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大学物理答案(赵近芳 第二版)下册 习题8


习题八 8-1 电量都是 q 的三个点电荷,分别放在正三角形的三个顶点.试问:(1) 在这三角形的中心放一个什么样的电荷,就可以使这四个电荷都达到平衡 (即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形 的边长有无关系?? 解: 如题 8-1 图示 (1) 以 A 处点电荷为研究对象,由力平衡知: q? 为负电荷

2

1 q2 1 cos30? ? 2 4π? 0 a 4π? 0

qq ? ( 3 2 a) 3

解得 (2)与三角形边长无关.

q? ? ?

3 q 3

题 8-1 图

题 8-2 图

8-2 两小球的质量都是 m ,都用长为 l 的细绳挂在同一点,它们带有相同电 量,静止时两线夹角为2 ? ,如题8-2图所示.设小球的半径和线的质量都可 以忽略不计,求每个小球所带的电量.? 解: 如题 8-2 图示

T cos? ? m g ? ? q2 ?T sin ? ? F ? 1 e ? 4π? 0 (2l sin ? ) 2 ?
解得 q ? 2l sin ? 4?? 0 mg tan? 8-3 根据点电荷场强公式 E ?

q 4?? 0 r 2

,当被考察的场点距源点电荷很近(r

→0)时,则场强→∞,这是没有物理意义的,对此应如何理解??

解:

? E?

q 4π? 0 r
2

? r0 仅对点电荷成立,当 r ? 0 时,带电体不能再视为点电

荷,再用上式求场强是错误的,实际带电体有一定形状大小,考虑电荷在带 电体上的分布求出的场强不会是无限大. 8-4 在真空中有 A , B 两平行板,相对距离为 d ,板面积为 S ,其带电量分 别为+ q 和- q .则这两板之间有相互作用力 f ,有人说 f =

q2 4?? 0 d 2

,又有人

说,因为 f = qE , E ?

q q2 ,所以 f = .试问这两种说法对吗?为什么? ?0S ?0S

f 到底应等于多少??
解: 题中的两种说法均不对.第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对 的, 第二种说法把合场强 E ?

q 看成是一个带电板在另一带电板处的场强 ?0S q 2? 0 S
,另一板受它的作用

也是不对的.正确解答应为一个板的电场为 E ?

力 f ?q

q 2? 0 S

?

q2 ,这是两板间相互作用的电场力. 2? 0 S
? ?

8-5 一电偶极子的电矩为 p ? ql ,场点到偶极子中心O点的距离为 r ,矢量 r

?

与 l 的夹角为 ? ,(见题8-5图),且 r ?? l .试证P点的场强 E 在 r 方向上的分 量 E r 和垂直于 r 的分量 E? 分别为

?

Er =

p cos? p sin ? , E? = 3 2?? 0 r 4?? 0 r 3
?

证: 如题 8-5 所示,将 p 分解为与 r 平行的分量 p sin ? 和垂直于 r 的分量

?

?

p sin ? .


r ?? l

∴ 场点 P 在 r 方向场强分量

Er ?
垂直于 r 方向,即 ? 方向场强分量

p cos? 2π? 0 r 3 p sin ? 4π? 0 r 3

E0 ?

题 8-5 图 题 8-6 图 -1 8-6 长 l =15.0cm?的直导线AB上均匀地分布着线密度 ? =5.0x10-9C·m ?的 正电荷. 试求: (1)在导线的延长线上与导线B端相距 a1 =5.0cm处 P 点的场强; (2)在导线的垂直平分线上与导线中点相距 d 2 =5.0cm 处 Q 点的场强.? 解: 如题 8-6 图所示 (1)在带电直线上取线元 dx ,其上电量 dq 在 P 点产生场强为

dE P ?

1 ?dx 4π? 0 (a ? x) 2

EP ? ? dEP ?
?

? 4π? 0

?

l 2 l ? 2

dx ( a ? x) 2

? 1 1 [ ? ] l l 4π? 0 a? a?
2 2

?

?l
π? 0 (4a 2 ? l 2 )

?9 ?1 用 l ? 15 cm , ? ? 5.0 ? 10 C ? m , a ? 12.5 cm 代入得

EP ? 6.74?102 N ? C ?1 方向水平向右
(2)同理? dEQ ?

1 ?dx 2 4π? 0 x ? d 2 2

方向如题 8-6 图所示

由于对称性 dE Qx ? 0 ,即 EQ 只有 y 分量,
l

?

?



dEQy ?

1 ?dx 2 4π? 0 x ? d 2 2

d2 x2 ? d2 2

EQy ? ? dEQy ?
l

d 2? 4π? 2

?

l 2 l ? 2

dx (x ? d )
2 2 2 3 2

?
以 ? ? 5.0 ? 10
?9

?l
2 π? 0 l 2 ? 4d 2 2

C ? cm?1 , l ? 15 cm , d 2 ? 5 cm 代入得

EQ ? EQy ? 14.96?102 N ? C ?1 ,方向沿 y 轴正向
8-7 一个半径为 R 的均匀带电半圆环,电荷线密度为 ? ,求环心处 O 点的场 强. 解: 如 8-7 图在圆上取 dl ? Rd?

题 8-7 图

dq ? ?dl ? R?d? ,它在 O 点产生场强大小为

dE ?

?Rd? 方向沿半径向外 4π? 0 R 2

则 dE x ? dE sin ? ?

? sin ?d? 4π? 0 R
?? cos?d? 4π? 0 R

dE y ? dE cos(? ? ? ) ?

积分 E x ?

?

?

0

? ? sin ?d? ? 4π? 0 R 2π? 0 R
Ey ? ?
?

0

?? cos?d? ? 0 4π? 0 R



E ? Ex ?

? ,方向沿 x 轴正向. 2π? 0 R

8-8 均匀带电的细线弯成正方形,边长为 l ,总电量为 q .(1)求这正方形轴 线上离中心为 r 处的场强 E ;(2)证明:在 r ?? l 处,它相当于点电荷 q 产生 的场强 E .? 解: 如 8-8 图示,正方形一条边上电荷 小为

? q 在 P 点产生物强 dEP 方向如图,大 4

dE P ?

? ?cos? 1 ? cos? 2 ?
4π? 0 r 2 ?
l 2 r2 ? l2 2

l2 4



cos? 1 ?

cos? 2 ? ? cos?1



dE P ?

?
4π? 0 r 2 ? l 4
2

l r2 ? l2 2

? dEP 在垂直于平面上的分量 dE? ? dEP cos ?


dE ? ?

?l
4π? 0 r 2 ? l2 l2 r2 ? 4 2

r r2 ? l2 4

题 8-8 图 由于对称性, P 点场强沿 OP 方向,大小为

EP ? 4 ? dE? ?

4?lr l2 l2 2 4π ? 0 (r ? ) r ? 4 2
2

∵ ∴

??
EP ? qr

q 4l
方向沿 OP

l2 l2 4π? 0 (r 2 ? ) r 2 ? 4 2

8-9

(1)点电荷 q 位于一边长为a的立方体中心,试求在该点电荷电场中穿

过立方体的一个面的电通量;(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个 顶点上,这时穿过立方体各面的电通量是多少?*(3)如题8-9(3)图所示,在 点电荷 q 的电场中取半径为R的圆平面. q 在该平面轴线上的 A 点处,求: 通过圆平面的电通量.( ? ? arctan 解: (1)由高斯定理 E ? dS ?
s

R )? x

?

?

?

q

?0

立方体六个面,当 q 在立方体中心时,每个面上电通量相等 ∴ 各面电通量 ? e ?

q . 6? 0

(2)电荷在顶点时,将立方体延伸为边长 2 a 的立方体,使 q 处于边长 2 a 的 立方体中心,则边长 2 a 的正方形上电通量 ? e ?

q 6? 0 q , 24? 0

对于边长 a 的正方形,如果它不包含 q 所在的顶点,则 ? e ? 如果它包含 q 所在顶点则 ? e ? 0 .

如题 8-9(a)图所示.题 8-9(3)图

题 8-9(a)图

题 8-9(b)图

题 8-9(c)图

(3)∵通过半径为 R 的圆平面的电通量等于通过半径为 的电通量,球冠面积*

R 2 ? x 2 的球冠面

S ? 2π( R 2 ? x 2 )[1 ?

x R2 ? x2

]



??

q0

S
2 2

? 0 4 π( R ? x )
?

?

x q [1 ? ] 2 2? 0 R ? x2

*关于球冠面积的计算:见题 8-9(c)图

S ? ? 2πr sin ? ? rd?
0

? 2πr 2 ? sin ? ? d?
0

?

? 2πr 2 (1 ? cos? )
8-10 均匀带电球壳内半径6cm,外半径10cm,电荷体密度为2× 10 C·m 求距球心5cm,8cm ,12cm 各点的场强. 解: 高斯定理 E ? dS ?
s
?5
-3

?

?

?

? q , E 4πr
?0
?

2

?

?q
?0

当 r ? 5 cm 时,

?q ? 0 , E ? 0
4π 3 3 (r ? r内 ) 3

r ? 8 cm 时, ? q ? p



E?

?

4π 3 2 r ? r内 3 ? 3.48? 104 N ? C ?1 , 方向沿半径向外. 2 4π? 0 r
4π 3 3 (r外 ? r内) 3

?

?

r ? 12 cm 时, ? q ? ?



E?

?

4π 3 3 r外 ? r内 3 ? 4.10 ? 104 N ? C ?1 2 4π? 0 r

?

?

沿半径向外.

8-11 半径为 R1 和 R2 ( R2 > R1 )的两无限长同轴圆柱面,单位长度上分别 带有电量 ? 和- ? ,试求:(1) r < R1 ;(2) R1 < r < R2 ;(3) r > R2 处各点 的场强. 解: 高斯定理 E ? dS ?
s

?

?

?

?q
?0
? ? E ? dS ? E 2πrl ?
S

取同轴圆柱形高斯面,侧面积 S ? 2 πrl 则 对(1)

r ? R1

?q ? 0, E ? 0

(2)

R1 ? r ? R2
E?

?q ? l?



? 2π? 0 r

沿径向向外

(3) ∴

r ? R2

?q ? 0

E?0

题 8-12 图 8-12 两个无限大的平行平面都均匀带电,电荷的面密度分别为 ? 1 和 ? 2 , 试求空间各处场强.? 解: 如题 8-12 图示,两带电平面均匀带电,电荷面密度分别为 ? 1 与 ? 2 , 两面间, E ?

?

1 ? (? 1 ? ? 2 )n 2? 0 1 ? (? 1 ? ? 2 )n 2? 0

? 1 面外, E ? ?
? 2 面外, E ?
?

?

1 ? (? 1 ? ? 2 )n 2? 0

? n :垂直于两平面由 ? 1 面指为 ? 2 面.
8-13 半径为 R 的均匀带电球体内的电荷体密度为 ? ,若在球内挖去一块半 径为 r < R 的小球体,如题8-13图所示.试求:两球心 O 与 O ? 点的场强, 并证明小球空腔内的电场是均匀的. 解: 将此带电体看作带正电 ? 的均匀球与带电 ? ? 的均匀小球的组合,见 题 8-13 图(a). (1) ? ? 球在 O 点产生电场 E10 ? 0 ,

?

4 3 πr ? ? 3 ? ? 球在 O 点产生电场 E 20 ? OO' 4π? 0 d 3

? r3? ∴ O 点电场 E0 ? OO' ; 3? 0 d 3
4 3 ?d ? ? 3 OO' (2) ? ? 在 O ? 产生电场 E10? ? 4π ? 0 d 3
? ? 球在 O ? 产生电场 E20? ? 0
∴ O ? 点电场

?

? ? E0? ? OO' 3? 0

题 8-13 图(a) 题 8-13 图(b) ? ? (3)设空腔任一点 P 相对 O ? 的位矢为 r ? ,相对 O 点位矢为 r (如题 8-13(b) 图) 则

? ? ?r E PO ? , 3? 0 ? ? ?r ? E PO? ? ? , 3? 0



? ? ? ? ? ? ? ? ?d E P ? E PO ? E PO? ? (r ? r ?) ? OO' ? 3? 0 3? 0 3? 0

∴腔内场强是均匀的. -6 8-14 一电偶极子由 q =1.0×10 C?的两个异号点电荷组成,两电荷距离 d=0.2cm,把这电偶极子放在1.0×10 N·C ?的外电场中,求外电场作用于 电偶极子上的最大力矩.??
5 -1

解: ∵ 电偶极子 p 在外场 E 中受力矩

?

?

? ? ? M ? p? E


M max ? pE ? qlE 代入数字

M max ? 1.0 ?10?6 ? 2 ?10?3 ?1.0 ?105 ? 2.0 ?10?4 N ? m
8-15 两点电荷 q1 =1.5×10 C,q2 =3.0×10 C,相距 r1 =42cm,要把它们之
-8 -8

间的距离变为 r2 =25cm,需作多少功?? 解: A ?

?

r2

r1

? ? r2 q q dr qq 1 1 F ?dr ? ? 1 2 2 ? 1 2 ( ? ) r2 4 ? r π 0 4π ? 0 r1 r2

? ?6.55?10?6 J
外力需作的功 A? ? ? A ? ?6.55? 10
?6

J

题 8-16 图 8-16 如题8-16图所示,在 A , B 两点处放有电量分别为+ q ,- q 的点电荷,

AB 间距离为2 R ,现将另一正试验点电荷 q0 从 O 点经过半圆弧移到 C 点,
求移动过程中电场力作的功.? 解: 如题 8-16 图示

UO ?

q q 1 ( ? )?0 4π? 0 R R

UO ?

q q 1 q ( ? ) ?? 4π? 0 3R R 6π? 0 R



A ? q0 (U O ? U C ) ?

qo q 6π ? 0 R

8-17 如题8-17图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为 ? 的正电荷,两直 导线的长度和半圆环的半径都等于 R .试求环中心 O 点处的场强和电势.? 解: (1)由于电荷均匀分布与对称性, AB 和 CD 段电荷在 O 点产生的场强 互相抵消,取 dl ? Rd? 则 dq ? ?Rd? 产生 O 点 dE 如图,由于对称性, O 点场强沿 y 轴负方向

?

题 8-17 图

E ? ? dE y ?? 2?
?

?

?Rd? cos? 4π? 0 R 2 2

?

? ? ? [ sin( ? ) ? sin ] 2 2 4π? 0 R
?? 2π? 0 R

?

(2) AB 电荷在 O 点产生电势,以 U ? ? 0

U1 ? ?
同理 CD 产生

A

B

2 R ?dx ?dx ? ?? ? ln 2 4π? 0 x R 4π? 0 x 4π? 0

U2 ?

? ln 2 4π? 0

半圆环产生

U3 ?

πR? ? ? 4π? 0 R 4? 0



U O ? U1 ? U 2 ? U 3 ?

? ? ln 2 ? 2π ? 0 4? 0
4 -1 -31

8-18 一电子绕一带均匀电荷的长直导线以2×10 m·s 的匀速率作圆周运 动.求带电直线上的线电荷密度.(电子质量 m0 =9.1×10 kg,电子电量

e =1.60×10-19C)
解: 设均匀带电直线电荷密度为 ? ,在电子轨道处场强

E?

? 2π? 0 r
e? 2π? 0 r

电子受力大小

Fe ? eE ?



e? v2 ?m 2π? 0 r r
2π? 0 m v2 ?? ? 12.5 ? 10?13 C ? m ?1 e
-1



8-19 空气可以承受的场强的最大值为 E =30kV·cm ,超过这个数值时空气 要发生火花放电.今有一高压平行板电容器,极板间距离为 d =0.5cm,求此 电容器可承受的最高电压.? 解: 平行板电容器内部近似为均匀电场 ∴

U ? Ed ? 1.5 ? 104 V
?

8-20 根据场强 E 与电势 U 的关系 E ? ??U , 求下列电场的场强: (1)点电 荷 q 的电场;(2)总电量为 q ,半径为 R 的均匀带电圆环轴上一点;*(3)偶 极子 p ? ql 的 r ?? l 处(见题8-20图).?

?

解: (1)点电荷

U?

q 4π? 0 r

题 8-20 图



? ?U ? q ? E?? r0 ? r0 ?r 4π? 0 r 2

? r0 为 r 方向单位矢量.

(2)总电量 q ,半径为 R 的均匀带电圆环轴上一点电势

U?

q 4π? 0 R 2 ? x 2



? ?U ? qx E?? i ? ?x 4π? 0 R 2 ? x 2

?

?

3/ 2

? i

(3)偶极子 p ? ql 在 r ?? l 处的一点电势

?

?

U?

q [ 4π? 0

1 l (r ? cos? ) 2
Er ? ?

?

1 l (1 ? cos? ) 2

]?

ql cos? 4π? 0 r 2



?U p cos? ? ?r 2π? 0 r 3

E? ? ?

1 ?U p sin ? ? r ?? 4π? 0 r 3

8-21 证明:对于两个无限大的平行平面带电导体板(题8-21图)来说,(1)相 向的两面上,电荷的面密度总是大小相等而符号相反;(2)相背的两面上, 电荷的面密度总是大小相等而符号相同.? 证: 如题 8-21 图所示,设两导体 A 、 B 的四个平面均匀带电的电荷面密度 依次为 ? 1 , ? 2 , ? 3 , ? 4

题 8-21 图 (1)则取与平面垂直且底面分别在 A 、 B 内部的闭合柱面为高斯面时,有

? E ? dS ? (?
s

?

?

2

? ? 3 )?S ? 0



?2 ? ?3 ? 0

说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反; (2)在 A 内部任取一点 P ,则其场强为零,并且它是由四个均匀带电平面产 生的场强叠加而成的,即

?1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ?0 2? 0 2? 0 2? 0 2? 0
又∵ ∴

?2 ? ?3 ? 0
?1 ? ? 4

说明相背两面上电荷面密度总是大小相等,符号相同. 2 8-22 三个平行金属板 A ,B 和 C 的面积都是200cm ,A 和 B 相距4.0mm,A 与 C 相距2.0 mm. B , C 都接地,如题8-22图所示.如果使 A 板带正电3.0 -7 ×10 C,略去边缘效应,问 B 板和 C 板上的感应电荷各是多少?以地的电势 为零,则 A 板的电势是多少? 解: 如题 8-22 图示,令 A 板左侧面电荷面密度为 ? 1 ,右侧面电荷面密度为

?2

题 8-22 图 (1)∵ ∴

U AC ? U AB ,即 E AC d AC ? E ABd AB



? 1 E AC d AB ? ? ?2 ? 2 E AB d AC
?1 +? 2 ?
qA S





?2 ?

qA , 3S

?1 ?

2q A 3S



2 qC ? ?? 1 S ? ? q A ? ?2 ? 10 ?7 C 3

qB ? ?? 2 S ? ?1?10?7 C
(2)

U A ? E AC d AC ?

?1 d AC ? 2.3 ? 103 V ?0

8-23

两个半径分别为 R1 和 R2( R1 < R2 )的同心薄金属球壳,现给内球壳

带电+ q ,试计算:? (1)外球壳上的电荷分布及电势大小;? (2)先把外球壳接地,然后断开接地线重新绝缘,此时外球壳的电荷分布及 电势;? *(3)再使内球壳接地,此时内球壳上的电荷以及外球壳上的电势的改变 量.? 解: (1)内球带电 ? q ;球壳内表面带电则为 ? q ,外表面带电为 ? q ,且均 匀分布,其电势

题 8-23 图
? ? ? ? U ? ? E ? dr ? ? R2

qdr q ? 2 R2 4π? r 4π? 0 R 0

(2)外壳接地时,外表面电荷 ? q 入地,外表面不带电,内表面电荷仍为 ? q .所以球壳电势由内球 ? q 与内表面 ? q 产生:

U?

q 4π? 0 R2

?

q 4π? 0 R2

?0

(3)设此时内球壳带电量为 q? ;则外壳内表面带电量为 ? q? ,外壳外表面带

电量为 ? q ? q? (电荷守恒),此时内球壳电势为零,且

UA ?

q' 4π? 0 R1

?

q' 4π? 0 R2

?

? q ? q' ?0 4π? 0 R2

得 外球壳上电势

q? ?

R1 q R2 ? q ? q' ?R1 ? R2 ?q ? 2 4π? 0 R2 4π? 0 R2

UB ?

q' 4π? 0 R2

?

q' 4π? 0 R2

?

8-24 半径为 R 的金属球离地面很远,并用导线与地相联,在与球心相距为

d ? 3 R 处有一点电荷+ q ,试求:金属球上的感应电荷的电量.
解: 如题 8-24 图所示,设金属球感应电荷为 q? ,则球接地时电势 U O ? 0

8-24 图 由电势叠加原理有:

UO ?

q' q ? ?0 4π? 0 R 4π? 0 3R
q? ? ?



q 3

8-25 有三个大小相同的金属小球,小球1,2带有等量同号电荷,相距甚远, 其间的库仑力为 F0 .试求: (1)用带绝缘柄的不带电小球3先后分别接触1,2后移去,小球1,2之间的库 仑力; (2)小球3依次交替接触小球1,2很多次后移去,小球1,2之间的库仑力.? 解: 由题意知

q2 F0 ? 4π? 0 r 2

(1)小球 3 接触小球 1 后,小球 3 和小球 1 均带电

q? ?

q , 2 3 q 4

小球 3 再与小球 2 接触后,小球 2 与小球 3 均带电

q ?? ?

∴ 此时小球 1 与小球 2 间相互作用力

3 2 q q' q" 3 8 F1 ? ? ? F0 2 2 8 4 π? 0 r 4 π? 0 r
(2)小球 3 依次交替接触小球 1 、 2 很多次后,每个小球带电量均为

2q . 3

2 2 q q 4 ∴ 小球 1 、 2 间的作用力 F2 ? 3 3 ? F0 4π? 0 r 2 9
*8-26 如题8-26图所示,一平行板电容器两极板面积都是S,相距为 d ,分别

维持电势 U A = U ,U B =0不变.现把一块带有电量 q 的导体薄片平行地放在 两极板正中间,片的面积也是S,片的厚度略去不计.求导体薄片的电势. 解: 依次设 A , C , B 从上到下的 6 个表面的面电荷密度分别为 ? 1 , ? 2 , 由静电平衡条件, 电荷守恒定律及维持 U AB ? U ? ? 3 , 4 , ? 5 , ? 6 如图所示. 可得以下 6 个方程

题 8-26 图

? 0U qA 1 ? ?? 1 ? ? 2 ? S ? S C 0U ? d ? ?? ? ? ? q 4 ? 3 S ? ?? ? ? ? q B ? ? ? 0U 6 ? 5 S d ?? ? ? ? 0 3 ? 2 ?? 4 ? ? 5 ? 0 ? ?? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? ? 6
解得

?1 ? ? 6 ?

q 2S

? 2 ? ?? 3 ?

? 0U
d

?

q 2S
q 2S

? 4 ? ?? 5 ?
所以 CB 间电场

? 0U
d

?

E2 ?

?4 U q ? ? ? 0 d 2? 0 S
d 1 qd ? (U ? ) 2 2 2? 0 S

U C ? U CB ? E2
注意:因为 C 片带电,所以 U C ?

U U ,若 C 片不带电,显然 U C ? 2 2

8-27 在半径为 R1 的金属球之外包有一层外半径为 R2 的均匀电介质球壳, 介质相对介电常数为 ? r ,金属球带电 Q .试求: (1)电介质内、外的场强; (2)电介质层内、外的电势; (3)金属球的电势. 解: 利用有介质时的高斯定理 D ? dS ?
S

?

?

?

?q

(1)介质内 ( R1 ? r ? R2 ) 场强

? ? ? Qr ? Qr ; D? , E内 ? 4πr 3 4π? 0? r r 3
介质外 (r ? R2 ) 场强

? ? Qr ? Qr D? , E外 ? 4πr 3 4π? 0 r 3
(2)介质外 (r ? R2 ) 电势
? ? ? U ? ? E外 ? d r ? r

Q 4π? 0 r

介质内 ( R1 ? r ? R2 ) 电势
? ? ? ?? ? U ? ? E内 ? dr ? ? E外 ? dr r r

?

1 1 Q ( ? )? 4π? 0? r r R2 4π? 0 R2

q

?
(3)金属球的电势

Q 1 ? ?1 ( ? r ) 4π? 0? r r R2

R2 ? ? ? ? ? U ? ? E内 ? dr ? ? E外 ? dr R1 R2

??

R2

Qdr 4π? 0? r r
2

R

??

Qdr R2 4π? r 2 0

?

?

Q 1 ? ?1 ( ? r ) 4π? 0? r R1 R2

8-28 如题8-28图所示,在平行板电容器的一半容积内充入相对介电常数为

? r 的电介质.试求:在有电介质部分和无电介质部分极板上自由电荷面密度
的比值.

解: 如题 8-28 图所示,充满电介质部分场强为 E 2 ,真空部分场强为 E1 ,自 由电荷面密度分别为 ? 2 与 ? 1

?

?

? ? 由 ? D ? dS ? ? q 0 得

D1 ? ? 1 , D2 ? ? 2


D1 ? ? 0 E1 , D2 ? ? 0? r E2
E1 ? E 2 ? U d



? 2 D2 ? ? ?r ? 1 D1

题 8-28 图

题 8-29 图

8-29 两个同轴的圆柱面,长度均为 l ,半径分别为 R1 和 R2 ( R2 > R1 ),且

l >> R2 - R1 , 两柱面之间充有介电常数 ? 的均匀电介质.当两圆柱面分别带等
量异号电荷 Q 和- Q 时,求: (1)在半径 r 处( R1 < r < R2 =,厚度为dr,长为 l 的圆柱薄壳中任一点的电 场能量密度和整个薄壳中的电场能量; (2)电介质中的总电场能量; (3)圆柱形电容器的电容. 解: 取半径为 r 的同轴圆柱面 (S ) 则

? D ? dS ? 2πrlD
(S )

?

?

当 ( R1 ? r ? R2 ) 时, ∴

?q ? Q
D? Q 2 πrl

(1)电场能量密度

w?

D2 Q2 ? 2 2 2 2? 8π ?r l

薄壳中 dW ? wd? ?

Q2 Q 2dr 2π rdrl ? 8π 2?r 2l 2 4π ?rl

(2)电介质中总电场能量

W ? ? dW ??
V

R2

R1

R Q 2 dr Q2 ? ln 2 4π?rl 4π?l R1
Q2 2C

(3)电容:∵

W ?


*8-30

C?

Q2 2π?l ? 2W ln(R2 / R1 )

金属球壳 A 和 B 的中心相距为 r , A 和 B 原来都不带电.现在 A 的

中心放一点电荷 q1 ,在 B 的中心放一点电荷 q2 ,如题8-30图所示.试求: (1) q1 对 q2 作用的库仑力, q2 有无加速度; (2)去掉金属壳 B ,求 q1 作用在 q2 上的库仑力,此时 q2 有无加速度. 解: (1) q1 作用在 q2 的库仑力仍满足库仑定律,即

F?

1 q1q 2 4π? 0 r 2

但 q2 处于金属球壳中心,它受合力为零,没有加速度. ..

q (2)去掉金属壳 B , 1 作用在 q2 上的库仑力仍是 F ?
受合力不为零,有加速度.

1 q1q 2 , 但此时 q2 4π? 0 r 2

题 8-30 图

题 8-31 图

8-31 如题8-31图所示, C1 =0.25 ? F, C 2 =0.15 ? F, C3 =0.20 ? F .C1 上 电压为50V.求: U AB . 解: 电容 C1 上电量

Q1 ? C1U1
电容 C 2 与 C3 并联 C23 ? C2 ? C3 其上电荷 Q23 ? Q1 ∴

U2 ?

Q23 C1U 1 25? 50 ? ? C 23 C 23 35
25 ) ? 86 V 35

U AB ? U 1 ? U 2 ? 50(1 ?

8-32 C1 和 C 2 两电容器分别标明“200 pF、500 V”和“300 pF、900 V”,把它 们串联起来后等值电容是多少?如果两端加上1000 V?的电压,是否会击穿? 解: (1) C1 与 C 2 串联后电容

C? ?
(2)串联后电压比

C1C2 200? 300 ? ? 120 pF C1 ? C2 200 ? 300

U1 C2 3 ? ? ,而 U1 ?U 2 ? 1000 U 2 C1 2


U1 ? 600 V , U 2? 400 V

即电容 C1 电压超过耐压值会击穿,然后 C 2 也击穿. 8-33 将两个电容器 C1 和 C 2 充电到相等的电压 U 以后切断电源,再将每一 电容器的正极板与另一电容器的负极板相联.试求: (1)每个电容器的最终电荷; (2)电场能量的损失. 解: 如题 8-33 图所示,设联接后两电容器带电分别为 q1 , q2

题 8-33 图

?q1 ? q 2 ? q10 ? q 20 ? C1U ? C 2U ? CU ?q 则? 1 ? 1 1 ? q 2 C 2U 2 ?U 1 ? U 2 ?
解得 (1) q1 ? (2)电场能量损失

C1 (C1 ? C2 ) C (C ? C2 ) U , q2 ? 2 1 U C1 ? C2 C1 ? C2

?W ? W0 ? W
2 q12 q2 1 1 2 2 ? ( C1U ? C2U ) ? ( ? ) 2 2 2C1 2C2

?

2C1C 2 2 U C1 ? C 2

8-34 半径为 R1 =2.0cm 的导体球,外套有一同心的导体球壳,壳的内、外半 径分别为 R2 =4.0cm和 R3 =5.0cm,当内球带电荷 Q =3.0×10 C?时,求: (1)整个电场储存的能量; (2)如果将导体壳接地,计算储存的能量; (3)此电容器的电容值.
-8

解: 如图,内球带电 Q ,外球壳内表面带电 ? Q ,外表面带电 Q

题 8-34 图 (1)在 r ? R1 和 R2 ? r ? R3 区域

? E?0
在 R1 ? r ? R2 时

? E1 ? ? E2 ?

? Qr 4π? 0 r 3 ? Qr 4π? 0 r 3

r ? R3 时
∴在 R1 ? r ? R2 区域

W1 ? ?

R2

R1

1 Q ?0 ( ) 2 4πr 2 dr 2 4π? 0 r 2

??
在 r ? R3 区域

R2

R1

Q 2 dr Q2 1 1 ? ( ? ) 2 8π? 0 R1 R2 8π? 0 r

W2 ? ?
∴ 总能量

1 Q Q2 1 ?0 ( ) 2 4πr 2 dr ? R3 2 8π? 0 R3 4π? 0 r 2
?

W ? W1 ? W2 ?

Q2 1 1 1 ( ? ? ) 8π? 0 R1 R2 R3

? 1.82 ? 10?4 J

? (2)导体壳接地时,只有 R1 ? r ? R2 时 E ?

? Qr , W2 ? 0 4π? 0 r 3



W ? W1 ?

Q2 1 1 ( ? ) ? 1.01? 10?4 J 8π? 0 R1 R2
2W 1 1 ? 4π? 0 /( ? ) 2 R1 R2 Q

(3)电容器电容

C?

? 4.49 ? 10?12 F


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