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人教版高中数学选修2-3检测试题 1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理

课时训练 1 分类加法计数原理与分步乘法计数 原理

一、选择题

1.王刚同学衣服上左、右各有一个口袋,左边口袋装有 30 张英语单词卡片,右边口袋装有 20

张英语单词卡片,这些英语单词卡片都互不相同,问从两个口袋里任取一张英语单词卡片,

则不同的取法有( ).

A.50 种

B.30 种

C.20 种

D.600 种

答案:A

解析:从口袋中任取一张英语单词卡片的方法有两类:

第一类,从左边口袋取一张英语单词卡片有 30 种不同的取法;

第二类,从右边口袋取一张英语单词卡片有 20 种不同的取法.

上述的其中任何一种取法都能独立完成“取一张英语单词卡片”这件事,应用分类加法

计数原理,所以从中任取一张英语单词卡片有 30+20=50 种不同的取法.

2.高二(1)班有学生 56 人,其中男生 38 人,从中选取 1 名男生和 1 名女生作代表,参加学校组

织的社会调查团,则选取代表的方法有( ).

A.38 种

B.18 种

C.684 种

D.864 种

答案:C

解析:男生为 38 人,女生为 18 人,

根据本题题意要完成一件事情需分 2 个步骤:

第一步,从男生 38 人中任选 1 人,有 38 种不同的选法;

第二步,从女生 18 人中任选 1 人,有 18 种不同的选法.

只有上述两步都完成后,才能完成从男生中和女生中各选 1 名这件事,根据分步乘法计

数原理共有 38×18=684 种选取代表的方法.

3.现有 4 件不同款式的上衣和 3 条不同颜色的长裤,如果 1 条长裤与 1 件上衣配成一套,则

不同的配法种数为( ).

A.7 答案:B

B.12

C.64

D.81

解析:完成长裤与上衣配成一套,分两步:第一步,选上衣,从 4 件中任选 1 件,有 4 种不同的选 法;第二步,选长裤,从 3 条长裤中任选 1 条,有 3 种不同的选法,故共有 4×3=12 种选配方法. 4.有不同的红球 8 个,不同的白球 7 个,不同的黄球 6 个,现从中任取两个不同颜色的球,不同 的取法有( ).

A.336 种

B.21 种

C.104 种

D.146 种

答案:D

解析:分三类:一红一白时,有 8×7 种;一红一黄时,有 8×6 种;一白一黄时,有 7×6 种.由分类加

法计数原理知有 N=8×7+8×6+7×6=146 种.

5.某通讯公司推出一组手机号码,卡号的前七位数字固定.从“×××××××0000”到

“×××××××9999”共 10 000 个号码,公司规定:凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作 为“优惠卡”,则这组号码中“优惠卡”的个数为( )

A.2 000

B.4 096

C.5 904

D.8 320

答案:C 解析:可从反面考虑,卡号后四位不带“4”或“7”的共有 8×8×8×8=4 096(个),所以符合题意

的共有 10 000-4 096=5 904(个).

6.(2014 山东日照一中高三下学期开学考试)将 1,2,3,…,9 这 9 个数字填在如图的 9 个空格中,

要求每一行从左到右,每一列从上到下分别依次增大.当 3,4 固定在图中的位置时,填写空格

的方法为( ).

A.6 种

B.12 种

C.18 种

D.24 种

答案:A

解析:∵每一行从左到右,每一列从上到下分别依次增大,1,2,9 只有一种填法,5 只能填在右上

角或左下角,5 填好后与之相邻的空格可填 6,7,8 任一个;余下两个数字按从小到大只有一种 方法.共有 2×3=6 种结果,故选 A. 7.将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入图中的五个区域内,要求相邻的两个区域的颜色都 不相同,则不同的涂色方法有( ).

A.48 种 答案:B 解析:

B.72 种

C.24 种

D.27 种

给区域标记号为 A,B,C,D,E,如图所示.

当 B 与 D 同色时,有 4×3×2×1×2=48 种.

当 B 与 D 不同色时,有 4×3×2×1×1=24 种.

故共有 48+24=72 种不同的涂色方法.

二、填空题

8.(2014 海南琼海嘉积中学高二月考)在一宝宝的“抓周”仪式上,他面前摆着 4 件学习用品,3

件生活用品,4 件娱乐用品,若他只抓其中的一件物品,则他抓的结果有

种.

答案:11

解析:抓物品的不同结果数分三类,由分类加法计数原理得共有 4+3+4=11(种).

9.由数字 1,2,3,4,5 组成的无重复数字的四位偶数的个数为

.

答案:48

解析:分两个步骤:第 1 步,从 2,4 中取一个数作为个位数字,有 2 种取法;再从其余四个数中取

出三个数排在前三位,有 4×3×2=24 种排法,由分步乘法计数原理知,这样的四位偶数共有

2×24=48 个.

10.(1)把 5 本书全部借给 3 名同学,则不同的借法共有

种;

(2)把 3 个人分配到某工厂的 5 个车间去参加社会实践,则不同的分配方案共有

种.

答案:(1)243 (2)125

解析:(1)借书时,并没有要求每人必须借书,而只要把书借完即可,故每本书应该借给三个人

中的一个.所以总的借法有 3×3×3×3×3=243(种).同样,(2)中,三个人分到五个车间,有的车间

可以没有人,但人必须分完,每个人可以到 5 个车间中的任何一个车间,各有 5 种分法,一共有

5×5×5=125 种不同的分配方案.

三、解答题 11.某单位职工义务献血,在体检合格的人中,O 型血的共有 28 人,A 型血的共有 7 人,B 型血 的共有 9 人,AB 型血的共有 3 人. (1)从中任选 1 人去献血,有多少种不同的选法? (2)从四种血型的人中各选 1 人去献血,有多少种不同的选法? 解:从 O 型血的人中选 1 人有 28 种不同的选法;
从 A 型血的人中选 1 人有 7 种不同的选法; 从 B 型血的人中选 1 人有 9 种不同的选法; 从 AB 型血的人中选 1 人有 3 种不同的选法. (1)任选 1 人去献血,即无论选哪种血型的哪一个人,“任选 1 人去献血”这件事情都可以 完成,所以用分类加法计数原理,有 28+7+9+3=47 种不同的选法. (2)要从四种血型的人中各选 1 人,即从每种血型的人中各选出 1 人后,“各选 1 人去献 血”这件事情才完成,所以用分步乘法计数原理,有 28×7×9×3=5 292 种不同的选法. 12.从 0,1,2,3 中选择三个数字组成无重复数字的三位偶数,满足条件的数字有多少个? 解:第 1 类:末位为 0 第 1 步,排末位,有 1 种方法;第 2 步,排首位,从 1,2,3 中选 1 个,有 3 种方法;第 3 步,排十 位,有 2 种方法. 所以,此类方法中有 1×3×2=6 个数字. 第 2 类:末位为 2 第 1 步,排末位,有 1 种方法;第 2 步,排首位,从 1,3 中选 1 个,有 2 种方法;第 3 步,排十位, 有 2 种方法. 所以,此类方法中有 1×2×2=4 个数字. 所以一共有 6+4=10 个满足条件的不同数字. 13.(2014 福建漳州芗城中学高二下期末)某外语组 9 人,每人至少会英语和日语中的一门,其 中 7 人会英语,3 人会日语,从中选出会英语和会日语的各一人,有多少种不同的选法? 解:某外语组 9 人中,7 人会英语,3 人会日语,可得此外语组有 1 人既会英语又会日语,其中 6 人只会英语,2 人只会日语. (1)1 人既会英语又会日语选去说英语,选说日语的有 2 种方法; (2)1 人既会英语又会日语选去说日语,选说英语的有 6 种方法;

(3)1 人既会英语又会日语不被选中,选说英语的有 6 种方法,选说日语的有 2 种方法,故 有 12 种方法.综上共有 20 种方法.
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