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湖南省娄底市2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)试题(A卷)-含答案

2018 年上学期高二期末考试理科数学(A 卷)试题

时量:120 分钟

总分:150 分

一、选择题(每小题5分,每小题只有一个正确选项)

1.已知集合 A={|=3n+2,n∈N},B={2,4,6,8,10,12,14},则集合 A

∩B 中元素的个数为( )

A.2

B.3

C.4

D.5

2.某班有学生 52 人,现用系统抽样的方法,抽取一个容量为 4 的样本,已知

座位号 6 号,32 号,45 号的同学都在样本中,那么样本中还有一位同学的座位

号是( )

A.16

B.19

C.24

D.36

3.a2+b2=1 是 asin θ+bcos θ≤1 恒成立的( )

A.必要不充分条件

B.充分不必要条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

4

2

1

4.已知 a ? 23 , b ? 45 , c ? 253 ,则( )

A. c ? a ? b

B. a ? b ? c

C. b ? c ? a

D. b ? a ? c

5.已知函数 f(2+1)=3+11,则 f(1)的值等于( )

A.11

B. 5

C. 2

D. -1

6.已知三点 A(1,0),B(0, 3),C(2, 3),则△ABC 外接圆的圆心到原点的距

离为( )

5

4

A. 3

B.3

25 C. 3

21 D. 3

7.等差数列{an}中,a3+a7=4,则{an}的前 9 项和等于( )

A. 18

B. 27

C.﹣18

D.﹣27

8.某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是,则( )

A. a=11

B. a=12

C. a=13

D. a=14

9.若将函数 f ? x? 的图象向右平移 1 个单位长度后得到 g ? x? 的图象,则称 g ? x?

为 f ? x? 的单位间隔函数,那么函数 f ? x? ? sin ? x 的单位间隔函数为( )
2

A.

g

?

x?

?

sin

? ??

?x 2

?

1???

B. g ? x? ? cos ? x
2

C.

g

?

x?

?

sin

? ??

?x 2

?

1 2

? ??

D. g ? x? ? ?cos ? x
2

10.已知向量 a , b 的夹角为 1200,且 a ? 2 , a ? 2b ? 2 7 ,则 b ? ( )

A. 2

B. 3

C. 2

D. 3

11.已知?, ? 均为锐角,

cos

??

?

?

?

?

?

5 13

,

sin

? ??

?

?

? 3

? ??

?

3 5

,则

cos

? ??

?

?

? 6

? ??

=

A. ? 33 65

B. 33 65

C. ? 63 65

D. 63 65

12.已知点 A(?2, 0) , B(2, 0) ,C(0, 2) ,直线 y ? ax ? b(a ? 0) 将 ?ABC 分割为面积

相等的两部分,则 b 的取值范围是( )

A.(0, 2 ? 2 )

B. (2 ? 2, 2] 3

C. (2 ? 2,1)

D.[ 2 ,1) 3

二、填空题(每小题 5 分)

13.若集合 A={|a2-4+2=0}的子集只有两个,则实数 a=________.

14.若函数 f ? x? ? { ?x ? 6, x ? 2 ( a ? 0 且 a ?1)的值域是
3 ? loga x, x ? 2
?4, ??? ,则实数 a 的取值范围是__________.

15.如图,一栋建筑物的高为(30-10 3 )m,在该建筑物的正东

方向有一个通信塔 CD.在它们之间的地面点 M(B,M,D 三点共

线)处测得楼顶 A,塔顶 C 的仰角分别为 15°和 60°,在楼顶 A

处测得塔顶 C 的仰角为 30°,则通信塔 CD 的高为________ m.
16.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形, 则这个几何体的外接球的表面积为________. 三、解答题 17.(本题满分 10 分)
? ? 已知数列?an? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 2n ?1 n? N* .
(1)求数列?an? 的通项公式; (2)设 bn ? log4 an ?1,求数列 ?bn? 的前 n 项和 Tn .
18.(本题满分 12 分) 已知 ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c , C ? ? . 3 (1)若 ab ? 4a2 ? c2 ,求 sinB 的值; sinA (2)求 sinAsinB的取值范围.
19.(本题满分 12 分) 某校举行汉字听写比赛,为了了解本次比赛成绩情况,从得分不低于 50 分的
试卷中随机抽取 100 名学生的成绩(得分均为整数,满分 100 分)进行统计,请根 据频率分布表中所提供的数据,解答下列问题:

(1)求 a、b 的值; (2)若从成绩较好的第 3、4、5 组中按分层抽样的方法抽取 6 人参加市汉字 听写比赛,并从中选出 2 人做种子选手,求 2 人中至少有 1 人是第 4 组的概率。

20.(本题满分 12 分)

如图,已知四棱锥

的底面为菱形,

.

(1)求证



(2)若

, 与平面 成 角,求点 到平

面 的距离.

21.(本题满分 12 分) 如图所示,将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛 AMPN,要求 B
点在 AM 上,D 点在 AN 上,且对角线 MN 过点 C,已知 AB=3 米,AD=1 米. (1)要使矩形 AMPN 的面积大于 16 平方米,则 DN 的长应在什么范围内? (2)当 DN 的长度为多少时,矩形花坛 AMPN 的面积最小?并求出最 小值.

22.(本题满分 12 分)
已知圆 C x2 ? ? y ?1?2 ? 5 ,直线 l : mx ? y ?1? m ? 0.
(1)求证对 m? R ,直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点; (2)设直线 l 与圆 C 交于 A, B 两点,若,求直线 l 的方程.

2018年上学期高二期末考试理科数学(A卷)参考答案

一、选择题

1.B 2. B 3. B 4. D 5. A 6. D 7.A 8.A 9.D 10.C 11.B 12.C
二、填空题

13、0 或 2 14、1? a ? 2.
三、解答题

15、60

16π 16、 3

17、(本题满分 10 分)

解:(1)当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n?1 ,………………………………3 分 当 n ?1时, a1 ? 2 ?1 ? 1,满足 an ? 2n?1 ,……………………………………4 分
? ? ∴数列的通项公式为 an ? 2n?1 n? N* .……………………………………5 分
(注:未检验 n ?1时,扣 1 分。)

(2)由(1)得

bn

?

log4

an

?1?

n ?1 2

,……………………………………6





bn?1

?

bn

?

n

? 2

2

?

n

?1 2

?

1 2

,………………………………………………8



∴数列

?bn ?

是首项为

1,公差

d

?

1 2

的等差数列,…………………………9



∴ Tn

?

nb1

?

n?n ?1?
2

d

?

n2

? 4

3n

.…………………………………………10

分.

22、(本题满分 12 分)

(1)证明直线 m? x ?1? ? y ?1? 0 ,经过定点 ?1,1? ,12 ? ?1?1?2 ? 5 ,?定点在圆内,

故对 m? R ,直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点. ………4 分

(2)由圆心?0,1? 到直线mx ? y ?1? m ? 0 的距离d ? m·0 ?1?1? m ? m

m2 ?1

m2 ?1

而圆的弦长………8 分

即,,,

解得:m=………10 分

故所求的直线方程为- y=0 或+y-2=0………12 分