a = ? 2= ? = ? b= a∴ax2+bx-c=0? ax2+ ax- =0 2 a 4 a 4 a 2 2 2 2
? x2+ 3 1 3 1 3 7 2 2 x- =0,x1+x2=- ,x1x2=- ∴x2 1+x2=(x1+x2) -2x1x2= +1= <2 2 2 2 2 4 4

∴在圆 x2+y2=2 内,故选 C. 10.[答案] C [解析] 依题意得,c<b,即 c2<b2,

∴c2<a2-c2,2c2<a2,故离心率 e= < 11.[答案] 2 2 [解析]

c 2 2 ,又 0<e<1,∴0<e< ,故选 C. a 2 2

设切点为 Q、B,如图所示.切线 QP、PB 互相垂直,又半径

OQ 垂直于 QP,所以△OPQ 为等腰直角三角形,可得

a2 c 2 2a= ,∴e= = . c a 2
12.[答案]

x+2y-4=0 [解析] 设弦两端点 A(x1,y1),B(x2,y2),则 + =1,
16 4

x2 1

y2 1

x2 2

16

y1-y2 1 + =1,两式相减并把 x1+x2=4,y1+y2=2 代入得, =- ,∴所求直线方程为 y-1 4 x1-x2 2
1 =- (x-2),即 x+2y-4=0. 2 13.[答案]

y2 2

x2 y2
4

+ =1;(±1,0)[解析] 3

由|AF1|+|AF2|=2a=4 得 a=2

x2 y2 3 ∴原方程化为: + 2=1,将 A(1, )代入方程得 b2=3 4 b 2
∴椭圆方程为: + =1,焦点坐标为(±1,0) 4 3 14.[答案] 33.3 米 [解析] 如图所示,建立直角坐标系,

x2 y2

5

则点 P(11,4.5), 椭圆方程为 2+ 2=1.将 b=h=6 与点 P 坐标代入椭圆方程, 得 a= 此时 l=2a= 88 7 ≈33.3 因此隧道的拱宽约为 33.3 米. 7

x2 y2 a b

44 7 , 7

15.[分析]本题考查了圆和椭圆的标准方程,以及放缩法和三角换元在求最值中的应用.

c 6 x2 2 [解析] (1)∵ = 且 c= 2,∴a= 3,b=1.∴椭圆 c 的方程为 +y =1. a 3 3
(2)由题意知点 P(0,t)(-1<t<1),

?y=t 由?x ? 3 +y =1
2 2

得 x=± 3(1-t2)∴圆 P 的半径为 3(1-t2),

又∵圆 P 与 x 轴相切,∴|t|= 3(1-t2),解得 t=± 16. [分析]

? 3 3? ,故 P 点坐标为?0,± ?. 2 2 ? ?

由于不知道椭圆的焦点在哪个坐标轴上, 可设方程为 ax2+by2=1(a>0, b>0, 2 , 2

a≠b)欲求椭圆方程,需求 a、b,为此需要得到关于 a、b 的两个方程,由 OM 的斜率为 OA⊥OB 易得 a、b 的两个方程.
[解析] 设 A(x1,y1),B(x2,y2), M(

x1+x2 y1+y2
2 , 2

?x+y=1, ).由? 2 2 ?ax +by =1,

∴(a+b)x2-2bx+b-1=0. ∴

x1+x2
2



b a+b a



y1+y2
2

=1-

x1+x2
2



a a+b

.

∴M(

b

a+b a+b



),∵kOM=

2 ,∴b= 2a.① 2

∵OA⊥OB,∴ ? =-1,∴x1x2+y1y2=0. ∵x1x2=

y1 y2 x1 x2

b-1 , a+b

y1y2=(1-x1)(1-x2)=1-(x1+x2)+x1x2
=1- ∴ 2b b-1 a-1 + = . a+b a+b a+b

b-1 a-1 + =0,∴a+b=2.② a+b a+b
6

由①②得 a=2( 2-1),b=2(2- 2).

∴所求方程为 2( 2-1)x2+2(2- 2)y2=1. [点评] 直线与椭圆相交的问题,通常采取设而不求,即设出 A(x1,y1),B(x2,y2),但

不是真的求出 x1、 y1、 x2、 y2, 而是借助于一元二次方程根与系数的关系来解决问题. 由 OA⊥OB 得 x1x2+y1y2=0 是解决本题的关键. 17. [解析] (1)以直线 AB 为 x 轴, AB 的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系, 则 A(-1,0),

B(1,0).∵l 为 MB 的垂直平分线,∴|PM|=|PB|,∴|PA|+|PB|=|PA|+|PM|=4,
∴点 P 的轨迹是以 A,B 为两个焦点,长轴长为 4 的椭圆,其方程为 + =1. 4 3 (2)∵m=|PA|?|PB|≤( |PA|+|PB| 2 ) =4, 2

x2 y2

∴当且仅当|PA|=|PB|时,m 最大,这时 P 的坐标(0, 3)或(0,- 3). 18. 已知 A(4,0)、 B(2,2)是椭圆 的最大值和最小值.

x2
25

+ =1 内的两个点, M 是椭圆上的动点, 求|MA|+|MB| 9

y2

[解析]

如下图所示,由

x2
25

+ =1,得 a=5,b=3,c=4. 9

y2

所以点 A(4,0)为椭圆一个焦点,记另一个焦点为 F(-4,0). 又因为|MA|+|MF|=2a=10, 所以|MA|+|MB|=10-|MF|+|MB|, 又|BF|=2 10, 所以-2 10=-|FB|≤|MB|-|MF|≤|FB|=2 10. 所以 10-2 10≤|MA|+|MB|≤10+2 10. 当 F、B、M 三点共线时等号成立.所以|MA|+|MB|的最大值为 10+2 10,最小值为 10 -2 10. [点评] 本题应用三角形中两边之差小于第三边,两边之和大于第三边的思想,并结

合椭圆定义求解.

7


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